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“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
HUANCAVELICA
CATEDRÁTICO : Ing. Judith, MARTINEZ QUISPE.
CÁTEDRA : Mecánica de Suelos II.
ESTUDIANTES : BEDOYA ESPINOZA, Jorge Luis
CONDORI DUEÑAS, Edison
CCOYLLAR URRUCHI, Engels Vladimir
MERINO ORTIZ, Rodrigo
TELLO LAURA, Ciro Robinson
CICLO : VI
SECCIÓN : “B”
Huancavelica – Perú 2013
DESARROLLO DEL CALCULO DE COEFICIENTE DE
CONSOLIDACION, DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE TAYLOR
FACULTAD De CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA
TEMA:
Universidad Nacional de Huancavelica - Ing. Civil-Hvca
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A nuestros padres por su apoyo incondicional.
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ÍNDICE RESUMEN ................................................................................................................................ 4
INTRODUCCION ...................................................................................................................... 5
DESARROLLO DE CALCULO DE COEFICIENTE DE CONSOLIDACION ........................................ 6
I. Conceptos previos: ..................................................................................................... 6
Analogía mecánica de Terzaghi: ...................................................................................... 6
1. Ecuación diferencial de la consolidación unidimensional .................................. 8
2. Solución de la ecuación de la consolidación unidimensional ........................... 15
3. Factores que influyen en el tiempo de consolidación ....................................... 28
4. Comparación entre la curva de consolidación teórica y las reales obtenidas en
el laboratorio ................................................................................................................ 31
5. Determinación del coeficiente de permeabilidad a partir de los datos de una
prueba de consolidación ............................................................................................. 34
6. Asentamiento total primario de un estrato arcilloso sujeto a consolidación y
evolución del mismo .................................................................................................... 35
DESCRIPCION EN DETALLE DEL METODO DE TAYLOR .......................................................... 41
CONCLUSIÓN ........................................................................................................................ 44
REFERENCIAS ........................................................................................................................ 45
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RESUMEN TITULO: DESARROLLO DEL CALCULO DE COEFICIENTE DE CONSOLIDACION, DESCRIPCIÓN
DEL MÉTODO DE TAYLOR
CONTENIDO: El problema de la consolidación es esencialmente un problema de flujo de agua
no establecido a través de una masa porosa. Una hipótesis del análisis que sigue es que tanto
el agua como las partículas del suelo son totalmente incomprensibles .y también se aceptara
que el agua llena totalmente los vacíos del suelo; que el suelo está totalmente saturado por
tanto teniendo estas hipótesis estudiaremos y desarrollaremos el cálculo de coeficiente de
consolidación teniendo en cuenta el método de Taylor.
Taylor propuso un método para obtener el tiempo de consolidación para un porcentaje de
consolidación del 90% a partir de la curva de deformación-√ correspondiente al escalón de
carga que representa la situación in situ.
PALABRAS CLAVES: consolidación, flujo, incomprensibles, saturado, in situ.
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INTRODUCCION El proceso de reducción de volumen de un suelo saturado por efecto de la aplicación de una
carga constante es lo que se conoce como Consolidación, es considerada como una
deformación plástica en función del tiempo y del exceso de presión de poros. La importancia
de este concepto radica en que las deformaciones de la mayoría de los suelos bajo cargas de
diferentes magnitudes son mucho mayores que la de otros materiales estructurales, por esto
se recurre a la reproducción del fenómeno en el laboratorio mediante equipos conocidos
como consolidó metros o edómetros
En una situación real donde es preciso resolver un problema de consolidación de suelo, es
necesario determinar no solo el tiempo en la cual se produce la consolidación sino también el
coeficiente de consolidación que tendrá lugar debido a la deformación del suelo. Para esto se
realiza la prueba de consolidación, o también llamada prueba de compresión confinada, la
cual consiste en someter a un esfuerzo de compresión axial a una muestra inalterada del suelo
en estudio. La muestra deberá ser inalterada, porque como ya se mencionó, la consolidación
depende de la estructura del suelo.
El objetivo del presente trabajo es demostrar las formulas del coeficiente de consolidación
mediante el método de Taylor y así saber para qué sirve y donde aplicar dicho coeficiente.
Los cuales permiten calcular la magnitud de los asentamientos y estimar el tiempo de
ocurrencia. Para la obtención de estos se requiere de una serie de procedimientos gráficos,
matemáticos las cuales más adelante pasaremos a detallar.
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DESARROLLO DE CALCULO DE COEFICIENTE DE CONSOLIDACION I. Conceptos previos:
Analogía mecánica de Terzaghi:
Para comprender mejor el proceso de consolidación, Terzaghi propuso un modelo
mecánico. Éste consiste en un cilindro de sección A con un pistón sin fricción el cual posee una pequeña perforación. Dicho pistón se encuentra unido a un resorte y el cilindro en su interior está lleno de un fluido incompresible, tal como se muestra en la Figura 4. El proceso comienza con la aplicación de una carga de valor P sobre el pistón. En este primer instante el orificio se encuentra cerrado y el resorte no tiene posibilidad de deformarse, en consecuencia no ejerce fuerza alguna. Es así que la fuerza P es soportada en su totalidad por el fluido. En una segunda instancia se abre el orificio y se genera un gradiente de presiones P/A (A: área del pistón) entre el interior y el exterior del cilindro lo que ocasiona el flujo del líquido hacia el exterior, y a medida que el fluido sale, el resorte comienza a deformarse y por lo tanto comenzará a tomar una porción de la carga P. La velocidad a la cual se transfiere la carga desde el fluido al resorte depende del tamaño del orifico y de la viscosidad del fluido. Finalmente, la posición de equilibrio se da cuando la presión en el fluido iguala la presión exterior y el resorte ha tomado la totalidad de la fuerza P.
En analogía con el caso del suelo, la estructura de partículas sólidas es representada por el resorte; el agua intersticial por el fluido incompresible; y, por último, las redes de capilares continuos (vacíos) son representadas por el orificio. Para entender mejor como varían las presiones dentro de un estrato de suelo saturado ante la aplicación de una carga durante el proceso de consolidación, se analiza una batería de cilindros comunicados, de acuerdo al esquema de la Figura 5.
