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PLANEACION Y CONTROL
DE PROYECTOS
INTRODUCCION:
l advenimiento de la computadora digital al utilizarse como una
herramienta administrativa permitió que el desarrollo de ciertas
técnicas que facilitaron la planeación de grandes proyectos.
Antes de la evaluación de técnicas de planeación sistemáticas, las
cuales clasificaremos como técnicas de redes de trabajo, la planeación de
grandes proyectos era obstaculizada por la complejidad de los grandes
proyectos. Esto no significa que los proyectos no hayan sido terminados
exitosamente, sino que, no había garantía de que la utilización de los recursos,
tales como el tiempo, mano de obra, dinero y equipo, fuera lograda en un
enfoque que se acercara a la optimización. Además, la combinación de todos
los subcomponentes o trabajos de proyecto tendían a ser tratados como
entidades separadas en la etapa de planeación, en lugar de un sistema total.
La finalidad de este apunte es el de describir los enfoques de las redes
de trabajo en la planeación de proyecto y evaluar sus beneficios y falacias.
Como un ejemplo y método de la ruta crítica (C.P.M.) sirve para dar un rango
de calendarización de proyectos en relación a sus costos directos. Combinando
estos costos directos con los costos indirectos aplicados, indicarán desde el
punto de vista de la planeación aquellos calendarios que completaran los
objetivos del proyecto con un mínimo de costo total. El enfoque del C.P.M. es
estrictamente determinístico, ya que no considera que los componentes o
trabajos del proyecto no serán completados como estaba planeado, debido a
factores imprevistos o inciertos. La técnica de evaluación y revisión de
proyectos será presentada como un intento de reducir las restricciones
determinísticas del C.P.M.
Un gran número de problemas industriales y administrativos han sido
resueltos exitosamente con la ayuda de técnicas y modelos cuantitativos
E
conocidos como redes. Tales problemas incluyen la construcción de presas; la
determinación de la ruta mas corta de envío o la ruta mas económica entre dos
lugares; la planeación y control de la construcción de sistemas militares de
defensa; la determinación de políticas de flujo máximo y de expansión óptima
para un sistema de tubería de gas; la implementación de un nuevo sistema de
computación; y el diseño, introducción y comercialización de un nuevo
producto.
El PERT (Técnica de evaluación y revisión de proyectos) y el CPM
(Método de camino crítico) son dos de las principales técnicas de redes en la
administración de proyectos que actualmente se utilizan.
El PERT ha sido utilizado para determinar la duración total de un
proyecto, para determinar la fecha de iniciación requerida, así como también, la
fecha de terminación de las tareas que conforman un proyecto y para identificar
las tareas críticas que, si no fueran terminadas de acuerdo a lo programado,
pudieran retrasar la terminación del proyecto. Utilizando un subconjunto del
CPM se puede mostrar como el tiempo total de terminación de un proyecto
puede ser reducido, dado que el administrador del proyecto asigna más
recursos (económicos, materiales, humanos, etc.) a el proyecto.
PERT :
El PERT fue desarrollado a finales de los 50’s y fue utilizado
afanosamente en la administración de proyectos militares de investigación y
desarrollo. Su aplicación clave fue el proyecto de misiles POLARIS
desarrollado por el departamento de defensa de los Estados Unidos. El PERT
fue desarrollado específicamente para apoyar la planeación, programación y
control de la multitud de tareas asociadas con el proyecto. El PERT también ha
sido utilizado en la industria de la construcción y por compañías industriales en
aplicaciones tales como la programación del mantenimiento de aviones, la
instalación de activo fijo, distribución de planta, investigación y desarrollo de
programas de planeación y administración. Una de las principales
características del PERT, además de su habilidad para identificar los planes
requeridos y programas de las tareas, es que puede manejar la incertidumbre
que existe en el tiempo de duración de algunas tareas.
CPM:
El CPM, el cual fue desarrollado independientemente del PERT, pero
muy relacionado o parecido a él, básicamente considera el intercambio entre
los costos y los tiempos de duración de las tareas del proyecto. Se enfoca en la
reducción del tiempo de duración de las tareas o actividades al utilizar más
recursos (lo que significa en la mayoría de los casos una aumento en los
costos). Con el CPM el tiempo requerido para terminar algunas tareas del
proyecto, se asume en conocido con certeza, así como también la cantidad de
recursos a emplear. Debido a lo anterior el CPM no se interesa en la
incertidumbre asociada a el tiempo de duración de las tareas como el PERT lo
hace, pero si se interesa en el intercambio tiempo/costo.
