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CALCULO DIFERENCIAL
PORTAFOLEO
Misión: Ser una unidad con alto prestigio académico, con
eficiencia, transparencia y calidad en la educación,
organizada en sus actividades, protagonistas del
progreso regional y nacional.
Visión: Formar profesionales eficientes e innovadores en el
campo de las ciencias informáticas, que con
honestidad, equidad y solidaridad, den respuestas a
las necesidades de la sociedad elevando su nivel de
vida.
ING. JOSE CEVALLOS SALAZAR
DOCENTE
WILLIAM CASTRO LEON ESTUDIANTE
PORTOVIEJO ABRIL –AGOSTO DEL 2012
2 “B”
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÌ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
TABLA DE CONTENIDO
PRONTUARIO DEL CURSO
AUTORRETRATO
ARTICULOS DE REVISTA PROFESIONALES
CARTA DE PRESENTACION
EVALUACION DEL PORTAFOLEO
SECCION ABIERTA DE LA CLASE
MATERIALES RELACIONADOS CON LA CLASE
TRABAJO DE EJECUCION
DIARIO METACOGNITIVO
ANEXO 2
RESUMEN DE CIERRE
ANEXO 1
1
2
12
11
10
9
8
7
3
6
4
5
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
PRONTUARIO DEL CURSO
SYLLABUS DEL CURSO
Asignatura: Cálculo Diferencial
1. CÓDIGO Y NÚMERO DE CRÉDITOS Código: OF-280 N° de Créditos: 4
2. DESCRIPCION DEL CURSO La ciencia Matemáticas es un área del conocimiento que colabora al desarrollo de otras ciencias,
marcando su importancia para la solución de problemas dentro de un nivel científico. Estas son las
razones por la que la carrera incorpora el Cálculo Diferencial a la malla curricular. El propósito de la
asignatura en sus cuatro capítulos, es conceptualizar lineamiento teóricos metodológicos al
estudiante, en el análisis de las funciones y hace énfasis en sus gráficas, la forma de combinarlas y
clasificarlas de acuerdo a los números reales y a los tipos de funciones, la idea de límites y su
continuidad permiten describir el comportamiento de una función con propiedades específicas, se
hace énfasis en desarrollar destrezas para calcular límites por métodos algebraicos o
trigonométricos y mediante reglas básicas, la noción de la derivada en esta unidad el estudiante
aprenderá a calcular la derivada inicialmente con su definición, y luego hace énfasis con modelos
matemáticos que surgen de las Reglas Básicas de Derivación, las Aplicaciones de las derivadas,
hace énfasis en determinar los Valores Máximos y Mínimos de una función que se requieren en la
práctica en problemas de Optimización donde se pide determinar el modo óptimo de llevar a cabo
un determinado proceso. Así mismo proporciona al estudiante información adicional y precisa para
el Trazo de Curvas. La programación de la asignatura concluye con la introducción de Diferenciales
para aplicarlas en la Integral indefinida, teniendo como apoyo el software matemático Matlab y
Derive-6, para incentivarlos en la construcción de pequeños Software.
3. PRERREQUISITOS Y CORREQUISITOS Pre-requisitos: OF-180
Co-requisitos: ninguno
4. TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.
LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc Graww
Hill 2006.
SMITH Robert-MINTON Roland, Cálculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana. 2000.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores.
México.
THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley
Iberoamericana. EUA.
GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la Universidad
Central. Ecuador.
PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ
LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.
PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería.
www.matemáticas.com
5. OBJETIVOS GENERALES DEL CURSO. (RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO)
Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las
técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación)
Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través
de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones
finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)
Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante
teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)
Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios
mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel Taxonómico: Aplicación)
Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas
de optimización a través de los criterios respectivos (Nivel Taxonómico: Aplicación)
6. TOPICOS O TEMAS CUBIERTOS (NÚMEROS DE HORAS POR TEMA)
Análisis de funciones (16 horas)
Aproximación a la idea de límites (12 horas)
Cálculo diferencial pendiente de la recta tangente (12 horas)
Aplicación de la derivada (18 horas)
Introducción al cálculo integral: Integrales indefinidas (6 horas)
7. HORARIO DE CLASE / LABORATORIO
Cuatro horas de clases teóricas en dos sesiones de dos horas de clase a la semana
8. CONTRIBUCION DEL CURSO CON LA FORMACION DEL INGENIERO
Desarrollar en los estudiantes habilidades de reconocer funciones, obtención de dominio e imagen,
expresar modelo matemáticos donde se involucre el concepto de función, demostrar límites de
funciones aplicando la definición, determinar la continuidad de una función Interpretar, enunciar y
aplicar los teoremas de la derivada, analizar el estudio de la variación de una función, aplicar el flujo de
información en la fabricación de pequeños software, para el análisis, el razonamiento y la comunicación
de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su
entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de
aprendizajes más complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-
técnica para la ciencias informáticas.
9. RELACION DEL CURSO EL CRITERIO 3 DE ACREDITACIÓN ABET:
RESULTADOS O LOGROS DEL
APRENDIZAJE
CONTRIBUCIÓN
(ALTA, MEDIO,
BAJO)
EL ESTUDIANTE DEBE:
(a) Capacidad de aplicar conocimientos de
matemáticas, ciencias e ingeniería.
MEDIA Aplicar con capacidad las Matemáticas en el diseño y
desarrollo de Sistemas Informáticos como producto de su
aprendizaje continuo y experiencia adquirida en el
manejo de lenguajes de programación de software
matemático en su etapa de formación. (b) Capacidad de diseñar y conducir experimentos,
así como para analizar e interpretar los datos
******* *******
(c) Capacidad de diseñar un sistema, componente o
proceso para satisfacer las necesidades deseadas
dentro de las limitaciones realistas, económicos,
ambientales, sociales, políticas, éticas, de salud y
seguridad, de fabricación, y la sostenibilidad
******* *******
(d) Capacidad de funcionar en equipos
multidisciplinarios
MEDIA Interactuar en los equipos de trabajo, cooperando con
valores éticos, responsabilidad, respeto a opiniones y
contribuyendo con conocimiento y estrategias
informáticas efectivas en la consecución de los objetivos
de un proyecto. (e) la capacidad de identificar, formular y resolver
problemas de ingeniería
******* *******
(f) Comprensión de la responsabilidad profesional y
ética
******* *******
(g) Capacidad de comunicarse de manera efectiva
MEDIA Elaborar informes escritos aplicando los lineamientos y
normas para elaborar un proyecto de investigación y
expresarse con un lenguaje matemático efectivo en las
exposiciones, usando las TIC´S y software matemáticos. (h) Educación amplia necesaria para comprender el
impacto de las soluciones de ingeniería en un
contexto económico global, contexto ambiental y
social.
******* *******
(i) Reconocimiento de la necesidad y la capacidad de
participar en el aprendizaje permanente. ******* *******
(j) Conocimiento de los temas de actualidad
******* *******
(k) Capacidad de utilizar las técnicas, habilidades y
herramientas modernas de ingeniería necesarias
para la práctica la ingeniería.
MEDIA Utilizar el Matlab (u otro software matemático) como
herramienta informática para modelar situaciones de la
realidad en la solución de problemas informáticos del
entorno.
10. EVALUACION DEL CURSO
11. RESPONSABLE DE LA ELABORACION DEL SYLLABUS Y FECHA DE ELABORACION
Elaborado por: Ing. José Cevallos S.
Fecha: 20 de Diciembre del 2011
DESCRIPCIÓN MEDIO CLCLO FIN DE CICLO TOTALES
Exámenes 15% 15% 30%
Actividades varias
Pruebas Escritas 5% 5% 10%
Participaciones en Pizarra
5% 5% 10%
Tareas 5% 5% 10%
Compromisos Éticos y
Disciplinarios 5% 5% 10%
Investigación
Informes 10% 10%
Defensa Oral (Comunicación
matemática efectiva )
20% 20%
TOTAL 45% 55% 100%
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
SYLLABUS DEL CURSO
PLANIFICACIÓN DEL CURSO
1.- Datos Generales Unidad Académica:Facultad de Ciencias Informáticas Carrera: Ingeniería en Sistemas Informáticos Ciclo Académico: Abril 2012 - Agosto 2012 Nivel o Semestre: 2do. Semestre Área de Curricular: Matemáticas Tipo de Asignatura:Obligatoria de Facultad Código: OF-280 Requisito para: Cálculo Integral-OF-380 Pre-requisito:Matemáticas Básicas II-OF-180 Co-requisito:Ninguno No de Créditos:4 No de Horas:64 Docente Responsable: Ing. José Antonio Cevallos Salazar
Correo Electrónico: jcevallos@utm.edu.ec, jcs1302@hotmail.com.
2. Objetivo general de la asignatura
Desarrollar en los estudiantes habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su
pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno
espacial desde la perspectiva del Cálculo, facilitándoles en el futuro la asimilación de aprendizajes más
complejos en el área de las matemáticas, promoviendo la investigación científico-técnica para la ciencias
informáticas.
3. Contribución del curso con el perfil del graduado
Objetivos Educacionales de la Facultad de Ciencias Informáticas Carrera de Ingeniería de
Sistemas Informáticos
1. Aplica las ciencias básicas y las matemáticas en la solución de problemas del entorno
2. Toma decisiones que ayudan a desarrollar organizaciones proactivas que contribuyen al buen
vivir
3. Construye soluciones informáticas de calidad que mejoren la eficiencia y eficacia de una
organización haciendo uso correcto de la tecnología.
4. Demuestra compromiso de aprendizaje continuo y trabajo en equipo multidisciplinario con
ética profesional
5. Capacidad para realizar estudios de posgrado con exigencia internacional en áreas afines.
6. Es emprendedor, innovador y utiliza los últimos avances tecnológicos en el desempeño de su
profesión
5. Resultados del aprendizaje
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES METODO DE
EVALUACIÓN CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE
APRENDIZAJE PONDERACIÓN
Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.
APLICACIÓN
Ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemático: Derie-6 y Matlab.
Aplicación de 4 técnicas para dominio Aplicación de 4 técnicas para rango Aplicación de 4 técnicas para graficar las funciones.
Determinará el dominio con la aplicaciónde 4 técnicas, el rango con 4 técnicas y graficará las funciones con 4 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab. Determinará el dominio, con la aplicación. de 2 técnicas, el rango con 2 técnicas y graficará las funciones con 2 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab Determinará el dominio, con la aplicación. de 1 técnica, el rango con 1 técnicas y graficará las funciones con 1 técnicas en ejercicios escritos, orales, talleres y en un software Matemático: Matlab
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO 71-85
NIVEL BÁSICO 70
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES METODO DE
EVALUACIÓN CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE
APRENDIZAJE PONDERACIÓN
Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua.
APLICACIÓN
10 ejercicios escritos, orales y en talleres, individual y en equipo.
Participación activa, e interés en el aprendizaje. Aplicación de los tres criterios de continuidad de función. Conclusión final si no es continúa la función
Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico a través de 10 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones. Participación activa, e interés en el aprendizaje. Conclusión final si no es continúa la función.
Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 7 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones. Conclusión final si no es continúa la función.
Demostrará la existencia de límites y continuidad de funciones en los resales por medio gráfico a través de 5 ejercicios escritos, orales y en talleres participativos aplicando los tres criterios de continuidad de funciones. Conclusión final si no es continúa la función.
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO 71-85
NIVEL BÁSICO 70
1 2 3 4 5 6
x X
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES METODO DE
EVALUACIÓN CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE
APRENDIZAJE PONDERACIÓN
Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas
APLICACIÓN
10 ejercicios escritos, orales, talleres y en los Software Matemáticos: Derive-6 y Matlab.
Aplicación de los teoremas de límites. Aplicación de las reglas básicas de límites infinitos. Aplicación de las reglas básicas de límites al infinito. Aplicación de límites en las asíntotas verticales y asíntotas horizontales.
Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites, Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito y aplicación de límites en las asíntotas verticales y horizontales, en 10 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Derive-6 y Matlab Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de los teoremas de límites, Con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 7 ejercicios escritos, orales, talleres y en el software Matemático: Matlab. Determinará al procesar los límites de funciones en los reales con la aplicación de la regla básica de límites infinitos, con la aplicación de la regla básica de límites al infinito en 5 ejercicios manuales y en el software Matemático: Derive-6
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO 71-85
NIVEL BÁSICO
70
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES METODO DE
EVALUACIÓN CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE
APRENDIZAJE PONDERACIÓN
Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.
APLICACIÓN
Ejercicios escritos, orales, talleres y en el Software Matemáticos: Matlab y Derive-6.
Aplicación de los teoremas de derivación. Aplicación de la regla de derivación implícita. Aplicación de la regla de la cadena abierta. Aplicación de la regla de derivación orden superior.
Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la cadena abierta, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Derive-6y Matlab. Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, con la aplicación de la regla de la derivación implícita, con la aplicación de la regla de la derivación de la derivada de orden superior en ejercicios escritos, orsles, talleres y en el software matemático: Matlab. Determinará la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales aplicando acertadamente los teoremas de derivación, en ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemáticos: Matlab.
NIVEL ALTO:
86-100
NIVELMEDIO 71.85
NIVEL BÁSICO 70
RESULTADOS DEL APRENDIZAJE
METODOLOGIA DE EVALUACIÓN DE LOS RESULTADOS DE APRENDIZAJE NIVELES METODO DE
EVALUACIÓN CRITERIOS NIVELES DEL RESULTADO DE
APRENDIZAJE PONDERACIÓN
Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.
ANÁLISIS
Ejercicios escritos, orales, talleres y en el software matemático: Matlab.
Aplicación del primer criterio para puntos críticos. Aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión. Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas. Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización.
Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, con la aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas, y con la aplicación del segundo criterio para problemas de optimización en ejercicios escritos, orales, talleres y en software matemático: Matlab Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos,Aplicación del segundo criterio para problemas de optimización. En ejercicios escritos, orales, talleresy en software matemático: Matlab Determinará los máximos y mínimos, de funciones en los reales, con la aplicación del primer criterio para puntos críticos, con la aplicación del segundo criterio para concavidades y punto de inflexión, Aplicación del primer y segundo criterio para el estudio de graficas,en ejercicios escritos, orales y talleres.
NIVEL ALTO: 86-100
NIVELMEDIO 71-85
NIVEL BÁSICO 70
1.1 Resultados de aprendizaje de la carrera específicos a los que apunta la materia (ABET). Resultados de aprendizaje de la carrera de Ingeniería de Sistemas Informáticos
a. Capacidad de realizar análisis, síntesis y aplicación de las matemáticas y ciencias básicas en
la solución de problemas de ingeniería en sistemas informáticos.
b. Capacidad de planificar, diseñar, conducir e interpretar resultados de experimentos
orientados a la informática.
c. La capacidad de diseñar sistemas, procesos, modelos y componentes informáticos que
cumplan los estándares nacionales o internacionales, tomando en cuenta las limitaciones
económicas, ambientales, sociales, políticas, de salud y seguridad del entorno, y
cumpliendo satisfactoriamente con las especificaciones y restricciones existentes o
indicadas por los interesados o por los criterios de sostenibilidad.
d. Capacidad para funcionar como parte de un equipo de profesionales de distintas áreas del
conocimiento, demostrando una efectiva cooperación, comunicación, con habilidades para
resolver conflictos y contribuyendo proactivamente en la propuesta de líneas estratégicas
desde el punto de vista informático, para la solución de problemas.
e. Capacidad para identificar, formular, evaluar y resolver técnicamente problemas de
ingeniería planteados de acuerdo a las necesidades del medio.
f. Capacidad para comprender, reconocer y aplicar valores y códigos de ética profesional, que
le permitan desenvolverse sin perjudicar a sus clientes y contribuyendo al desarrollo de la
sociedad.
g. Habilidad para presentar efectivamente, ideas, proyectos, informes de investigaciones,
documentos de trabajo de manera escrita, oral y digital, utilizando las herramientas de las
nuevas tecnologías de la información.
h. Habilidad y capacidad para comprender el impacto de las soluciones informáticas a la
realidad local, nacional e internacional en un contexto económico global, ambiental y
social.
i. Habilidad y aptitud para ser un profesional con el compromiso del aprendizaje continuo,
con capacidad para reconocer las oportunidades para mejorar en su campo profesional.
j. Habilidad para identificar temas y problemas de actualidad con respecto al entorno local,
regional y global, con el fin de relacionarlos con propuestas de soluciones creativas y
eficientes.
k. Capacidad y destreza para utilizar técnicas, habilidades y herramientas en el desarrollo de
software y hardware para implementar soluciones a problemas de su profesión.
Contribución de la materia a los resultados de aprendizaje de la carrera:
A: Alta M: Medio B: Baja
a b c d E F g h i j k
M M M M
6. Programación
1. Resultados del Aprendizaje No 1: Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso.
Fechas No de
Horas
Temas Estrategias
metodológicas
Recursos Bibliografía
Sept. 13
Oct. 6
TOTAL 16
2
2 2 2 2 2 2 2
UNIDAD I
ANÁLISIS DE FUNCIONES
PREFACIO.
ANÁLISIS DE FUNCIONES.
PRODUCTO CARTESIANO.
Definición: Representación gráfica.
RELACIONES:
Definición, Dominio y Recorrido de una
Relación.
FUNCIONES:
Definición, Notación
Dominio y recorrido.
Variable dependiente e independiente.
Representación gráfica. Criterio de Línea
Vertical.
Situaciones objetivas donde se involucra el
concepto de función.
Función en los Reales: inyectiva, sobreyectiva
y biyectiva Representación gráfica. Criterio de
Línea horizontal.
Proyecto de Investigación.
TIPOS DE FUNCIONES:
Función Constante
Función de potencia: Identidad, cuadrática,
cúbica, hipérbola, equilátera y función raíz.
Funciones Polinomiales
Funciones Racionales
Funciones Seccionadas
Funciones Algebraicas.
Funciones Trigonométricas.
Funciones Exponenciales.
Funciones Inversas
Funciones Logarítmicas: definición y
propiedades.
Funciones trigonométricas inversas.
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:
Técnica de grafica rápida de funciones.
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
Algebra de funciones: Definición de suma,
resta, producto y cociente de funciones.
Composición de funciones: definición de
función compuesta
Dinámica de integración
y socialización,
documentación,
presentación de los
temas de clase y
objetivos, lectura de
motivación y video del
tema, técnica lluvia de
ideas, para interactuar
entre los receptores.
Observación del
diagrama de secuencia
del tema con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-deductivo,
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a los
estudiantes para que
expresen sus
conocimientos del tema
tratado, aplicando la
Técnica Activa de la
Memoria Técnica
Talleres intra-clase, para
luego reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la información en
software para el área con
el flujo de información.
1. Bibliografías-
Interactivas, 2.
2. Pizarra de
tiza líquida,
3. Laboratorio
de
Computación,
4. Proyector,
5. Marcadores
6. Software de
derive-6, Matlab
ANÁLISIS MATEMÁTICO. JUAN MANUEL SILVA, ADRIANA LAZO. 2006. LIMUSA NORIEGA.
LAZO PAG. 124-128-142 CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. TOMO I LARSON-HOSTETLER-EDWARDS.EDISION OCTAVA EDICIÓN. MC GRAWW HILL 2006 LARSON PAG. 4, 25-37-46.
LAZO PAG. 857-874, 891-
919.
LAZO PAG. 920-973
LAZO PAG. 994-999-1015
CALCULO. TOMO 1, PRIMERA EDICIÓN, ROBERT SMITH-ROLAND MINTON, MC GRAW-HILL. INTERAMERICANA. 2000. MC GRAW HILL. SMITH PAG. 13-14 SMITH PAG. 23-33-41-51 SMITH PAG. 454
6. Programación
2. Resultados del Aprendizaje No 2:Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico, aplicando los criterios de continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continúa. 3. Resultados del Aprendizaje No 3:Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas.
Fechas No de
horas
Temas Estrategias
metodológicas
Recursos Bibliografía
Oct. 11 Nov. 8
TOTAL12
2 2 2 2 2 2
UNIDAD II
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Concepto de límite. Propiedades
de límites.
Limites Indeterminados
LÍMITES UNILATERALES
Limite Lateral derecho
Limite Lateral izquierdo.
Limite Bilateral.
LÍMITES INFINITOS
Definiciones
Teoremas.
LÍMITES AL INFINITO
Definiciones. Teoremas.
Limites infinitos y al infinito.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS.
Asíntota Horizontal: Definición.
Asíntota Vertical: Definición.
Asíntota Oblicua: Definición.
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.
Límite Trigonométrico
fundamental.
Teoremas.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO.
Definiciones.
Criterios de Continuidad.
Discontinuidad Removible y
Esencial.
Dinámica de integración
y socialización,
documentación,
presentación de los
temas de clase y
objetivos, lectura de
motivación y video del
tema, técnica lluvia de
ideas, para interactuar
entre los receptores.
Observación del
diagrama de secuencia
del tema con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-deductivo,
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a los
estudiantes para que
expresen sus
conocimientos del tema
tratado, aplicando la
Técnica Activa de la
Memoria Técnica
Tareas intra-clase, para
luego reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la información en
software para el área
con el flujo de
información.
1.Bibliografías-
Interactivas
2. Pizarra de
tiza líquida.
3. Laboratorio
de
Computación.
4.Proyector
5.Marcadores
6.Software de
derive-6, Matlab
LAZO PÁG. 1029 LAZO PÁG. 1069 SMITH PÁG. 68 LARSON PÁG. 46 LAZO PÁG. 1090
LAZO PÁG. 1041 LAZO PÁG 1090 LARSON PÁG. 48 SMITH PÁG. 95
LAZO PÁG 1102 SMITH PÁG. 97 LAZO PÁG. 1082 LARSON PÁG. 48 LAZ0 PÁG. 1109
6. Programación
4. Resultado del aprendizaje No 4:Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente.
Fechas No de
horas
Temas Estrategias
metodológicas
Recursos Bibliografía
Nov. 10 Dic. 6
TOTAL12
2 2 2 2 2 2
UNIDAD III
CALCULO DIFERENCIAL PENDIENTE DE LA RECTA
TANGENTE
DEFINICIONES.