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Análogamente a la situación de un cilindro individual, en un instante inicial ninguno de los resortes ha sido deformado por lo que la carga aplicada P, es soportada por el fluido con una sobrepresión neutra . Luego de transcurrido un tiempo, se abre el orificio y comienza el flujo del líquido hacia el exterior. Como éste sólo puede hacerlo por la parte superior del modelo, el resorte del cilindro superior comenzará a deformarse y la sobrepresión del líquido comenzará a transferirse desde el fluido hacia el resorte. Al reducirse la presión del fluido en el primer cilindro se genera un gradiente de presiones entre este cilindro y el contiguo a éste, por lo cual se inicia nuevamente el proceso de transferencias de presiones. En los cilindros inferiores las condiciones no han variado significativamente por lo que en ellos la carga aplicada aún es soportada por el fluido. A medida que pasa el tiempo y se completan los procesos de transferencia de presiones en todos los cilindros la carga será soportada por el conjunto de resortes y el flujo hacia el exterior se detendrá. Considerando que los cilindros tienen un volumen diferencial, se tiene un modelo de cómo se comporta un estrato de suelo, de altura h en condiciones en las que el flujo de agua se realice por la parte superior (esto ocurre, por ejemplo, cuando por debajo del mismo yace un estrato impermeable). Queda como ejercicio para el alumno trazar las gráficas esquemática de presiones totales, neutras y efectivas para distintos tiempos ( ) cuando se aplica una carga externa a un estrato de suelo compuesto por suelos finos arcillosos saturados.
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1. Ecuación diferencial de la consolidación unidimensional
Se vio que en un proceso de consolidación unidimensional, con flujo vertical, si tiene:
Figura 1.1. Distribución de presiones en un estrato un superficial del suelo homo genio y
compresible, con NAF en la frontera superior.
Se trata ahora de obtener dicha función; en otras palabras, de establecer
matemáticamente el fenómeno físico estudiado.
Considérese un elemento de volumen de extracto mostrado en la Fig. 1.2. El espesor
de elemento es . Por simplicidad se considera que las fronteras a superior e inferior del
elemento cubren un área unitaria.
Sea la presión del agua en exceso de la hidrostática; en la situación indicada por el
punto 1 ( ):
(1-0)
El punto 2 representa la presión en el mismo tiempo, pero a una profundidad ; por lo
tanto:
(1-1)
El punto 3 representa la presión a la misma profundidad que 1, pero a tiempo :
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(1-2)
Finalmente, el punto 4 representa una presión que varía en un tiempo y en una
profundidad , respecto a la presión en 1.
*
+
(1-3)
El problema de la consolidación es esencialmente un problema de flujo de agua no
establecido través de una masa porosa. Una hipótesis y análisis que siguen es que tanto el
agua como las partículas de suelo son totalmente incompresibles. También se acepta que el
agua llena totalmente los vacíos de suelo; es decir, que el suelo está totalmente saturado. La
primera de las anteriores hipótesis puede considerarse muy cercana a la realidad, dentro del
orden de presiones que las estructuras ingenieriles comunican al suelo. La segunda tampoco
debe verse como una hipótesis demasiado apartado de la situación prevaleciente en la
mayoría de los suelos arcillosos (a los que, como se verá, se aplica sobre todo la teoría de la
consolidación unidimensional), propios de depósitos sedimentarias en zonas planas, con nivel
freático muy superficial y, por lo tanto, en condición por lo menos muy cercana a la saturación
total.
Como las anteriores hipótesis debe tenerse que la diferencia entre la cantidad de agua
que sale por la cara I del elemento de suelo del elemento de suelo mostrado en la Fig. 1.2 y la
que entra por la cara II del mismo en el tiempo , debe ser igual a los cambios de volumen
(compresión o expansión) del elemento en el mismo tiempo.
Estas cantidades de agua dependen de los gradientes hidráulicos actuantes en ambas
caras , los cuales son proporcionales a la pendiente de la gráfica de distribución de presión en
los puntos señalados en la
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Figura. 1.2. En distribución de presiones de los tiempos en un elemento de volumen
sujeto a consolidación.
(1-4)
La anotación con derivada parcial obedece a que ahora es función tanto de como
de , pero sólo su variación respecto a interesa para defender el gradiente hidráulico. El
coeficiente
Se utiliza para transformar la presión a carga hidráulica expresada como
altura del agua. El gradiente Es representativo para toda la cara superior de elemento en la
Fig. 1.2 en tiempo .
Análogamente, el gradiente hidráulica en 2, representativa existente en la cara
inferior del elemento en tiempo t, será:
(
) (1-5)
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Aplicando la ley de Darcy, supuesta valida, la cantidad de agua, en unidades de
volumen, que sale del elemento por la cara I en el tiempo , será:
(1-6)
Similarmente, la cantidad que entra por la cara II en el mismo tiempo será:
(
) (1-7)
La cantidad neta que sale estará dada por:
(
)
(1-8)
A primera vista pudiera juzgarse del signo de la expresión (1-8) que el volumen de
agua que entra al elemento fuera mayor que el volumen que sale. Debe tenerse presente sin
embargo, que la curva u –z (fig. 1.2) presenta, en un proceso de consolidación, una curvatura
tal que la segunda derivada de u respecto a z es negativa, resultando en definitiva la expresión
(1-8) positiva. En un proceso de expansión por el contrario, la curvatura de la fig. 1.2 se
invierte y la expresión (1-8) si resulta negativa.
La expresión (1-8) es estrictamente correcta para el comienzo del intervalo . Al final
de dicho intervalo, con los datos de los puntos 3 y 4, de la curva correspondiente al tiempo
de la Fig. 1.2, se obtiene con un procedimiento análogo al antes usado:
(
)
.
/
Y
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.
/
Resultado:
(1-8)
Así pues, si se desprecian las magnitudes de orden superior se llega con los puntos 3 y
4 al mismo resultado que con los 1 y 2. Por lo tanto, la ecuación (1-8) representa el cambio de
volumen de elemento de espesor en el tiempo .
