operadores tensoriales de concomitanciaconexión de levi-civita. es claro que la forma en que...
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Di r ecci ó n:Di r ecci ó n: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293
Co nta cto :Co nta cto : digital@bl.fcen.uba.ar
Tesis de Posgrado
Operadores tensoriales deOperadores tensoriales deconcomitanciaconcomitancia
Schifini, Claudio Gabriel
1984
Tesis presentada para obtener el grado de Doctor en CienciasMatemáticas de la Universidad de Buenos Aires
Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.
This document is part of the doctoral theses collection of the Central Library Dr. Luis FedericoLeloir, available in digital.bl.fcen.uba.ar. It should be used accompanied by the correspondingcitation acknowledging the source.
Cita tipo APA:
Schifini, Claudio Gabriel. (1984). Operadores tensoriales de concomitancia. Facultad deCiencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1828_Schifini.pdf
Cita tipo Chicago:
Schifini, Claudio Gabriel. "Operadores tensoriales de concomitancia". Tesis de Doctor. Facultadde Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 1984.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_1828_Schifini.pdf
Tesis 1828¿j.2
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Tema de Tesis
OPERADORES TENSORIALES DE CONCOMITANCIA
Autor
LIC.CLAUDIO GABRIEL SCHIFINI
Director de Tesis
DR.RICARDO J. NORIEGA
Lugar de Trabajo
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
TESIS PRESENTADA PARA OPTAR AL TITULO DE DOCTOR EN CIENCIAS
MATEMATICAS
4984-
AGRADECIMIENTOS
Al Dr.Ricardo J.Noriega, por su invalorable ayuda intelegtual y espiritual.A mi mujer, por su constante e incondicional soporte.
A mis hijos, por su inconsciente estimulo.
A mis padres y hermanos.
A la Sra.Silvia C.López, quien con gran dedicación y capacidad profesional realizó la mecanografia.Al Sr.Julio A.Corvalán.
Al Departamento de Matemática que me brindó el lugar detrabajo indispensable para la realización de esta tesis.
A los amigos y compañeros que me ayudaron y alentaronen estos años de trabajo.
INDICE
INTRODUCCION
PRELIMINARES
OPERADORES TENSORIALES DE CONCOMITANCIA
OPERADORES ESCALARES DE CONCOMITANCIA: APLICACIONES
TENSORES CONCOMITANTES DE UNA METRICA Y UN COVECTOR
EXPRESIONES DE EULER- LAGRANGE Y ECUACIONES DE CAMPO
5.I - EL TENSOR MOMENTO-ENERGIA Y LAS ECUACIONES DE
EINSTEIN-MAXWELL.
5.II- EL TENSOR MOMENTO-ENERGIAY LA ECUACION DE KLEIN
GORDON.
APENDICE I: K-JETS
APENDICE II
INTRODUCCION
En el presente trabajo se han perseguido los siguientes dos
objetivos: por un lado, encontrar una formulación adecuada de la
clásica teoria de concomitantes introduciendo la noción de opera
dor de concomitancia. Por otro lado, lograr nuevos resultados en
esta teoria y usarlos para obtener aplicaciones a la fisica-matemática;más precisamente para, mediante el uso de principios variacionales,
deducir ciertas ecuaciones de campode la fisica teórica.La noción intuitiva de los concomitantes tensoriales es senci
lla de explicar en los casos elementales. Por ejemplo, si en una
variedad diferenciable Mntenemos un campovectorial X y una 1-forma
w, para cada carta local (x,U) de Mserá:
n _ a n
X = Z al . y w = z bi dx , en Ui=l 8x i:
Podemos considerar entonces la función LU2Uaim dada por:n n
LU(p) = Z al(p) bi(p) , v p E Ui=1
Es facil de verificar que si (%,Ü)es otra carta local en M
con U n Ü # m entonces LU/ con lo cual tenemosU
= LN InÜ U/U nÜ
definido un "escalar" sobre M, es decir una función L:M aim
Decimos que este escalar es concomitante del campo XU.
y de la 1-forma w sii existe una función inmzn mCR(operador escapor L/U = L
lar de concomitancia) tal que para cada carta local (x,U) de Mes:
L(p) = F(al(p),...,an(P), bl(p),...,bn(p)) , v pesa
En este caso la función F está dada por:n
F(x1,...,xn,yl,..,yn) = _Zlxi yil:y es importante notar que la función F está definida independientemente de las cartas Locales de la variedad.
Un ejemplo clásico de concomitante es la conexión de Levi-Civita
de un espacio pseudo-Riemanniano. Si G es una pseudo-métrica sobre
una variedad M, para cada carta local (x,U) de M será:n . .
G = Z gi]. dxl a dxJi,j=1 '
Podemosformar entonces los simbolos de Christoffel Fïsz +ZRcomo:
i :1 is _ij -2 (gjs,k+ gks,j gjk,s)
(flMD
LQl
donde, por definición, gjslk = agjs/axk. Es sabido que las n3 funcio
nes FÉk asi definidas son componentes de una conexión, la llamada
conexión de Levi-Civita. Es claro que la forma en que FÉk depende u
de los gij y de sus derivadas parciales es la mismacualquiera seala carta local de la variedad, así que nuevamente tenemos la noción
de concomitante. La función F correspondiente es en este caso mucho
más complicada de escribir pero se ve que sus "variables" son los
coeficientes gi y sus derivadas parciales. Esta aparición de lasjderivadas parciales es lo que hace natural trabajar en la teoríade jets para obtener una formalización adecuada.
En la Sección l se recuerdan los conceptos elementales de la
teoria de jets que serán necesarios en las subsiguientes secciones.
En la Sección 2 se definen los operadores tensoriales de conco
mitancia. La idea básica es que la noción de concomitante se reduce
a la existencia de una cierta función F:JRnmfiRmtal que si se
reemplazan las variables de F por componentes de tensores de un tipo
fijo y sus derivadas parciales, entonces lo que resulta son componen
tes tensoriales de un tipo fijo (Definición 2.6). A continuación se
definen las identidades de invariancia [15] que resultan ser herramien
tas fundamentales para 1a determinación de los concomitantes.
En la Sección 3 se aplica la formalización indicada para obtener
teoremas particulares sobre escalares concomitantes. Se obtienen en
esta sección la forma general de: Los escalares concomitantes de un
campovectorial y una l-forma (Teorema3.3), los escalares concomitantes
de un tensor pseudométrico y de un campovectorial (Teorema 3.5), los
escalares concomitantes de un tensor pseudométrico, de un escalar
y de sus primeras derivadas (Teorema3.7), los escalares concomitantes
de un tensor pseudométrico y un tensor antisimétrico no singular (Teo
rema 3.9), y los escalares concomitantes de un tensor pseudométrico y
una l-forma (Teorema 3.11).
En la Sección 4, una vez asentada la formalización de la teoría,
se recupera la notación clásica y se encuentran los tensores de tipo
(r,s) para r + s=<4 concomitantes de un tensor pseudométrico y una
l-forma (Teoremas 4.2, 4.3, 4.4 y 4.5).
La Sección 5, última sección, está dedicada a la aplicación a la
fisica-matemática de algunos de los resultados anteriores. Unade las
aplicaciones, no incluida aqui ya que pertenece a otro autor [2],consiste, a partir del Teorema4.5, en encontrar todos los Lagrangianos
concomitantes de un tensor métrico, una l-forma y sus derivadas parcia
les.hasta cualquier orden, compatibles con las unidades fisicas en
cuestión (de longitud, de tiempo, de carga, etc.)[l]. Las aplicaciones
incluidas son dos y en ambas se demuestra que la elección habitual del
tensor momento-energia da lugar a las ecuaciones de Maxwell en la
teoria de Einstein-Maxwell (Teorema 5.2) y a la ecuación de Klein
Gordon en el correspondiente caso (Teorema 5.3).
Con la intención de que este trabajo sea autocontenido para
una persona con nociones básicas de geometria diferencial, se desa
rrolla en la Sección 6 (Apéndice I) la teoría de k-jets bosquejadaen la Sección 1.
Por último, se han relegado a la Sección 7 (Apéndice II) el
análisis de ciertos aspectos de la teoría de k-jets en el caso
particular en que el contexto sea el de 1a Sección 2, así como
parte de la demostración del Lema2.2 de esa sección.
1. PRELIMINARES
Sean My P variedades diferenciables de dimensiones m y m+n
respectivamente, y sea nzP + Muna submersión suryectiva (o sea,
una aplicación Ccnsuryectiva tal que su diferencial r*p: Pp e Mn(p)es epimorfismo V p E P).
Una ¿acción Kocmfide n es una aplicación s:U + P, donde U
es un abierto de M, tal que n o s = id. Notaremos con F(U,P) al
conjunto de todas las secciOnes locales C"ode n con dominio U.
Dado k E No, dos secciones locales Cen de n, 51€ F(U1,P) y
52 E r(U2,P), se dice que están (para xo G U1 n U2) h,x0-ne¿ac¿ona
daá (sl íïío sz) sii, en cartas locales, las derivadas parcialeshasta el orden k de s1 y 52 Coinciden en x
Se define Ph(x) comoel cociente, por esta relación de equi
valencia, del conjunto de todas las secciones Coo de n con dominio
algún entorno abierto de x, para cada x G M; y Ph como la unión
de todos los Pk(x) para x E M.
Se define la proyección uh: Pk + M de 1a manera natural:
nk(y) = x sii y e Pk(x).
Para s E P(U,P) se define el h-jet de s a la aplicación.k _J (ó):U * Pk dada por: jk(s)(x)= sk'x = clase de equivalencia de s
por la relación EN; definida antes.I
Para k y z G No, con k > L, se define la pnoyecc¿ón canónácade los k-jets sobre los z -jets comola aplicación
nÏ : pk + p1 dada por wÏ(jk(s)(x)) = j‘(s)(x).
Es facil ver que P° z P y por lo tanto se identifican.
Una canta de cooadenadaó adaptada pana P es una terna. m m n
(u, 90,9), donde U es abierto de P y wo:n(U) + R y w:U + R x.R
son difeomorfismos que conmutan el siguiente diagrama:
U ———Ï__5> Rm x Rn
W P1
ww wmn(U) ___Ál___;> R
donde Pl es la proyección sobre el primer factor.
Para cada carta adaptada (U,%3,o), sean:_ k-l
VU — (No) (u)
y (1.1)k .
h = m + n + n z ci ii=l ’
donde cá i indica las combinaciones con repetición de m elementos1
tomados de a i.
Si y G VU, entonces existe Wentorno abierto de wk(Y) en M
y s e F(W,U) / y = jk(s)(nk(y)). Se definen entonces:
sl = ql o s o wgl (V 1 < i < n)
Y
l = D (sl), (v 1st s k, l<.u1< ...< at< in)al...dt al...utdonde al indica la coordenada m+i de la función w (notamos' l mW=(WI'--IWIV1;-a.,@n)).
Definimos entonces:
Ók: VU + Rh por:
<I>k(y)= (mom, Si(wo(X)),...,s: al... k(«90(x))),
Trk (Y) .donde x
La familia de todos los (VU,ok) le dan a Pk una estructura devariedad diferenciable de dimensión h, dado por (1.1), con la cual
k{(VU,ok)} resulta ser un atlas Co para P .
2. OPERADORES TENSORIALES DE CONCOMITANCIA
2.1. Introducción
Sea Muna variedad diferenciable de dimensión m y, para un
númeronatural c y enteros no negativos rl,sl,...,rc,sc, sea:rl r
= UP (T (Mp) X ... x TS
c(M )) , (2.1)96M S1 C
ic
donde T:(Mp) es el producto tensorial de Mp(r veces) y Mp<sveces).Sea:
w:P + M dada por: r.\ = i i 3 . g .g
W(bl, .,SC) p s11 b.t'Tsj(Mp), V l j cSea:
c (r.+ s.)n = Z m 3 3 (2.2)j=l
Para cada carta local (X,U) de Mconsideramos el conjunto
n_l(U). Luego:_ r rSEWlW)°3p€IJ/SEÉFlM) X.n><TCM) e
sl p sC p:3 r.o p e U / s = (81,..,s ) con s.e'r 3<M), v 1 <jsác. Por lo tan
c 3 sj pto, para 1<j<c, serái ...i h hl r- a a l ss. = a . 3 . . ...
J (])hl.._hs [ ll] a ... o [ l a (dx )p a ®(dx J)P. r.J ax p ax J
P
Definimos entonces:
tU:7F1(U) e x(U) x zm“ pori ...i i ...il r l r= 1 CtU(S) (x(p), a(l)h ...h , ... , a(c)h ...h )
y l sl l sC
Comoen el caso del fibrado tangente, TM,es fácil ver que las
aplicaciones t determinan sobre P una estructura de variedad difeU
renciable de dimensión m+n, donde n esta dado por (2.2), con la cual-l
la familia {(tU, N (U))} resulta un atlas C(”de P. Es fácil ver
también que, con esta estructura diferenciable,n resulta una submer
sión suryectiva. Por lo tanto (Ver Sección l) podemosconsiderar,
para cada k ÉZNO,el espacio de los k-jets, Pk, correspondiente a lavariedad P definida en (2.1).
Si a = {(X,U)} es un atlas Cmde M con x(U) = Rm, se obtiene
a partir de a un atlas Cooa' = “tu, w-1(U))} de P con la propiedad
de que tU(w_l(U)) = ZRmx En. Luego el atlas a nos proporciona unafamilia de cartas adaptadas para P, {(n_l(U), t )} cuyos dominiosU'X
cubren P. De aquí, usando los resultados de la Sección 6, obtenemos,
para cada k entero no negativo, un atlas Cmak={(®k, V )} de—l
Pk , k h . T"k (U)tal que ó (V _1 ) = IR , donde V _l y h(=dim P ) están daw (U) W (U)
dos por (1.1) y n está dado por (2.2).\
Consideremos ahora un elemento p de Mfijo y una carta local
(X,U) de M alrededor de p tal que x(U) = Rm. Sea k EZNO
Para cada carta (Ï,U) de M con ;(U) =2Rmdefinimos:
w:(;):iRh_m + IRh la aplicación (Cm)dada por:
w:(ï) (bi,bí ,...,b: _..a ) = 3k o (ok)'l<x<p>,bi'bí'---rb: ...a )'l k 1 k
donde l<i<n (n el dado en (2.2)) y 1<al=<...<at< m, Lítík.
Sea A el conjunto de todas las funciones w:(g) para cartaslocales de M(&,U) con &(U) =1Rm
2.2. Lema
A ¿ó báyectávo a GL(m,R) x Rq.
donde GL(mflR)indica el conjunto de matrices inversibles demxm . k+ +
R y q = d1m(M x M) l - 2m —m2 (donde(M x M)k l es el espacio
de los (k+l)-jets correspondiente a la variedad MxMcon la proyección
natural sobre el primer factor).
