potencia

xeometríamétrica aplicada

potencia

2º bacharelato – debuxo técnico

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia. P punto exterior.

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

PBA’

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

PAB’

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

PBA’ PAB’ son triángulos semellantes inversos

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

Establécese a relación entre P, A, A’, B, B’

PA PB’

PB PA’= PA · PA’ = PB · PB’

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia. P punto interior.

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

PAB’

PBA’

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

PBA’ PAB’ son triángulos semellantes inversos

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

Establécese a relación entre P, A, A’, B, B’

PA PB’

PB PA’= PA · PA’= PB · PB’

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

PTA’ PAT’

Establécese a relación entre P, A, A’, T, T’

PA PT’

PT PA’= PA · PA’= PT · PT’ PT=PT’

PA · PA’ = PT2

son semellantes inversos

potencia

Potencia dun punto respecto dunha circunferencia.

Pot. P(O) = PA · PA’ = PT2 = k (cte.)

potencia

A potencia graficamente. Segmento representativo da potencia.

Punto exterior.

PA PT’

PT PA’=

PA · PA’ = PT · PT’

PT2 = Potencia

Polo Teorema de Pitágoras

PO2 = PT2 + OT2 PT2 = PO2 – OT2

PO = d OT = rPT2 = d2 – r2 = Potencia

O segmento representativo da potencia

é unha media proporcional, polo tanto,

analizando o Teorema da Altura:

potencia

A potencia graficamente. Segmento representativo da potencia.

Punto interior.

PA PH

PH PA’= PA · PA’ = PH2

PH2 = Potencia

Sustituíndo os termos, e expresando a mesma relación

en función da distancia (d), do radio (r) e da altura (h).

PA = r – d PA’ = –(r + d) PH = h

h2 = (r – d) · – (r+d) = d2 – r2 PH2 = d2 – r2 = Potencia

potencia

Valor da potencia.

PA · PA’ = + k

Constante positiva

Punto exterior

PA · PA’ = – k

Constante negativa

Punto interior

potencia

Valor da potencia.

Punto interior

Pot = PA·PA’ = –(r–d)·(r+d) = –(r2–d2) = d2–r2

Outra forma de expresar a potencia está en función da distancia

do punto ao centro da circunferencia e do radio da mesma.

Pot = PA·PA’ = (d–r)·(d+r) = d2–r2

Punto exterior

eixe radical

2º bacharelato – debuxo técnico

eixe radical

Eixe radical de dúas circunferencias

É o lugar xeométrico dos puntos do plano

nos que a diferencia de cadrados a dous puntos fixos

é constante.

É unha recta perpendicular á que une os dous puntos fixos.

eixe radical

Eixe radical de dúas circunferencias

Pot. P (O1) = PA · PA’ = k1

Pot. P (O2) = PB · PB’ = k2

eixe radical

Eixe radical de dúas circunferencias

Pot. P (O1) = PC · PC’ = k1

Pot. P (O2) = PD · PD’ = k2

eixe radical

Eixe radical de dúas circunferencias

k1 = k2

(d1 – r1)·(d1 + r1) = (d2 – r2)·(d2 +r2 )

PC = d1 – r1 PC ’= d1 + r1 PD = d2 – r2 PD’ = d2 +r2

PC · PC’ = k1

PD · PD’ = k2

PC · PC’ = PD · PD’

d12 – r1

2 = d2 2 – r2

2 d12 – d2

2 = r12 – r2

2

r1 e r2 son constantes r1

2 - r2 2 = cte. d1

2 - d2 2 = cte.

eixe radical

Eixe radical de dúas circunferencias

É o lugar xeométrico dos puntos do plano nos que a diferencia de cadrados a dous puntos fixos é constante.

É unha recta perpendicular á que une os dous puntos fixos.

d12 – d2

2 = cte.

eixe radical

Determinación do eixe radical de dúas circunferencias

Empregamos unha circunferencia auxiliar

Circunferencias exteriores

eixe radical

Determinación do eixe radical de dúas circunferencias

Circunferencias secantes

eixe radical

Determinación do eixe radical de dúas circunferencias

Circunferencias tanxentes

eixe radical

Determinación do eixe radical de dúas circunferencias

Circunferencias interiores

Empregamos unha circunferencia auxiliar

eixe radical

Determinación do eixe radical de dúas circunferencias

Circunferencias concéntricas

Non se pode determinar o eixe radical de dúas circunferencias concéntricas

Pot. P (O) = d12 – d2 2 = cte

d1 = d2

Pot. P (O) = d12 – d2 2 = 0

eixe radical

Centro radical de tres circunferencias

O Centro radical (CR) de tres circunferencias é o punto de corte dos eixes radicais dos tres pares de circunferencias.

Pot. CR (01) = Pot. CR (02) = Pot. CR (03) = k

feixesde circunferencias

coaxiais

2º bacharelato – debuxo técnico

feixes de circunferencias coaxiais

Feixes de circunferencias coaxiais

Un feixe de circunferencias coaxiais

é o conxunto das infinitas circunferencias

que teñen un eixe radical común.

Os seus centros definen como lugar xeométricounha recta perpendicular ao eixe.

feixes de circunferencias coaxiais

Feixe de circunferencias coaxiais exteriores-interiores

feixes de circunferencias coaxiais

Feixe de circunferencias coaxiais secantes

feixes de circunferencias coaxiais

Feixe de circunferencias coaxiais tanxentes

feixes de circunferencias coaxiais

Propiedades dos feixes de circunferencias coaxiais

PA · PA’ = k

PT2 = PA · PA’ = k

- - - - - - -

EA · EA’ = k

ET12 = k

ET22 = k

ET12 = ET2

2

ET1 = ET2

Propiedades