111
Figura 1.3. Esquema de un elemento de suelo sujeto a consolidación unidimensional.
Por otra parte, es posible obtener una liga entre el cambio de la relación de vacíos y los
cambios de volumen de un elemento del suelo sujeto a la prueba (Fig. 1.3)
(1-9)
Nótese que, puesto que el área del elemento es unitaria, el cambio de volumen del
elemento resulta medido por el cambio de altura.
Se define ahora el coeficiente de compresibilidad , como la relación:
(1-10)
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En el sentido matemático de este concepto resulta claro si se tiene presente la curva
de compresibilidad, ya analizada: el coeficiente de compresibilidad representa, el módulo, la
pendiente de la curva de compresibilidad, en escala natural, en el punto de que se trate. El
Valor de Depende de la presión actuante sobre el suelo y no es una constante el mismo.
Físicamente, el coeficiente de compresibilidad mide la razón de variación de la relación de
vacíos con la presión; un alto caracterizar a un sujeto muy compresible, mientras que el
uno bajo el propio de un suelo no susceptible de grandes cambios de volumen, cuando
aumenta la presión:
De la ecuación (1-10) se deduce:
Y sustituyendo este valor en ecuación (1-9) si tiene:
(1-11)
Representa el cambio en presión sobre la estructura del suelo a una profundidad constante
z, que haya tenido lugar en el tiempo dt.
En la cara superior del elemento de suelo de espesor dz, entre los tiempos t y t+dt
(puntos 1 y 3), existe una diferencia de presiones u que vale (ecuaciones 1-0y 1-2):
La ecuación fundamental de la destitución de presiones en la consolidación
unidimensional, ya vista, expresa que la presión total es igual en cualquier punto y en todo
tiempo, a la presión efectiva mas la presión neutral.
Si se diferencian ambos miembros, teniendo en cuenta que , la presión total actuante,
es constante:
Pero: y como para una profundidad dada, se tiene: .
De donde, teniendo en cuenta la diferencia de presión entre 1 y 3:
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(1-12)
Valor que da el cambio de presión efectiva en el elemento, en el tiempo .
Si se considera (puntos 2 y 4) la variación en el tiempo en la cara inferior del
elemento,se obtiene (ecuaciones 1-1y 1-3):
.
/
Y despreciando los términos del orden superior se observa que en el tiempo , el
incremento de presión en la cara superior del elemento de espesor es el mismo que en la
inferior.
Llevando la expresión (1-12) a la (1-11) puede escribirse:
(1-13)
Teniendo en cuenta las hipótesis de incomprensibilidad de agua y partículas sólidas y
de total saturación del mismo; se sigue que las ecuaciones (1-9) y (1-13) pueden igualarse; es
decir a la pérdida de volumen de su masa.
Igualando:
De donde:
(1 -14)
La anterior ecuación establece la relación entre la presión en exceso la hidrostática, u,
la profundidad y el tiempo. Este ecuación permite conocer la distribución de presiones en el
suelo durante un proceso de consolidación unidimensional, con flujo vertical. La ecuación (1 -
14) se conoce con el nombre de ecuación diferencial del proceso de consolidación
unidimensional con flujo vertical y ha de ser resulta para llegar a expresiones manejables en
la práctica.
La ecuación (1-14) suele escribirse en formas ligeramente diferentes. Al valor:
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(1-15)
Se le define como coeficiente de variación volumétrica y físicamente expresa la
compresibilidad del suelo, relacionándola con su volumen inicial. En forma s ligeramente
diferentes.
En términos del coeficiente de variación volumétrica, la ecuación (1 -14) puede
escribirse:
(1 -16)
Finalmente, la expresión coeficiente de consolidación ( ), se define como:
(1 -17)
En términos de este coeficiente, la ecuación diferencial queda:
(1-18)
2. Solución de la ecuación de la consolidación unidimensional
Para resolver la ecuación diferencial de la consolidación unidimensional con flujo vertical
(ecuación 1-14) es necesario. Ante todo, determinar las condiciones de frontera adecuadas.
Para lograr tal fin, considérese un estrato arcilloso de espesor 2H en el cual l agua pueda
drenarse por sus caras superior e inferior (Fig. 1.4).
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Figura 1.4. Determinación de las condiciones de frontera para resolver la ecuación diferencial
de la consolidación.
Resulta evidente que no ocurre ningún flujo a través del plano de simetría a la
profundidad H. el agua situada a menor profundidad se drena por la cara superior y la situada
a profundidad mayor, por la inferior. Por lo tanto, dicho plano de simetría y la situada a
profundidad mayor, por la inferior. Por lo tanto, dicho plano de simetría puede considerarse
como una superficie impermeable.
Las condiciones de frontera que deben satisfacerse son:
(Para todo tiempo ).
Además debe satisfacerse la condición inicial.
Solución de la ecuación diferencial de la consolidación unidimensional:
Se trata de resolver la ecuación diferencial:
De modo que satisfagan las condiciones de frontera siguientes.
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Y la condición inicial:
Para ello se considera la función como producto de dos funciones, una dependiente
de y la otra de .
Al sustituir esta función en la ecuación diferencial propuesta, se tiene:
Donde se usa la notación con índices primas para indicar las diferentes derivadas.
Entonces:
El primer miembro es solo función de z, mientras que el segundo lo es solo de t; por
tanto, ambas relaciones, puesto que son iguales, deben ser constantes. es, pues constante.
Puede escribirse:
Se tiene así dos ecuaciones diferenciales lineales, homogéneas, con derivadas totales,
que pueden resolverse con el procedimiento usual de la ecuación auxiliar
Para la ecuación (4) se tendrá como ecuación auxiliar:
Cuyas raíces son:
√
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial (4) será
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(√ )
( √ )
(e, base de logaritmos naturales)
Teniendo en cuenta la ecuación (2), las condiciones de frontera del problema quedan:
De donde debe tenerse:
Sustituyendo la primera de las condiciones (7) en la ecuación (6) se obtiene:
Por lo tanto:
( (√ ) ( √ ) )
Teniendo en cuenta que:
Puede anotarse. A partir de (8)
(√ )
La segunda condición (7) llevada a la ecuación (9) conduce a:
( √ )
De donde:
( √ )
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La expresión se cumple si
En efecto.