DERIVADAS.
Definición de la derivada en un
punto.
Interpretación geométrica de la
derivada.
La derivada de una función.
Gráfica de la derivada de una
función.
Diferenciabilidad y Continuidad.
CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE
TIPO ALGEBRAICA.
Derivada de la función Constante.
Derivada de la función Idéntica.
Derivada de la potencia.
Derivada de una constante por la
función.
Derivada de la suma o resta de las
funciones.
Derivada del producto de funciones.
Derivada del cociente de dos
funciones.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.
Regla de la Cadena.
Regla de potencias combinadas con
la Regla de la Cadena.
DERIVADA DE LA FUNCION POTENCIA PARA
EXPONENTES RACIONALES.
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
DERIVADA IMPLICITA.
Método de diferenciación Implícita.
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS
Derivada de:
Funciones exponenciales.
Derivada de funciones
exponenciales de base e.
Derivada de las funciones
logarítmicas.
Derivada de la función logaritmo
natural.
Diferenciación logarítmica.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
INVERSAS.
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
Notaciones comunes para derivadas
de orden superior.
Dinámica de integración
y socialización,
documentación,
presentación de los
temas de clase y
objetivos, lectura de
motivación y video del
tema, técnica lluvia de
ideas, para interactuar
entre los receptores.
Observación del
diagrama de secuencia
del tema con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-deductivo,
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a los
estudiantes para que
expresen sus
conocimientos del tema
tratado, aplicando la
Técnica Activa de la
Memoria Técnica
Tareas intra-clase, para
luego reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la información en
software para el área
con el flujo de
información.
1.Bibliografías-
Interactivas
2. Pizarra de
tiza líquida.
3. Laboratorio
de
Computación.
4.Proyector
5.Marcadores
6.Software de
derive-6, Matlab
LAZO PÁG. 1125 SMITH PÁG. 126 LARSON PÁG. 106 SMITH PÁG. 135 SMITH PÁG. 139 LARSON PÁG. 112 LAZO PÁG. 1137 SMITH PÁG. 145 LARSON PÁG. 118 LAZO PÁG 1155 SMTH 176 LARSON PÁG. 141 LAZO PÁG. 1139 SMITH PÁG. 145 LAZO PÁG. 1149 SMITH PÁG. 162 LARSON PÁG. 135 LAZO PÁG. 1163 SMITH PÁG. 182 LARSON PÁG. 152 SMITH PÁG. 170 LARSON PÁG. 360 SMITH PÁG. 459 LARSON 432 LAZO PÁG. 1163 SMITH PÁG. 149
6. Programación
5. Resultado del Aprendizaje No 5: Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos.
Fechas No de
horas
Temas Estrategias
metodológicas
Recursos Bibliografía
Dic. 8 Febr. 12
TOTAL24
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
UNIDAD IV
APLICACIÓN DE LA DERIVADA.
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA
NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.
VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS.
Máximos y Mínimos Absolutos de
una función.
Máximos y Mínimos Locales de
una función.
Teorema del Valor Extremo.
Puntos Críticos: Definición.
FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA.
DERIVADA.
Función creciente y función
Decreciente: Definición.
Funciones monótonas.
Prueba de la primera derivada
para extremos Locales.
CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN.
Concavidades hacia arriba y
concavidades hacia abajo:
Definición.
Prueba de concavidades.
Punto de inflexión: Definición.
Prueba de la 2da. Derivada para
extremo locales.
TRAZOS DE CURVAS.
Información requerida para el
trazado de la curva: Dominio,
coordenadas al origen, punto de
corte con los ejes, simetría y
asíntotas
Información de 1ra. Y 2da.
Derivada
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN.
PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS.
INTRODUCCION DE CONOCIMIENTOS
Diferenciales. Definición.
Integral Indefinida. Definición.
SUSTENTACION DE PROYECTOS DE INVESTIGACION
Dinámica de integración
y socialización,
documentación,
presentación de los
temas de clase y
objetivos, lectura de
motivación y video del
tema, técnica lluvia de
ideas, para interactuar
entre los receptores.
Observación del
diagrama de secuencia
del tema con ejemplos
específicos para
interactuar con la
problemática de
interrogantes del
problema, método
inductivo-deductivo,
Definir los puntos
importantes del
conocimiento
interactuando a los
estudiantes para que
expresen sus
conocimientos del tema
tratado, aplicando la
Técnica Activa de la
Memoria Técnica
Tareas intra-clase, para
luego reforzarlas con
tareas extractase y
aplicar la información en
software para el área con
el flujo de información.
1.Bibliografías-
Interactivas
2. Pizarra de
tiza líquida.
3. Laboratorio
de
Computación.
4.Proyector
5.Marcadores
6.Software de
derive-6, Matlab
LAZO PÁG. 1173 LAZO PÁG. 1178 SMITH PÁG. 216 LARSON 176 LAZO PÁG. 1179 SMITH PÁG. 225 LARSON 176 LAZO PÁG. 1184 SMITH PÁG. 232 LAZO PÁG. 1191 SMITH PÁG. 249 LARSON 236 LAZO PÁG. 1209 SMITH PÁG. 475 LARSON PÁG. 280
8. Parámetros para la Evaluación de los Aprendizajes.
9.TEXTOS Y OTRAS REFERENCIAS REQUERIDAS PARA EL DICTADO DEL CURSO
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.
LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición. Mc Graww
Hill 2006.
SMITH Robert-MINTON Roland, Cálculo. Tomo 1, primera edición, Mc Graw-Hill. Interamericana. 2000.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.
THOMAS, George y FINNEY, Ross. (1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.
GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral.
LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.
PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes, ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.
PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería. www.matemáticas.com
10. Revisión y aprobación
DOCENTE RESPONSABLE
Ing. José Cevallos Salazar.
DIRECTOR(A) DE CARRERA PRESIDENTE(A) DE COMISIÓN
ACADÉMICA
Firma:
________________________________
Firma:
_____________________________
Firma:
___________________________________
Fecha: Fecha: Fecha:
DESCRIPCIÓN MEDIO CLCLO FIN DE CICLO TOTALES
Exámenes 15% 15% 30%
Actividades varias
Pruebas Escritas 5% 5% 10%
Participaciones en Pizarra
5% 5% 10%
Tareas 5% 5% 10%
Compromisos Éticos y
Disciplinarios 5% 5% 10%
Investigación
Informes 10% 10%
Defensa Oral (Comunicación
matemática efectiva )
20% 20%
TOTAL 45% 55% 100%
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
AUTORRETRATO
Mi nombre es WILLIAM ALBERTO CASTRO LEON soy estudiante de la asignatura de CALCULO
DIFERENCIAL, actualmente curso el segundo semestre en la facultad de Ciencias Informáticas de la
Universidad Técnica de Manabí.
Soy una persona responsable, organizada y me gusta trabajar en equipo.
Mis metas son convertirme en un gran profesional como ingeniero en Sistemas Informáticos tener un
gran conocimiento como base para afrontar cualquier obstáculo que se me presente día a día
superarme hasta llegar a un nivel admirable a base de esfuerzo, perseverancia, dedicación humildad
honradez que son la base fundamenta para tener éxito así salir adelante día a día mejorar hasta llegar a
ser un gran profesional y poner el practica todos los valores para ser una gran persona y poder ayudar a
mi familia y a la sociedad .
NOMBRE:WILLIAM ALBERTO CASTRO LEON
DIRECCIÓN:CALLE 12 DE OCTUBRE
FECHA DE NACIMIENTO:AGOSTO 11 DE 1992
TELÉFONO:2654430 CELULAR: 086849916
EMAIL:willbi_@hotmail.com
ESTUDIOS REALIZADOS
UNIVERSIDAD:
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABI
BACHILLERATO:
COLEGIO PARTICULAR MIXTO INFORMÁTICA PORTOVIEJO
CURSOS REALIZADOS:
ENGLISH WORDL INSTITUTE
SECAP
REDES SEGURIDAD INFORMÁTICA
EXPERIENCIA LABORAL
PASANTÍAS REALIZADAS EN CONTRALORÍA GENERAL DEL ESTADO DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y MANTENIMIENTO.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
Mision:
Formar académicos, científicos y profesionales responsables, humanistas, éticos y solidarios, comprometidos con
los objetivos del desarrollo nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como universidad de
docencia con investigación, capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la promoción y
difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador.
Vision:
Ser institución universitaria, líder y referente de la educación superior en el Ecuador, promoviendo la creación,
desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica y la cultura, con reconocimiento social y proyección
regional y mundial.
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
Misión:
Ser una unidad con alto prestigio académico, con eficiencia, transparencia y calidad en la educación, organizada en
sus actividades, protagonistas del progreso regional y nacional.
Visión:
Formar profesionales eficientes e innovadores en el campo de las ciencias informáticas, que con honestidad, equidad
y solidaridad, den respuestas a las necesidades de la sociedad elevando su nivel de vida.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 1:
TEMA DISCUTIDO:
ANALISIS DE FUNCIONES
PRODUCTO CARTESIANO: Definición: Representación gráfica
RELACIONES: Definición, dominio y recorrido de una relación
DEFINICIÓN, NOTACIÓN
Dominio, recorrido o rango de una función, Silva Laso, 857. Smith, 13, Larson, 25 Variables: dependiente e independiente Constante. Representación gráfica de una función, Silva Laso, 891, Larson, 4 Criterio de recta vertical.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones. Definir y reconocer: dominio e imagen de una función. Definir y graficar funciones, identificación de las mismas aplicando criterios.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL: Definiciones, identificaciones y trazos de gráficas.
ACTIVIDADES DURANTE LA CLASE
Presentación del docente
Reflexión “oración a mí mismo”
Mi reflexión sobre esta diapositiva titulada “oración a mí mismo” es que nosotros somos los
oídos y ojos de Dios el creador nunca tenemos que sentirnos solos porque el todo poderoso
siempre está junto a nosotros cuidándonos y llenándonos de bendiciones por ello en cada
amanecer tenemos que dar gracias al señor por un día nuevo de vida y asi en el transcurrir de
nuestras vidas dar una oración al señor es darnos una “oración a mí mismo”
Participación del estudiante ante la reflexión
Explicación del portafolio
Modelo de portafolio semestre anterior
Parámetros del portafolio a presentar
Entrega de material lógico de apoyo para el estudiante
Notas a evaluar en el semestre
Políticas del curso y de clases
Análisis de funciones
DESCRIPTORES ANALIZADOS
Función
Relación
Grafo
Dominio
Codominio
Conjunto
Imagen
Recorrido
Conjunto de llegada
Variables independientes y dependientes
Constantes
Productos cartesianos
Par
Función implícita y explicita
Función creciente
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY:
Producto cartesiano
En el cual hay que formar pares con los datos de nuestras galeras y ordenándolos en pares(x, y).