Dem.:
Sea:
fA -> GL(m,]R)leq
dada por:k N i i if X -()r---IB--
(wp( )) J p 3132 p 31.._3k+1 p
dondes l
B1 = a xj o--j mj jl S axl...a?¿s
á \' <' á á á ,V l 31 32 . js m, V l s k+l
Noes claro, en principio, que f esté bien definida. Sin embar
go esto es verdadero y su demostración, por lo engorroso de su nota
ción ha sido relegada al Apéndice II- Sección 7.
Por el contrario, como x o Ï—l es una aplicación inversible,
es claro que BÉ(p) e GL(m,RJy por lo tanto, efectivamente,f(A) c GL(m,IR) x IRq.
Para probar el lema definimos:
g:GL(m,IR) x IRq —> A
de la siguiente manera:i i i q NDado (C.,C. . ,...,C. . ) E GL(mJR) x IR , sea (x,U) unaJ 3132 m Jl---Jk+1
carta de M con &(U) =ZR tal que:
;(p) = X(p)
i iB. = C.
J (p) J
Bl. .(P)=ci. . v 2<1.<k+l31...]t 31...3t
Es claro que una tal carta siempre existe (bastaría,
por ejemplo, componer x con el polinomio de grado1g k+l cuyos
coeficientes son los c; . ).1...3tDefinimos entonces:
i i i k mC. C. . ... C. . ) (x) (2.4)g( 3’ 3132’ ’ Jl-»-3k+l p
Comoantes, y por la misma razón, también relegamos la demostra
ción de la buena definición de g al Apéndice II- Sección 7.
De la definición de g se desprenden automáticamente las igualda
gofzid, f°g=id I
de donde g = f_l y por lo tanto f es biyectiva. ///.
2.3. Definiciones
En particular podemos considerar M= Rm, para algún m natural,
p=0 y (x,U) = (id, Rm), la carta usual de ZRm.
Cada elemento de A, definido en 2.1, es una aplicación (diferenh-m hciable) de ZR en ZR. El lema 2.2 nos permite, por lo tanto, defi
nir una acción para cada kelüf Sea:
h h-m h-mH : GL(m,]R) x IRq x IR -> JR dada por:
Hk<B,b) = n'(f‘l<B)(b>), (2.5)
V B E GL(mJR) x ZRq, V b EZRh_m; donde f_1 es la aplicación dada
en (2.4) y n':Ph 9 ZRh_mes la proyección sobre las últimas h-m
coordenadas de ZRh.
Diremos que un abierto V de ZRh-mes ¿nvahianie por Hk sii
Hk(GL(m,1R) x JRq x V) C V
2.4. Observaciones
La acción Hk definida por (2.5) será de fundamental importan
cia en nuestra futura definición de operador tensorial de concomi
tancia. Por esta razón es necesario el perfecto entendimiento de
su comportamiento. En las siguientes lineas es nuestra meta lograrese cometido.
Cada elemento C e GL(mJR) xZRq es de la forma:
i,..,,c. . ),C = (ct,J1°“3k+1
ci .J 3132
donde, por supuesto, l<i, jím y l<j á ...<j < m para todol.<s.<k+l.
Dado C vimos en 2.2 que existe una carta (ïflRm) tal que:
,u B? . o =c% . v1<s<ku( 31...]s( ) 31...js ’
aïjl mjsdonde B; j = a X / ..ax . Quedan definidos por lo tanto:l...
Definimos entonces un elemento D = (D%,D%. ,...,D% . )3 3132 J1"'3k+1
de XIRqpor:(2) D? .= A? . (0) , v 1<Ssgk+1Jl...js 31...js
Es facil ver de aquí que:
2.6
i r —l iD. = c .
3 (< s) >j. . z z .
D% . = -D% 0.1 D.2 CJ3132 3 J1 J2 2112
. . 5L l . 9. 2 . l JL .
(3) D% . . = ¿{[D%. D.l D.2 + D? D.l. D.2 + D% .1 D.2. CJ v< J13233 333 J1 32 3 J133 J2 3 31 J233 2122
. Q] 2/ .
+ D% D%1 D.2 D.3 CJ }3 J1 J2 J3 112223
k
donde en general, inductivamente, los siguientes D; . se obtienenl... sde la igualdad:
i i a iD. . = A. . (O) =-———v— (A. . )(0)Jl...js 31...js axjs 31...js_1
reemplazando luego por las igualdades (l) Y (2).
Ahora bien, cada elemento bEÉRh_mpuedeser pensado en la forma:
i ...i i ...i i ...ib = (b 1 r2 , b(:)j rzj a,...,bQ%j rg a a )(Z)jl...]s l sl l SLl k
Luego será:
Hk(c,b) = n'(f’l(c)(b)> = w'(w:(ï)(b)) = n'(<3k o (ok>‘1>(o,b)).(2.5)
Teniendo en cuenta el Apéndice II-Sección 7 y las igualdades
(3) resulta que:h ...h h . h “h ---h
k m 1 r" N 1 ‘° r 1 rC b = 2 ... b L )H L ’ ) (b(z)tl..ÍtS ’ b(z)tl...tS 8' ' (Z)t1'°'ts B1""Bk
z 2 2
donde
ghl...hr2 _ Dhl Dhr2 31 38 11...1r— . . c ... c 2 b . 2.
mh ...h h h h h h j ' fi(:)t rzt ={[Dilj D12 ... Dirl + ... + Dil ... Dir1j1Ct1”.CtSRC‘+
1 s23 l 2 r2 l ri l s2
+[Ct Bot ... ct 2-+... + ct ... ct lg Di... Di 2]-b(2). 2. +1 2 s 1 1 r j1“'3s2 2 2
h h j j a i “.1+ D11... Dir2 ctl... ctsz cB b(í). Il.
1 r2 l s 3l"'Js;'
y en general las expresiones de las siguientes componentes se consii ...iguen considerando para cada 2 a b(:)j rïjl... s
2 . men el punto 0, de un tensor de tipo (r2,sz) en la carta (id, R ) y
como las coordenadas,
calculando formalmente los cambios de coordenadas a la carta (¿,2Rm)
del tensor y sus derivadas hasta el orden k, y reemplazando luego
por las igualdades (l) y (2).
Es claro entonces que Hkresulta ser una función diferenciable.
Estamos ahora en condiciones de dar nuestra definición de ope
rador tensorial de concomitancia. Damosprimero una definiciónauxiliar.
2.5. Definición
Sean m,r,s,w,k EZNOy sea V un abierto deZRh-m (h el dado por(1.1)).
h-m m(r+s) . , ,Dada F:V CZR a ZR se define la apilcaQLÓH aAociada
a F a la función:m(r+s)
A(F): GL(mJR) x ZRq x V á ZR dada por:
il...ir w il iv 21. 2 hl...hrA(F). . (B,b) = J B ...B ‘ A. ... A.S F (b) (2.6)31...js h1 hr 31 js 21...zs
donde q está definido en 2.2, B = (B%,B%. ,...,B% . )3 J132 J1"'3k+1
. _ . te GL(m_.IR)x JRq, AJ]?= ((BÏ) l); y J = det(BR).
2.6.Definición
Sea c un númeronatural y sean m,r,s,w,k,rl,sl,...,rc,sC enterosno negativos.
Un h-openadon tanóonáafi de (n1,ó¡;...;&c,óc)-c0ncom¿tanc¿a detipo (r,s) y peso w es una función diferenciable
_ (r+s)sz C ZRh m e ZRm
definida sobre un abierto V deZRh—m(h dado por (1.1)) invariante
por la acción Hk tal que:i ...i i ...i.1 .r o Hk(B,b) = A(F).1 .r (B,b) (2.7)31...js 31...]S
donde Hk está dada por (2.5) y A(F) por (2Q6).
2.7. Definición
h_m m(r+s)Si F:V CSR 9 ZR es un k-operador tensorial de
(r1,sl;...;rc,sc)-concomitancia de tipo (r,s) y peso w, entoncesde (2.7) se sigue que:
i ...i i ...il r o Hk) = X(A(F) l rX(F. . . .31...js 31...] ) (2.8)
s
'para todo X vector tangente a (GL(mJR) x ZRq) C (GL(mJR) xZRq x Rh—m)
Las identidades (2.8) reciben el nombre de ¿dentidadeó de ¿nva
n¿anc¿a para F.
2.9
2.8. Definición
Estamos ahora en condiciones de definir la noción clásica de
"tensores concomitantes de ciertos tensores".
Aunquelas definiciOnes deben darse en cada caso particular, es
posible dar una definición general de este hecho con ciertas imprecisiones.
Si L es una densidad tensorial C0°de tipo (r,s) y peso w sobre
una variedad diferenciable Mm-dimensional y T:j€ Drj(M) (campos
tensoriales ¿n de tipo (rj,sj)) para l ágsíc, decimos entonces que:L es concom¿íanie de los tensores TS? y sus derivadas
hasta el orden k sii existe un k-operador tensorial de
(rl,sl;...;r ,sc)-concomitanciade tipo (r,s) y peso wc_ (r+s)
h m'*ZRm tal que:FzV C Il
i) V es un abierto invariante (que depende de los tensores dar.dos T 3).s.
J
ii) F satisface ciertas propiedades (que dependen de los tensoresr.dados TSJ).j
iii) Para cada carta local (x,U) de M
i ...i i ...i i ...i i ...irL.l .r(p) = F.l .r(a 1 . r2. (p);a l . 2 . (p),--31...]s Jl...js (z)jl...JS (2)]1...js ,a
2 2
il...ira . 2. V EU
(2)jl...]SQ,a1..dk(p))’ P
donde (2) significa colocar todas las variables parai ...i rl< 1<c, a l r2 indican las coordenadas de T52 en esa
(2)]l...]sl gcarta y la comaindica derivada parcial usual.
2.10
Es claro que las imprecisiones de esta definción radican
en la determinación del abierto invariante V(i)) y en las propie
dades que debe satisfacer el operador F (ii)). Por el contrario, la
condición iii) es bien precisa y es, en definitiva, la condición
fundamental que debe cumplir el operador F para que L sea concomi
tante; por lo tanto dicha condición será una constante en todas
las definiciones particulares. Comoejemplo definimos.
2.9.Ejemplo
Sea L una densidad tensorial de tipo (r,s) y peso w, y sean
G E D;(M) un tensor simétrico no-singular y w e D1(M) una l-forma.
Decimos que L es concomitante de G hasta el orden kl y de w
hasta el orden k2, o sea:L= ; )'...h
1 k1 2
sii existe un k-operador tensorial de (0,2;0,1)—concomitanciah_m m(r+s)
(k=máx(kl,k2)) de tipo (r,s) y peso w F:V C ZR * ZR talque:
. mi) V = GL(mJR) x IR ,
i ...iii) F.l .r / es simétrica V be Rm, o sea:31-“35 GL(m,]R) >¿{b}
i .... i i . ... .i.F.1 .r (a,b) = F.l . r(at,b),donde at signifiJlI-o'js 310.0038
ca transpuesta de a.i ...iaFj1 jr
iii) Sl k=kl __;____s_ = o I V k2<¿t<]<axha a
i ...iaFjl jr
Sl k=k2 l S = 0 I V kl<ít< k
0.3xhlhzal... t
iV) Para cada carta local (x,U) de M
i ...i i ...iL.l .r(p = F.l .r (g (p);w (p); 931...]s 31...js l lj,a(p); w. (p)1,a ;...;ij
' egijldl...0(.k(p)'wilal...ak(p))r V p U
donde G = g‘* dxl Q dxj Y W= W Xm en esa carta Y donde lad'J ...L
comaindica derivada parcial usual.
3. OPERADORES ESCALARES DE CONCOMITANCIA: APLICACIONES
En la presente Sección mostraremos comolos conceptos desarro
llados en la Sección 2 pueden ser usados para demostrar algunos nue
vos resultados de la teoría de los escalares concomitantes. Los argu
mentos aquï usados se basan fundamentalmente en el exacto conocimien
to del dominio de definición de cada concomitante. Esto en general
no ocurre con el tratamiento clásico en donde los espacios en los
cuales se trabaja no están definidos con precisión, lo que hace
que ciertos argumentos de la teoría de variedades puedan no enten
derse con claridad. Por este motivo, y para reforzar nuestro concepto,hemos incluido también redemostraciones de ciertos resultados
ya conocidos de la teoría.
Trataremos aqui con operadores tensoriales de concomitancia
de tipo (0,0) y peso 0, que es considerar r=s=w=0en la definición
2.6 de la Sección 2. Por su importancia damosentonces la siguiente
definición particular:
3.1. Definición
Unk-operador zócaian de (rl,sl;...;r ,sc)—concomitanciaces una función diferenciable F:V C Rh_m mfiR definida sobre un
abierto invariante V tal que:
kF o H (B,b) = F(b) (3.1)
3.2. Definición
Sea L:M ¿CR un escalar definido sobre una variedad diferencia
ble m-dimensional M y sean w G D1(M) Y‘fie D1(M) una 1-forma
y un campovectorial respectivamente tales que w(w) es nunca nulo.
Diremos que L es concomitante de w y w , o sea L = L(w.;w ),1
sii existe un 0-0perador escalar de (0,1;1,0)-concomitancia
F:ZR;É + ZR tal que, para cada carta local (x,U) de M:
L®>==Fwiw>mim)n VpEU 6.a
donde w = wi dxi y w = ol . en esa carta.3x1
3.3. Teorema
Si L es un escalar concomitante de una l-forma w y un campo
vectorial w , tales que w(w) es nunca nulo, exiéte entonces una
función f:R?¿o v ZR C0°tal que:
L = f o w(w) (3.3)
Dem:
Por la definición 3.2 existe un 0-operador escalar de (0,1;1,0)
concomitancia inRíg v ZRverificando (3.2).
Como k=0 es dim(M x M)l= 2m-m2. Tenemos entonces,por (1.1) y
l que:n=2m , h=3m, h-m=2m y quo.
De aquí, la acción H(=H°) definida por (2.5) es, como puede
observarse de 2.4, la aplicación:
2m 2mH:GL(mJR) xZR#0 9-2R#0 dada por:
H(B,a,b) = (B; ai,(B_1)É bj) (3.4)
v B E GL(m,R) , V(a,b) e Rig.
3.3
Se sigue de 2.7 que F debe satisfacer las identidades de inva
riancia (2.8) correspondientes. Notamos:
(B?! Xiryj)m
las coordenadas de GL(mJR)x Río . Deben satisfacerse entonces lasecuaciones:
(¿7) (Fo H) = o (3.5)aBt. «3,a,b)
V lás, t<m y V (C,a,b) E GL(m,]R) XJRÏÉ)l. Pero:2m i
B OH(__LF_>) = Í (DiF) (H(C,a,b)) (—ïH—) =
aBt (C,a,b) aBtm i
= Z (35-)(H(c,a,b)) (—ïE—) +1:1 axi aBs @:,a,b)t2m l
8 3 H+ IaIb))l=m+l a y(l"m) a (Crarb)
Si notamos:
Fl = _ïE_ Y Fi = iii, V 1<;i<n1ax. sYll
la igualdad anterior puede escribirse en la forma:
8(FoH) i BHl(—-) = F ) +3B: (C,a,b) igl 3B: (C'a'b) (3.6)
2m iZ F. (H(C,a,b)) (—3H—)+ i-m s
i=m+l aBt (C,a,b)
Por otra parte,de “(3.4):
Si l‘;i< m es Hi(D,u,v) = Di uj, luego:i
_3H = at( s) as i (3.7)
3Bt (C,a,b)
y si m+l gigzmes Hl(D,u,V) = (D_J’)Jj‘-mVJ, de donde ,teniendo en
cuenta que 3(B-1)É / 8B: = —(B-1)É (B_l):, resulta que:
a i .. _ _ ._( ——Ég—) = -b3(C 1); (c 1): m (3.8)
aBt (Cralb)
Reemplazando (3.7) y (3.8) en (3.6) resulta que:
m
(34M) = Z Fi(H(C,a,b)) as 6':313: <C,a,b) 1:1
2m . .