4 √
5 (
)
para todo n entero. (Téngase en cuenta que un seno hiperbólico de argumento imaginario es
el seno trigonométrico del coeficiente del argumento imaginario)
Sustituyendo el valor de dado por la expresión (11) en la ecuación (9), se tiene
finalmente:
(
)
La ecuación (5) puede resolverse de un modo totalmente análogo. La auxiliar es ahora:
Y la solución general es:
Sustituyendo el valor de ya encontrado (ecuación (11)). Se tiene:
Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial inicial, que satisfaga las condiciones
de frontera impuestas y que tenga la forma (2) será del tipo:
(
)
(
)
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representa las constantes arbitrarias cuyo valor depende, en cada caso, del valor de n.
Para satisfacer la condición inicial a que se a sujetado la solución del problema, es
necesario considerar una suma infinita de funciones del tipo (15), pues claramente, ninguna
suma finita de dichas funciones puede satisfacer dicha condición.
En efecto, para t=0 el termino exponencial de (159 es la unidad, de modo que la
función tiene una ley de variación senoidal:
(
)
Para t=0, u tiene que ser constante e igual a Δp y se ve que ninguna suma finita de términos
senoidales del tipo 816) puede dar constante. Por lo tanto, u debe expresarse:
∑ (
)
La serie arriba escrita representa la solución del problema siempre y cuando los
coeficientes sean tales que se satisfaga la condición inicial. Para encontrar esos valores
puede procederse como es normal en Teoría de Series de Fourier.
Para t=0, la ecuación (179 se reduce a:
∑ (
)
Multiplicando ambos miembros por (
) e integrando entre 0 y 2h, se obtiene:
∫ (
)
∑ ∫ (
) (
)
Desdoblando para mayor claridad:
∫ (
)
[
(
)]
[ ]
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[ ]
[ ]
Y la segunda i9ntegral da, para
∫ (
) (
)
6
7
20
1 3
pues n y m son enteros, y (k, entero) es siempre nulo.
Para n=m, la integral resulta:
∫ (
)
6
7
{[
] }
Volviendo con estos resultados a la ecuación (18). Tiene.
[ ]
Puesto que es único término de la serie que permanece, siendo nulos todos los
demás por ser en ellos
Despejando:
[ ]
En la expresión anterior se tiene que resulta nula para m par, y solo las con m
impar, subsisten, valiendo.
[ ]
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La solución (17) queda.
∑ (
)
Sustituyendo el valor de y haciendo m=2n+1, para no tomar en cuenta los términos
pares que son nulos, se tiene finalmente.
∑
Que es la solución buscada.
La solución a que llegarse esta dada por la serie:
∑ ,
*
+
-
(1-19)
La ecuación, e es la base de los logaritmos neperianos normalmente simbolizada por e;
sin embargo, en este caso se ha juzgado prudente cambiar el símbolo a fin de evitar
confusiones con la relación de vacíos.
La ecuación (1-19) puede también escribirse, de acuerdo con la definición del
coeficiente de consolidación:
∑ ,
*
+
- (1-20)
La obtención de la ecuación (1-19), solución de la ecuación diferencial de la consolidación
con las condiciones de frontera e inicial expuestas, requiere el establecimiento de dos nuevas
hipótesis, que se enumeran a continuación:
1. La variación en espesor del estrato es lo suficientemente pequeña para que un valor
dado de la variable z pueda suponerse constante durante todo el proceso de
consolidación.
2. El coeficiente de consolidación, , es constante durante todo el proceso de
consolidación.
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Por supuesto, estas dos hipótesis son solo aproximadamente aceptadas con el
propósito de facilitar la solución matemática del problema. La importancia intrínseca de
estas hipótesis sólo puede juzgarse comparando las predicciones de la teoría que las
contiene, con las observaciones reales; de hecho, los resultados de la teoría han
demostrado su excelencia para predecir el comportamiento de la mayoría de las arcillas,
dentro de una aproximación práctica. Esto se debe al hecho de que, para tales suelos, el
coeficiente de consolidación es prácticamente constante, a pesar de que las cantidades k
y Son variables; de hecho, las variables de esos conceptos parecen contrarrestarse
forma bastante satisfactoria, en casi todas las arcillas. La eque aparecen en la expresión
para es la inicial del suelo, según se desprende de los análisis anteriores y, como tal, es
constante.
La obtención de la ecuación (1-19) se parte de una presión inicial del suelo, ,
uniforme, y se admite que la presión adicional igual a la presión inicial en exceso de la
hidrostática, es uniforme en todo el estrato del suelo.
G. Gilboy demostró, sin embargo, que la misma ecuación representa un proceso de
consolidación en el cual la presión u tenga la ley de variación lineal inicialmente.
Suponiendo que el estrato este drenado por ambas caras, una cantidad Debe
tomarse, en este caso, como el promedio aritmético de las presiones extremas.
Si las condiciones de frontera de un problema de consolidación son muy diferentes de
las aquí consideradas, la solución de este problema puede facilitarse comparándolos con
un problema análogo de flujo de calor, representando genéricamente por ecuaciones de la
misma forma matemática; se puede aprovecharse para la mecánica de suelos las
investigaciones realizadas en tan importante campo de la física. La solución (1-19) es de la
forma:
(1,21)
Expresada por medio de una serie de Fourier, convergente. El factor que aparece
en el término seno, así como:
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Que aparece en el exponente de en son ambas cantidades adimensionales. La última
cantidad, que es función de las constantes físicas del complejo suelo- agua que determinan
el proceso de consolidación, se denomina factor de tiempo (T).
(1-22)
Dimensión mente se tiene:
[ ] [
] [ ]
Y el factor tiempo, como se indicó, es abstracto.