Debido a la diferencia en la estructura básica de las técnicas, el PERT
fue previamente más aplicado en la investigación y desarrollo de proyectos,
mientras el CPM fue usado en proyectos tales como la construcción. En la
actualidad la distinción en el uso del CPM y del PERT ha desaparecido
enormemente. La mayoría de las versiones computarizadas (Super Project,
Project Manager, etc.) de las técnicas incluyen opciones para manejar la
incertidumbre en el tiempo de las tareas, así como también el análisis del
intercambio tiempo/costo y la mayoría de las bibliografías hacen referencia a
las técnicas como PERT/CPM.
EVALUACION DE LAS TECNICAS DE PLANEACION DE LAS
REDES DE TRABAJO:
Históricamente los procedimientos de análisis de redes de trabajo tienen
su origen en la tradicional gráfica de GANNTT, durante la primera guerra
mundial. La gráfica de GANNTT es todavía usada en la actualidad y es
completamente útil para analizar la factibilidad de un calendario de costo-
óptimo CPM. Un ejemplo típico de la gráfica de GANTT es mostrada a
continuación:
P R O G R A M A
TAREA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A
B
C
D
E
F
G
Los beneficios típicos de la Gráfica de GANTT son:
1. Todos los trabajos son gráficamente mostrados en una fácil y comprensible
gráfica.
2. Teniendo una persona encargada del avance del proyecto, ésta irá
sombreando el porcentaje de la barra que corresponda a el avance de la
tarea realizada en cada período básico del proyecto.
Desafortunadamente la convencional gráfica de GANNTTR no indica la o las
causas por las cuales dos o mas tareas se empalman.
3. Cuando los recursos requeridos son limitados, la gráfica de GANNTT
permite la evaluación inicial del uso planeado de los recursos.
OBJETIVOS E INTERCAMBIOS:
En Los proyectos existen por lo general tres objetivos distintos: costos,
programas y funcionamiento. El costo del proyecto es igual a la suma de los
costos directos y los costos indirectos asignados al proyecto. Estos costos
cubren casi siembre la mano de obra. Los materiales y algunos servicios de
apoyo.
El segundo objetivo en la administración e proyectos es la preparación
de programas. Casi siempre se establece la fecha de terminación al principio
de un proyecto, así como también, de algunas actividades importantes.
Además se debe controlar que los costos no se salgan del presupuesto fijado,
también se debe de controlar el programa para que cumpla con las fechas
establecidas. Muy a menudo el programa y el presupuesto se encuentran en
conflicto, ya que para lograr el buen desarrollo de uno, el otro se ve afectado y
viceversa. Así, si se debe tomar la decisión de intercambio tiempo-costo. La
administración debe determinar si el objetivo del programa de tiempo es lo
suficientemente importante para justificar el aumento en los costos.
El tercer objetivo en la administración de proyectos es el funcionamiento,
es decir, las características de funcionamiento del producto o servicio que el
proyecto produce. Al realizar cambios o tomar acciones correctivas para lograr
los requerimientos de funcionamiento, se pueden causar cambios en los costos
y programas.
EJEMPLOS DE PROYECTOS:
• Construcción de edificios.
• Introducción de nuevos productos.
• Investigación y Desarrollo.
• Diseño de sistemas de computación.
• Instalación de equipo.
• Obtención de fondos.
• Enseñanza de un curso.
• Producción de una película.
• Diseño de una campaña publicitaria.
• Inicio de cierre de una planta.
• Manufactura de aviones, barcos y equipo de gran tamaño.
• Auditoría financiera.
PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS:
Una secuencia general de las decisiones administrativas que se
requieren en todos los proyectos es: planeación, programación y decisiones de
control. La planeación se refiere a aquellas decisiones que se requieren al
principio de un proyecto y mediante las cuales se establece su carácter general
y su dirección. La planeación establece los objetivos principales del proyecto,
los recursos que se requieren, el tipo de organización que debe usarse y las
personas clave que se encargarán de ponerlo en práctica y administrarlo.