- z Fi_m(H(C,a,b))b3(c_l)É(61):“.i=m+l
En particular podemostomar C=I (matriz identidad), luego
H(I,a,b) = (a,b). Usando (3.5) tenemos que:
Fl(a,b)a. = F.(a,b) bi3 J
2mIV (a,b) EJR V líi, j<m , o sea:
Fx.=F.y.,V1<i, j<m (3.9)
A = Ka,b)EZR;É :3 1<i<m con ai=0]-U‘U'{(a,b)€ 12:18:} l<j<m con b]: 0}.
Luego en ÏRÉÉ- A será por (3.9):
i _ i _ 2m _F — c y , F. c x. en ZR#0 A
F = c y. , F. = c x. en ZR#O (3.10)
EPara cada t IR#0 sea
, , 2m i= ’ =St ilx,y)€ZR#0 . xi y t}
Luego St es una hipersuperficie en Rzm. Sea i:S 9 ZRÉÉla inclutsión. Luego será:
d(F/s ) = d(F o i) = 1* (dF) =t.* i i _1 (F‘ dxi + Fi dy )
(por 3.10))
= i (cyl dxi + c xi dyi) =
.* il (cd(xiy )) =
_ -* i _— c 1 (d(xi y )) —
c d((xi yi)° i) =((xiyi)o i = cte)
De donde:
F/ = constante.S t
O sea, existe fflR#0 *GRtal que:
F/S = f(t).t
Luego V(a,b)€EZR:€ tal que ai bl#0 es:
F(a,b) = f<<xi yi)(a,b>) (3.11)
Ahora bien, dado p‘EM, sea (x,U) una carta de M alrededor de
p. Luego w = wi dxl y o = ml ( a i) en esa carta. Como w(v) es8x
nunca nulo resulta wi ml nunca nulo,y por lo tanto de (3.2) y(3.11) resulta que:
L(p) = F(wi(p), wl(p)) = f(wi(p) 91(p)) =
= (f o WMHP)
3.4. Definición
Sea L:M 9'ZR un escalar definido sobre una variedad diferencia
ble m-dimensional M. Sea G E D°(M) un tensor 2-covariante, simétrico2
y no-singular, y sea w E D1(M)uncampovectorial, tales que
G(w,w) sea nunca nulo.i
Diremos que L es concomitante de G y w , o sea L = L(gij; W ),sii existe un O-operador escalar de (0,2;1,0)—concomitancia
F:GL(m, IR) x 12:0 -> IR tal que:
i) F/GL(mJR)X {b}es simétrico V b EZRZO , o sea:
F(a,b) = F(at,b) (3.12)
V a‘íGL(m, R), V b EZREO,donde at significa transpuesta de a.
ii) Para cada carta local (x,U) de M:
14m =Fküj@)wi@)h Vpeu <&1m
en esa carta.donde G = gij dxl E dxJ y w = w i
3.5. Teorema
Si L es un escalar concomitante de un tensor 2-covariante, simé
trico y no-singular G y de un campo vectorial w, tales que
G(w,w) es nunca nulo, ex¿óte entonces una función f:ZR#U¿Iï C0°talque:
(3.14)
Dem:
Por la definición 3.4 existe un 0-operador escalar de (0,2;l,0)—
concomitancia F:GL(mflR)x ZR20‘*IRverificando (3.12) y (3.13).
Comok=0 es(como en el teorema 3.3) q=0. Calculando (1.1) y
(2.2) en este caso resulta que:
n = m2+ m, h = m + m2 + m, h-m = m2+ m.
De aqui, la acción H(=H°)definida por (2.5) es la aplicación:
_ m a mH. GL(mJR) X GL(mJR) XZR#O GL(mJR) XZR#O
dada por:
H(B,a,b) = (B: B; a bj) (3.15)
Notamos:i i
las coordenadas de GL(mJR) x GL(mJR) ximïoLuegoF debe satisfacer las identidades de invariancia (2.8).
Estas son:
8 ) (F o H) = 0 (3.16)s (C,a,b)
aBt
v l‘ís, t=<m , V (C,a,b)€ GL(mJR) x GL(m¿R) xzmgo. Si notamos:
Fl] “ BF , y Fi: BF , v 1<1, 3<max. il] aytenemos que:
m .. _ i](—3—g) (F o H) = Z Fl](H(C,a,b)) ( SHS ) +3B (C,a,b) i,j=1 8B (C,a,b)t t
m i
+ Z Fi<H(c,a,b>>(a HS)i=l a Bt (C,a,b)
En particular si C=I (matriz identidad) será por (3.15):m ..
.. 133 F °
(—1———gïl> = Z F13(a,b> BH S / +aBt (I,a,b) i,j=l aBt (I,a,b)(3.17)
m i+Z iiiizl aBs /(I,a,b)t
Es fácil verificar que:
ij¿igg— = GÏ as. + 6? aisaBt /(I,a,b) 3 3 (3.18)
Y
iBH = _bt ¿1
sBBt/(I,a,b)
Luego reemplazando (3.18) en (3.17) se obtiene por (3.16) que:
3.9
th(a,b) asj + F3t(a,b> a. = F (a,b)btjS s
Pero (3,12) nos dice que:
th = FJt (3.19)
por lo tanto será:
tj _ tF (a,b)(aSj + ajs) —Fs(a,b)b
Si en particular consideramos a‘ESGL(mJR), donde con SGL(mJR)
indicamos el conjunto de matrices simétricas e inversibles, resulta
que:
tj _ t2F (a,b) asj —Fs(a,b)b
o sea:tj _ i t m
F xsj - 2 FS y , en SGL(mJR) XIR#0 (3.20)O también: .
> Ft]: á FS yt XS], en SGL(mfiR) XZRÉO (3.21)
donde xsj(a) = (a-l)sj. Usando (3.19) y el hecho que restringién
donos a SGL(mJR) es xij = xji resulta de (3.20) que, en SGL(mflR)ximgoes:
1 t _ tj _2 Fs Y xtz F ij tz
_ it __ F SJ th_ tj __ F Xst le_ tj_ F le th
l= — F y x
2 2 ts
o sea:t _ t
FS y xtz —Eh y xts (3.22)
_ m ‘ J _SeaA- {-(x,y)ESGL(m,R)x JR ::1<r<m con y x —0}.
Luego de (3.22) será:
m
= -—-———= c, en (SGL(mJR)xZR#O)‘AY th Y th
donde c es una constante. ComoSGL(mJR)es una subvariedad de
GL(m;R), por continuidad tendremos que:
F = c y x , en SGL(mflR)X Rmts #0 (3.23)
P E :ara cada t ZR#Osea
:l e m-st Kx,y) SGL(mflR) x ZR#O. xij y y t]
Luego St es una subvariedad de SGL(mJR) xZRÉO' .
Sea i:St 9 SGL(mJR)xiRïola inclusión.Consideremos F y las coordenadas del espacio restringidas a la
subvariedad SGL(m¿R)x ZRÉO.Son válidas entonces las relaciones(3.21) y (3.22). Tenemos entonces que:
n _ n* _
d(F/St) — d(F o l) - 1 (dF) —
- -* ij S _— 1 (F dxij + FS dy4) —
(por (3.21))
_ .* i i sj s _— l ( 2 FS y x dxij + FS dy ) —
(por(3.23))
_ .* í t sj i i j _— 1 ( 2 cy xts x y dxij + cy xij dy ) —
Sj _ j(xts X — ót)
ij
2 13
= —- C(d(( ij Yl YJ) ° 1)) =2 ij°.=((xij y y ) 1 cte)
:lC0=2
= 0
De donde:
F/st= cte = f(t)
para una cierta función f:IR#0 9 ZR.
Luego V (a,b)EÏSGL(m¿R) x ZRÉOtal que aij bl b:J # 0 es:
F(a,b> = f<<xij yi yj)(a,b)> (3.24)
Ahora bien, dado pÉEM,sea (x,U) una carta de M alrededor de p.
Luego G = g.. dxl m dxJ y w = ml al] en esa carta. ComoG(m,w)3x
es nunca nulo resulta que gi ml w3 es nunca nulo. Además esj
gij(q)€ESGL(mJR) V q E U. Por lo tanto de (3.13) y (3.24)tenemos
L(p> = F(g..un,wiwp>> = f(gijQÜ wi(p) qu») = (f ocaw,w>><p>
Q.E.D.
3.6. Definición
Sea L:M ‘*Im.un escalar definido sobre una variedad diferenciaO
ble m-dimensional M. Sea G €5D2(M)un tensor 2-covariante, simétrico
3.12
y no-singular y sea on +ZRun escalar, tales que G(grad m, grad m)
es nunca nulo.
Diremos que L es concomitante de G y w y sus primeras deriva
), sii existe un l-operador escalar3
de (0,2;0,0)—concomitancia F:GL(mJR) xZR xZRmx2R
das, o sea L = L(gij;gij,2;©;®,im
#0m
3
}es simétrica V(b,c,d) EZR x Hp x ZR#0
->IR tal que:
i) F/GL(m,IR> x {(b,c,d>
O sea:
F(a,b,c,d) = F(at,b,c,d) (3.25)
donde at significa transpuesta de a.
ii) Para cada carta local (x,U) de M:
L(p) = F(gij(p), <b(p),g (D), qbi(9)), V pEU (3.26)ijrl “
donde G = gij dxl E dxJ en esa carta y donde la coma indicaderivada parcial usual.
3.7. Teorema [9]
Si L es un escalar concomitante de un tensor 2-covariante, simé
trico y no-singular G y de un escalar .o y sus primeras derivadas,
tales que G(grad o , grad o) es nunca nulo, exióte entonces una
función f:ZR xZR#O +ZR Cmtal que:
L = f(o, G(grad Q, grad ó)) (3.27)
Dem.:
Por 3.6 existe un l-operador escalar de (0,2;0,0)— concomitancia
3
F:GL(m,]R) XJR XIRmxmgo + IR verificando (3.25) y (3.26). Eneste caso es k=l y por lo tanto es fácil ver que:
2m m + l)
q = —‘L———_—'2
Y (3.28)
h-m = m2 + 1 + m3 + m
De aqui, la acción H(=Hl) definida por (2.5) es la aplicación:
3 3
H:GL(m,IR) x IRq x GL(m,]R) xIR xIRm x320 + GL(m,IR) XIR lemlego
dada por:
_ r 2 r 2 r lH(B,a,b,c,d) — (Bi Bj ar2,b,Bis Bj arl+ Bi BjS ar2+
r l t j+ Bi Bj Bs crlt, Bi dj) (3.29)
donde B = (B;,B;l)<EGL(mJR) x IRq y q está dado por (3.28). Notamos:
i i(Bj, Bj2,xij,x,xijl,xi)
3
las coordenadas de GL(me x ZRqx GL(mJR) XZR ximm XZREO. Lasidentidades de invariancia correspondientes para este operador son:
(3 (F o ___03Bs (C,a,b,c,d>t
(3.30)Y
(a (F o ___0aBÏr (c,a,b,c,d)
Consideramos la siguiente notación:
.. " i BFF13: IFv=a_F,FlJZ=_3_E__,F=__.. x.
axij ax 3x132 a l
La condición (3.25) nos dice que:
Fij = Fji (3.31)
Luego es fácil ver que en particular tomando C=(I,0) y usando
(3.29) y (3.31) las ecuaciones (3.30) se convierten en:
it ijtF (a,b,c,d)(asi + ais) + F (a,b,c,d) cijs +
jti tij t =+ F (a,b,c,d)cjsi + F (a,b,c,d)cSij + F (a,b,c,d) ds= 0' (3.32)
y thr(a,b,c,d) (a . + a. ) = o (3.33)S] js
En particular si a E SGL(mJR)(matrices simétricas e inversibles)
resúlta de (3.33)que:
thr(a,b,c,d) asj = 0m3 m
y como a es inversible, en SGL(mJR)x R.x R. xim#0 es:
thrs o (3.34)
de donde reemplazando en (3.32) resulta:
de donde:
F = —l F x x ' (3.35)2
donde XSi(a) = (a-l)si. Comopor (3.31) el primer término de estaigualdad es simétrico en i y t también lo debe ser el segundo, luego:
t si _ i Xst (3.36)
3 Y
Sea A = {(a,b,c,d) E SGL(m,JR)XR lem xIRZO: 3 l<r<m conasr d = 0} .r
Luego de (3.36), tenemos que fuera de A:
st six x x xs s
donde c es una constante. ComoSGL(mJR)es una subvariedad de GL(mJR),
por continuidad resulta que:
Fi = c xS xSi (3.37)m3 m .
en .todo SGL(mflR) XZR xZR XZR#O. s 7 Y i x“
Para cada tE IR3¿oy cada u G JR sea: . . ‘ j
:1 = =St,u {x Xi xj t A x u}
3
Luego St u es una subvariedad de SGL(mJR) XZR xZRm XZRZOcon1
inclusión i.3 m
Consideremos F restringida a la subvariedad SGL(mJR)xZR ximm xZR#USon válidas entonces las relaciones (3.34), (3.35) y (3.37). Resulta
entonces que:'k
) = d(F o i) = i (dF) =
* ..= i (F13 dxi. + F' dx + Fljldx.. +
J 1 32
+ Fi dxi) =(por(3.34))
* .. .- i (F13 dxij + Fl dxi + F' dx) —
* .. .= i (F13 dxij + Fldxi) + F' d(x o i)
(X°i=cte)
3.16
* ij i _= i (F dXij + F dXi) —
(por(3.35))
= 1*(— í Fj x xSi dx.. + Fl dx.) =s 13 1
(por (3.37))
_ .* _ í zj si zi =— 1 ( 2 c x2 x XS x dxij + c x2 x dxi)
_ l .* _ 23 si li =—g c 1 ( xl xs x x dxij + 2 xl x dxi)
*= í c i (d(x13 x x.)) =2 13= l c(d((xl] Xl Xj) o 1)) =2 ij ._
((x Xin)ol —cte)
= í c.0 = 02
donde hemos usado que dxl] = —x13xJr dxjr y la simetría x13 = xJlen SGL(m,ZR). Luego es:
F = cte = f(u,t)/St,u
para una cierta función fim xZR#O+ZR.