Por lo tanto, la solución (1-21) puede expresarse como:
(
) (1-23)
Considérese ahora un estrato de arcilla de espesor , drenado por ambas caras y en
él una curva de distribución de presiones efectivas y neutrales correspondientes a un
tiempo , al cual, a su vez, corazón humano o sea dijo de factor tiempo T (Fig.-1.5). La
forma de la curva, según se deduce de las condiciones de frontera establecidas, desde el
tipo mostrado.
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Figura 1.5. Distribución de presiones efectiva y neutral en un estrato de arcilla sujeto a
consolidación, drenado por ambas caras, en el tiempo .
Se define como grado de consolidación o porcentaje de consolidación del suelo a una
profundidad en un instante que, a la relación entre la consolidación que ya ha tenido
lugar a esa profundidad y la consolidación total que ha de producirse bajo el incremento
de carga impuesto.
Se presenta por .
La curva de la Fig. X-15 muestra la distribución de presiones entre la fase sólida y
líquida A todas las profundidades. A una profundidad particular, z el esfuerzo de la
estructura del suelo está representado por segmento el esfuerzo neutral
representa la presión que en el instante inicial actuó sobre el agua, en exceso de la presión
hidrostática. Entonces a la profundidad será un:
(
) (1-24)
El criterio análogo puede definirse ahora el grado o porcentaje medio de consolidación
para el estrato completo considerado en el instante , como la relación entre la
consolidación que ha tenido lugar en ese tiempo y la total que haya de producirse. Se
representa por . En la Fig. 1.5 la zona rayada representa al área de presiones que ya
ha tomado la estructura del suelo, mientras que el área total es el area que ha de
llegar actuar sobre dicha estructura. En consecuencia:
∫
(1-25)
De la anterior fórmula, puede escribirse:
*
∫
+ (1-26)
Donde se da por la expresión (10-39) que es una serie convergente, por lo que
puede integrarse terminó a término. La interacción se efectúa a continuación:
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∫ ∫ { ∑
[
]
}
Lo cual puede escribirse:
∫ ∑ 8
∫ [
]
9
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Figura 1.6. Curvas teóricas de consolidación
a) Trazado aritmético
b) Trazado semilogarítmico
Integrando
∫ ⁄
∑ 2
[
(
)]
3
Por lo tanto se tiene
∫ ⁄
∑ 2
[ (
)]
3
Ahora, teniendo en cuenta que:
[ (
)]
.
/
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Se obtiene finalmente:
∫ ⁄
∑ 2
3
Sustituyendo la expresión (10-46) en la (10-45), se obtiene:
[ ∑ 2
3
]
Se presenta entonces el hecho afortunado de que el grado de consolidación del estrato
es solo función del factor tiempo , que es una cantidad sin dimensiones físicas. La relación
(10-47) puede ser resuelta para diferentes valores de , obteniendo los correspondientes de
, de una vez por todas.La relación obtenida aparece en la tabla 10-1.
En la figura 1.6 (a y b) aparecen las relaciones anteriores dibujadas en escala aritmética y
semilogaritmica, usando la escala logarítmica para el factor tiempo. Estas curvas se conocen
con el nombre de curvas teóricas de consolidación.
3. Factores que influyen en el tiempo de consolidación
Se vio que el factor tiempo se defina como:
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TABLA X-1
Relación teórica U(%) - T
U(%) T
0 0
10 0.008
15 0.018
20 0.031
25 0.049
30 0.071
35 0.096
40 0.126
45 0.159
50 0.197
55 0.238
60 0.287
65 0.342
70 0.405
75 0.477
80 0.565
85 0.684
90 0.848
95 1.127
100 ∞
Esta ecuación puede escribirse
De la expresión anterior puede deducirse algunos hechos de significación:
a) Si todos los demás factores permanecen constantes, el tiempo necesario para alcanzar
un cierto grado de consolidación, correspondiente a un factor tiempo dado, varía en
forma directamente proporcional al cuadrado del espesor efectivo del estrato. En
realidad, este punto merece una digresión. El espesor del estrato que gobierna la
evolución de un proceso de consolidación unidimensional con flujo de agua vertical es
la trayectoria física real que el agua tiene que recorrer para abandonar el estrato. Si el
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estrato tiene una frontera impermeable, dicha trayectoria, llamada espesor efectivo,
coincide con el espesor real del estrato (fig. 1.7.a). Si el estrato esta drenado por
ambas caras superior e inferior, la máxima trayectoria del agua al drenaje es el
semiespesor real del estrato de suelo o sea el espesor efectivo es la mitad del real (Fig
1.7b.). En las formulas de la Teoría de Consolidación
Figura 1.7. Esquemas que liberan el concepto espesor efectivo que gobierna el tiempo de
consolidación
Unidimensional la que figura es siempre el espesor efectivo en lo referente al tiempo de
consolidación.
Si dos estratos del mismo material tienen diferentes espesores efectivos y , Los
periodos de tiempos y necesarios para que cada estrato alcance un cierto grado de
consolidación, están relacionados como sigue:
b) Si todos los demás factores permanecen constantes, el tiempo , necesario para que un
suelo alcance un cierto grado de consolidación es inversamente proporcional al
coeficiente de permeabilidad . Por lotanto, si dos estratos del mismo espesor efectivo
tienen permeabilidades diferentes, y , respectivamente, los tiempos necesarios
para que cada estrato alcance un cierto grado de consolidación, se relacionan.
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c) Si todos los demás factores permanecen constantes, el tiempo necesario para que un
suelo alcance un cierto grado de consolidación es directamente proporcional al
coeficiente de compresibilidad . Por lo tanto, si se consideran dos estratos del
mismo espesor efectivo, pero de coeficientes de comprensibilidad diferentes, y
, los tiempos , y , necesarios para que cada estrato alcance el mismo grado de
consolidación están relacionadas como sigue:
4. Comparación entre la curva de consolidación teórica y las reales obtenidas en el
laboratorio
Al hacer a una muestra de suelo una prueba de consolidación se obtienen curvas de
consolidación para cada uno de los incrementos de carga aplicados. Ya se vio que estas
curvas relacionan las lecturas realizadas en un micrómetro con los correspondientes
tiempos.