La etapa de programación específica el plan del proyecto con mayor
detalle. Esta etapa empieza con la construcción de una lista detallada de las
actividades. Luego se establece un programa detallado de tiempo para cada
actividad utilizando las técnicas CPM o PERT. Una vez que el programa ha
sido terminado se puede desarrollar un presupuesto por etapas que se
coordina con las fechas de inicio y terminación de cada una de las actividades
del proyecto.
El control del proyecto se ejerce supervisando y evaluando cada
actividad a medida que se ejecutan los trabajos. Las actividades deben de
controlarse desde el punto de vista costo, tiempo y funcionamiento, según los
planes del proyecto. Cuando existe una discrepancia significativa entre los
resultados reales y los planes, debe tomarse una acción correctiva. Estas
acciones correctivas pueden incluir la revisión de un plan, la reasignación de
fondos, cambios en el personal y otros cambios en los recursos, como
resultado de las acciones correctivas, debe lograrse que el plan sea otra vez
factible y realista.
ACTIVIDADES Y DECISIONES EN LA ADMINISTRACION DE
PROYECTOS:
A. PLANEACION
Identificación del cliente del proyecto.
Establecimiento del producto o servicio final.
Fijación de los objetivos.
Estimación de los recursos totales y del tiempo requerido.
Decisión de como organizar el proyecto.
Designación y nombramiento del personal clave.
Definición de las principales tareas.
Establecimiento de un presupuesto.
B. PROGRAMACION
Comentario [LBGG1]:
Desarrollo de una detallada estructura de trabajo.
Estimación del tiempo requerido para cada tarea.
Secuencia de las tareas.
Desarrollo del tiempo de inicio y terminación de cada tarea.
Desarrollo del presupuesto detallado de cada tarea.
Asignación del personal de cada tarea.
C. CONTROL
Control de tiempo, costo y financiamiento.
Comparación de lo real contra lo planeado.
Determinación de la necesidad de acción correctiva.
Comparación de lo real contra lo planeado.
Determinación de la necesidad de acción correctiva.
Evaluación de las distintas acciones correctivas.
Puesta en práctica de la acción correctiva apropiada.
Una red de trabajo es mostrada a continuación y en la cual las flechas
representan trabajos o actividades.
1
A( 4 ) D ( 5 ) F ( 10 )
B ( 7 ) G ( 7 )
0 3 4
E ( 0 )
C ( 3 ) H ( 3 )
2
Listado encima de cada línea (flecha) se encuentra la codificación
designada seguida por el tiempo de duración. El camino más largo a través de
la red de trabajo es llamada camino crítico y está representado por la línea
doble. La línea punteada denota actividades con una duración de cero
unidades de tiempo y denota únicamente precedencia.
DEFINICIONES:
PROYECTO: Es un sistema de larga escala que comprime algunas tareas
que tienen que ser coordinadas para permitir un logro exitoso
en los objetivos fijados.
TRABAJO: Uno de los muchos contenidos en las tareas que a su vez
forman un proyecto. Estos trabajos son los que deben ser
coordinados y programados.
FLECHA: Una representación gráfica de un trabajo. Existirán al menos
tantas líneas como trabajos, tareas o actividades existan.
NODO: Puntos del tiempo entre los cuales las actividades pueden ser
programadas. Estos pueden ser presentados por puntos o
círculos y serán usados para conectar las flechas en la
representación gráfica del proyecto.
RED: Es la representación gráfica de tal proyecto, consistiendo en la
relación Nodo-Flecha.
RECURSOS: Toda cosa o elemento requerido para ayudar al exitoso término
del proyecto. Por ejemplo: dinero, equipo, mano de obra y
tiempo.
ALGORITMO PARA DETERMINAR EL CAMINO CRITICO Y
OTRA INFORMACION DE PROGRAMACION EN FORMA
MECANICA:
Esta técnica puede ser aplicada a mano o por computadora. La red es
primeramente resuelta del inicio al final la cual es referida como reglas en
avance. Estas reglas son las siguientes:
1.- El tiempo temprano del evento para el evento fuente (inicial) se
considera igual al cero.
2.- Cada actividad se asume iniciar tan pronto como el evento del cual
ella precede ha sido completado (terminado). El tiempo temprano de
terminación para su actividad es igual al tiempo temprano de iniciación mas su
tiempo de duración.