Luego para todo (a,d) E SGL(m;F) XZRQOtal que al] di dj#0 es:
F(a,b,c,d) = f(x(b) , (x13 xi xj)(a,d)) (3.38)
Dado pEEM, sea (x,U) una carta de M alrededor de p. Luego
G = gij dxl E dxj en esa carta. La condición de que G(grad ©,grad a) esnunca nulo se traduce, en términos de coordenadas, en la condición
que gl] ó ó . es nunca nulo. Además es gi,i ,J jPor lo tanto de (3.26) y (3.38) se concluye que:
(q) e SGL(m,IR) V qe U.
.(p)),lL(p) = F(gij(.p).,d>(p),gij,,¿(p), tb
= f(©(p), G(grad ®,grad ®)(p))
3.8. Definición
Sea L:M -+ZRun escalar definido sobre una variedad diferencia0
ble m-dimensional M. Sean G y F G D2(M) dos tensores 2-covariantesy no-singulares con G simétrico y F antisimétrico.
Diremos que L es concomitante de G y F, o sea L = L(g
sii existe un O-operador escalar de (0,2;0,2)—concomitancia
T:GL(me x GL(mJR) 9 ZRtal que:
i) es simétrico V b G GL(ng)T/GL(mJR)x b}
Y
T/ es antisimétrico V a E GL(mJR){a} x GL(m,]R)
o sea:
T(a,b) = T(at,b)
Y
T(a,b) = -T(a,bt)
donde la t significa transpuesta.
ii) Para cada carta local (x,U) de M:
L(p) = T(g. (p), Fij(p)), V péïUl]
donde G = gij dxl Q dxJ y F = Fij dxl Q dxJ en esa carta.
3.9. Teorema [11] y [14]
Si L es un escalar sobre una variedad 4-dimensional M
..;F..13 13
),
(3.39)
(3.40)
concomitante de dos tensores 2-covariantes y no-singulares G simétrico
y Faantisimétrico,exáóie entonces una función f:]R%¿OXZR «+28 C
(3.41)tal que: L=
._ jz = ri sj . _donde o —det(Fij g ) y w Frs ij , Siendo Fij y gi]las coordenadas de F y G y (91])
Dem.:
Por 3.8 existe un 0-operador escalar de (0,2;0,2)—concomitancia
(3.39) Y (3.40). Como k = 06 ZR verificandoT:GL(4,R) x GL(4JR)
y m=4 entonces:
q=0 , n=42 + 42 y h- 4 = 42 + 42
Luego la acción H(=H°) es la aplicación:
H: GL(4JR) x GL(4JR) x GL(4JR) a GL(4JR) x GL(4JR)
dada por
— (Bl 33 a.., Bl Bj b..)r s l] r s 1]H(B,a,b)
Si notamos:
J
las coordenadas de GL(4JR) x GL(4;R) (dominio de T) y con:
.. ,..T1] BT I T-l] = 8T
axij Byij
entonces las identidades de invariancia correspondientes para T
nos dicen que:
ir ri 'ir 'ri , _T (a,b) ajr + T (a,b) arj + T (a,b) bjr + T (a,b) orj—c
Si en particular a E SGL(4,R) (matrices simétricas inversibles)
y b E AGL(4flR)(matrices antisimétricas inversibles) resulta que:
3.19. . I' 'ri —
(Tlr(a,b) + Trl(a,b)) arj + (-T lr(a,b)+ T (a,b)) brj‘o (3.42)
Pero la condición (3.39) nos dice que:
. . .. . .Tlr = Trl , T lr = -T r1 (3.43)
Reemplazando (3.43) en (3.42) tenemos entonces que en
SGL(4JR) x AGL(4JR) es:
ri 'ri _T xrj + T yrj — 0
de donde:
si _ _ js KriT — x yrj T. (3.44)
donde (como siempre) xjs(a) = (a_l) J'S'Consideremos ahora sobre la subvariedad SGL(4JR) x AGL(4JR) los
siguientes escalares:.s det(yi.)
é: det(yij x3 ) _____;L.det(x )
rs (3.45)_ hi kj
X'Para cada a EZR#O y B EZR sea:
Sa B = Ka,b) E SGL(4¿R) x AGL(4JR) : ¿(a,b) = a y w(a,b)=8 }
Luego Sa B es una subvariedad de SGL(4JR) x AGL(4JR). Sea i laI
inclusión. Luego:
y por lo tanto:
d(© o i) = O, d(w o i) = O (3.46)
Es fácil ver de (3.45) que:tr tr
d<b= y dytr —x dxtr (3.47)is 't hl tk rs
d‘”= X x] Yst inj ' X X ylk X th dxst
Es fácil ver que por ser T un O-operador escalar de (0,2;0,2)—
concomitancia, T'rs resulta ser un 0-operador tensorial de (0,2;0,2)—
concomitancia de tipo (2,0) y peso 0. Por lo tanto, por ser la varie
dad 4-dimensional , el Corolario 2.1 de [5] nos asegura que
V (a,b) G SGL(4,PJ X AGL(4JR):
'13 _ ij ir jsT (a,b) —Cl(a,b) b + C2(a,b) a a brs
y por lo tanto:'ij = ij ir js
T Cl y + C2 X x yrs (3.48)
Consideremos T restringido a la subvariedad SGL(4JR) x AGL(4JR),
se verifican entonces (3.44), (3.46),(3.47) y (3.48)y por lo tanto:
d(T ) d(T o i) = 1*(dT) =,e .. ,..= i*(le dxij + T 13 dyi.) =
(por(3.44))
/Sa
* t' 'is 'i‘= 1 (-x J yts T dxij + T J dyij)_ .* 'ij ts— 1 (T (—x ytj dxis + dyij))
(por(3.48)).* i' ir 'Z ts _
= l [(Cl y J + c2 x xJ yrl)(-x ytj dxis+ dyij)]
= 1* [ (— ij xts dx + yij dy ) +C1 Y Ytj is ij_ ir jz ts ir jz =
+ C2( x x yrlx ytj dxis + x x yr ¿dyij)]
(por(3.47))
= +C2 )== (Cl o i) d(m o i) + «32 o i) d(w o i) =
(por(3.46))
3.21
De aqui:
T/S = cte = f(a,8)alspara una cierta función f:ZR#0 x ZR +ZR.Luego para todo (a,b) e SGL(4¿R) x AGL(4JR) es:
T(a,b) = f(qx(a,b),dJ(a,b)) (3-49)
donde o y w están dadas por (3.45).
Por último, para concluir el teorema, consideremos p E My
(x,U) una carta de M alrededor de p. Luego es G = gij dxl Q dxJiF = F.. dx 3 e13 Q dx en esa carta con gij(q) E SGL(4JR) y Fij(q)
AGL(4¿R) V q GU, por lo tanto de (3.40) y (3.49) se concluye que:
L(p) = T(g..(p), F..(.p)) = f(q>(9‘i.j(P),Fij(p)),w(gij(p), Fil] l] (pmJ'
que es (3.41).
3.10.Definición
Sea L:M L>21Run escalar definido sobre una variedad diferencia
ble m-dimensional M. Sea G&J%(M)un tensor 2-covariante simétrico
y no-singular y sea Ú€I31(M)una l-forma tales que G(u,w) esnunca nulo, donde w es el único campo vectorial (wE Dl(M))
tal que G(w,.) =1p.
Diremos que L es concomitante de G y w , o sea L = L(g wi),ij;sii existe un 0-operador escalar de (0,2; 0,1) -concomitancia
F‘:GL(m,]R) x R20 —> JR tal que:
i) F/GL(mIRJX{b}essimétrico V bEïRïo, o sea:
F(a,b) = F(at,b) (3.50)
3.22
ii) Para cada carta Local (x,U) de M:
L(p) = F(gij(p), Ibi(p)) ,v peu (3.51)
donde G = gij dxl E dxJ y w = wi dxl en esa carta.
3.11.Teorema
Si L es un escalar concomitante de un tensor 2-covariante, si
métrico y no-singular G y de una l-forma w, tal que G(w,v) es nunca
nulo, siendo v el único campovectorial tal que G(w,.)= w , exióte
entonces una función f:ZR#O + IR Cmtal que:
F = f o G(w,w) (3.52)
Dem.:
Por 3.10 existe un O-operador escalar de (0,2;0,l)-concomitan
cia F: GL(m,R) x 12:0 +IR verificando (3.50) y (3.51). Comok=0resulta en este caso:
2 2q=0, n=m + m, h-m = m + m.
Luego la acción H(=H) es la aplicación:
H: GL(m, R) x GL(m,R) ¡{12:0 -> GL(m,IR) XJRZO dada por:
iij, Br bi).H(B,a,b) = (1311CB; a
Si notamos:
las coordenadas de GL(mJR) x ZREO(dominio de F) y con:
F13=L 1 iaxij ayi
resulta de las identidades de invariancia de F que:
3.23
Fts(a,b) als + Frt(a,b) ar2 + Ft(a,b)bz = o
Si en particular aflESGL(mJR)será;
(Fts(a,b> + FSt(a,b)) a“ + Ft(a,b)b¿ = o
Pero (3.50) nos dice que:
F13 = F31 (3.53)
de donde , en SGL(mJR) x ZRÉO:
ts t _2F xls + F y2 — 0
y por lo tanto:
Fts = - í Ft yz x25 (3.54)2
Como (3.53) nos asegura que el primer término de (3.54) es simé
trico en t y s también lo debe ser el segundo. Luego:
Ft y2 xRS = Fsy2 xlt (3.55)
irSea A = {(aIb) e SGL(mJR) ximïoza 1sár=<m con x yi = o }.
Resulta entonces de (3.55) que fuera de A es:
Ft FS
Yi xlt Y XSLS
donde c es una constante. ComoSGL(mJR)es una subvariedad de GL(mJR),
por continuidad resulta que:
Fi = c yj xij (3.56)
en todo SGL(mflR) XZRÉO.Para cad E :
a t IRfo sea
st = {(a,b) e SGL(mJR)x 2mm:(xij yi yj)(a,b) = t}
m . .es una subvariedad de SGL(mJR)xIR . Sea 1 su 1ncluLuego S #0tsión.
mConsideremos F restringido a la subvariedad SGL(mflR)x ZR#O.Se
verifican entonces (3.54) y (3.56), tenemos entonces que:
d(F/ ) = d(F o i) = 1*(dF) =S
_ .* ij i =— 1 (F dxij + F dyi)
(por(3.54))
= 1*(- É Fi yr Xr3 dxij + Fl dyi) =(por(3.56))
- '*(- í c xis xrj dx + xis d ) =’ l 2 Ys Yr ij c Ys Yi
* . . .
= (E-c) i (—ysyr xls xr] dxij + 2 ys xls dyi) =
íllA IS))* .
C) i (d(yryS x2
= (í c) d((yrysxrs) o i)) =. 2 (( y xrs) 0“i = cte)l yr s
= (— c) 0 = 0
Por lo tanto: 2
F/S = cte = f(t)tpara una cierta f:ZR#O * ZR
Luego V(a,b) E SGL(mJR) x :RSOtal que al] bi bj # 0 (alj= (a_l)1.j
es:
F(a,b) = f((xij yi yj)(a,b)) (3.57)
Como siempre, dado pGEMsea (x,U) una carta de M alrededor de
p. Luego G.= gij dxl Q dxJ y w = wi dxl en esa carta. La condición
G(w,w) nunca nulo implica,en coordenadas, la condición gljwi wj
nunca nulo y como además es gij(q) E SGL(mflR)V qGEU se concluye de(3.51) y (3.57) que:
L(p) = F(gij(p),wi(p)) = f(gij(p) wi(p) wj(p)) =
= (f o G(«p,«p))(p)
Q.E.D.
3.12. Observación
En los teoremas 3.3, 3.5, 3.7, 3.9 y 3.11 hemos probado la
existencia de ciertas funciones f que caracterizan los concomitantes
alli dados. Hemosasegurado también que esas funciones son de tipo
C“Ï Sin embargo no queda claro de nuestras demostraciones que este
último hecho sea cierto. Demostraremosentonces aqui un resultado
general que abarca todos nuestros casos.
Sean glem ->]R C°° y h: JRm-* JRn C°°de rango n(n<m). Sea f: IRn ->]R
tal que g = f o h. Entonceó f resulta Cm.
Dem.:
Comoh tiene rango n podemos suponer, sin pérdida de generali
dad, que localmente: ah1 ahn8x1 axn
det A # 0 siendo A = . .
añ ann n
3x1 axn
N m mSea entonces h:2R * IR dada por:
N 1 1h(X ,...,xm) = (hl(x ,...,xm),...,hn(x1,...,xm),
n+1 m,x ,...,x‘)o sea,
3.26
’b
h = (hl,...,hn, nn+l,...,wm)
donde nizlmm +ZRes la proyección a la i-ésima coordenada.m m
Luego h es C y:
m Í m
D(h) = (---í-—-) = det (D(h)) # o.I
’b
Concluimos entonces que, localmente,h es un difeomorfismo. Re
sulta entonces que:
y por lo tanto:
g — f o (nl x ... x w ) o h
l'\¡
Ahora bien, como g y h_ son C“ resulta que:
f ° (Fl X...Xfln) es Cm.
Por último sea In mzimn+2Rmla inclusión naturalI
l n l nIn,m(x ,...,x ) = (x ,...,x ,0,...,O)
por lo tanto Inlm es C y:
f = (f o(1rl X ... X nn)) o In,m
de donde resulta lo afirmado. -///
4.- TENSORES CONCOMITANTES DE UNA METRICA Y UN COVECTOR
En la Sección precedente hemos explicado porqué los conceptos
desarrollados en la Sección 2 son necesarios en la teoría de los
escalares concomitantes. En el caso de los tensores concomitantes
aquella explicación sigue siendo válida, pero hay dos razones de peso
que hacen que elijamos, a partir de ahora, el tratamiento clásico.
La primera es que, en general, los resultados sobre tensores concomi
tantes se obtienen recurrentemente, o sea se basan en resultados
previos sobre tensores concomitantes de menor orden y por lo tanto
sobre escalares concomitantes (para determinar la forma general delos tensores concomitantes de ciertos tensores dados es necesario
determinar primero la forma general de los escalares concomitantes
de esos tensores). La segunda es que, como siempre ocurre, una vez
que una cierta teoría se ha desarrollado y entendido pueden, y deben,
tomarse ciertas libertades de notación y argumentación.
4.1. Introducción
Sean gij las componentes de un tensor métrico y wi las componentes de un covector en una variedad m-dimensional M. Es ya conocida
[4lla forma general de los tensores de tipo (r,s) concomitantes de
g y wi en los casos 0<r + s <2. Los casos r+s=3 y r+s=4 tambiéniJ'han sido determinados en [4] pero bajo ciertas condiciones restrictivas de simetría en sus Indices.