Por otra parte, como resultado de una aplicación estricta de la Teoría de Terzagui, se
ha obtenido una curva teoría – en donde es el factor tiempo, que involucra a
todas las variables que afectan el progreso del proceso de consolidación.
Desde luego y son directamente proporcionales para una muestra dada en una
cierta condición de carga.
Si se imagina, además, que el suelo sigue rigurosamente los requerimientos de la
teoría, el grado de consolidación y las lecturas micrométricas estarían también
relacionados por una ley lineal de proporcionalidad, puesto que, en tales condiciones
a un 50% de consolidación, por ejemplo, está asociada la mitad de la deformación del
suelo. Así pues, si un suelo sigue la teoría de Terzagui. La curva teórica y las
curvas de consolidación de laboratorio deberían ser semejantes, difiriendo únicamente en
el módulo de las escalas empleadas. Incidentalmente, lo que las curvas de consolidación se
aparten de la forma teórica ofrece una medida simple para calificar lo que ese suelo se
aparta de un comportamiento estrictamente apegado a la Teoría de Terzagui.
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Por lo tanto, si el suelo se apega a la teoría será posible lograr que los dos curvas
coincidan totalmente, a condición de modificar la escala de las curvas prácticas en la
proporción conveniente.
En realidad, ningún suelo sigue estrictamente la curva teórica y para comparar una
curva observada con la teórica, debe, en su primer lugar, definirse en qué punto de la
curva la consolidación se supondrá el 0% y el 100% de consolidación, para ajustar la
escala con la de lecturas micrométricas.
Si el suelo contiene algo de aire o si la muestra no te ajusta perfectamente al anillo,
existirá una deformación rápida inmediatamente después de la aplicación del incremento
de carga. Observando las lecturas del micrómetro no puede definirse si las primeras
deformaciones se deben a esos ajustes rápidos o representan ya el inicio del fenómeno de
consolidación. Afortunadamente, la curva de consolidación para la primera mitad del
proceso es prácticamente una parábola, puede determinarse un 0% “teórico” por la
aplicación de una propiedad simple de tales curvas.
Más difícil es la determinación del punto teóricamente correspondiente al 100% de
consolidación primaria. De los varias métodos propuestos para ello se menciona a
continuación uno debido al doctor A. Casagrande, que requiere el trazo de la curva de
consolidación en forma semilogaritmica (Fig. 1.8)
La curva de consolidación en trazado semilogaritmico presenta la ventaja de que en
ella se define por un tramo recto muy preciso generalmente: la parte en donde la
consolidación secundaria ya se hace notable. Esto permite, por simple inspección, definir
la zona en que la consolidación primaria se completa; prácticamente hablando, esta zona
es la correspondiente a la transición entre la parte inclinada de amplia curvatura
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Figura 1.8. Determinación del 0% y del 100% de consolidación primaria en una curva de
consolidación.
y el tramo recto final (véase la Fig. – 1.8), empíricamente se ha observado (A. Casagrande)
que un punto (A) obtenido como la intersección del tramo recto de compresión
secundaria y de la tangente a la parte curva en su punto de inflexión, representa
tolerablemente la línea practica divisoria entre la consolidación primaria y la secundaria,
es decir, el 100% de consolidación primaria.
Como el efecto secundario se presenta desde el principio de la prueba, no es posible
realmente fijar un punto específico en el cual el efecto primerio termine y aquel empiece.
Por lo tanto, hasta cierto punto, la definición anterior del 100% de consolidación es
arbitraria. En la primera parte del desarrollo de la curva de consolidación, el efecto
secundario no es aún muy notorio y, por esta razón, se encuentra que la relación
parabólica, ya mencionada, es correcta dentro de una aproximación razonable. La línea del
0% de consolidación puede ahora encontrarse como sigue (Fig. 1.8)
Escójase un tiempo arbitrario, tal que el punto correspondiente, B, en la curva
observada este situado antes del 50% de consolidación, de un modo notorio. Obténgase el
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punto C, correspondiente a un tiempo y determinarse la diferencia de ordenadas, ,
de los dos puntos.
Puesto que entre esos dos puntos hay una relación de abscisas de 4 y puesto que se
advierte que son puntos de una parábola, se sigue que su relación de ordenadas ha de ser de
√ . Es decir, el origen de la parábola estará a una distancia a arriba de C. Es aconsejable
repetir esta construcción simple varias veces, partiendo de puntos diferentes y situar el 0% de
consolidación a una elevación promedio de las obtenidas la Fig. 1.8 puede verse en la parte
derecha la escala trazada a parir de los límites encontrados. Es así evidente el modo de
encontrar el tiempo necesario para que la muestra de suelo alcance, por ejemplo, el 50% de
consolidación (Este valor del tiempo, , juega un papel de interés en cálculos que se
detallaran posteriormente)
5. Determinación del coeficiente de permeabilidad a partir de los datos de una prueba
de consolidación
El coeficiente de permeabilidad medio que gobierna el flujo del agua durante el intervalo
de compresión con un cierto incremento de carga, representado por una curva de
consolidación, puede calcularse a partir de la expresión para el factor tiempo .
Para este objeto puede escogerse cualquier punto de la curva de consolidación. Al
punto escogido corresponde un cierto tiempo, , y un cierto valor del factor tiempo, ,
correspondiente elgrado de consolidación del punto considerado. Con estos datos y los demás
que aparecen en la expresión (1-22), también conocidos, puede despejarse a . Es deseable,
sin embargo, escoger un punto suficientemente alejado del 0% y 100% de consolidación, por
los errores en que incurrirse, originados por los procedimientos con que se encontraron esos
límites. Si se escoge el punto correspondiente al 50% de consolidación, además de estar
igualmente alejado de ambas fuentes de error, se tiene la ventaja de que el valor de se
recuerda fácilmente, siendo . (Exactamente ). Por lo tanto, el
coeficiente de permeabilidad puede calcularse de la formula siuiente, en donde todas las
cantidades deben expresarse en sistema c.g.s. de unidades.
