p15 - rejillas de difracción
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99
M en C. Erick Barrios Barocio.
Fis. Arnaldo Hernández Cardona.
Laboratorio de Óptica, Facultad de Ciencias, UNAM.
Objetivo.
Estudiar el funcionamiento de rejillas de difracción y caracterizar una. Así mismo, utilizar una rejilla
de difracción para analizar las componentes de longitudes de onda de una fuente de luz.
Material.
Rejillas de difracción. 1 Láser rojo. 1 Láser de otra longitud de onda. 2 Porta lentes. 2 Porta postes
grandes con base. 2 Postes extra-grandes. 2 Postes medianos. 1 pantalla. 1 flexómetro. Papel milimétrico.
1 espectrómetro. 1 lámpara espectral.
Teoría.
Suma fasorial de ondas [1].
Consideremos una onda senoidal cuya componente de campo eléctrico esté dada por:
𝐸1 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 (1)
Donde 𝐸0 es la amplitud de
onda y 𝜔 es la frecuencia angular.
Esta onda puede representarse de
manera gráfica mediante un fasor
de magnitud 𝐸0 como en la Figura
1a. El fasor forma un ángulo 𝜔𝑡 el
eje horizontal. Su proyección en
el eje y representa 𝐸1. En
consecuencia, cuando el fasor gira, su proyección (intensidad) oscila. Consideremos una segunda onda
(Figura 1b):
𝐸2 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜙) (2)
La onda resultante, suma de 𝐸1 y 𝐸2, puede representarse de marea
gráfica dibujando sus fasores como en la Figura 1c. Y el fasor resultante
(𝐸𝑅) es la suma vectorial de los dos fasores. En el caso que nos interesa
(independencia temporal) es conveniente dibujar los fasores en 𝑡 = 0
(Figura 2); a partir de la geometría de los triángulos rectángulos:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝐸𝑅/2
𝐸0 (3)
Lo cual produce:
𝐸𝑅 = 2𝐸0𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2𝐸0 cos (𝜙
2) (4)
En consecuencia, la proyección del fasor resultante a cualquier tiempo es:
𝐸𝑃 = 𝐸𝑅𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +𝜙
2) = 2𝐸0 cos (
𝜙
2) 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +
𝜙
2) (5)
Como la intensidad es: 𝐼 ∝ 𝐸𝑃2 y la mayoría de los instrumentos detectores de luz miden la intensidad
promedio en el tiempo (⟨𝑠𝑒𝑛2 (𝜔𝑡 +𝜙
2)⟩ =
1
2):
𝐼 = 𝐼𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠2 (𝜙
2) = 𝐼𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠2 (
𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜆) (6)
ωt E1
E0
a)
ωt+φ E2
E0 b)
ωt E1
E0 c)
φ ER E2
EP
Figura 1. Representación y adición de ondas en diagramas de fasores.
E0
φ
ER
α
α α=ϕ/2
Figura 2. Suma de fasores a t=0.
EP
100
Aunque el análisis trigonométrico es útil para ciertas cuestiones, en situaciones prácticas es suficiente
limitarnos a la interpretación de fasores de 𝐸𝑅. Por ejemplo, si se quiere saber de forma rápida y sencilla
cómo es el patrón de interferencia de dos fuentes coherentes, se usan diagramas de fasores a t=0 (Figura
3) y se estudia la magnitud del fasor resultante, la cual es proporcional a la intensidad del patrón de
interferencia, a distintos valores de diferencia de fase (diferencia de camino óptico 𝛿). Mediante este
análisis, es posible ver que la intensidad es máxima cuando 𝜙 = 0,2𝜋, 4𝜋, … y es mínima cuando 𝜙 =𝜋, 3𝜋, 5𝜋, … Este tipo de análisis permite visualizar cómo será el patrón de interferencia de dos rendijas
(Figura 5a).
