ppt 6 7 proporción directa e inversa, problemas de planteo
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RECORDEMOS…DEFINICIÓN
Una proporción es directa, cuando las variables que están en juego aumentan o disminuyen en la misma razón.
El cuociente entre estas cantidades es constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Su gráfica representa una línea recta.
Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos.
Con estos datos tenemos la siguiente tabla:
Cantidad de latas Costo en dinero
1 350
2 700
3 1050
4 1400
5 1750
6 2100
7 2450
8 2800
9 3150
10 3500
Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas los valores aumentan.
El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:
EJEMPLO 1
A partir de los datos de la tabla anterior determinemos el valor de la Constante de proporcionalidad directa (RECUERDA QUE PODEMOS CONFIRMARLO CON LA RAZÓN O )
Cantidad de latas Costo en dinero Razón (costo /cantidad)
Constante de Proporcionalidad
1 350 350/1 350
2 700 700/2 350
3 1050 1050/3 350
4 1400 1400/4 350
5 1750 1750/5 350
6 2100 2100/6 350
7 2450 2450/7 350
8 2800 2800/8 350
9 3150 3150/9 350
10 3500 3500/10 350
latas de cantidad
dineroen costo
dineroen costo
latas de cantidad
EJEMPLO 2Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos kilómetros recorre en 10 horas?
PUEDO REPRESENTAR LA INFORMACIÓN DE DOS MANERAS DIFERENTES QUE ME AYUDARÁN A ENTENDER MEJOR MI PROBLEMÁTICA:
TABLA GRÁFICO
Kilómetros Horas
100 3
200 6
300 9
X 10400 12
FINALMENTE RESOLVEMOS1° PASO (DATOS):
2° PASO (ECUACIÓN):
3° PASO (RESOLUCIÓN):
4° PASO (RESPUESTA):
El automóvil recorre aproximadamente 333,3 Kilómetros en 10 horas.
KILÓMETROS HORAS
100x
310
Si una variable sube la otra también= Proporción Directa
310100 ⋅=⋅ x
x
x
x
=
=
⋅=⋅
3,333
3
1000
310100
ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR Tres metros de género valen $ 800.
¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?
Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?
Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?
Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?
PORCENTAJE EJEMPLO:En una multitienda realizan un ofertón por inauguración y
todos los productos están con el 35% de descuento, si
compro una juguera y un hervidor los cuales tenían el
precio original (sin descuento) $ 43.000 y $28.000
respectivamente. ¿ Cuánto pagué finalmente?, ¿Cuánto
ahorré?
¿CÓMO LO HARÍAS?
REPRESENTACIÓN DE PORCENTAJES
Un porcentaje puede ser representado de manera simbólica (%), proporcional, fraccionaria o decimal. Nosotros en ésta unidad utilizaremos el cálculo de éste a través de una proporción directa. Por ejemplo, para calcular el 25% de 3.500 se tiene:
25% de 3.500
PROPORCIÓNDIRECTA
El 25% DE 3.500 ES
875
DATOS ECUACIÓN RESOLUCIÓN RESPUESTA
25% x
100% 500.3100 x253500 ⋅=⋅
x875100
87500
100 253500
=
=
⋅=⋅
x
x
EJERCICIOS TIPO Generalmente nos preguntan por ciertos
porcentajes o cantidades correspondientes a un porcentaje, las posibilidades son:
El a% de b es…
EJEMPLO: El 60% de 1480 es…
¿Qué porcentaje es a de b?
EJEMPLO: ¿Qué porcentaje es 25 de 2500?
a es el b% de …
EJEMPLO: 20 es el 15% de…
EJERCICIOS El valor de un artículo en una tienda es de
$45.800, por un día se le aplica un descuento
del 12%, ¿a cuánto dinero corresponde el
descuento realizado? La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado
un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000. ¿Cuál era el valor original de su casa?
A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de Marzo en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000, ¿Cuánto ganaba en Febrero?
PROPORCIONALIDAD INVERSA
El producto entre estas magnitudes es
constante, y recibe el nombre de constante
de proporcionalidad inversa. Dicho de otra manera si una de las variables
aumenta, la otra disminuye; y si una de las variables disminuye, la otra variable aumenta.
EJEMPLOS
Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas?
160 3
10
horas máquina
x
10 máquinas se habrían tardado 48 horas
x
x
x
=
=
⋅=⋅
4810
480
103160
Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.
Con estos datos tenemos siguiente tabla:
Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores disminuyen. y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:
Invitados (personas) Trozos de torta (%)
1 100,00
2 50,00
3 33,33
4 25,00
5 20,00
6 16,66
7 14,28
8 12,50
9 11,11
10 10,00
11 9,09
12 8,33
Con la tabla anterior multiplica cada par de valores de ambas variables.
Invitados (x) Porción de Torta (y) Producto x por y = c Constante de proporcionalidad (c)
1 100,00 1 por 100,00 100
2 50,00 2 por 50,00 100
3 33,33 3 por 33,33 100
4 25,00 4 por 25,00 100
5 20,00 5 por 20,00 100
6 16,66 6 por 16,66 100
7 14,28 7 por 14,28 100
8 12,50 8 por 12,50 100
9 11,11 9 por 11,11 100
10 10,00 10 por 10 100
ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR 8 albañiles tardan en hacer una obra 15
días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?
Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene?
Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km/h?
La tabla indica la cantidad de personas y los días que demoran en realizar una construcción. ¿ Cuántos días necesitarán para la construcción si trabajan 10 personas?
Personas Días
200 400
64 1.250
40 2.000
20 4.000
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