En esta Sección determinaremos en general (sin restricciones de
ningún tipo) todos los tensores de tipo (r,s) concomitantes de gij y1p .l para r+s = 3 y r+s :4. Observemosantes que los escalares
están determinados por el Teorema 3.11 y los tensores de orden 1 y 2
por los siguientes dos teoremas:
4.2
4.2. Teorema [4]
Si Li = Li(grs;wr)
exióten entonceó funciones a y B tales que:
m - rLi = a(p) wi + 62 [B(p) /g w eri] (4-1)
rsdonde wr = g w g = det(grs),s . es la densidad tensorial de Levis’ r1Civita.y donde p es un escalar dado por:
w (4.2)-///
4.3. Teorema [4]
Si Lij = Lij(grs;wr)
exáóten enionceb funciones ai(1<<isé6)tales que:
_ _ ¡m
m — r+ 63 [a3(p) /g w arij] +
m —
+ 62 [u4(p)/g wj wr eri + a5(p) /g eij] +
m
donde si i es la densidad tensorial de Levi-Civita y o Vienel... rdada por (4.2).///.
4.4. Teorema
Si Lijh = Lijh(grs;wr)
@x¿¿ten entonceó funciones ai(1=<i=<18) tales que:
_ m
+ a4(p) wh gij] +m - r
+ a4 [a5(p) /g w erijh] +
+ am [ G [a6(p> wiwr e + a7(p> ijr erih +(.0 rjhr
+ a8(o) wh w Erij + a9(p) eijhl] +
m _
r r+ al3(o) wi wh w erj + al4(p) wj wh w eri +
r r+ o‘15”) gij w Erh + “16(9) 91h w erj +
+ () r 11+o‘17 p gjh w eri
+5m[cx()g w] (44)1 18 p 11 1 ‘
donde si i es la densidad tensorial de Levi-Civita y p Vienel... rdada por (4.2).
Dem.
Notamos:rs aLi'h r aLi'hL..=__3_, L_,=___3__13h a 13hgrs alpr
La identidad de invariancia correspondiente para Lijh nos diceque:
bt tb b b bb= _ _ + ..ijh + Lijh) gat Lijh wa + si Lajh + ¿j Llah 5h LlJa(L
as . btcontrayendo con g y usando la Simetrïa de Lijh en b y t tenemosque:
bt _ b t b at b at b at2 Lijh — Lijh w + Si g L . + 6. g L + 6 g L..
Comoel primer miembro de esta igualdad es simétrico en b y t
también lo debe ser el segundo, de donde:
4.4
b t b at .b at b at =‘ Lijh w + 61 g Lajh + °j g Liah + 6n g Lija
(4.5)_ t b t ab t ab t ab‘ ‘Lijh w + 51 g Lajh + CSjg Liah + 6h g ijh
contrayendo b=i y contrayendo luego con gts en (4.5) resulta que:i t i
_ = _ +(m 1) szh + Ljsh + ths Lijh I"s Lijh w gts
(4.6)ai ai
+ gjs g Liah + ghs g Lija
Pero:t i _ l ¡t _
Lijh w gts ’ (Lijh w ) gts szhi ,t _ a i
donde (Lijh w ) — gw (Lijh w )tde donde reemplazando en (4.6):
_ = i _ i ,t(m 2) szh + Ljsh + ths Lijh I"s <Lijh w ) gts +
ai ai+ gjs g Liah + ghs g Lija
Llamemos:
_ i _ i ,t aiejhs —Lijh 1ps (Lijh w ) gts + gjs g L1ah +
ai+ ghs g Lija (4'7)
Podemosescribir entonces:
(m—2)szh + Ljsh + ths = ejhs (4.8)
Análogamente, si contraemos b=j y b=h en (4.5) obtenemos:
(m—2)Lish + Lsih + Lihs = Cihs (4'9)
Y
(m—2)Lijs + szi + Lisj — pijs (4.10)
donde:
Cihs = Líjh ws ' (Lijh wj)'t gts + 91s gaj Lajh +
+ ghs gaj Lija (4.11)
y .
“ijs= LÏjh ws ’ (Lijh wh)'t gts + gis gah Lajh +
+ gjs gah Liah (4.12)
Es claro que en las expresiones de e dadas porjhs’cihs Y uijs'(4.7), (4.11) y (4.12) respectivamente, sólo aparecen tensores conco
mitantes de grs y mr 1-covariantes y 2-covariantes cuya forma generales ya conocida por los teoremas 4.2 y 4.3. Por lo tanto si pudiese
mos despejar Lijh en func1ón de ejhs , cihs y uijs habremos obtenido la forma general de los tensores 3-covariantes concomitantes de
grs Y wr.
Ahora bien, podemosescribir:
szh = Ssjh + Asjh (4.13)
donde Ssjh y Asjh son tensores 3-covar1antes concomitantes de grty wr satisfaciendo:
= 4.ssjh Sshj ( 14)
Asjh = "Ashj°
Es claro entonces que para determinar Lijh bastará determinar
todos los tensores Sijh y Aijh satisfaciendo (4.14). Es claro también
que Sijh y Aijh satisfacen ecuaciones análogas a (4.8), (4.9) Y(4.10). En particular por (4.14) tenemos que:
(m-2) Sth + Sjsh + Shjs = ejhs(S) (l)
_ = 2(m l) Ssjh + Sjsh Cshj(S) ()
(m-l) Sth + Shjs = usjh(S) (3)
donde (S) significa reemplazar Lijh por Sijh en (4.8), (4.9) y(4.10). Haciendo (3) + (2) - (l) obtenemos:
_ 1 _
lo que determina Sth totalmente.
Para determinar Asjh procedemos en forma análoga. Teniendoen cuenta (4.14) podemosreescribir (4.8), (4.9) y (4.10) obtenien
do para A. las ecuaciones:jhs
(m-2) Asjh + Ajsh + Ahjs = eth(A) (4)
(m-3) Asjh + Ajsh = 55h]. (A) (5)
(m-3) Asjh + AhjS = usjh(A) (6)
Haciendo (4) - (5) - (6) obtenemos:
(4-m) Asjh = eth(A) - cshj(A) - usjh(A)
y por lo tanto para m#4:
_ 1Ath — [-eth(A) + cshj(A) + usjh(A)] (4.16)
(m-4)
Sea entonces m=4 y definamos:
n = ____________ (4.17)G
acbu . . . . .donde s es la denSidad tensorial de Lev1-C1Vita. Es claro
que Ñ es un vector (tensor l-contravariante) concomitante dea
grs y wr y por lo tanto usando el hecho que nb - n gab es
un covector también concomitante de grs y wr y que Imbestá biendeterminado por el teorema 4.2 resulta que na es un vector cuya
forma general es conocida.
Resulta de (4.17) que:
— a _ acbu/g n €asjh _ e Acbu 8asjh (4'18)
Es fácil ver, teniendo en cuenta que m=4, que:
acbu _ _ _e Acbu Easjh - Asjh Ashj Ajsh + Ajhs
‘ Ahjs + Ahsj
de donde, por (4.14):
aaCbu s = 2 [A + A + A ] (4 19)cbu asjh sjh jhs hsj '
Reemplazando (4.19) en (4.18) obtenemos:
_ — a2[Asjh + Ajhs + Ahsj] —/g n easjh (4.20)
Por otra parte reemplazando Lijh por Aijh en (4.8) y tenlendoen cuenta que m=4resulta que:
2 Ath + Ajsh + Ahjs = ejhs(A) (4.21)
Multiplicando (4.21) por 2, sumándole (4.20) y teniendo en
cuenta (4.14),obtenemos en el caso m=4
= l [e_ (A) + JE na ]. (4.22)Asjh 6 th 8asjh
Teniendo en cuenta entonces (4.7), (4.11), (4.12),(4.l3),
(4.15),(4.16),(4.l7),(4.22) y los teoremas 4.2 y 4.3 se concluyelo afirmado en (4.4).
Q.E.D.
4.5. Teorema
Un ¿Áótema de geneaadoneó para el espacio de los tensores
4-covar1antes concomitantes de grs y wr (Lijkh = Lijkh(grs;wr)),con coeficientes funciones a = a(p) donde p está dada por (4.2),
Viene dado por:
i) Si m=l
G1 = {911 WI wl}
ii) Si m>5
G2 ={wi Wj wk Wh 7 g[ij wk Wh] 7 g[ij gkh1}
iii) Si m=5- — s= U
G3 G2 {/9 w esjkhi}
iv) Si m=4
_ — . - sG4 ‘ G3UVg ejkhi ' /g w 8s [ijk I“’h1}
V) Si m=3
_ — s . - s .G5 ‘ G2UVg w es[jk wi wh]'/g w Esljk gihl’
7 /g e[jkh wil}
Vi) Si m=2
— O — a _ s O
G6 ‘ Gz‘u{¿g e[jk wi wh]'/g €jk ghi'/g w as[j wk wi whÍ’
—' S
“9 w eslj gki whl}
donde si i es la densidad tensorial de Levi-Civita y donde los1... rcorchetes significan considerar el conjunto formadopor todas las
posibles simetrizaciones de los subïndices encerrados por ellos
(por ejemplo:
€i[j 9th “el-j ghk’eij gkh'eihgkj 'Sih gjk' eik gjh' 81k ghj} =
={€ij ghk'€ih gkj’eik gjh} )
Dem.:
sea Lijkh = Lijkh (gr57wr)
Notamos:aL.. aL..
LF? = ———¿159 , LF. = ———ílEÉljkh a ijkh gwgrs r
. rs _ srUsando la Simetría Lijkh —Lijkh
cia correspondiente para Lijkh resulta que:
de la identidad de invarian
bt _ _ b t b at b at2Lijkh ‘ Lijkh w + 51 g Lajkh + CSj g Liakh +
b at b at+ 6k g Lijah + 6h g Lijka
Usando nuevamente la simetría de Lïgkh en b y t:
b t b at b at b at b at- . . + . . =Lijkh w + si g Lajkh + 6j g Liakh + 6k g Lljak 6h g Lljka
t b t ab t ab t ab_ + . . +
Lijkh w + ¿i g Lajkh + ¿j g Liakh 6k g Lljak
t ab (4.23)+ CShg Lijka
Contrayendo b=i y contrayendo luego con gts en (4.23) resultaque
(m’z) szkh + Ljskh + ijsh + thks = ejkhs (4'24)
donde:
. . tl l ’ .e. = L.. w — (L.. w ) a1jkhS ljkh s ljkh gts + gjs g Liakh
ai ai ‘+ gks g Lijah + ghs g Lijka (4‘25)
Y ti , _ ¿_ 1Lpt
Análogamente, contrayendo b=j, b=k y b=h en (4.5) se obtiene:
(m’z) Liskh + Lsikh + Liksh + Lihks = Cikhs . (4'26)
(m-2) Lijsh + szih + Lisjh + Lijhs = uijhs (4.27)—2 L.. + . . + _ .
(m ) ljks LSJkI Liskj + Lijsk " Trijks (4 28)donde:
___ _ It ajCikhs Lijkh I"s (Lijkh w ) gts + 91s g Lajkh +
aj aj+ gks g Lijah + ghs g Lijka (4‘29)
uijhs = LÏjkh ws _ (Lijkh wk)'t gts + 91s gak Lajkh +
+ gjs gak Liakh + ghs gak Lijka (4.30)
Wijks = LÏjkh ws _ (Lijkh wh),t gts + gis gah Lajkh +
+ gjs gah Liakh + gks gah Lijah (4.31)
Es claro que en las expresiones de ejkhs , cikhs , pijhs y
wijks dadas por (4.25) y (4.29) a (4.31) sólo aparecen tensores
concomitantes de grs y wr 2 y 3-covariantes cuya forma generales ya conocida por los teoremas 4.3 y 4.4. Por lo tanto si pudiése
mos despejar Lijkh en función de 6,c,u y1rhabremos obtenido laforma general de los tensores 3-covariantes concomitantes de grs y wr.
Ahora bien, podemosescribir:
szkh = Ssjkh + Tsjkh + Qsjkh + Asjkh (4'32)
donde S,T,Q y A son tensores 4-covariantes concomitantes de grs y
Wrsatisfaciendo:
Ssjkh = Sjskh = Ssjhk
Tsjkh = Tjskh = ‘ Tsjhk (4'33)
Qsjkh = ‘stkh = Qsjhk
Asjkh = ’Ajskh = 'Asjhk
Es claro entonces que para determinar L bastará determinarsjkhtodos los tensores S,T,Q y A satisfaciendo (4.33). Es claro también
que S,T,Q y A satisfacen ecuaciones análogas a (4.24) y (4.26) a (4.28).
4.12
Cambiando indices y haciendo (4.24) + (4.26) - (4.27) — (4.28)
se obtiene:
2[Ljskh ’ szhk] =‘ %khs + Cskhj ‘ “sjhk ' TTsjkh
de donde, usando (4.33) tenemos que:
_ 1 _Tsjkh ‘ Z [ejkhs(T) + CskhjCT) ' “sjhk(T) “sjkh(T)] (4'34)
Qsjkh = z [-ejkhs(Q) - Cskhj(Q) + psjhk(Q) + wsjkh(Q)](4.35)
donde (T) y (Q) significan reemplazar en (4.25) y (4.29) a (4.31) L
por T y Q respectivamente. Por lo tanto (4.34) y (4.35) determinan
T y Q totalmente.
Para determinar S reemplazamos L por S en (4.24) y tenemos
en cuenta (4.33) para obtener:
(m-l) ssjkh + skjsh + Shjks = ejkhs(S) (4.36)
y cambiando índices:
(m‘l) shjks + Skjhs + ssjkh = ejksh(s)
(m-l) S +kjsh + Ssjkh Shjsk = ejshk(s)
Sumandoestas tres últimas ecuaciones y teniendo en cuenta
(4.33) obtenemos:
(m+l) [Ssjkh + Shij + Skjsh] = ejkhs(s) + ejksh(s)
+ ejshk(S) (4.37)
de donde multiplicando (4.36) por (m+l) y restándole (4.37) resul
ta para todo m#2:
_ 1Ssjkh ’ ‘—__"”__ [m ejkhs(s)
(m+l)(m—2)ejksh(s) - ejshk(S)] (4.38)
Para determinar A reemplazamos L por A en (4.24) y teniendo
en cuenta (4.33) obtenemos:
(m-3) Asjkh + Akjsh + Ahjks = ijhS(A) (4.39)
y cambiando indices:
(m‘3) Akjsh + Asjkh + Ahjsk = ejshk(A)
(m’3) Ahjks + Akjhs + Asjkh = ejksh(A)'
Sumandoestas tres últimas ecuaciones y usando (4.33) resulta:
(m-l) Asjkh + (m-3) Akjsh + (m-3) Ahjks =
= ejkhS(A) + ejshk(A) + ejksh(A) r (4.40)
de donde multiplicando (4.39) por (m-3) y restándole (4.40) resul
ta para todo m#2 37 m#5 :
l=——_———> — —6‘. AAsjkh [(m 4) ejkhS(A) ejshk(A) Jkshx )]
(m-2)(m-5)(4.41)
Supongamos ahora m=5 y definamos:acbud
a _ a An — cbud (4.42)
G
4.14
donde eaCbud es la densidad tensorial de Levi-Civita. Por la misma. arazón dada en el teorema anterlor es claro que n es un vector cuya
forma general es conocida por el teorema 4.2.