Usando el mismo procedimiento, podemos visualizar el patrón de interferencia causado por tres rendijas
igualmente espaciadas. Las componentes de campo eléctrico en un punto P sobre la pantalla causado por
ondas provenientes de las rendijas individuales pueden expresarse como:
𝐸1 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡
𝐸2 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜙) (7)
𝐸3 = 𝐸0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 2𝜙)
Donde ϕ es la diferencia de fase entre las ondas. El
análisis con diagramas de fasores (Figura 4), nos muestra
que la condición de máxima intensidad se presenta
cuando 𝜙 = 0,2𝜋, 4𝜋, …, los cuales son llamados
máximos primarios, que ocurren cuando los tres fasores
están alineados. Sin embargo, se encontrarán máximos
secundarios (de menor intensidad que los primarios)
cuando 𝜙 = 𝜋, 3𝜋, …, donde la onda de una rendija
cancela solamente la onda de otra, sobreviviendo una sola
onda. La interferencia destructiva ocurre cuando los tres
fasores forman un triángulo cancelándose totalmente,
estos mínimos se presentan cuando 𝜙 =2𝜋
3,
4𝜋
3, … El
patrón de interferencia que se genera se muestra en la
Figura 5b. El método de fasores toma relevancia cuando
se estudian patrones de interferencia de múltiples rendijas
(Figuras 5c, 5d, 5e).
ER=2
E0
E0 E0
φ=0
δ=0
45°
φ=45°
δ=λ/8
90°
φ=90°
δ=λ/4
180°
φ=180°
δ=λ/2
270°
φ=270°
δ=3λ/4 ER=2
E0
E0 E0
φ=360°
δ= λ
Figura 3. Comportamiento de dos fasores a t=0, cuando se varía la fase entre ellos.
Figura 5. Patrones de difracción producidos
por distintos números de rendijas.
a) 𝑁 = 2
b) 𝑁 = 3
c) 𝑁 = 4
d) 𝑁 = 5
e) 𝑁 = 10
Máx. Primario Máx. Secundario
Rendija simple
ER=3
E0
E0 φ=0
δ=0
φ=60°
δ=λ/6
φ=120°
δ=λ/3
φ=180°
δ=λ/2
φ=240°
δ=2λ/3
φ=300°
δ=5λ/6
φ=360°
δ= λ
Figura 4. Comportamiento de tres fasores a t=0, cuando se varía la fase entre ellos.
101
La rejilla de difracción.
La rejilla de difracción es un dispositivo útil para
analizar fuentes luminosas, se compone de un gran
número de rendijas paralelas igualmente espaciadas.
Una rejilla de transmisión puede hacerse cortando líneas
paralelas sobre una placa de vidrio con una máquina de
rayado de precisión. Los espacios entre las líneas son
transparentes a la luz y, en consecuencia, actúan como
rendijas individuales. Una rejilla de reflexión puede
hacerse cortando líneas paralelas en la superficie de un
material reflejante. La reflexión de la luz de los espacios
entre las líneas es especular y la reflexión de las líneas
cortadas en el material es difusa.
Una sección de una rejilla de difracción se ilustra en
la Figura 6, en ella una onda plana incide desde la izquierda, normal a la rejilla. Una lente convergente
(opcional) junta los rayos en el punto P. El patrón observado sobre la pantalla es el resultado de los efectos
de interferencia y difracción, lo cual puede ser entendido mediante fasores.
En la Figura 6, la diferencia de trayectoria δ entre rayos de dos rendijas adyacentes cualesquiera es igual
a 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃. Si tal diferencia de trayectoria es igual a una longitud de onda o algún múltiplo entero de una
longitud de onda, entonces las ondas provenientes de todas las rendijas están en fase en P y se observa una
franja brillante. Por consiguiente, la condición para máximos en el patrón de interferencia en el ángulo 𝜃
es:
𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 0,1,2, … (2)
Si la radiación incidente contiene varias longitudes de onda, el máximo de orden m-ésimo para cada
longitud de onda ocurrirá a un ángulo específico para cada longitud de onda, con excepción del ángulo
𝜃 = 0, el que corresponde a 𝑚 = 0, el máximo de orden cero, que tiene la misma posición
independientemente de la longitud de onda. El máximo de primer orden (𝑚 = 1) se observa en un ángulo
que satisface la relación 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜆𝑑; el máximo de segundo orden (𝑚 = 2) se observará en un ángulo θ
más grande, y así sucesivamente.