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6. Asentamiento total primario de un estrato arcilloso sujeto a consolidación y
evolución del mismo
El asentamiento total primario de un estrato de arcillas de espesor H, debido a un proceso
de consolidación unidimensional, con un flujo vertical inducido por una sobrecarga ,
actuante en la superficie del mismo puede determinarse a partir de los datos de la prueba de
consolidación y del esquema de la Fig. 1.9
Figura 1.9. Esquema que ilustra la obtención del asentamiento total de un estrato de un suelo.
Evidentemente, si representa la siminución de espesor de una muestra de suelo, de
espesor total , podrá escribirse, para un estrato de espesor , asimilado a esa muestra
es la disminución de espesor total del estrato de espesor H. Ahora H es siempre el espesor
total del estrato, independientemente de las condiciones de drenaje.
La fórmula anterior puede presentarse de otra forma muy común; en efecto, se sabe que:
Por lo tanto:
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Debe tenerse en cuenta que y y de la ubicación de este en la
escala de presiones, es decir, de
En realidad, el , en lugar del que se
definió anteriormente por medio de la ecuación (1-10). Este nuevo representa al
promedio de todos los en el tramo de la curva de compresibilidad cubierto por
el
Si se supone (y esta hipótesis de admite en lo que sigue) que ste tramo de la curva es recto, es
decir que la variación de respecto a es lineal en dicho tramo. En ese caso, las
deformaciones micrométricas podrán considerarse proporcionales a las presiones efectivas
que haya tomado la estructura de suelo. En otras palabras, las deformaciones de la muestra
registradas por el micrómetro, podrán considerarse proporcionales al grado de
consolidación. Ténganse en cuenta para comprender lo anterior, en primer lugar, que las
lecturas micrométricas son proporcionales a los decrementos en relación de vacíos durante la
consolidación y, en segundo lugar, que según la correspondiente definición, las presiones
efectivas que haya tomado la muestra definen su grado de consolidación. Esta hipótesis es la
que se hace en la práctica para la realización del cálculo de asentamientos y justifica la
construcción de la escala en las curvas de consolidación, tal como se ha presentado en el
párrafo x-10 de este capítulo, utilizando simplemente una escala aritmética una vez que se
han determinado el 0% y 100% de consolidación primaria.
Obsérvese que si se admite , automáticamente en la ecuación (1-35) resulta
constante, puesto que la e que figura en la expresión de este último término es la inicial del
suelo, antes de la aplicación del incremento de carga .
Se admite, según ya se mencionó, que las constantes de consolidación obtenidas en la prueba
son las mismas que rigen el proceso de un estrato de suelo. Por lo tanto,. El calculado con
los datos de la prueba puede aplicarse a la formula (1-35).
En el estrato real del suelo también se admite que las deformaciones son proporcionales al
grado de consolidación de tal estrato. Así, si representa EL ASENTAMIENTO ocurrido en un
tiempo t, podrá escribirse:
Donde es el asentamiento primario total
Por lo tanto:
[
] [
]
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O sea, el asentamiento en cada tiempo es igual al total que ha de producirse, por el grado de
consolidación que el estrato ha alcanzado en es tiempo.
El cálculo de la evolución de con el tiempo, fundamental en muchos problemas de la
ingeniería práctica, requiere la determinación previa del coeficiente de Consolidación del
suelo , pues en lña ecuación (1-37) U(%) es función del factor tiempo , el que a su vez
está dado por la expresión.
Esta ecuación puede aplicarse a la muestra de la prueba de consolidación, considerando los
datos correspondientes al 50% de consolidación de dicha muestra. En efecto: ,
según se deduce la curva de consolidación teórica; puede encontrarse una vez establecida
la escala U(%) en la curva de consolidación ( Fig 1.8) y H el espesor efectivo del espécimen
usado en el momento en que alcanzo el 50% de
Consolidación bajo el incremento de carga; si como es usual , la muestra esta drenada por
ambas caras, deberá usarse el semiespesor del espécimen, calculado como un promedio de los
semiespesores inicial y final de la muestra es ese incremento de carga.
Entonces:
Nótese sin embargo, que para cada incremento de carga aplicado en la prueba de
consolidación se puede usar la ecuación (1-38). Así pues se tiene un valor de , para cada
incremento de carga. Es así posible dibujar una gráfica de contra la presión media aplicada
en ese incremento, obtenida como media aritmética de las presiones inicial y final. Para un
estrato real, sujeto a una sobrecarga , se tomara como el valor medio de los
correspondientes a la zona de la curva cubierta por ese .
Obtenido el del suelo, la ecuación (1-22) puede aplicarse en la forma:
Ahora, es el espesor efectivo del estrato de suelo, calculado según las condiciones de
drenaje en la forma ya expuesta; es el coeficiente de consolidación del suelo, recién
calculado, dentro del intervalo de presiones que representa la sobrecarga aplicada al estrato.
Asi, dando valores a , por ejemplo los que figuran en la tabla (10-1), pueden tenerse y
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tabularse los valores del tiempo en que le estrato alcanza los grados de consolidación
correspondientes a esos factores tiempo. Como según la ecuación (1-37), el asentamiento va
siendo proporcional al grado de consolidación, pueden en definitiva tabularse los valores del
asentamiento que corresponden a distintos tiempos, según evoluciona el fenómeno de
consolidación.
Esta última tabla obtenida puede dibujarse en escala aritmética o en trazo
semilogaritmico, con el tiempo en escala logarítmica, como abscisa. Se tiene así una curva de
asentamiento previsto y su evolución con el tiempo.
Nótese que toda la construcción anterior depende, en principio, de que puede situarse
la escala en las diferentes curvas de consolidación, o sea de poder determinar en estas
el 0% y el 100% de consolidación, o sea de poder determinar en estas el 0% y el 100% de
consolidación primaria. Esto, a su vez, depende de que la forma de la curva de consolidación
se apegue a la curva teórica, de modo que se definan los quiebres y las inflexiones necesarias.
Desgraciadamente esto no siempre sucede en la práctica y muchas veces la forma de las
curvas obtenidas en el laboratorio es totalmente inapropiada para efectuar las debidas
construcciones. D. W. Taylor ha desarrollado un método alternativo para el cálculo de los
coeficientes de consolidación que da bien resultado en muchos casos en que falta el
anteriormente descrito.