Dados los conjuntos A y B definimos un conjunto definimos un producto cartesiano de A con B.
Los elementos de A Y B son parejas ordenadas donde el primer elemento pertenece al conjunto A y el
segundo elemento al conjunto B.
FUNCION
Una función es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) en el cual no hay dos ordenadas distintas que
tengan el mismo primer elemento.
¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?,
Se me hizo difícil el análisis de funciones pero a medida de la explicación iva entendiendo poco a poco
¿PORQUE?
Me falta perfeccionar porque no se cómo trabajar con el rango para crear la tabla de datos de “x” y “y”
el rango de (-4 a 4)
¿CUÁLES FUERON FÁCILES?,
El análisis numérico
El método grafico
REFLEXION
¿PORQUE?
Me falta perfeccionar pero puse atención a la explicacion del ing José Cevallos y gracias a ellos puedo
aplicar los conocimientos adquiridos para perfeccionar las técnicas para realizar de forma clara los
ejercicios
¿QUÉ APRENDÍ HOY?
En esta clase aprendí a reconocer cuando es función y cuando no es función
rápidamente aplicando el criterio de la recta vertical
No es función porque su dominio se
relaciona con doble imagen por efecto del
radical
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 2:
CONTENIDOS:
FUNCIONES
Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función, Silva Laso, 867
Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, Silva laso, 142, 874
Gráficas, criterio de recta horizontal, Silva Laso, 876
TIPOS DE FUNCIONES:
Función Constante, Silva Laso, 891, Smith, 14
Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola, equilátera y función
raíz, Silva Laso, 919, Larson,37
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Explicación de estructura del portafolio
Reflexión ( que le pasa a la juventud)
Mi reflexión sobre esta diapositiva creada por los problemas psicosociales de los estudiantes,
fue compartido de una forma personal enfocada en la realidad de cada uno de ellos en su día a
día por las cosas buenas y malas que cada uno asimila ante las circunstancias que pasan, mi
reflexión se baso en que hay que saber aprovechar las enseñanzas de las pequeñas cosas
asimilando los problemas como experiencias ya que un tropiezo no es caída. Eso sucede en la
juventud que no asimilar y afrontar para poder superar los problemas y suelen buscar refugio
en vicios que contribuyen al deterioro como persona y dan rienda suelta a destruir una vida sin
regreso alguno.
Participación cada estudiante creando la reflexión del tema
Introducción al tema
Analizamos descriptores
Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos
DESCRIPTORES ANALIZADOS
Criterio ; observación
Cociente ; tabular
Despeje
Problemas
Objetivos
Dibujo
Datos
Área
Perímetro
Lazo
Ancho
CONTENIDO
FUNCIONES
Una función es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) en el cual no hay dos parejas ordenadas distintas
que tengan el mismo primer elemento, y se expresa por:
( ) *( ) ( )+
OBTENICION DEL DOMINIO E IMAGEN
Obtención del dominio de una función f: R→R
Se dijo anteriormente que el dominio de una función son los valores posibles de x (variable
independiente) y estos valores serán aquellos para los cuales la expresión y= ( )exista, es decir,
y= ( )este definida en los reales.
10. y=x½= √ 11. y= √
Existe si x ≥ 0 existe si, x +2 ≥ 0
Por lo que: por lo que: x ≥-2
D={x ϵR/ x ≥ D = {x ϵR/ x ≥ -2} = [-2, )
COCIENTE; TABULAR
16.
√
El cociente junto con el radical existe si :
2- x ˃ 0
2 ˃ x
X ˂ 2
DESPEJE
17.
√
El cociente junto con el radical existe si:
˃ 0
( )( )
La solución de esta desigualdad es:
( )⋃( )
Por lo que:
D = {x ϵR/ x ˂ } = ( ) ⋃( )
PROBLEMAS
EXPRESAR EL AREA DE UN CUADRADO EN FUNCION DE SU PERIMETRO
1)
PROBLEMAS Y
X
2) IDENTIFICADORES DE LAS VARIABLES
Y=Y=lados
A=área
P=perímetro
3) PREGUNTA
A(p)=?
4) PLANTEAMIENTO
4.1) Ecuación Primaria
A=x^2
A=(x)=x^2
4.2) Ecuación Secundaria
P= A(x)=x^2
P= 4X A(P)=(P/4)^2
P/4= X A(P)=P^2/16
X=P/4
LADO AL CUADRADO
LADOS
FUNCION INYECTIVA
Definición.
Una función →B ES INYECTIVA si y solo si se satisface la siguiente propiedad:
Si a ≠ b entonces ( )≠ ( )
Donde a y b son elementos del dominio
NOTA: Es decir una función inyectiva, ya que todas las parejas tienen segundo elemento diferente.
*( ) ( ) ( )+
Si es funcion inyectiva, ya que todas las parejas tienen segundo elemento diferente.
FUNCION SOBREYECTIVA
Definición
Una funcion →B ES SOBREYECTIVA si y solo si se satisface la siguiente propiedad.
Para toda b e B,existea e Atal que ( )
EJEMPLO:
42. Sea: → B, A ={x, y, z}
B = {a, b, c}
Y *( ) ( ) ( )+
Imagen = {a, b, c} = B
Si es función sobreyectiva.
FUNCION BIYECTIVA
Definición.
Una funcion → B es BIYECTIVAsi y solo si:
i) es inyectiva
ii) es sobreyectiva
sea → B, A = {x, y, z}
y *( ) ( ) ( )+
Es función biyectiva ya que es inyectiva y sobreyectiva
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Explicación de estructura del portafolio
Reflexión ( que le pasa a la juventud)
Participación cada estudiante creando la reflexión del tema
Introducción al tema
Analizamos descriptores
Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos
DESCRIPTORES ANALIZADOS
CRITERIO ; OBSERVACION
COCIENTE ; TABULAR
DESPEJE
PROBLEMAS
OBJETIVOS
DIBUJO
DATOS
AREA
PERIMETRO
LAZO
ANCHO
¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?
Tuve dificultas al entender el despeje cuando tratamos diferentes funciones y el resultado del
dominador no puede ser cero obtenemos valores que no son igual a la incógnita entonces tenemos que
utilizar el despeje adecuado y con ello encontrar su dominio e imagen.
¿POR QUÉ?
Es porque obtenemos valores que no son igual a la incógnita entonces tenemos que utilizar el despeje
adecuado y con ello encontrar su dominio e imagen o cual sería el metodo apropiado
¿QUÉ COSAS FUERON FACILES?
Tuve mayor facilidad al entender el método grafico para identificar las funciones inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas.
¿POR QUÉ?
Gracias a la facilitar al entender la explicacion del Ing. José Cevallos adquirí conocimientos que me son
de gran ayuda
REFLEXION
¿QUÉ APRENDÍ HOY?
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 3:
CONTENIDOS:
TIPOS DE FUNCIONES:
Función polinomial, Silva Laso, 920, Larson, 37
Función racional, Silva Laso, 949, Smith, 23
Funciones seccionadas, Silva Laso, 953
Función algebraica.
Funciones trigonométricas. Silva Laso, 598, 964, Smith, 33
Función exponencial, Silva Laso, 618, Smith, 41
Función inversa, Silva Laso, 1015
Función logarítmica: definición y propiedades, Silva laso, 618
Funciones trigonométricas inversa, J. Lara, 207, Smith, 454
Transformación de funciones: técnica de graficación rápida de funciones, Silva Laso, 973, Smith,
52
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 2 HORAS
FECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Trazar graficas de diferentes tipos de funciones
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Introducción al tema
Reflexión ( carta en el 2070)
Mi aportación ante la reflexión en la diapositiva titulada carta en el 2070 es que hay que
aprovechar valorar y no despreciar las cosas que ahora tenemos y no mal utilizarlas porque por
que se pueden dar decisiones y daños irremediables en este caso como ejemplo del agua , que
ahora mientras la utilizamos para lavar carros o regar en la calle para que no se levante el polvo
pues en un futuro sera tan difícil obtener el liquido vital a tal punto que existirán empresas que
separen el agua de la sal y el sueldo de los empleados sera a cambios de litros de agua.
Participación cada estudiante creando la reflexión del tema
Revisión de los portafolios
Aclaración de varios aspectos inconclusos del portafolio
Planteamiento de problemas (tipos de funciones)
Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos
CONTENIDOS
FUNCIÓN POLINOMIAL, Silva Laso, 920, Larson, 37
Una expresión de la forma
Donde n es un entero positivo, son números reales , es llamada
función polinomial de grado n
Ejemplo de funciones polinomiales
( )
( )
FUNCION LINEAL
Una función polinomial tiene una forma ( ) y su grafica es una lineal recta tal que:
m=es la pendiente o razón de cambio de y con respecto de x
b= es la intersección de la recta con el eje de las y o el valor de las y o el valor de y cuando el
valor de x es cero.
m=?
P(x,y) ; m Punto pendiente
(y-y`)=m(x-x`)
m=0 ( )
m=1 , b=0 f(x)=x
( )
+m
Función creciente
Función lineal sirve por ejemplo para un análisis económico
-m
FUNCIÓN DECRECIENTE
b
Las funciones de identidad pasan por el origen
FUNCIÓN CUADRATICA
Sea a, b y c números reales con a0
Es una función cuadrática y su grafica es una parábola
a)
Cuando a>0 va abierta hacia arriba ; a<0 abre hacia abajo c=b=0
FUNCION CUBICA
Sean a, b,c y d números reales con a0
La grafica de una función cubica puede tener una de las siguientes formas:
Tenemos que tener en claro las siguientes observaciones.
a) Si el coeficiente de x^3 es positivo entonces los valores de y empezaran desde menos infinito ,
o si el coeficiente x^3 de es negativo los valores de y empezaran desde más infinito
b) Intersección con el eje de las y , o valor al origen cuando x=0 .
Son los puntos de la función cubica donde se cruza el eje de las y, es decir , son aquellos
valores de y es decir , son aquellos valores de y cuando x=0
GRAFICAS DE TRASLACIONES
( )
( )
( )
FUNCION ALGEBRAICAS
PARTE DE LAS CONICAS
Graficas funciones que son parte de una parábola horizontal, si consideramos que la ecuación
Si a>0 , esta ecuación representa una parábola que se abre hacia la derecha con vértice el punto (b/a,0)
En la cual podemos observar que no es una función, ya que para cada valor de x permisible, se tienen
dos valores de la variable y.
Sin embargo en esta grafica consideramos solo los valores de y positivos tendremos una función cuya
ecuación es:
√ √
FUNCIONES QUE SON PARTE DE UNA CIRCUNFERENCIA
Si consideramos la ecuación que representa una circunferencia con su centro en el origen
y radio a.
Si en esta grafica consideramos solamente los valores de y positivos tendremos una función cuya
ecuación es √
Si consideramos los valores de y negativos tendremos una función cuya ecuación es √
GRAFCICAS QUE SON PARTE DE UNA HIPERBOLA
Si consideramos la ecuación de la hipérbola sabemos que es una hipérbola horizontal con
centro en el origen y vértices V(A,0) y V(-a,0).