Problemas.
1. Luz monocromática de un láser Helio-Neón (𝜆 = 632.8𝑛𝑚) incide en dirección normal sobre una
rejilla de difracción que contiene 6000 líneas por centímetro. Encontrar los ángulos a los que se observan
los máximos de primero, segundo y tercer orden.
2. El espectro del Hidrógeno tiene una línea roja a 656nm y una línea violeta a 434nm. ¿Cuál es la
separación angular entre dos líneas espectrales obtenidas con una rejilla de difracción que tiene 4500 líneas
por centímetro, para el primer, segundo y tercer orden?
3. Tres líneas espectrales discretas ocurren en ángulos de 10.09°, 13.71° y 14.77° en el espectro de
primer orden de un espectroscopio de rejilla. a) Si la rejilla tiene 3600 rendijas por centímetro, ¿cuáles son
las longitudes de onda de la luz? b) ¿A qué ángulos se encuentra estas líneas en el espectro de segundo
orden?
Figura 6. Patrón de difracción producido por una
rejilla de difracción.
d
θ
P
d
𝛿 = 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃
−2𝜆
𝑑
−𝜆
𝑑
0
𝜆
𝑑
2𝜆
𝑑
m
−2
0
−1
2
1
102
Procedimiento.
Caracterización de rendijas múltiples.
1. Usando un láser de longitud de onda conocida, iluminar
alguna de las rendijas múltiples proporcionadas y, a partir del
patrón generado y proyectado en una pantalla (colocada lejos
de las rendijas, Figura 7), deducir el número de rendijas que se
tiene.
2. Medir la separación entre máximos principales (los más
brillantes), específicamente entre el orden 𝑚 = 0 y los 𝑚 =±1. Con esta distancia y la distancia a la pantalla, calcular la
separación entre rendijas (d) haciendo uso de la ecuación (2).
Nota: No en todos los casos se puede hacer la aproximación
de ángulo pequeño.
3. Una vez calculado d, calcular la densidad de líneas por milímetro (𝜌).
4. Repetir lo anterior para todas las rejillas disponibles.
Uso de una rejilla múltiple para calcular la longitud de onda de una fuente monocromática.
1. Usando dos de las rejillas disponibles (de preferencia con 𝜌 grande), calcular la longitud de onda de
dos láseres distintos haciendo uso de la ecuación 2 para orden 𝑚 = 1 y orden 𝑚 = 2.
Uso de una rejilla múltiple para analizar una fuentes de luz.
1. Usar la rejilla de 600lineas/mm y colocarla en el
espectrómetro de la forma mostrada en la Figura 8.
2. Analizar dos fuentes de luz espectral mediante el
sistema montado en configuración de rejilla de
transmisión. Medir las posiciones angulares de las
principales líneas espectrales de la fuente para el primer
orden (m=1) y para el segundo orden (m=2).
3. Con la información anterior, calcular la longitud de
onda de las principales líneas espectrales de cada
elemento.
Nota: Antes de hacer mediciones, asegurarse de que el espectrómetro está alineado.
Datos Importantes.
1. Tabla con datos de mediciones para la caracterización de las rejillas, incluyendo d, 𝜌 e incertidumbres.
2. Tabla con datos de mediciones para el cálculo de longitud de onda de una fuente láser, incluyendo la
longitud de onda obtenida e incertidumbres.
3. Tabla de posiciones angulares medidas para las líneas espectrales de una fuente de luz y su valor de
longitud de onda correspondiente calculado, incluyendo incertidumbres (tanto para el orden 1 como
para el orden 2).
Referencias.
[1] R.A. Serway, R.J. Beichner. "Física para ciencias e ingeniería". 5° edición, McGraw-Hill. 2002
[2] https://sites.google.com/site/laboratoriodeopticabb/ Práctica 15 Rejillas de Difracción.
Rayo de
orden m=0
Rayos de
orden m=1
Rejilla de
difracción Fuente
de luz
Figura 8. Arreglo experimental para análisis
espectral con rejilla de difracción.
Figura 7. Montaje experimental.
Láser
Flexómetro
Pantalla Rejillas
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