Es fácil ver, teniendo en cuenta que m=5, que:
acbud _8 Acbud easjkh ’ Asjkh Asjhk Askjh + Askhj
' Ashkj + Ashjk ' Ajskh + Ajshk +
+ Ajksh ‘ Ajkhs + Ajhks ‘ Ajhsk +
+ Aksjh ’ Akshj ' Akjsh + Akjhs +
+ Akhsj ' Akhjs ’ Ahsjk + Ahskj +
+ Ahjsk ' Ahjks + Ahkjs ' Ahksj
de donde teniendo en cuenta (4.33) y (4.42) resulta que:
4[ + + Ajhks] 4[Askhj + Ashjk + Akhsj]=
=/a na
Asjkh Ajksh
sasjkh. (4.43)
De (4.39) y (4.27) y el hecho que m=5 resultan:
2 Asjkh + Akjsh + Ahjks = ejkhs(A) (4.44)y
2 ASkhj + Ahksj + Ashkj = uskjh(A) (4.45)
Pero por (4.33):
. + . + _ = . _ _ _ _ASth AJkSh AJhkS 3 Asth [2 Asgkh + Akjsh + Ahij]
y
Askhj + Ashjk + Akhsj = 3 Askhj “[2 Askhj + Ahksj + Ashkj]
de donde por (4.44) y (4.45) resulta:
= _ . A 4.46Asjkh + Ahksj + Ajhks 3 Asjkh ejkhs( ) ( )
= . — . (4.47)Askhj + Ashjk + Akhsj 3 Askh] “sk3h(A)
Reemplazando (4.46) y (4.47) en (4.43) resulta:
l — a= __ +Asjkh + Askhj 12 [/9 " easjkh + 4 ejkhs (A)
+ 4M (A)] .skjh
Por último, cambiandoíndices en (4.45) y restándole esta últi
ma ecuación obtenemos, en el caso m=5:
(Á)? +_ l l — a .
Akjsh ’ 2 [“kjhs(A) 12[/g T‘ easjkh + 4 ejkhs
+ 41% (A)]]- (4.48)kjh
Supongamos ahora m=2.
Es facil ver, teniendo en cuenta (4.33) que para m 2
Asjkh = Ó 9 Esj Ekh (4.49)
donde Q es un escalar concomitante de grs y wr y por lo tanto Ó=a(p)
por el teorema 3.11. Para verificar (4.49) basta considerar o = Alzlz/gen cada sistema de coordenadas y probar que mes un escalar conco
mitante de grs y wr.Por último nos queda por determinar S cuando m=2.
Cambiandoíndices en (4.24) y (4.27) y restándolas se obtiene:
szkh ‘ Lkhsj = ejksh ' “khsj (4'50)
Podemosescribir:
+ (4.51)ssjkh = Vsjkh Wsjkh
donde V y Wson tensores 4-covariantes concomitantes de grs Y wrsatisfaciendo:
= = = 4.52Vsjkh Vjskh Vsjhk thsj ( )
= = . = _ 4.53Wsjkh stkh Wsjhk thsj ( )
Es claro entonces que para determinar S en el caso m=2basta
rá con determinar V y Wsatisfaciendo (4.52) y (4.53).
Por(4.50) y (4.53) resulta que para m=2:
w = í [e (W) - u (w)] (4.54)sjkh 2 jksh khsj
lo que determina W.
Para determinar V consideremos para pEEMel subespacio Hp
de TZ(Mp) formado por los elementos:
s j k hCsjkh(dx )p E (dx )p 2 (dx )p Q (dx )p (4.55)
cuyas componentes Csjkh satisfacen (4.52). Es fácil ver queexisten únicamente 6 componentes independientes, a saber: C1111,
C1112' C1122'C1212'C1222 Y C2222' Por 1° tanto’
dim H í 6 (4.56)P
Consideremosentonces X(l),...,X(6) los siguientes tensores4-covariantes concomitantes de grs y wr:
X(1)sjkh = gsj gkh
X(2)sjkh = gsj I”k wh + gkh Il’s I"j
= 4v57X(3)sjkh ws q’j 1"k wh ( )
X(4)sjkh = gsk gjh + gjk gsh_ — t
X(5)sjkh ’ /g w [Ets wj wk ll’h + Etj Il’s L"k I"h +
X = /5 wt [e w g + E W g +(6)sjkh ts j kh tj s kh
8tk Il’hgsj+ €th ll’k gsj]
Claramente X(i)(P) E H V 1€ i< 6. Probaremos ahora queP6
R(i) (‘r'>)}i__1es linealmente independiente . Sean Ai GSR (l=<i=<6)_‘ 6tales que Z Ai X(i)(p) = 0. Por lo tanto será:
6 i=1A. . = 4.58
igl l X(l)sjkh(p) O ( )
Para p dado consideremos un sistema de coordenadas tal que:
q,2(P)_=0, gi]. (P) = i óij (4.59)
y por lo tanto:2 l
w (P)= 0 , w (P) = i wl(P) (4.60)
Teniendo en cuenta (4.57) y (4.58) para los índices sjkh =
1111, 1112, 1122, 1222, 2222 y 1212 y usando (4.59) y (4.60) se
obtienen las siguientes 6 ecuaciones:
4.18
k 2 4i 2414P>> A2 + wl(PH x3 + 2x4 = 0
i wl(Pn4 x54-(wl@))zx6==0
+x1 i wl<Pn2 x2= 0
i (wl(P))2 x6 —o
Al + = o
A4 = 0
Es fácil ver de aqui que A1: A2 = ... = x6 = 0 y por lo tantolos X(i)(P) son linealmente independientes,de donde teniendo encuenta (4.56) resulta:
dim H = 6P
y por lo tanto ‘R(i)(P)}6 es una base de Hp y entonces:
6
Vsjkh = Ï C"iX(i)sjkhi=ldonde, es fácil verlo, los wi son escalares concomitantes de grs y
(4.61)
wr ya conocidos por el teorema 3.11.Teniendo en cuenta entonces (4.25), (4.29 /32), (4.34/5),
(4.38), (4.41/2), (4.48/9), (4.51), (4.54), (4.61) y los teoremas3.11 y 4.2/4 se obtiene lo afirmado.
Q.E.D.
5. EXPRESIONES DE EULER-LAGRANGE Y ECUACIONES DE CAMPO
Es bien conocido que muchas de las ecuaciones de campo de la
fisica teórica puedendeducirse de la aplicación de un principio
variacional a un Lagrangiano adecuadamente elegido. Más precisa
mente si pA y Aa son las componentes de dos objetos geométricos y
si L es una función de las pAy sus derivadas hasta el orden My
de A“ y sus derivadas hasta el orden Q, es decir:
L = L(DA;DA. ;...;p -Aa; Aa. ;...; A . . ) (5.1)Q,11 ,11...1M ,11
. . . . . . . .. aentonces la aplicaCión de un pr1nc1plo variaCional a L,fi]ando A ,
da comoresultado las ecuaciones de Euler-Lagrange:
EA(L) = 0 (5.2)
donde:
r+1 a .7 ( 8L ) (5.3)M
EA(L) = - —— + Z (-1)80A = ax 1...3x 39A. .,11...1r
y donde hemos empleado la convención de Einstein para la suma
(cada iz va sumado de l a m).Si en lugar de suponer que las.Aaestán prefijadas suponemos
A . . . . . . .que lo están las p y les aplicamos el mismoprinCipio variac1onal,
entonces obtenemos otro grupo de ecuaciones:
Ea(L) = 0 (5.4)
donde Ea(L) viene dado por una expresión análoga a (5.3) cambiandopA por lay M por Q.
Por un resultado de Lovelock [6] estas expresiones son operadorestensoriales de concomitancia.
5.2
5.1. EL TENSOR MOMENTO-ENERGIAl ¿5g ECUACIONES gg_EINSTEIN-MAXWELL
En la teoria de la relatividad general, la interacción del
campogravitacional (caracterizado por un tensor simétrico y
no-singular gij) y el campoelectromagnético sin fuentes (caracte
rizado por un tensor antisimétrico Fij) se supone gobernado porlas ecuaciones de campode Einstein-Maxwell:
R13 - í glJR = - í (Flk F3k - í gl] FrS F ) (5.5)rs2 2 4
Fij/j = o (5.6)
'F‘ 'F‘ = {5.7Y ‘ij/k + ‘ki/j + ij/i ° ‘ ). . j _ ij
donde F1k= gls gkt Fst, F k —g Fik, R la curvatura escalar,
R1] —RÏhk gtl gh] y donde la barra vertical indica deriVada covarian-L,te.
Es conocido que estas ecuaciones pueden ser obtenidas mediante
la aplicación de un principio variacional a partir de una elección
adecuada de una densidad Lagrangiana L, introduciendo un campo vec
torial wi y un campotensorial Fij definido por:
F.. = . . - . . 5.8l] w113 w311 ( )
En efecto, sea
Ll = JE R + í JE F13 F.. (5.9)4 13
donde Fij esta dado por (5.8). Luego L1 es una densidad Lagrangiana del tipo:
En particular, por (5.2)y (5.4), las ecuaciones de Euler
Lagrange correspondientes son:
Eij(L) - o (5.11)
Y n
El(L) = o (5.12)
donde, por (5.3) y su análogo:
ij aL a aL 32 3LE (L) = - ——-—+ -—H ( ) - ( ) (5.13)
agij ax agij h ax ax agijlhk
Y
Ei(L) = — 3E— + 3 j —ïí—— ) (5.14)ami ax awi j
En particular para el Lagrangiano L1 dado por (5.9) es conocidoque (5.11) se reduce a (5.5), (5.12) a (5.6), mientras que (5.7)
es una consecuencia inmediata de la definición (5.8).
Ahora bien, la densidad Lagrangiana Ll dada por (5.9) es deltipo:
— mL =/g R + L (5.15)
dondem m
L = L(g ij;wi;wi j) (5.16)
Lovelock [7] ha encontrado todas las densidades Lagrangianas
del tipo (5.15) tales que (5.12) se reduce a (5.6) y ha mostrado
que ellas tienen esencialmente el mismotensor momento-energia
que el del Lagrangiano L1 dado por (5.9) (o sea, también (5.11) sereduce a (5.5)).
' Las densidades Lagrangianas IJdel tipo (5.15) (donde Ï es del
tipo (5.16)) se dice que satisfacen el "Principio de minimoacopla
miento gravitacional" (MGC).Si suponemos además que L es "gauge‘
invariant" (invariante por medidas) es conocido [3 ] que Ï((5.l6))
es del tipo:N ’b= - 5.17
El mismo Lovelock [8] ha probado también una especie de
recíproca de lo anterior "Si L es una densidad Lagrangiana del
tipo (5.15) (con Ï del tipo (5.17)) tal que (5.11) se reduce a
(5.5) entonces también (5.12) se reduce a (5.6)".
Daremos aqui una demostración más sencilla de este último
resultado basándonos en el hecho que por el teorema 3.9 de la Sec
ción 3 conocemosla forma general de los escalares del tipo (5.17).
Sea L una densidad Lagrangiana gauge invariant verificando el
principio de minimo acoplamiento gravitacional (MGC).Luego L es
del tipo (5.15) con Ï una densidad Lagrangiana del tipo (5.17).
Sea V el abierto del espacio 2m2—dimensionaldado por gij y Fij
definido por la condición det Fij# 0.ComoL es una densidad Lagrangiana del tipo (5.17) resulta que
Ï//E es un escalar del mismotipo, y por el teorema 3.9 sabemos que,u u . . . - fi ms1 nos restringimos a1 abierto V, eXiste una func1on f C tal que:
—Ï— = f(<1>,w)/g
y por lo tantoq, __L = /g f(o,w) (5.18)
donde
= J'kQ det(Fij g ) (5.19)
Y. _ ij
Por lo tanto de (5.15) con (5.17) y (5.18) resulta que:
L = G R + G f(d>nb) (5.21)
Comoqueremos determinar L de forma tal que (5.11) se reduzca
a (5.5) una tal L debe verificar la ecuación:
.. _ .. .. . . lElJ(L) = Jg (R13 —í gl] R + í Flk FJk - —
2
ij rs2 g F Frs) (5.22)
Pero,como es conocido:
E13(/6 R) = /6(R13 - 3 913 R)2
ij _ ij /—entonces, por (5.21) y el hecho que E (L) —E ( g R) +
+ Eij(/5 f(@,w)), (5.22) se reduce a:
rsEij(/a f(o,w)) = Ja < í Fik ij —í gij Frs F ) (5.23)2 8
Puede verse de (5.19) y (5.20) que JE f(@,w) no depende de las
primeras y segundas derivadas de gi., por lo tanto de (5.13) y (5.23)J
resulta que:
(/5 f(o,w)) = /5 (- l Flk ij + í glJ Frs Frs) (5.24)3g.. 2 8l]
Ahora bien:
a — 3/6 — am(/g f(m,w)) = f(m,W) +/g le(m,w) ———+3 .. a .. a ..
gl] gl] 913 (5.25)
+ /E D2f(m,w) BWagij
donde le y D2f indican las derivadas parciales de f respecto
de sus variables. Del hecho que ag/ agij = g giJ resulta:
_í¿& = í /g gl] (5.26)agij
Por otra parte de (5.19) podemos observar que m= det(Frs)/g
de donde:
30 = _Ó gl] (5.27)agij
Para calcular a / a observemos de (5 20) ue w = grh gSkF Ftb gij ' q hk rsy por lo tanto:
rh sk—íï—— = —íg———gsk F “F + —ïg—— grh F F = (cambiando
a hk rs hk rs _gij agij agij Índlces)
rh rh_ ag sk ag sk =_ g Fhk Frs + g Fkh Fsr
agij agij (F .= —F..)1] 31
rh . . . .ag sk _ í r1 h] r3 hl sk =2 a g Fhk Frs 2( 2 (g g + g g )g FhkFrs)
= - grl ghJ gSk Fhk Frs —gr] ghlgSk Fhk Frs= (cambiandoíndices)
= -2 ghl gr] gks Fhk Frs = —2F15 Fïs (5.28)
Reemplazandoentonces (5.26), (5.27) y (5.28) en (5.25) resulta
que
a (/6 f(@,w)) = í /5 gij f<©,w) —/6 le(©,w)o glj agij 2
_ /g sz (©,w) 2 F15 Fjs (5.29)De (5.24) y (5.29) resulta que:
l rs ij(f(m,w)) —2le(é,w)©- z F Frs) g +
+ (1-4 D2f(@,w)) Fis Fjs = o (5.30)
Ahora bien, comoestamos restringidos al abierto V, para cada
punto fijo de la variedad 4-dimensional espacio-tiempo sabemos que
existe un sistema de coordenadas tal que, en el punto:
-l OL 0 0
) = ‘a ‘1 0 0 (5.31)0 0 -l B
0 0 ‘B 1|
Vamosa probar, usando este sistema de coordenadas especial,
que los tensores gl] y Fls FJs son linealmente independientes en V.
Supongamos que:
A gl] + “F15 F3s = o.