Sin embargo, si en este grafica consideramos solo los valores de y positivos , tendremos una función
cuya ecuación es √ , y si consideramos los valores de y negativos también tendremos una
función cuya ecuación es √ .
FUNCION RACIONAL
La grafica de una función racional será la de su simplificación (considerando que se puede simplificar),
eliminando aquellos valores de x donde la función racional no está definida
Ejemplo
FUNCIONES SECCIONADAS
Son funciones que se grafican en un mismo plano
El dominio se a dividido en tres subconjuntos
Y en cada sección tenemos una función distinta, cuyas graficas son rectas al eje de las x.
FUNCION SECCIONADA
VALOR ABSOLUTO
La función valor absoluto expresada por y=|x, se define por
FUNCION ESCALON UNITARIO
( ) ( ) 0 si x<0
1 si x≥0
y=0 ; x<0 y=1 ; x≥0
x y x y
0 0 0 1
-1 0 1 1
-2 0 2 1
-3 0 3 1
-4 0 4 1
- 0 1
F(x)=|x+1| f(x)=|x|-2
1
F(x)=U(x)-5 f(x)=|x+5|-3
EJEMPLOS EN CLASE
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY( FECHA: 15-05-2012)
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
ACTIVIDADES
REFLEXION (AQUÍ ESTOY YO)
ESTUDIO Y ANALISIS DEL TEMA: FUNCIONES ALGEBRAICAS
CONTENIDO
FUNCION SIGNO
La función signo de x denotada por sgn(x) está definida por:
Su grafica es:
FUNCION ENTERO MAYOR
La expresión f [|x|] se define como el mayor entero que es menor o igual a x .
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
P= periodo = menor conjunto
L= amplitud = el valor que toma la imagen
0 ≤ x ≤ 2pi
Función seno
180 360
Función coseno
90 270
FUNCION TRIGONOMETRICA INVERSA
f(x)=arc Sen (x)
f(x)= x
-
FUNCION INVERSA
( )
1.1 ( )
( )
( ) ( )
( )
VERIFICACION POR IDENTIDAD
a) ( ( ))
b) ( ( ))
a) ( ( ))
( ( )) (
)
(
(
)
b) ( ( )) .
/ .
/
.
/ =
FUNCION LOGARITMICA EXPONENCIAL
( )
FUNCION COMPUESTA
Sea una función cuyo dominio e imagen son, respectivamente, una función cuyo dominio e
imagen son, respectivamente .
La FUNCION COMPUESTA de f con g ,denotada por fog, se define por :
(fog)(x)=f(g(x))
Que se lee f compuesta con g.
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY (FECHA: 15-05-2012)
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
reflexión (aquí estoy yo)
Mi aporte ante esta reflexión que se presento titulada “Aquí estoy yo” puedo sintetizarla con el
conocimiento de Dios que nos a dado y sin embargo nos olvidamos por momentos que él está a nuestro
lado siempre en buenas y malas , en buenos y malos actos el siempre está con nosotros esperando por
nosotros para con sus bendiciones cuidarnos y protegernos .
Dios fue nuestro creador del mundo y cada microscópica vida el cuida de ella por eso no tenemos que
sentirnos solos porque el siempre está a nuestro lado.
estudio y análisis del tema: funciones algebraicas
FUNCIONES DE ENTERO MAYOR
La expresión f [|x|] se define como el mayor entero que es menor o igual a x.
Funciones Trigonométricas
P= periodo = menor conjunto
L= amplitud = el valor que toma la imagen
0 ≤ x ≤ 2pi
Función Seno
180 360
Función Coseno
Función Trigonométrica inversa
f(x)=arcSen (x)
f(x)= x
-
Funciòn Inversa
( )
1.2 ( )
( )
( ) ( )
( )
¿QUE COSAS FUERON FACILES?
En esta de clase se hizo fácil entender las diferentes funciones sean de cualquier tipo ante la
visualización gráficamente denotando a cuál de ellas pertenece podría ser por sus características de
signos(+,-) para ver hacia que cuadrante del plano cartesiano corren y también los símbolos que para
cada uno de las funciones se utilizan en ello .
¿POR QUÉ?
REFLEXION
Porque para ver hacia que cuadrante del plano cartesiano corren y también los símbolos que para cada
uno de las funciones se utilizan en ello podemos tener las de valor absoluto en donde tenemos (|x|) o
las de función unitarias representadas por una U, o cuando tenemos las funciones que son de traslación
que se puede representar dos en la misma grafica (±).
¿QUE COSAS FUERON DIFICILES?
Cosas difíciles de entender las cuales no tengo claras son las funciones racionales y compuestas por su
complejidad en la parte analítica numérica y su representación grafica.
Función algebraica.
Funciones trigonométricas. Silva Laso, 598, 964, Smith, 33
Función exponencial, Silva Laso, 618, Smith, 41
Función inversa, Silva Laso, 1015
Función logarítmica: definición y propiedades, Silva laso, 618
Funciones trigonométricas inversa, J. Lara, 207, Smith, 454
Transformación de funciones: técnica de graficación rápida de funciones, Silva Laso, 973, Smith,
52
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo difícil entender las funciones racionales y compuestas ya que son bien complejas
pero con practica y dedicación podre resolver esta falta de conocimiento vpara poder resolver los
ejercicios de una manera clara
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº 4
CONTENIDOS:
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones,
Silva Laso, 994
Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68, Larson,
46
Límites indeterminados, Silva Laso, 1090
LIMITES UNILATERALES
Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
Límite lateral izquierdo
Límite bilateral
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Abril 29 del 2012
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
Definir operaciones con funciones.
Definir y calcular límites.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones.
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Introducción al tema
Reflexión ( nadie te ama como yo )
Mi reflexión ante esta diapositiva “nadie te ama como yo” trata del amor que Dios nos entrega
a diario en cada instante sin importar el momento ni las circunstancias por la que estemos
pasando en el siempre estará a nuestro lado y si las cosas no salen como nosotros queremos no
hay que preocuparnos él sabe como hace las cosa porque nadie nos ama como el por su vida
que entrego por nuestros pecados.
Participación del líder del grupo en conclusión del curso sobre la reflexión
Revisión de los portafolios
Planteamiento de problemas
CONTENIDOS
ALGEBRA DE FUNCIONES
Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar
Df,Dg,Df+Dg,Df-Dg,Dfg,Df/g.
f(x)=3x-5 g(x)= 2x+7
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
* + * +
=
FUNCION COMPUESTA
Sea una función cuyo dominio e imagen son, respectivamente, una función cuyo
dominio e imagen son, respectivamente .
La FUNCION COMPUESTA de f con g , denotada por fog, se define por :
(fog)(x)=f(g(x))
Que se lee f compuesta con g.
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
INDETERMINACION
0-0=
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
FUNCION CONTINUA
f(a)=existe
a)
b) f(a)
Si ( ) ( )
DISCONTINUA
TEOREMA DE UNICIDAD
DISCONTINUA
REMOVIBLE
DISCONTINUA
ESCENCIAL
NO EXISTA EXISTA
Es función cuando toca un punto cerrado si toca dos puntos no existe limite pero por el criterio
de unicidad si la hay .
¿QUE COSAS FUERON FACILES?
En este tema hablamos sobre los límites y sus teoremas siendo la parte fundamental para entrar con
bases al estudio del cálculo, aquí analizamos sus teoremas la cual son de apoyo para el desarrollo del
mismo poder llegar a su entendimiento es decir cuando el límite de una función tiende al infinito (∞+,
∞-)
¿POR QUÉ?
Porque en este tema analizamos sus teoremas lo cual es de apoyo para el desarrollo del mismo y poder
llegar a su entendimiento es decir cuando el límite de una función tiende al infinito (∞+, ∞-)
¿QUE COSAS SE ME HICIERON DIFICIL?
A manera que va avanzando el temas de limites se siente su complejidad para salir de la
indeterminación aplicando sus teoremas sin embargo cuando se intenta salir de su indeterminación
fuera de los modelos matemáticos se torna más fácil y se desempeña destreza en el tema
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo muy difícil entender las funciones continuas y discontinuas luego aplicando el
teorema de unicidad pero nada que un poco de practica pueda resolver.
¿QUÉ COSAS APRENDI HOY?
REFLEXION
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº 5
CONTENIDOS:
LIMITE INFINITO:
Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48
LIMTE AL INFINITO:
Definición, teoremas.
Limite infinito y al infinito, Smith, 95
ASÍNTOTAS:
Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97
Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
COMPETENCIA GENERAL:
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: MAYO 15 DEL 2012
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
Definición y cálculo de límites, trazado de asíntotas.
CONTENIDOS:
LIMITE INFINITO:
ASINTOTAS
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo
menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos,
una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta
determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o disminuyendo) constantemente
el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a estabilizarse, tendiendo a un número Real (que
es el límite). En el caso mostrado se observa cómo la función tiende a uno cuando x tiende a números
muy grandes y cuando tiende a un número muy pequeño (negativos, F(x) tiende a cero por los
negativos; por debajo del eje x).
DESARROLLO
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una
de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada
tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
ASÍNTOTAS VERTICALES
Si existe, se presenta en funciones racionales de la forma y corresponde
aquellos valores para los cuales se indetermina la función para cuando q(x) = 0 , o mediante la
interpretación del siguiente limite
Las asíntotas vert icales son rectas vert icales a las cuales la función se va acer cando
indefinidamente s in l legar nunca a cortar las.
Ejemplos
Función racional. Indeterminación K/0
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren
calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos
(menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o
unilaterales.
Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se
puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que
las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la
función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la
asíntota vertical.
Ejemplos
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asíntota oblicua por
la derecha.
En este caso, la asíntota oblicua por la derecha es la recta de ecuación
donde
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asíntota oblicua por
la izquierda.
En este caso, la asíntota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación
donde
Pueden darse los siguientes casos:
1. 1. No existe ninguna asíntota oblicua.
1. 2. Existe una unica asíntota oblicua por la derecha pero no existe asíntota
oblicua por la izquierda.
1. 3. Existe una unica asíntota oblicua por la izquierda pero no existe asíntota
oblicua por la derecha.
1. 4. Existen dos asíntotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.
En este ultimo caso, las asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir,
pero, en general, no tienen porque coincider.
Si por la derecha ( izquierda ) existe asíntota horizontal, no existe asíntota
oblicua por la derecha ( izquierda ) y viceversa.
Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asíntotas horizontal y oblicua por la
derecha ( izquierda ).
[editar] Ejemplo 1
Gráfica de una función con asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.
[editar] Ejemplo 2
Sea
Como
La función tiene una asíntota oblicua por la derecha de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la derecha es
Como
La función tiene una asíntota oblicua por la izquierda de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la izquierda es tambien
En este ejemplo, las asíntotas oblicuas por la izquierda y por la derecha coinciden.
¿QUE COSAS FUERON FÀCILES?