3.- El tiempo temprano del evento es igual al más largo de los tiempos
tempranos de terminación de las actividades que se unen a este evento.
Regrese al paso 2.
Ahora la red es analizada en manera similar trabajando en retroceso
desde la actividad final. Las reglas son las siguientes:
1.- El tiempo temprano del evento final es igualado a su tiempo más
tardío permisible.
2.- El tiempo de terminación permisible para una actividad es igualado al
tiempo último permisible de su sucesor. El tiempo último de iniciación para una
actividad es su tiempo último de terminación menos su duración.
3.- El tiempo último permisible para un evento es el más pequeño de los
tiempos últimos de iniciación para las actividades que inician o parten de un
evento. Regrese al paso 2.
El algoritmo puede ser estipulado en forma de ecuaciones usando la
siguiente nomenclatura:
t
= Estimación simple del tiempo promedio de duración de una actividad.
TE = Tiempo temprano de la ocurrencia de un evento.
TU = Tiempo último permisible para la ocurrencia de un evento.
TI = Tiempo temprano de iniciación para la actividad.
TT = Tiempo temprano de terminación de una actividad.
UI = Tiempo último permisible de iniciación para la actividad.
UT = Tiempo último permisible de terminación para la actividad.
REGLAS DE AVANCE:
1.- TE=O
2.- TI =TE (Para el evento predecesor); TT =TT+t
3.- TE= Max (TT1,TT2 ,...TTn) Para un evento con n actividades que se juntan a
él.
R
EGRESO AL PASO 2.
1.- TU = TE (Para el nodo terminal o final).
2.- UT = TU (Para el evento sucesor)
3.- TU = Min (U11, U12,.....Uin) Para un evento con n actividades que se originan
en él.
REGRESO AL PASO 2.
El siguiente paso es el concerniente para determinar el camino crítico.
Definiremos el término Holgura para la medida permisible de retraso o
adelanto. Existen dos tipos de Holguras normalmente consideradas; Holgura
Total y Holgura Libre.
Holgura Total (HT)
Es el tiempo que cualquier tarea puede ser retrasada antes de que ésta
afecte el tiempo de terminación del proyecto.
HT = UT - TT = UI - TI
Holgura Libre (HL)
Es el tiempo que cualquier tarea puede ser retrasada antes de que ésta
afecte el tiempo temprano de iniciación de cualquiera de las tareas que la
prosiguen. Para su cálculo se resta el tiempo último de terminación del tiempo
temprano de iniciación de la tarea más próxima o siguiente.
H = Txj - Txi - tij = Txj - Tti
El camino crítico puede ser identificado por aquel camino en que sus
holguras totales sean iguales a cero.
Ejemplo: HT=11 HL=3
0 11 3 14
J ( 3 ) HT=8 HL=8 HT=0 HL=0
6 14 8 19 17 17 25 25
A ( 2 ) B ( 4 ) C ( 3 ) F ( 8)
1 2 3 6 8
0 0 2 2 2 10 6 14 5 5 17 17 HT=5 HL=0
HT=0 HL=0 HT=8 HL=0 HT=0 HL=0 17 22 20 25
D( 3 ) G( 5 )
E( 12 ) H( 3 )
4 5 7
2 2 5 5 5 5 17 17 17 20 22 25
HT=0 HL=0 HT=0 HL=0 HT=5 HL=5
El camino crítico es 1-2-4-5-6-8 con una duración de 25 unidades de
tiempo.
Nodos t Descripción T1 TT UI UT HT HL
de tareas.
*1 2 2 A 0 2 0 2 0 0
1 3 3 J 0 3 11 14 11 3
2 3 4 B 2 6 10 14 8 0
*2 4 3 D 2 5 2 5 0 0
3 6 3 C 6 9 14 17 8 8
*4 5 12 E 5 17 5 17 0 0
*5 6 0 Ficticia 17 17 17 17 0 0
5 7 3 H 17 20 22 25 5 0
5 8 5 G 17 20 22 25 3 3
*6 8 8 F 17 25 17 25 0 0
7 8 0 Ficticia 20 20 25 25 5 5
Las actividades con * indican ser críticas (A-D-E-F) con una duración de
25 unidades de tiempo.
El camino crítico es el camino más largo a través de la red de trabajo
desde el inicio hasta la esperada terminación del proyecto.