Luego, en el punto considerado
i' ih Sk 'tA g J +1Jg g gJ Fhk Fts = o
considerando el sistema de coordenadas donde vale (5.31) y tomandor
i=j=J-primero ,e rfi=4 despues tenemos que:
A+ p a2 = oy
Á- 1162 = 0
de donde u(a2 + 82) = o.2
Pero-comoestamos restringidos al abierto V2
resulta a + B # 0, por lo tanto será A = u: O, lo que prueba la in
dependencia lineal de los tensores. Resulta entonces de (5.30) que:
D2 f(o,w) = í (5.32)4
f(o,w) - 2 le(o,w). o - (5 33)AIP
e Il o
De (5.32) resulta que existe h dependiendo solo de Ó tal que:
f(<1>,w) =-:—w +h(4>) (5.34)
de donde reemplazando (5.34) en (5.33) obtenemos que h satisface
la siguiente ecuación diferencial:
h(®) - 2}f(®).© = 0
entonces resulta, para una cierta constante C, que:
hw) = c Ñ
de donde por (5.34):
1 _f(<i>,'sb)=—w + CM (5.35)
4
Reemplazandopor último (5.35) en (5.21) resulta que:
L=/6 (R+—]-'-1p+(1/3) (5.36)4
o también:
L=L1+ c/E/E (5.37)
Ahora bien, la igualdad (5.36)(ó (5.37)) es válida en V.
Pero V es un abierto denso y por lo tanto por continuidad
(ambos miembros de la igualdad son Coo) resulta que (5.36) (y (5.37))
es válidad en todo el espacio.
Hemosdemostrado entonces el siguiente teorema:
5.1. Teorema
Si L es una densidad Lagrangiana en el eSpacio— tiempo concomi
tante del tensor métrico y de un covector y sus primeras derivadas
y si L es gauge invariant, satisface el principio de mínimoaco
plamiento gravitacional (MGC)y verifica (5.22), entonceó L es dela forma:
L=/5(R+-J¿q;+C/¿')4
donde C es una constante, y donde o ytpestán dadas por (5.19) y
(5.20) respectivamente. ///.
Estudiaremos ahora las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.14) co
rrespondientes a una densidad Lagrangiana L de la forma (5.36).
Para ello observemos que de (5.19):
/F' = /3 /3 (5.38)
donde F = det(Fij). Afirmamos que:
fi = ¡i ¿ijrs F.. F (5.39)8 1] rs l
En efecto: Si F# O para cada punto fijo del espacio-tiempo
existe un sistema de coordenadas tal que, en el punto, se verifica
(5.31). Por lo tanto es facil ver, usando ese sistema de coordena
das, que en el punto:
y que:
F = 0L B (5.41)
Juntando (5.40) y (5.41) se concluye (5.39) en el caso F# 0.
Ahora bien si F=0 se sabe también que dado un punto existe un siste
ma de coordenadas tal que, en el punto:
-1 0 0 0
0 -l y +y;. + =
(913 lJ) o _Y _l o
O ïy 0 1
de donde es facil ver que, en el punto:
ijrs _ ,e Fij Frs —0 (5.42)
y por lo tanto (comoF=0) también se verifica (5.39).
De (5.39) concluimos que localmente:
- _ l ijrs , - _ _ i ijrs/F — —e Fij Frs o /F _ s Fij Frs (5.43)
8 8
Pero:
eijSt/_ = o (5.44)J
ijst = í ijst _ _e wi/j Fst 2 e (wi/j L¿’j/i) Fst (5.8)
= í sijSt F.. F (5.45)2 l] st
Y 1ijst = _ ijste q’i Fst/j 3 (e wi Fst/j +
istj itjs _+ E q’i th/s + e 1pi Fjs/t)
_ l ijst = 6— 3 e wi (Est/j + th/s + Fjs/t) 0 (5.4 )
esto último por (5.7) que es consecuencia inmediata de (5.8).
Por lo tanto juntando (5.44), (5.45) y (5.46) resulta que:
ijrs = ijrse Fij Frs 2(€ wi Frs)/j
eljrs Fij Frs es una divergencia, de donde por (5.43) localmente /F es una divergencia y por lo tanto, comoya es conocido:
O sea
Bio/í) = o (5.47)
Luego resulta que si L es una densidad Lagrangiana de la forma
(5.36) entonces por (5.38) y (5.47):
Ei<L> = Ei (/g' (R + ¿4m + c ¿EH/73a, = Ei(Ll) (5.48)4
donde Ll es la densidad Lagrangiana definida en (5.9). Concluimosentonces el siguiente Teorema:
5.2. Teorema
Si L es una densidad Lagrangiana en el espacio-tiempo,conco
mitante del tensor métrico y de un covector y sus primeras
derivadas y si L es qauge invariant, satisface el principio de mi
nimo acoplamiento gravitacional (MGC)y verifica (5.22), entonceó
L verifica también que:i . ii
E (L) = F "/j
Es decir, la elección usual del tensor momento-energiaimplicalas ecuaciones de Maxwell.
5.II. EE TENSOR MOMENTO-ENERGIA X LA ECUACION QE KLEIN-GORDON
O
Es sabido [16] que, en la fisica teórica, la ecuación que des
cribe el campoescalar de particulas sin cargas de masa K y spin
cero, y que es la contraparte relativista de la ecuación deSchrgdinger, es la ecuación de Klein-Gordon:
ijg = Kgb (5.49)Ó/ij
donde Ó es un campo escalar y K una constante.
Es conocido que esta ecuación puede obtenerse mediante la
aplicación de un principio variacional a partir de una elección
adecuada de una densidad Lagrangiana. En efecto, sea
_1— ij 22L2— E/g (g ¿[i olj+K 4)) (5.50)
5.12
luego L2 es una densidad Lagrangiana del tipo:
= . . 5.51L L(@¿®,i,gij) < >
Los operadores de Euler-Lagrange asociados a un L de este tipo
son:
E(L) = _ ¿La + __ï¿.(_ÉlL4 (5.52)lsu 8x aali
Y
Eij(L) = ——íE— (5.53)
y las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son:
E(L) = o y E13(L) = o (5.54)
Es conocido, y fácil de ver, que para el Lagrangiano L2dado por (5.50) resulta:
= - ij _ 2E(L2) /g(g o/ij K o) (5.55)
Y
ij _ í - _ i ij rs ir js _E (L2) — 2 /g ( 2 g g mlr ¿Is + g g oir mis
_ .1. glJ K2 4,2) (5.56)2
por lo tanto la elección de L2 y la aplicación del principiovariacional nos determina la ecuación de Klein-Gordon, y el segundo
miembrode (5.56) puede eonsiderarse comoel correspondiente tensor
Momento-Energia.
Ahora bien, Noriega UD}ha encontrado todas las densidades
Lagrangianas L del tipo (5.51) tales que:
_ - ij 2E L - .. - K (5( ) /9(9 43/1]
determinando que ellas son de la forma:
L = í /5(glj Ó i Q . + K Ó ) + í JE a =2 I
— L + í Ja a (5.58)2 2
con a constante.
Es facil ver que éstos Lagrangianos verifican que:
E13(L) = E13(L2) —l /3 gl] a (5.59)4
Demostraremos aquí una especie de recíproca. Vamosa encontrar
todos los Lagrangianos L de la forma (5.51) que verifiquen (5.59).
Sea L un Lagrangiano de la forma (5.51). Por el t90rema 3-7
existe una función C0°f tal que L es de la forma:
L =/6 f(w,w) (5-60)
donde
Comoqueremos encontrar los L que verifiquen (5.59) se debe
verificar entonces la ecuación:
Eijwí mw») = É/Eh É gij grs Ó,r (b,s + gir gjs dar 42s
_ l gij K2 ¿2) _ í Ja gij a (5.61)2 4
Ahora bien, por (5.53) será:
Eijwa mmm = - É/Ty gij fump) 4€ D2 Www) —:Jg"—=ij
U1L.p
G gijf(<t>,w)46 D2f(cb,w)(—ag“ 933+ gSl grjwlru:
¡9’ 913f(<1>,w) +/g_ D2f(q>,w) grl cfJ mir mIS
donde sz indica la derivada parcial de f respecto de su segundavariable. Reemplazando en (5.61) obtenemos que:
1 ij ri sj _"'5g + g g Ó’rÓIS
l ij rs l ir jS l 1] 2 2 l]=-— + — -— K -— a4 q g m’r Is 2 g olr mis 4 g d> 4 g
de donde será:
" 2 1913(¿f(4>,w)- ¿111- ¿K2 qa - —a) +2 4 4 4
ir Js L _ =+ g Ólr GIS (2 D2f(®,W)) 0
Ahora bien, si (m l,...,© m) = O entonces resulta que
glj(í f(<b,w) —¿w - l K2 m2 - í a) = o (5.62)2 4 4 4
Si en cambio consideramos el abierto V del espacio m2+m+l
dimensional dado por gij y Qi definido por la condición (o 1,..,® m)7¿0I I I
vamos a probar que los tensores gl] y glr gls ó rw s son linealmenI I
te independientes en V. En efecto:
Dado un punto de la variedad sabemos que existe un sistema
de coordenadas tal que en. el punto:
5.15
"1. 0 d. o
gij " '11 Y ¿,1 = :.. o
o 1
con d#0. Por lo tanto será:
gl]
Resulta entonces, usando este sistema de coordenadas, en el
punto:d¿ si i=j=1
ir '1 l 2g 938 m r o S= gl 3 d =’ ’ 0 si i#1 ó j#l
Por lo tanto si
ij ir js _Ag + ug g oir els 0 =
s Xgl] + Ugil gjl dz = o
Tomandoi=j=2 primero e i=j=l despúes resulta A: u: 0 y
porlo tanto gij y gir gjs Ó Ó,r ,sen V. En particular es válido (5.62), de donde:
son linealmente independientes
f(w,w)= í (w + K2 oz + a) (5.63)2
(y claramente D2f(®,W) = É)
Reemplazando entonces en (5.60) será:
L=-l-/E(1p+K24>2+a)=L +¿{Ea (5.6.4)2
que es exactamente de la forma (5.58) y por lo tanto verifican
(5.57). Hemosdemostrado entonces el siguiente teorema:
5.3. Teorema
Si L es una densidad Lagrangiana concomitante del tensor
métrico gi y de un escalar Qy sus primeras derivadas,o seaj
L = L(gij;©;©;i), y L satisface (5.59), enionceó L es de la forma:
t" H í/5(gij<1>iq>.+K24>2)+¿/Ea=2 Í ’J 2
= L + l /E a.
siendo L2 el Lagrangiano dado por (5.50).AdemásL verifica que:
EL =/- ij ..-K2() g(g 4/13 ob)
Es decir, la elección de un tensor Momento-Energia comoel
segundo miembro de (5.59) determina la ecuación de Klein-Gordon.
5.4. Corolario
El ún¿co Lagrangiano del tipo (5.51) que mediante la aplicación
de un principio variacional determina la elección de un tensor
Momento-Energía como el segundo miembro de (5.56) es el Lagrangiano:
-1 - ijL2—;/g(g oliolj+K w)
6; APENDICE I , K-JETS
6.1. Introducción
Sean My P variedades diferenciables de dimensiones m y m+n
respectivamente, y sea sz + Muna submersión suryectiva (o sea, una
aplicación C0°suryectiva tal que su diferencial n*p:Pp+ Mw(p)esepimorfismo V p E P),
Por ser rg n = m (= dim Im(w*)) se puede aplicar forma local
normal y, por lo tanto, en coordenadas es:, +.1r(a1,...,amn)=(alp-.oíam)r
o sea,1r es la proyección a las primeras m coordenadas (en coordenadas)
Para cada x E M, n-1(X) es una subvariedad sumergida de P (no
vacia, por ser n suryectiva) de dimensión n llamada ¿Lbna en x.
Una ¿acción Zoca¿ de n es una apiicación s:U + P, donde
U es un abierto de M, tal que n o s = id.
Dado Wabierto de M, notaremos con F(w,P) al conjunto de todasn m . olas seCCiones locales C de W con dominio W, o sea:
F(W,P) = A{s:W + P/s es sección C0°de n}
6.2. Proposición
n ¿ó abierta.
Dem.:
Sea W abierto de P. Veamos que w(W) es abierto en M. Sea
q = 1T(p) e MW),
. . existen (x,U) carta de M alrededor de q = 1flp) e (y,V) carta
de P alrededor de p con V C W tales que w(V) C U y1 m+nx o n o y_ (al,...,a ) = (a1,...,am)
-1Luego, x o n o y : y(V) -+ x(U) es una aplicación abierta,
por lo tanto como n(V) = x-l((x o w o y-1)(y(V))) resulta que
w(V) es abierto en U y por lo tanto abierto en M. De esto último
y del hecho que q = n(p) G n(V) C n(W), hemos encontrado un
abierto w(V) de Mcontenido en n(W) alrededor de q. De aqui resul
ta lo afirmado. ///.
6.3. Definición
Sea k E N .o
Dos secciones locales C.° de n, s E r(U1,P) y s E r(U2,P) sel 2
dirá que están ®ara xO e U1 n U2) h,xo— neiacionadaá, y se lo
notará ¿1,qd ¿2 , sii:k,xo
A) 51(XO) = 52(xo)
LL) existen cartas (x,U) de Malrededor de x e (y,V) de P alredeo
dor de sl(xo)(= 52(xo)) tales que:
8 xa x a xa Jxo om
V 1€ i< m+n, V a- (d1,..,am) /Ia| = z dj< kj=l
6.4.
6.3
Observaciones
La notación usada en ii) de 6.3. significa:a|i
a' X o s1 _ wa"°“ylo s] =a x — al m 0¿m
a x o 3(x1)...8(x ) XO
_ 1 —1 —D10...oD o D20...oD2 0...0 Dmo...oDm (y o sl o x )(x(xo))
C11 (12 (Im
La igualdad en ii) de 6.3 se debe verificar en el punto xol
luego para que tenga sentido yi o sj o x_l , j=l,2, deberia
ser U C Uln U2 y sj(U)<:V, j=l,2. Comosólo importa elpunto xo bastará Conrestringir la carta (x,U) de la siguienteforma:
—1 -1
(X/Unsïlwm 351w) ' U n 51 (V)ms2 W“N
Es claro que k X define una relación de equivalencia sobreI on a c n
las seCC1ones locales C de n definidas en un entorno de xo.
En otras palabras: sl É”;’ s2 sii, en coordenadas, las derivaI odas parciales hasta el orden k de sl y 52 coinciden en xo.
La condición ii) de 6.3 gg depende de las cartas locales elegidas.
Definición
Para cada k E No y cada x G M definimos:
Ph(x) ='{s EIXW,P): Wes entorno abierto de x en M}/r\,k,x
19'a= u Pk(x)XEM
6.6. Progosiciónk
Pk(x1)rWP (x2) = a V xl#x2 ; x1,x2 e M.