Esta reflexión se trata sobre límites en el cual se aplica una variedad de teoremas como hemos visto en
casos anteriores en el cual se ve cuando el límite de x tiende al +∞
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo fácil de entender y más en los tipos de asíntotas porque aplicando la destreza de
reconocer sus graficas hay facilidad
¿QUE COSAS FUERON DIFÌCILES?
El tema en fue un poco complicado pero después con la ayuda del Ing. José Cevallos el cual nos enseña
de una manera clara y precisa y con la ayuda de la practica fui mejorando mis conocimientos.
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo difícil ya que el tema es complicado pero poniendo atención y practicando se puede
aclarar las dudas
REFLEXION
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
Asíntota Horizontal Asíntota Vertical Asíntota Oblicua
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº6
LÍMITES TRIGONOMETRICOS:
Límite trigonométrico fundamental, Silva Laso, 1082, Larson, 48
Teoremas.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:
Definición, Silva Laso, 1109
Criterios de continuidad.
Discontinuidad removible y esencial.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y calcular límites trigonométricos.
Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 22 de mayo-jueves, 24 de mayo del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y
discontinuidad de funciones aplicando criterios.
CONTENIDOS:
LIMITE TRIGONOMETRICO
( )
√
=
√
= √ √
=
√
APLICANDO TEOREMAS
√
)
√
√
√
√
√
√ √
1.2) LIMITES APLICANDO A UN RADICAL
√
)
√ ,
- 0
1
( )
,
-
( )
)
√ ( )
( )
√
FUNCION CONTINUA
NOTA:
Debe cumplir que la función exista y el límite exista
1) X=1 2) X=-2 3) X=0
f (2)=3 f(-2)=2 f(0)=2
( )
( )
( )
F(2)≠ ( ) f(-2) ≠ ( ) f(0)= ( )
¿QUÉ COSAS FUERON FÁCILES?
En este tema entendí y comprendí los límites y su aplicación en especial sus teoremas resolviendo los
ejercicios varias veces para manejar los teoremas a facilidad
Eh llegado asi a definir y calcular limites trigonométricos eh aquí un ejemplo
√
√
√ √
√
REMOVIBLE CUANDO EL
LIMITE EXISTA
ESCENCIAL CUANDO NO
ES REMOVIBLE
F. DISCONTINUA FUNCION ESCENCIAL FUNCION
CONTINUA
REFLEXION
¿POR QUÉ?
Porque al principio lo más adecuado es resolverlo sin teoremas para luego aplicarlos y asi estar seguro
de su respuesta
Por ejemplo:
√
√
√ √
√
¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?
Se me hizo muy difícil de entender la demostración de continuidad y discontinuidad de funciones
aplicando criterios.
¿POR QUÉ?
Porque la demostración de continuidad y discontinuidad de funciones aplicando criterios es muy
complicada pero practicando se puede resolver esa dificultad.
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
√
√
√ √
√
√
)
√
√
√
√
√
√ √
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº7
CONTENIDOS:
CALCULO DIFERENCIAL.
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:
Definiciones, Silva laso, 1125, Smith, 126, Larson, 106
DERIVADA:
Definición de la derivada en un punto, Smith, 135
Interpretación geométrica de la derivada.
La derivada de una función.
Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139
Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.
Definir la derivada de una función.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: 12 JUNIO DEL 2012
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en
diferentes tipos de funciones.
CONTENIDOS
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
La pendiente de la recta tangente en el punto de la curva f(x) lo representamos asi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
La derivada definición ( )
( ) ( )
MODELOS MATEMATICOS
1. y
( )
2. y ;
( )
3. y ;
( )
4. y ;
5. ;
6. y
7. y
⁄
8. y √
√
, √
-
9. y
Funciones Trigonométricas
10. y
11. y
12. y
13. y
14. y
15. y
Aplicación
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
.
/
( ⁄ )
( ) , -
( )
¿QUE COSAS FUERON FACILES?
Ejercicios resueltos en clase fue de la manera que pude entenderlos
.
/
( )
( )
( ) √
(√ )
√
( )
( ) ( )
√
√
( )
( )
(√ )
√
( )
√
,√
-
REFLEXIONES
¿POR QUÉ?
Porque gracias a los ejercicios realizados en clase pude entender y aclarar dudas para asi poder llegar a
realizar los ejercicios sin dificultad alguna
¿QUE COSAS FUERON DIFICILES?
No logre entender la aplicación de los teoremas en las funciones trigonométricas de derivadas
tengo problemas al aplicarlas suele haber confusión.
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
En esta clase aprendí el uso adecuado de los modelos matemáticos para obtener el resultado
adecuado
MODELOS MATEMATICOS
16. y
( )
17. y ;
( )
18. y ;
( )
19. y ;
20. ;
21. y
22. y
⁄
23. y √
√
, √
-
24. y
¿POR QUÉ?
Porque gracias a la demostración de el uso adecuado de los modelos matemáticos se obtiene el
resultado adecuado
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
ARTICULO DE REVISTA#1
Socioepistemología y prácticas sociales. Hacia una
enseñanza dinámica del cálculo diferencial
Alberto Camacho-Ríos
Esta investigación busca dinamizar la enseñanza de algunos conceptos del cálculo diferencial, a
fin de mejorar su comprensión. La dinamización que se plantea se hizo a través de reconocer
actividades de la topografía desarrolladas en diferentes épocas, concebidas en el escrito como
prácticas de referencia. La acción de incorporar ese tipo de prácticas en la enseñanza matemática, se
hace necesaria en la aproximación teórica conocida como Socioepistemología, por la falta de modelos
más organizados que lleven a los estudiantes a un establecimiento efectivo del conocimiento a
través de su re significación. Como ejemplo del trabajo experimentado con estudiantes, se expone el
uso de la anticipación como práctica social que regula la actividad escolar de dos casos relacionados con
la razón trigonométrica seno, que se plantean en el escrito.
Reflexión:
Esta es una excelente investigación ya que busca dinamizar la enseñanza de algunos conceptos de
calculo con la finalidad de mejorar su comprensión para obtener excelentes conocimientos para obtener
un resultado sastifactorio a la hora de resolver ejercicios sobre el tema calculo diferencial. La
dinamización que se plantea se hizo a través de reconocer actividades de la topografía desarrolladas en
diferentes épocas, concebidas en el escrito como prácticas de referencia. La acción de incorporar ese
tipo de prácticas en la enseñanza matemática, se hace necesaria en la aproximación teórica conocida
como Socioepistemología, por la falta de modelos más organizados que lleven a los estudiantes a un
establecimiento efectivo del conocimiento a través de su re significación
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
ARTICULO DE REVISTA#2
Diseñe su interfaz gráfica con Matlab
Las aplicaciones de carácter científico o tecnológico cuentan, para su desarrollo, con el apoyo de
una poderosa herramienta de cálculo numérico, que permite abordar problemas que demanden
variada y compleja manipulación matemática de manera eficiente y con ayudas gráficas. Su
diseño funcional le permite usar con facilidad toda la gama de comandos en forma interactiva, o
en modo programas que han sido implementados como parte del lenguaje, o los nuevos comandos
implementados por el usuario. Problemas tradicionales, relativos al manejo de matrices o álgebra
lineal, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, raíces de funciones, solución de
sistemas de ecuaciones, etc., hasta algunos más especializados como el procesamiento digital de
señales, redes neuronales, filtros, pueden ser tratados con este lenguaje. Con el presente artículo
se desea difundir el uso de interfaces gráficas que provee Matlab, para hacer más modernas,
presentables y manejables aplicaciones de ingeniería que con otras herramientas podrían resultar
más complicadas y engorrosas.
Indexada en:
e-Revistas
Portal donde se muestran las revistas electrónicas españolas y
latinoamericanas de acceso abierto (Open Access). Fue creado
en España.
Redalyc
REDALYC es la Red de Revistas Científicas de América. Latina y el
Caribe, España y Portugal, auspiciada por la. Universidad
Autónoma del Estado de México.
Reflexión:
En este articulo nos trata de dar soluciones y guiarnos para diseñar su interfaz grafica con Matlab
Las aplicaciones de carácter científico o tecnológico cuentan, para su desarrollo, con el apoyo de
una poderosa herramienta de cálculo numérico, que permite abordar problemas que demanden
variada y compleja manipulación matemática de manera eficiente y con ayudas gráficas. Su
diseño funcional le permite usar con facilidad toda la gama de comandos en forma interactiva, o
en modo programas que han sido implementados como parte del lenguaje, o los nuevos comandos
implementados por el usuario. Problemas tradicionales, relativos al manejo de matrices o álgebra
lineal, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, raíces de funciones, solución de
sistemas de ecuaciones, etc.,
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
TALLER Nº 1 UNIDAD 1Y2
RESULTADO DE APRENDIZAJE:
1) Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de ejercicios,
aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico: Aplicación)
2) Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por medio gráfico
a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de continuidad de funciones y las
conclusiones finales si no fuera continua(Nivel Taxonómico: Aplicación)
3) Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios mediante
teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico: Aplicación)
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
TRABAJO DE EJECUCIÓN
TALLER #2
UNIDAD I Y II
RESULTADO DE APRENDIZAJE:
1) Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de
ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico:
Aplicación)
2) Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por
medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de
continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel
Taxonómico: Aplicación)
3) Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios
mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico:
Aplicación)
TALLER No 4
UNIDAD I Y II
RESULTADO DE APRENDIZAJE:
A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de
ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico:
Aplicación)
B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por
medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de
continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel
Taxonómico: Aplicación)
C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios
mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico:
Aplicación)
UNIDAD I Y II
TALLER Nº 6
RESULTADO DE APRENDIZAJE:
A. Determinar el dominio, rango y gráficas de funciones en los reales a través de
ejercicios, aplicando las técnicas respectivas para cada caso (Nivel Taxonómico:
Aplicación)
B. Demostrar la existencia de límites y continuidad de funciones en los reales por
medio gráfico a través de ejercicios participativos aplicando los criterios de
continuidad de funciones y las conclusiones finales si no fuera continua(Nivel
Taxonómico: Aplicación)
C. Determinar al procesar los límites de funciones en los reales a través de ejercicios
mediante teoremas, reglas básicas establecidas y asíntotas (Nivel Taxonómico:
Aplicación)
TALLER Nº2
UNIDAD III Y IV
RESULTADO DE APRENDIZAJE
A. Determinar la derivada de los diferentes tipos de funciones en los reales a través de
ejercicios mediante los teoremas y reglas de derivación acertadamente(Nivel
Taxonómico: Aplicación)
B. Determinar los máximos y mínimos, de funciones en los reales en el estudio de
gráficas y problemas de optimización a través de los criterios respectivos (Nivel
Taxonómico: Aplicación)
COMPETENCIA: Fortalecer el aprendizaje de los teoremas de derivación interactuando
en equipos con ética y responsabilidad para poder ser aplicadas posteriormente en
problemas máximo y mínimos.