TECNICA DE EVALUACION Y REVISION DE PROYECTOS
(PERT)
Uno de los inconvenientes del CPM es que tiene carácter determinístico.
El PERT diseñado para proyectos de investigación y desarrollo, intenta eliminar
algunas de las posibles objeciones del CPM, asumiendo que el tiempo de
duración de cada trabajo o actividad pertenece o se apega a una distribución
de probabilidad, en lugar de tener tiempo de duración constante.
El objetivo del PERT es obtener estimaciones de la media y de la
varianza de la distribución de probabilidad del proyecto en total para cada una
de las actividades. En realidad esta distribución es obtenida para el camino
crítico, el cual asume ser representativo de las características de terminación
del proyecto.
Esta última consideración pudiera no ser válida dependiendo de la
medida relativa y de la distribución de otros caminos en la red, contrastados
con el camino crítico. Una vez que la distribución de probabilidad de realizar
ciertos programas puede ser conocida. Esto da información que puede ser
utilizada en la evaluación de la factibilidad del proyecto.
La probabilidad de distribución de una actividad asume seguir una
distribución BETA, que tiene las características de tener una moda con un
número infinito de puntos finales. Dependiendo de los valores de los
parámetros que describen la distribución esta puede ser o no simétrica.
Posiblemente la razón principal para adoptar la distribución BETA es el hecho
de que la media está basada en tres parámetros O óptimo, M medio y P
pésimo.
Los parámetros O, P. y M pueden ser definidos como sigue:
O ß El tiempo mínimo en el cual una actividad puede ser
razonablemente terminada (tiempo de ruptura en el CPM).
P ß El tiempo máximo en el cual una actividad puede acontecer,
asumiendo un problema de tipo legal.
M ß Este tiempo es el más frecuentemente esperado (tiempo normal
en el CPM).
Aproximaciones de la distribución BETA
0 + 4M + P P - O Media = u = --------------------- Desviación Estándar = σ = ------------ 6 6
Una vez que los valores de O, M, y P han sido estimados para todas las
actividades, sus medidas y desviaciones estándar son calculadas, usando las
aproximaciones BETA. De las medidas de las actividades, el o los caminos
críticos son determinados en la forma del CPM.
El Teorema del límite central es interpretado en la terminación de la
distribución de probabilidad del camino crítico. Básicamente se asume que si
consideramos la suma de un grupo de variables independientes, cada una con
una media µ y una varianza σ2 , entonces la suma de estas variables tendrá
una distribución que se asemeja a la NORMAL, con media µ y que es igual a ∑
µ1 y varianza igual a ∑σ1.
Cuando existen caminos críticos múltiples, la varianza será aquella que
sea mayor de los diferentes caminos críticos. (El método usado para encontrar
la distribución del tiempo de terminación es para encontrar el camino que tenga
el valor esperado no menor que el de todos los otros caminos. Después de que
esto es realizado, PERT asume que la duración del proyecto está normalmente
distribuida con una media igual al valor esperado del camino más largo y
desviación estándar igual a la desviación estándar del mismo camino).
EJEMPLO
La media y la varianza para una actividad particular y seran:
O + 4 M + P ( p - O) ½
µ = σ =
6 6
Area bajo la curva normal
Area con x < Miu Area con X> Miu
La máxima varianza de todos los caminos críticos será la que
representará la varianza del proyecto.
Con los datos de la Distribución Normal es posible determinar las
probabilidades asociadas con ciertos programas. Si la variable estándar Z dada
en la fórmula Z=(x-µ)/σ es negativa, entonces el valor en las tablas de la
Distribución Normal donde los valores son para Z positiva, se resta de 1.
En conclusión diremos que el PERT es valedero para algunos de los
efectos estocásticos prevalentes en proyectos de larga escala en los que existe
la incertidumbre.