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Figura 2.0. Metodo de Taylor para el calculo de los valores de .
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0.5 1 1.5
GR
AD
O D
E C
ON
SOLI
DA
CIÓ
N U
(%)
T^(1/2)
RELACIÓN U(%) - T^(1/2)
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El método exige el trazado de la curva teórica en unos ejes en los que usan como
coordenadas los valores de y como abscisas los valores de √ (Fig. 2.0.a).
La curva teórica resulta una recta hasta un punto cercano al 60% de consolidación,
como debe suceder teniendo en cuenta que es aproximadamente parabólica en ese intervalo.
De la tabla de valores ya obtenida, , puede determinarse que la abscisa de la
curva es 1.15 veces la correspondiente a la prolongación del tramo recto, para una ordenada
de 90% de consolidación. Esta característica se usa en la curva de consolidación obtenida en
el laboratorio, para encontrar el 90% de consolidación. En la Fig. -20b se muestra una forma
típica de curva real en representación lecturas micrométricas –√ . Prolongando el tramo
recto puede tenerse una línea trazada con suficiente precisión. A continuación trácese otra
recta con sus abscisas 1.15 veces corridas hacia la derecha, respecto a la anterior. Esta
segunda línea corta a la curva de consolidación en un punto al que corresponde el 90% de
consolidación primaria. Nótese que la prolongación del tramo recto de la curva de laboratorio,
corta el origen de ordenadas en un punto que debe considerarse como el 0% de consolidación
primaria y de este punto debe partir la segunda recta mencionada.
Usando esta construcción, conviene calcular el con la expresión:
(1 – 40)
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DESCRIPCION EN DETALLE DEL METODO DE TAYLOR Taylor propuso un método para obtener el tiempo de consolidación, para un
porcentaje de consolidación del 90% a partir de la Deformación- √ figura 1, correspondiente
al escalón de carga que represente la situación insitu .Determinado ese tiempo de
consolidación puede luego estimarse el coeficiente de consolidación, utilizando la ecuación
Fig. 1 Curva Grado de consolidación- √
Para determinar el tiempo correspondiente al 90% en la consolidación A partir tener de la
deformación del vs √ se procede de la siguiente manera:
1. Dibujar la línea recta que mejor se ajusta a la curva extendiéndose hasta intersecar
ambos ejes, despreciando los primeros puntos que corresponden al acomodamiento
de la probeta y del sistema de aplicación de la carga. Llamamos A al punto de
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intersección con el eje de las deformaciones, es decir representa el 0% de la
consolidación, y B al punto de intersección con el eje de √ . (Figura 2)
Fig. 2 Paso 1 – Método Taylor
2. Denominando x a la distancia sobre el eje de la raíz del tiempo, entre el origen y el
punto B, buscamos el punto C, de abscisa igual a 1.15 veces X (Figura 3)
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3. Trazar la recta AC. El punto donde AC interseca a la curva de consolidación, tiene
como abscisa la raíz del tiempo al cual ocurre el 90% de la consolidación (t90).
(Figura 4)
Fig. 3 Paso 2 – Método Taylor
4. con t90 calculado y el factor tiempo T90 obtenido de las curvas teóricas, según el drenaje de
la muestra en laboratorio para un grado de consolidación del 90%, se obtiene el coeficiente de
consolidación cv como:
La altura , es la máxima distancia que recorre el agua en el ensayo. De la muestra de
manera de acelerar los tiempos de consolidación, por lo que En general, el ensayo se realiza
permitiendo el drenaje por ambas caras es la mitad de la altura de la muestra en ese
escalón de carga.
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CONCLUSIÓN
La ecuación del Coeficiente de Consolidación (Cv) se determinó considerando
diferentes hipótesis: suelos homogéneo, isótropo y de espesor constante; estrato
saturado, el agua y los granos incompresibles; masas infinitas; compresión
unidimensionales en dirección normal a la capa de suelo; validez de la ley de Darcy;
deformación lenta que permite despreciar las fuerzas de inercia; etc.
El “Cv” se obtiene por procesos infinitesimales (derivadas e integrales).
Método de Taylor: a partir de la curva (Deformación – t1/2 ) se puede obtener el tiempo
de consolidación para un porcentaje de consolidación del 90%, para luego obtener
con ese tiempo el coeficiente de consolidación con la ecuación:
Método de Casagrande: a partir de las expresiones obtenidas al resolver la ecuación
diferencial, se determina la gráfica del grado de consolidación en función del factor
tiempo en escala logarítmica. Esta curva se denomina curva teórica de consolidación;
esta se aproxima a una parábola.
La expresión obtenida “Cv”, por el método de Taylor, se debe poner en práctica
haciendo ensayos de diferentes tipos de suelos en el laboratorio para así poder
comprenderlo mejor asemejándolo al campo real.
En los ensayos de laboratorio se debe hacer uso correcto de los pasos a realizarse con
un estrato de suelo inalterado y luego saturarlo para después obtener resultados del
suelos que se está estudiando (tiempo de asentamientos, tiempo de consolidación,
resistencia del suelo, coeficiente de consolidación y otras variables de consolidación).
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REFERENCIAS Mecánica de suelos. Tomo I “Fundamentos de la mecánica de suelos”. Eulalio Juárez
Badillo – Alfonso Rico Rodríguez (1980). Capitulo X.
Fundamentos de ingeniería geotécnica. Braja M. Das. Capítulo 6.
Mecánica de suelos en la ingeniería práctica. Karl Terzaghi – Ralph B. Peck.
Mecánica de suelos. T. William Lambe, Robert Whitman.
Consolidación de suelos. Silva Angeone.
Principios fundamentales de Mecánica de Suelos. Donald W. Taylor.
Mecánica de suelos. P. Berry – D. Reid.
WWW. Geología y geotecnia – consolidación. Com
WWW. Consolidación /Augusto José Leoni. Com
GEOLOGÌA Y GEOTECNIA - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO - ARGENTINA
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