TAREA#1
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
SECCION ABIERTA
Hoy miércoles 09-mayo-2012 nos hemos reunidos William , Ronny y Adrián en la casa del sr William
castro ubicada cerca de la fundación, para diseñar y estructurar el portafolio de cálculo diferencial
tratando de utilizar un método investigativo utilizando el internet como principal material de apoyo y así
transformar nuestro aprendizaje con compañerismo y camaradería compartiendo ideas para así llegar al
máximo nivel de entendimiento y aprendizaje de cálculo diferencial de Facultad de Ciencias Informáticas
de la Universidad Técnica de Manabí
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
RESUMEN DE CIERRE
Durante este trimestre de cálculo diferencial eh podido adquirir destrezas en temas generalas como:
Destrezas de rápida graficación entrando en sistema de análisis critico
Destrezas para reconocer cuando una grafica es una función o relación
Destrezas en resolver múltiples tipos de funciones
Aplicando todas estas destrezas eh podido ya tener bases para entrar al cálculo en su principal
tema que son los limites
Eh enriquecido mas mi conocimiento en la aplicación de modelos matemáticos
Destreza en la aplicación de teoremas para resolver las derivadas que creciendo su complejidad
a corto plazo eh podido entender los procesos para llegar un resultado.
Estas destrezas y conocimientos adquiridos durante este trimestre sirven de mucho para mi desempeño
como un estudiante aceptable de promedio y asi poder cursar sin dificultades o falencias en el mismo.
De los trabajos asignados en el curso, las presentaciones orales en la que se han trabajado en la pizarra
y mas aun utilizando software informático como material de apoyo y desenvolvimiento mental y
académico fueron de gran ayuda para mejorar en forma continua la comunicación efectiva frente a los
otros equipos.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
ITEMS A EVALUAR 1 2 3 4 5
CONTENIDO COMPLETOS DEL MITAD DE CICLO: CLASES
UNIDAD I. ANALISIS DE FUNCIONES
UNIDAD II. APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITES
UNIDAD III.CÁLCULO DIFERENCIAL, PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
CONTENIDO COMPLETOS DE FIN DE CICLO: CLASES
UNIDAD IV.APLICACIÓN DE LA DERIVADA
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL: INTEGRALES INDEFINIDAS
CONSULTAS:MITAD DE CICLO, FINAL DE CICLO
PREGUNTAS Y RESPUESTAS GENERADAS POR EL ESTUDIANTE
TAREAS: MITAD DE CICLO, FINAL DE CICLO
EXAMENES DE MITAD DE CICLO Y FINAL DE CICLO
CONCLUSIONES Y REOMENDACIONES DEL PROCESO DEL PORTAFOLIO
ARCHIVO LOGICO DE LOS DOCUMENTOS DE APOYO
PREPARACIÓN DEL INFORME
MATERIAL PRESENTADO COMO INTERESANTE
UTILIZACIÓN DE AYUDA VISUALES CON EFICACIA
MOSTRAR EL MATERIAL AL PÚBLICO
DIJO LA PRESENTACIÓN
HABLO DESPACIO Y CONTROLADO
SE ESCUCHO
CALIFICACION FINAL:
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
ANEXO #1
LECCION # 1
ENSAYO #1
Ahora usando variables podemos decir queL es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima
a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo
expresamos algebráicamente como sigue
Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(x) se hace más y más cercana cuando x se
aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.
Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante,
porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una
función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto
más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega
realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de
acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de
que nunca llegará allí. Así que podemos decir
ARGUMENTACION
1.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una
función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado
valor. En cálculo (especialmente en análisis real y análisis matemático) este concepto se utiliza
para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,
integración, entre otros.
1.2. TEOREMA DE UNICIDAD
Si ( ) ( )
Entonces L1=L2.
OBSERVACIONES:
a) El teorema de unicidad de limite garantiza que si el límite de ( ) existe este debe ser u
único valor.
b) El concepto del límite nos indica el valor al que se aproxima la función ( ), cuando x se
aproxima a “a” y este valor en algunas ocasiones coincide con el valor de ( ), es decir, el
límite de ( ) cuando se aproxima a “a” no tiene que ser necesariamente ( ).
1.3. LIMITES UNILATERALES
Sea una función que esta definida en todos los números de algún intervalo abierto (a,c).
Entonces el LÍMITE DE ( ) CUANDO x SE APROXIMA A a POR LA DERECHA es L y se denota por:
Si para todo ϵ > 0, existe δ > 0 tal que:
( ) ׀ ׀
2. TEOREMAS DE LÍMITES
3.LÍMITES ESPECIALES
Sobre límites especiales se estudiaran los siguientes casos:
EL LIMITE ES INDETERMINADO CUANDO X SE APROXIMA A “A”
EL LIMITE ES L CUANDO X SE APROXIMA A ±
EL LIMITE ES ± CUANDO SE X APROXIMA A ±
LÍMITES INFINITOS
Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezca o
decrezca pero sin dejar atras la definicion de limite entonces en conclusion se podría determinar que la
función se acercaría al limite por un infinito de números pero nunca tocando el limite
DEFINICIÓN 1
Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto (a,+∞). El limite de f(x)
cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:
DEFINICIÓN 2
Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x)
cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como
Teorema
Sea n cualquier entero positivo, entonces
Ejemplo:
Consideremos la función definida como 2
1)(
xxf
, considérese los valores de f(x), cuando
x tiende hacia 2 por la izquierda (2- ) y por la derecha (2+).
Cuando x por la izquierda, toma valores cada vez más cercanos a 2 pero siempre menores a 2, el valor f (x) que se genera se proyectara al -∞.
X 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 ……..2
F (x) -2 -4 -10 -100 -1000
……..-∞
Cuando x por la derecha, toma valores cada vez mas cercanos a 2 pero nunca iguales a 2, el valor f (x) que se genera se proyectara al +∞.
La representación grafica la podemos ver a continuación.
Así tenemos que:
2
1lim
2 xx y
2
1lim
2 xx.
Cuando la función es negativa como 2
1)(
xxf
tenemos que el límite varia, así:
2
1lim
2 xx y
X 3 2.5 2.1 2.01 2.001 ……..2
F (x) 1 2 10 100 1000 ……..+∞
Límites al infinito
Se trata ahora de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca
una sucesión según vamos avanzando términos. Usaremos un ejemplo muy ilustrativo para
introducir esta. Considérese la siguiente sucesión:
Si escribimos algunos términos, nos haremos rápidamente una idea de hacia qué valor real se
acercan los mismos:
podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de
esperar que, de existir realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da
una idea intuitiva de lo que significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es,
aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos
avanzando sobre la misma.
Con la sucesión anterior, podemos escribir , y de hecho, nos podemos tomar la
siguiente licencia:
.
Dar una prueba para esta igualdad es algo complicado, pero podemos ilustrarlo con el
siguiente ejemplo:
Supongamos que disponemos de una barra de pan y con ella debemos alimentar a toda la
población de China. La pregunta es cuánto pan corresponde a cada persona.
Si tenemos en cuenta la cantidad de chinos que hay, habremos de realizar fracciones muy
microscópicas de pan, porciones casi moleculares que en ningún caso supondrán alimento
alguno, por lo que podemos decir que a cada chino le toca cero pan. La idea es que al dividir
una cantidad por otra inmensamente mayor, el resultado es inmensamente diminuto; por lo que
dividir una cantidad por infinito, que vendría a ser el mayor de todos los valores, nos da el
menor de todos ellos, que es cero.
Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas igualdades que
implican a infinito. Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un
concepto. Nos referimos a infinito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero
mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones:
,
,
,
Ejemplo:
Consideremos la función definida como 2
1)(
xxf
, considérese los valores de f(x), cuando
x tiende hacia el menos infinito y hacia el más infinito.
Cuando x tiende al + infinito, es decir que toma valores cada vez mas grandes, el valor f (x) que se genera se acercara cada vez mas a cero, este comportamiento se observa a continuación.
X 2.01 2.5 10 100 1000 ……+∞
F (x) 100 2 0.125 0.010 0.0001 ……..0
Gráficamente:
Cuando x tiende al – infinito, es decir que toma valores cada vez más pequeños, el valor f (x) que se genera se acercara cada vez más a cero.
X 1.99 1.5 -10 -100 -1000 ……-∞
F (x) 100 -2 -0.08 0.0098 0.0001 ……..0
Gráficamente:
Por ello se usa este método para hallar asintotas horizontales.
Básicamente los límites que tienden al infinito son aquellos que nos da como resultado un
valor real, para calcular este tipo de límites, no podemos hacerlo directamente, debemos
ciertos criterios, como:
1. Si la expresión no es racional como bmxxf )( , llevarla a la forma requerida
)(
)()(
xg
xhxf
, aplicando el conocimiento del álgebra. 2. Dividir cada término que conforma la expresión, por la variable de mayor exponente. 3. Si la variable esta afectada por un radical, hacer la división por dicha variable,
conservando el signo radical. 4. Si la variable esta afectada por un radical de índice par y x tiende al menos infinito (-
∞), considérese lo siguiente:
.""0,
0,parnsiendo
xsix
xsixxn n
5. Reemplazar el termino infinito (∞) en toda variable “x” y resolver las operaciones considerando el cuadro de límites que se incluyen en el anexo.
LIMITE INFINITOS QUE TIENDEN AL INFINITO.
DEFINICIÓN.
En una función f, diremos que f(x) crece o decrece sin limites a medida que x tiende al mas o
menos infinito, si para valores cada vez mayores o menores de x corresponden valores cada
mayores o menores de la imagen f(x), lo que se traduce en el lenguaje matemático así:
)(lim xfx
A diferencia de los casos anteriores, este tipo de límites si se aplica a las funciones no
racionales, para observar su comportamiento cuando crece o decrece.
EJEMPLO:
Consideremos como ejemplo grafico a la función f(x) = x + 5; a medida que x tome valores cada
vez más grandes, es decir, cuando tienda al más infinito, f(x) también crecerá hacia el más
infinito, lo que se denota así:
5lim xx , y es lo que se ve en el cuadro siguiente.
X 0 2 4 8 16 …….+∞
F (x) 5 7 9 13 21 …….+∞
GRÁFICAMENTE:
De igual forma, cuando x tome valores cada vez más pequeños, f(x) tomara también valores
cada vez menores, lo que se escribe como:
)(lim xfx , y lo podemos ver en el
cuadro siguiente.
GRÁFICAMENTE:
Si consideramos la misma función con signo negativo )5()( xxf , tendremos que:
X 0 -2 -4 -8 -16 …….-∞
F (x) 5 3 1 -3 -11 …….-∞
)(lim xfx Y
)(lim xfx
BIBLIOGRAFIA http://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/L%C3%ADmites#Definic
i.C3.B3n_formal_de_l.C3.ADmite
http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Limites/FTIntroduccion.pdf
CONCLUSIÓN
Límites: El límite de una función es un caso de límite aplicado a las funciones.Una función f
tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se
desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra
en c.
Funciones de variable real Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal
que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca
como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.
ENSAYO #2
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
FECHA: 31-05-2012
MATERIA: Calculo Diferencial
DOCENTE: Ing. José Cevallos S.