A continuación se presenta un ejemplo:
A(7) B(4.5) µTT=14 µTT=17.5
2 µTT=14 µTE=17.5
µTT=0 µTT=7 σTT=109/36 σTT=109/36
µTE=0 µTE=7 σTT=109/36 σTT=109/36
σTT=0 σTT=109/36 E(3.5)
1 σTT=0 σTT=109/36 4 5
P(0)
µTT=7 C(5)
µTE=7
σTT=109/36 D(7)
σTE=109/36 3
G(17.5) F(8.67)
b) Encuentre el área bajo x = 17.5
P( x = µ ) = P( Z = ( 17.5 -17.5 ) / (109 / 36 )1/2 )
Z = (17.5 -17.5) / (109 / 36)1/2 = 0
Buscando en las tablas de la Dist. Normal Z(0.5) = 0
Así, la probabilidad de terminar el proyecto dentro de 17.5 es de .5
c) Encuentre que programa habrá de elaborarse para tener un 95% de
probabilidad de que el proyecto sea terminado (Cuanto tiempo debe durar este
programa).
En la tabla de la distribución normal z ( .95 ) = 1.64
P( x < µ ) = P( Z > ( 17.5 -17.5 ) / (109 / 36 )1/2 )
Z = ( x - 17.5) / (109 / 36 ) ½ = 1.64
despejando x tenemos :
(1.64) (10.45)
x = + 17.45 = 20.45
6
Así, la probabilidad de terminar el proyecto en 21 días es 95%.
P R O B L E M A S
1.- Un pequeño proyecto de investigación esta definido por la red mostrada
aquí. Encuentre el camino crítico.
2 4
2 5 6
3
5 6 5
3
1 4 0 8 9
7 2
4 8
3 7
2.- Un buffet de ingenieros ha acordado hacer el diseño, fabricación y chequeo
de un prototipo de transmisión para una gran compañía de automóviles. Ellos
han identificado las siguientes actividades con sus tiempos asociados y sus
relaciones de precedencia. Construya la red que represente este proyecto y
encuentre el camino crítico.
ACTIVIDAD TIEMPO (SEMANAS) PREDECESORES
INMEDIATOS
1.- Establecer las especificaciones del diseño 1 -
2.- Diseño mecánico 5 1
3.- Diseño eléctrico 2 1
4.- Revisión final del diseño 1 2,3
5.- Preparación del vehículo pruebe 0.5 1,2
6.- fabricar el prototipo 2 4
7.- Llevar acabo la prueba 3 5,6
8.- Preparar los planos detallados 0.5 7
9.- Preparar un reporte final 1 8
3.- Encuentre, por lo menos 4 errores o símbolos innecesarios en la red
mostrada a continuación,
2 8 10
4
1 3 6 9 13 14 15
16
5 7 11 12
4.- Considere el servicio dado a un coche en una gasolinera como un proyecto.
Construya una red apropiada suponiendo que hay dos dependientes
disponibles.
5.- Haga una lista de las actividades que componen el proyecto del problema 1
y escriba las relaciones de precedencia. De esta lista, construya una red,
usando los nodos como actividades (RAN). Compare la red resultante con la
del problema 1. Nótese que no se requieren actividades ficticias. Esto es una
característica del método RAN.
6.- La reparación anual de una turbina de vapor de 50,000 caballos de fuerza
puede ser representada por la siguiente lista de actividades. ACTIVIDAD DURACION PREDECESORES
INMEDIATOS
1.- Apagar la turbina 2 -
2.- Cerrar las líneas de vapor 5 -
3.- Quitar la coraza 3 1
4.- Enfriar las líneas de vapor 8 2
5.- Desconectar las líneas de vapor 10 2
6.- Quitar los rodamientos viejos 4 1,4
7.- Quitar las válvulas 9 3,6
8.- Quitar la tubería 6 3,6
9.- Reparar las líneas de vapor 6 4
10.- Reponer las líneas de vapor 2 4,5
11.- Reponer las válvulas 14 7
12.- Reponer la tubería 8 8
13.- Reponer los rodamientos 6 9,10
14.- Lubricar 11 7,8
15.- Reponer la coraza 15 12,13
A) Construya la red de este proyecto.
B) Haga una tabla que muestre tiempos primeros y últimos de inicio y
terminación, holgura total y holgura libre para cada actividad.
C) Identifique el camino crítico.