ESTUDIANTE: William Alberto Castro León
TITULO DEL ENSAYO: Los limites y su aplicación en las asíntotas, técnicas para graficar
asíntotas.
INTRODUCCION
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo
menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos,
una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta
determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o disminuyendo) constantemente
el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a estabilizarse, tendiendo a un número Real (que
es el límite). En el caso mostrado se observa cómo la función tiende a uno cuando x tiende a números
muy grandes y cuando tiende a un número muy pequeño (negativos, F(x) tiende a cero por los
negativos; por debajo del eje x).
DESARROLLO
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una
de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada
tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
ASÍNTOTAS VERTICALES
Si existe, se presenta en funciones racionales de la forma y corresponde
aquellos valores para los cuales se indetermina la función para cuando q(x) = 0 , o mediante la
interpretación del siguiente limite
Las asíntotas vert icales son rectas vert icales a las cuales la función se va acercando
indefinidamente s in l legar nunca a cortar las.
Ejemplos
Función racional. Indeterminación K/0
Función logarítmica
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren
calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos
(menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o
unilaterales.
Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se
puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que
las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la
función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la
asíntota vertical.
Ejemplos
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asíntota oblicua por
la derecha.
En este caso, la asíntota oblicua por la derecha es la recta de ecuación
donde
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asíntota oblicua por
la izquierda.
En este caso, la asíntota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación
donde
Pueden darse los siguientes casos:
1. 1. No existe ninguna asíntota oblicua.
1. 2. Existe una unica asíntota oblicua por la derecha pero no existe asíntota
oblicua por la izquierda.
1. 3. Existe una unica asíntota oblicua por la izquierda pero no existe asíntota
oblicua por la derecha.
1. 4. Existen dos asíntotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.
En este ultimo caso, las asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir,
pero, en general, no tienen porque coincider.
Si por la derecha ( izquierda ) existe asíntota horizontal, no existe asíntota
oblicua por la derecha ( izquierda ) y viceversa.
Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asíntotas horizontal y oblicua por la
derecha ( izquierda ).
[editar] Ejemplo 1
Gráfica de una función con asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.
[editar] Ejemplo 2
Sea
Como
La función tiene una asíntota oblicua por la derecha de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la derecha es
Como
La función tiene una asíntota oblicua por la izquierda de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la izquierda es tambien
En este ejemplo, las asíntotas oblicuas por la izquierda y por la derecha coinciden.
1A) Grado del numerador menor al grado del denominador
La gráfica de la función tiene una
asíntota horizontal en y = 0.
Si analiza uno un poco el límite
calculado, se da uno cuenta que existe
una diferencia entre el límite hacia oo y
el de -oo.
Si se calcula el límite cuando x tiende
hacia oo, se divide entre un número
muy grande positivo, lo cual nos lleva a
la conclusión, que se acerca uno a cero,
por los valores positivos.
Si se calcula el límite cuando x tiende
hacia -oo, se divide entre un número
negativo muy grande, y la división
tiende a cero, pero por valores
negativos.
Estas dos observaciones son de gran
importancia, ya que nos pueden dar
información de por dónde se acerca la
curva a la asíntota horizontal.
En el caso "x tiende a oo", se acerca por
arriba.
En el caso "x tiende a -oo", se acerca por
abajo.
OJO: Analícese la siguiente función,
que cruza la asíntota horizontal, para
poder acercarse a la asíntota por arriba
viniendo de abajo.
TÉCNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS
La función tiende a 0 cuando x tiende a
valores muy grandes o muy negativos.
Cabe mencionar, que cuando x tiende a
valores muy grandes la función tiende a
cero pero manifestando valores
positivos. Esto implica, que se acerca a
la asíntota horizontal por arriba.
Por otro lado, si x tiende a valores muy
negativos, la función tiende a cero, pero
por valores negativos, lo cual nos
indicaría, que se acerca a la asíntota
horizontal por abajo.
Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL
en y = 0
En la gráfica se alcanza a distinguir, que
del lado derecho, la función va por
encima del eje "x", en cambio del lado
izquierdo, se acerca por abajo.
OJO: Esto tiene implicaciones serias
para la función. Después de cruzar la
asíntota horizontal, debe tener un
máximo y un punto de inflexión, ya que
de otra manera no podría acercarse a la
asíntota horizontal en y = 0
La función tiene una asíntota horizontal
en
y = 0
Los dos límites tienden a cero, si
hacemos el estudio, como en el primer
problema, vemos que los dos límites se
acercan a cero por arriba. (Ver gráfica)
1B) Grado del numerador igual al grado del denominador
Asíntota horizontal en
y = 3
Haciendo la división de polinomios, se
llega a:
, y se puede deducir,
que la parte fraccionaria:
Suma una cierta cantidad al 3, cuando x
tiende a oo, aunque siempre más
pequeña.
Resta una cierta cantidad al 3, cuando x
tuende a -oo, aunque cada vez más
cercana a cero.
Si suma una cierta cantidad, se acerca al
3 por valores mayores que el 3, o sea,
por arriba.
Si resta cierta cantidad, se acerca al 3
por valores menores que el 3, por lo
tanto, se acerca a la asíntota por abajo.
OJO: A veces las gráficas pueden ser
un poco engañosas, ya que la escala es
reducida y no se alcanza a distinguir
bien. Por lo tanto se puede hacer
un análisis de cruce con las asíntotas
horizontales.
Tiene una asíntota horizontal en y = 2
A la hora de hacer uan división de
polinomios, se obtiene una parte
entera, que es 2, misma que es la
asíntota horizontal.(Esto se debe a que
los grados del numerador y
denominador, son iguales)
Cabe hacer un análisis de la
importancia de los coeficientes de los
términos de mayor grado tanto en el
numerador como en el denominador.
Nótese que conforme el grado del
numerador y el grado del denominador
crece, las gráficas son más complejas. Esta
gráfica presenta dos asíntotas verticales,
una horizontal y dos intersecciones con los
ejes.
Funciones no racionales con asíntotas horizontales
La función exponencial:
, tiene una asíntota
horizontal unilateral, sólo cuando x
tiende a infinito, ya que su límite es 2.
Por lo tanto la recta y = 2 es la asíntota
horizontal. La gráfica de la función se
acerca a la recta y=2, por abajo, ya que
siempre se va a restar una cantidad al 2
conforme crezca x.
Al calcular los límites hacia más y menos
infinito, se puede ver, que no son iguales,
que uno tiende a 2 y el otro a menos
infinito.
, este primer límite
nos dice que hay una asíntota horizontal
unilateral, sólo hacia la derecha de la
función.
, este límite nos
indica, que la función no tiene asíntota
horizontal hacia la izquierda, que la
función decrece rápidamente. No hay que
confundir este hecho con el de una asíntota
vertical, ya que la función no la tiene. No
hay valor para el cual la función no esté
definida.
SIGUIENTE HOJA
La función:
, presenta una asíntota
horizontal hacia ambos lados de la
función.
Esto se debe a que los límites de la
función cuando x tiende a más o menos
infinito, los dos son cero. Por lo tanto la
asíntota horizontal se encuentra en y =
0, o sea, el eje "x".
El límite cuando x tiende a más infinito,
es:
El límite cuando x tiende a menos
infinito, es:
Nótese que la función aparte de tener una
asíntota horizontal presenta un máximo y
además dos puntos de inflexión, sin los
cuales no se podría acercar
asintóticamente al eje "x".
La función logarítmica
, tiene, aparte de varias
peculiaridades, que habría que analizar
posteriormente, una asíntota hrizontal
unilateral en y = 0, o sea, el eje "x"
funciona con asíntota.
Este límite nos dice, que existe esa
asíntota horizontal.
Es evidente, que x no puede tender hacia
menos infinito, ya que el ln de números
negativos no existe.Así también queda
claro, que la función no está definida para
ningín valor negativo de x. Tampoco está
definida para x = 0. Sólo se puede calcular
el límite cuando x tiende a o por la derecha:
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
CONCLUSIÓN
La conclusion de este ensayo que esta enfocado en las técnicas para graficar las
asíntotas porque es donde se practica diversas técnicas basadas en la teoría para asi
mejorar los conocimientos adquiridos en clase y mejorando la eficiencia a la hora de
aplicar todos los conocimientos adquiridos.
BIBLIOGRAFIA
http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/ahorizontales.html
http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/ahorizontales.html
http://www.educared.org/wikiEducared/Asintotas.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/06asintota-horizontal.htm
DEBER#1
DEBER Nº2
FECHA: 22-05-2012 UTILIZANDO EL APOYO AL ESTUDIANTE REALIZAR 2 EJERCICIOS DE CADA UNA DE
LAS SIGUIENTES FUNCIONES DEL LIBRO DE SILVA LASSO:
ALGEBRA DE FUNCIONES
FUNCION COMPUESTA
FUNCION INVERSA
ALGEBRA DE FUNCIONES
Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar
Df,Dg,Df+Dg,Df-Dg,Dfg,Df/g.
f(x)=3x-5 g(x)= 2x+7
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
* + * +
=
l) ( ) √ ( ) √
( ) ( ) √ √
( ) ( ) √ √
( ) ( ) √ √
( )
( ) √
√
( - , ) , -
, -
( )
FUNCION COMPUESTA
PARA CADA PAR DE FUNCIONES, ENCONTRAR (fog) (x), (gof) (x), (fof) (x), (gog) (x).
a) ( ) ) ( )
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( )
FUNCI0N INVERSA
m)
( )
( ) *( )
+
( ) * ( )
+
DEBER #3
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DEFENDIENDO EL TALLER #6 TEMA DERIVADAS
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
BIBLIOGRAFIA
CALCULO DIFERENCIAL
BIBLIOGRAFIA DADA.
SILVA Juan Manuel, LAZO Adriana, Análisis Matemático. 2006. Limusa Noriega.
LARSON-HOSTETLER EDWARDS, Cálculo con Geometría Analítica. Tomo 1, octava edición.
Mc Graww Hill 2006.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
LEITHOLD, Luis. Cálculo con Geometría Analítica. 2da. edición. Editorial Harla. México.
STEWART, James. (1998). Cálculo de una variable. 3ra edición. International Thomson Editores. México.
THOMAS, George y FINNEY, Ross.(1987). Cálculo, Volumen 2. 6ta edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. EUA.
GRANVILLE, Williams. Cálculo diferencial e integral. LARA, Jorge y ARROBA, Jorge (2002). Análisis Matemático. Centro de
Matemáticas de la Universidad Central. Ecuador.
PRADO Carlos, AGUILAR Gerardo, PULIDO Javier. QUEZADA Lourdes,
ZUÑIGA Leopoldo, GÓMEZ JOSÉ LUÍS, GONZÁLES Andrés, SANTIAGO
Rubén Darío. Calculo Diferencial para ingeniería.
PÉREZ LÓPEZ CÉSAR. Matlab. y sus aplicaciones en las ciencias y la
ingeniería.
www.matemáticas.com
CD. Interactivo. portafolio
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