7.- La instalación de una nueva computadora digital puede ser descrita por las
siguientes actividades:
ACTIVIDAD DURACION PREDECESORES
INMEDIATOS
1.- Describir las especificaciones 10 -
2.- Requisición de fondos 0.5 1
3.- Construir el exterior del edificio 20 1
4.- Preparación de cotizaciones 5 2
5.- Evaluación de cotizaciones 3 4
6.- Construir el interior del edificio 10 3
7.- Escoger la computadora 1 4
8.- Escoger el equipo de soporte 1 7
9.- Alambrar el interior del edificio 2 3,7
10.- Instalar la computadora 3 9
11.- Instalar el equipo de soporte 1 8
12.- Evaluar el sistema 2 10,11
Construya una red para este proyecto. Encuentre el camino crítico. Encuentre
los tiempos primeros y últimos de iniciación y terminación y las holguras para
cada una de las actividades y muéstrelos en una tabla. Haga una gráfica de
Gantt incluyendo holguras.
8.- La lista de actividades y las relaciones de precedencia que describen un
proyecto son dadas a continuación. Sin embargo, la red por RAF correcta no
expresa la relación de precedencia correcta. Construya la red por RAF
correcta.
ACTIVIDAD PREDECESOR c d
INMEDIATO a
a -
b -
c a, b g
d c, b
e b b
f e, d e f h
g d
h g, f
9.- Suponga que las duraciones actividades para el proyecto de instalación de
una computadora del problema 7 fueran inciertas, pero que tuvieran a la mano
estimaciones de los tiempos optimista, pesimista y mas probable como se
muestra a continuación. Haga el diagrama de la red y encuentre el camino
crítico para el proyecto. Construya un intervalo de confianza aproximado al
95% sobre la duración del proyecto. ¿Cuál sería la probabilidad de terminar el
proyecto, dos semanas antes de la duración media?.
ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA
1 8 10 14
2 0.5 1 2
3 16 20 25
4 3 5 8
5 2 4 4
6 7 10 12
7 1 2 3
8 0.5 2 4
9 0.75 2 2.79
10 1.5 3 4
11 0.75 1 1.5
12 1 2 3
10.- Suponga que las duraciones de las actividades de reparación de una
turbina de vapor descritas en el problema 6 no pueden ser determinadas
exactamente. Los tiempos estimados optimista, pesimista y mas probable se
muestra abajo.
a) Construya la red y encuentre el camino crítico para el proyecto.
b) Calcule un intervalo de confianza del 99% sobre el tiempo de terminación del
proyecto.
c) Encuentre el tiempo, digamos X, Tal de que la probabilidad del tiempo de
terminación del proyecto se exceda en X sea menor que 0.1
aproximadamente.
ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA
1 1 2 3
2 4 5 7
3 1 3 5
4 6 8 10
5 8 10 12
6 3 4 6
7 7 9 10
8 4 6 7
ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA
9 6 7 8
10 1 2 3
11 10 14 16
12 7 8 10
13 4 6 7
14 9 11 12
15 13 15 18
11.- La red PERT para un pequeño proyecto se muestra a continuación junto
con las duraciones estimadas de las actividades. Encuentre el camino crítico y
calcule un intervalo de confianza aproximado del 95% para el tiempo de
terminación del proyecto.
¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tomara más de 25 períodos de
tiempo?
2 6
1 4 7 8
3 5
ACTIVIDAD TIEMPOS ESTIMADOS
aij Mij bij
(1,2) 2 3 4
(1,3) 2 4 6
(2,4) 5 6 7
(2,6) 4 5 6
(3,4) 7 8 10
(3,5) 6 7 9
(4,6) 3 5 6
(5,7) 3 4 5
(6,7) 1 2 3
(7,8) 1 2 3
12.- De la red PERT mostrada a continuación, encuentre el camino crítico y
calcule un intervalo de confianza aproximada de 95% sobre el tiempo de
terminación del proyecto.
2 7
6 10
1 3 8 11
5
4 9
ACTIVIDAD TIEMPOS ESTIMADOS
aij Mij bij
(1,2) 3 4 5
(1,3) 5 6 8
(1,4) 2 3 4
(2,7) 7 9 10
(3,6) 10 12 15
(4,5) 2 4 5
(4,9) 5 7 8
(5,6) 6 8 9
(6,7) 12 13 15
(6,8) 8 10 11
(7,10) 7 9 12
(8,10) 1 2 4
(9,11) 1 3 4
(10,11) 5 6 7
a) Prob( X ≤ 30)
b) Prob( X > 36)
c) Intervalo de confianza si α=3%
d) Encuentre el tiempo X tal que la prob. De terminación se excede, en X
menor que 0.1
e) Prob( Xy < 25)
f) Prob( Xq ≥ 15)
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