Dem.:
Supongamos que existe y E Pk(x1) Ñ Pk(x2) 96.5
= existen siGEF(Ui,P), i=1,2, tales que:.._.k'x _ _._:k,X2Sl 1 ‘ s2
Sea V un entorno abierto de x1 en M tal que x2 Q V(M es T1)
Sea U = U1 0 V y sea s = sl/U
luego: claramente es sk'xl = Eïk'xl = Eïk'xz
e s e E k'xz a s e Pk(x ) e x e U =2 2 26.5
= XZEV ,Absurdo. ///.
6.7. Definición
Definimos la proyección wthk * Mde la manera natural:
wk(Y) = x sii y G Pk(X)
‘ 6.8. Observaciones
l. La proyección nk está bien definida gracias a 6.6.
2. Pk(x) = (nk)-1(X) v x e M
'6.9. Definición
Para cada s E F(U,P) y cada k E No se define el h-jet des a la aplicación:
6.5
Íh(ó): U + Pk dada por:
jk(S) (x) = E‘k'X
6.10.‘Observaciones
k kl. w o jk(s) = id por lo tanto jk(s) es una sección local de wU!
2. Luego veremos que Pk tiene una estructura de variedad diferen
ciable con la cual jk(s) resultará ser C.° (o sea, jk(s)€ T(U,Pk»
3. Pk = {jk(s)(x) : s €F(W,P) con Wabierto de M}
6.11. Definición
Para k y L E No con k 2 z se define la pnogección canánicade los k-jets sobre los L-jets comola aplicación:
L- P + P dada por:
kz (jk(s)(x)) = j‘(s>(x)Tl'
Su buena definición es Clara gracias a 3- de 6.10 y 6.6.
‘6.12. ProEosición
P° = P
Dem.:
Sea f:P° + P dada por:
f(j°(s)(X)) = s(x)
Claramente f está bien definida
Veamosque f es una biyección.
(1) f es inyectiva:
En efecto, sean sie F(Ui,P) y xiE Ui, i =1,2 tales que
f(j°(sl)(xl)) = f(j°(sz)(x2)) e
a s1(x1) = s2(x2) É l x1 = n o sl(xl) = n o 52(x2)= X2 =á
(2) f es suryectiva:
En efecto, sea p G P.
Por ser n submersión, usando forma local normal, resulta
que existen cartas (x,U) de Malrededor de n(p) e (YIV) de
P alrededor de p con n(V) C U tales que:
r - + +<*>x o w o y l(al,...,am n) = (a1,..,am), v (a1,..,am n) e y(V)
Notemosy(p) = (bl,...,bm,...,bm+n).
Sea isz 4 Rm+n dada porm m+1
li(Cl,--:Cm) = (Cl,...,c ,b m+n),..,b
Por ser y(V) abierto de Rm+nexiste e > 0 y Ve entorno abierm+n . .
to alrededor de y(p) dado por VE = n (y3(p) - a, y3(p) + e )j=ltal que VECy(V).
m _ 1 'Sea V = y (V8) y sea Ü = n(V). Luego por ser w abierta
(6.2) Ü es un abierto de Malrededor de n(p) contenido en U (pues
W(V) C U).
& J
m . .
= (X O 1T O 37-1) (V8) = H (yJ (p)_e l Y] (p) + e) ___(*)j =1m . .
= II (bJ- e,b3+ 'e)j=l
Luego,
x'{(bm+1’..’bm+n)}cII e'bj + e) X {(bm+1,“'bm+n)}Cj=1
C VE
y por lo tanto podemosdefinir'b
s:U + P por:
s = y_l o i o x/Ü
Luego s es C.o , y además
n o s = w o y-1 o i o x = x_1 o (x o w o y_1) o i o x =id
= id(por (*))
'bde donde s G r(U,P), Con Ü un entorno abierto de n(p)en M, Y
s(n(p)) = y-lo i o x o n{p) = y_lo i o(x o w o y-l)o y(p) =_ _ 1
= y lo i o (x o n o y 1) (b ,..,bm+n)— 1Y 1 Ojqoo'bm) = p
Sea entonces j°(S)(n(p))E P°
Claramente f(j°(S)(n(p))) = S(n(P)) = P
de donde f es suryectiva ./.
Luego de (1) y (2) f es biyectiva .///.
6.13 Observaciones
A P°le damosla única estructura diferenciable con la cual f
resulta un difeomorfismo. Identificaremos entonces los elemen
tos de P°con los de P y, por lo tanto, P°Con P.
La demostración de la suryectividad de f nos brinda varias
conclusiones de importancia. La primera es que dado p E P
existe una sección local C.os de w definida en algún entorno
de w(p) tal que S(n(p)) = p. La segunda es que Pk(x)#Ó
V x E Mpues por ser n suryectiva vale la conclusión anterior
para x E My cualquier punto de n_l(X).
Proposición
Las aplicaciones n, wky nÏ definidas en 6.1, 6.7 y 6.11 respectivamente cumplenlas siguientes relaciones:
a) 11° = TT
b) wk = id V ke Nk k oP
c) TTL o TT]:= Trk V k,1, GNC/L <ki L k kd) wh o WL= wh V L,h,k e No / h< LS k
e) w o w: - H< V k E No922.:
Para a) y e) debe tenerse en cuenta la observación 6.13-2
y por lo tanto a) y e) significan en realidad n°= w o f y
fi o f o wï==nk respectivamenteLa demostración se sigue teniendo en cuenta 6.1, 6.7, 6.11
y 6.12. ///.
6.15. Definición
Una canta de coondenadaó adapiada pana P es una terna (U,wo,@),
donde U es un abierto de P y wo:n(U)+ Rmy 9:U +4Rmx Rn son difeomorfismos que conmutan el siguiente diagrama:
U———"—>Rm X Rn
n pl (pl o w = vo o n)
donde pl es la proyección sobre el primer factor.
6.16. Observaciones
1. Por 6.2 n(U) es un abierto de M.
2. 90(n(U)) = Rm y w(U) = Rmx Rn, pues son difeomorfismos.
3. (wo,n(U)) y (w,U) son cartas locales de My P respectivamentetales que (“USC Tr(U)):
-l l m+n l m m+n m ngo o n o g (a ,..,a ) = (a ,...,a ), V (a',...,a )E R x R
O sea, son cartas que dan la forma local normal para w con
la propiedad de cubrir los RLrespectivos
6.17. Proposición
Si p E P ex¿óte entonces una carta adaptada para RiU,wo,w)/alrededor de p (p e U).
Dem. :
de w(p) e (y,V) de P alrededor de p con
(*)
dado
n(p)
de M
que
mwx(W)
Por la forma local normal existen cartas (x,W) de Malrededor
n(V) C W tales que:
- +x o n o y 1(a1,..,am+n) = (a1,...,am), V(a3,...,am n) e y(V)
Por ser y(V) abierto existe e >0 y V€ entorno abierto de y(p)m+n . .
por z: = H (yl(p) - e, yl(p) + e) C Y(V).i=1
Sea U = y_l(V€), luego U es entorno abierto de p en P con
’b
Sea W= n(U) C W (pues U.C V), luego W es entorno abierto de
en M.
m m “"V mSean x = x/% e y = y/U , luego (x,W) e (y,U) son cartas
alrededor de n(p) y de P alrededor de p respectiVamente tales
n(U)C W, para las cuales sigue valiendo (*).
Si notamos U8m . .
H (yl(p)— e, yl(p) + e) resulta por (*) que«1=1
= Ue
Sean entonces:
f: U€ + Rm dada porl 1 m m
f(zl,..,zm) = _E_:LÁL_Q¿L_r'--' Z ‘ Y (P)e-izl'ylÜÉ’)‘ s-{zm- ym(p)|
g: VE + Rm x Rn dada por1 1 m+n m+n+ - —9(zl,..,zm n) -—Z—L(2’—,.,_, Z Y (P)
‘ +€_Izl_ yl(p)l e_Izm n_ ym+n(p)l
Luego f y g resultan difeomorfismos (por ejemplo:
f-lsz + UEviene dada por f_l(al,..,am)=
1 m= ¿1- + ,_._,¿LIE-+ )1 + ¡al 1 + la! 2
Además si p1:Rm x Rn + Rmes la proyección sobre el primerfactor, resulta:
f o pl/ = p1 o g (**)VE
Sea entonces:
= nm) —> Rm2?= f xvo O
v=goy=U —>Rmen
Claramente wo y o resultan difeomorfismos y por lo tanto
(wo, n(U)) y (m,U) son cartas de M alrededor de n(p) y de P alrededor de p respectivamente tales que
‘spo(w(U)) = Rm y MU) = Rm x Rn
Se afirma entonces que (U,mo,g) es una carta adaptada paraP alrededor de p.
En efecto, por 6.15 bastará con ver la conmutatividad del diagra
ma, pero:-1 m N-l -1 'l
o o n o o = f o X o n o y O g = f O P 0 g =o HH 1 (**)= ‘
(*)
P1 g g Pl
o sea: vo o n = pl o w -///
6.18. Observaciones
Si V es un abierto de P, existe entonces U abierto de P tal
que: i) U C V
ii) U es dominio de una carta adaptada para PAU,wo,w).Por lo tanto se concluye que las cartas adaptadas para P dan
una base de la topología de P. (En efecto basta observar que
las cartas que dan la forma local normal para w son base de
la topología de P y que dadas esas cartas una carta adaptada
para P se consigue achicando la carta correspondiente a P
(Ver 6.17)).
Si (U,wo,v) es una carta adaptada para P notaremos:g =
1 mo (wo,..,wo)
_ 1 m 1 n9 - (891..., W,“ local“)
Con esta notación en mente resulta de 6.15 que:
v: (7r(p))=°st(p) , V1<a<m,Vp€UIndicaremos:
“a; =t°° , v1<a<mLuego será:
ta==aw = W: O n , V l < a í m
.y por lo tanto:1 m90071": 'o¡’t)
Y1 mv = loaft ¡W1,..,‘Pn)
o más brevemente:OLW o n: to
Comoestamos en el contexto de una carta adaptada podemos iden
tificar, si no existe peligro de confusión, las coordenadas de0L . . .
wocon las t , o sea 1nd1caremos Slmplemente:0LW t n vez de = ao (e vo o fl t )
Sea (U,wo,v) una carta adaptada para P.Si s G P(W C n(U),U) resulta:
tB o s = W: , V 1 < B < m en W
Y IIa B
a z o s = sïal. 6: , V 1 < B < m, V x E W,a “o x B V a_ ( )_ 0L1""°‘m
En efecto:
tB o s = w o ¿_2rg,= v8_ . dl— 1d
y por lo tanto:
B
‘alal Bwo s ala] wo 1 l= :6.6a l o‘1 m o‘m [al a5
a wo x 3(mo) ...3(Wo)
Se concluye entonces que:
Dadas 51€ F(U1,P), 32€ F(U2,P) y x06 Ulrï U2 resulta que
slásq s2 AZ y ¿610 ¿L existe (U,wo,w) carta adaptada para P,xoalrededor de sl(xo) tal que:
i i .a) w o sl(xo) = w o 52(xo) , V 1 í 1 í n
6.14
la] i IaI ib)W =WL3 89‘
o XO 3 ‘pO XO
V1<i<n,V0t= (ali-oram)/lalík
En otras palabras; para ver si dos secciones son equivalentes
bastará verificar la igualdad de sus derivadas hasta el
orden k de las últimas n coordenadas en alguna carta adapta
da (las primeras m coordenadas siempre son iguales).
6.19. Comentario
Sea k >1. Queremosdarle a Pk una estructura de variedad
diferenciable.
Sea (U,wo,w) una carta adaptada para P,
Sea vu = (w:)‘1(U) C Pkk
(en realidad deberiamos poner V = (no)-1(f_l(U)), donde f es laU
aplicación definida en 6.12 pero tenemos en cuenta 6.13).
Se afirma lo siguiente:
Dado y G Pk;
y e VUáxiq AÓKo¿i existe Wentorno abierto de wk(y)en D4.k
y S e I‘(W,U) tal que y = J (s) («ku/H.
En efecto:
Comoy e Pk a y e Pk(fik(y)) :EIV entorno6. 10
abierto de nk(Y)en B1 y 3 e r(V,P) tal que y=jk(g)(nk(Y)).
Por otra parte como y e VUa n:(y) e U.
6.15
Pero n:(y) = n:(jk(2)(nk(y))) = j°(s)(nk(y)) =
¿(nk(y))
m kLuego s(n (y)) e U
,Seaw=VñÉ‘l (U)
Luego Wes un entorno abierto de nk(y) en M.
Además:_ m m
E<w>c u (pues E<v n E l(U))c s(s l(Um’b
Sea s = s,’W
Luego s G F(W,U) y claramente
’\¡y = jk<s)(nk<y>) = jk<s)(nk(y)). /.
Se observa además que como s G F(W,U) =
á W C w(U) (pues s(W) C U y n o s = id)
C ) Recïprocamente
. w:(y) = w:(jk(s)(wk(y))) = j°(S)(wk(y)) = s(rk(y))€ U.
Luego y e (W:)-1(U) = VU - ///
k U
Sea h = m + n + n Z cm ii=1 '
donde con ch i indicamos las combinaciones con repetición de m eleI
mentos tomados de a i.
Queremosdefinir
Sea AU ='{s e F(W,U): Wes abierto de M}.Por lo observado antes resulta:
t .k y= ' - e c VU 13 (s)(x). s AU A x c Dom s}
Sea y G VU S existe Wentorno abierto de wk(y) en M
y s e r(w,U) tal que y = jk(s) (nk(y)) , Se definen: .
ó¿=solosow;1:<po(W)CRm->R, Vl<i<n
su - Da(S ): WO(W)C R + R, V l \ 1 x n,.V 1 \.a \ m
Y en general:i .
Sa ... at = Du (Da Du sl)...) =7 t t-l’“ 1
= Da a (sl) : «po(W)C Rm —>R,l... t
V1<1<n, V 1<al<...<at<m ' Vlgtgk
Si 1€ al,..,at< m es un conjunto arbitrario de indices asumiremos que:
i isl = s.al....ut {ul,..,at}
donde {a1,..,at} significará tomar los indices a1,..,at en formacreciente.
Definimos entonces:
®h(q) = (w (x) si(w (X)) si( (X)) si ( (X)))o ' o ' a wo "" a a mo ’
donde x = wk(Y).
Por 6.18- 2 y 3 mg(x) = Bmo s(x) y como sl(Wo(x)) =i . kw (S(X)), entonces las prlmeras m+ncoordenadas de Q resultan
ser w(s(x)), por lo tanto:
<I>k(y)= ok<jk<suxn = (“s(xn, s: (WO(X)),..,S: akw (X)))1...
Por otra parte, por definición:
atwlo Qis (w (X)) =
OL (1 O (1 0LIn. t1 t 3W01._,8wo X
con lo cual podemosescribir:i k i
i . a®k(y) = ®](Jk(s)(x)) = (¿(s(x)), É_ï_g_ï ,..., __EÏ__EL€?_ )
a w sw l..av ko oo x x
y por lo tanto por 6.18- 3 la definición de Qkno depende de la
sección s elegida. Luego ok está bien definida.
Veamosentonces que es posible darle una estructura de varie
dad diferenciable a Pk de tal forma que la familia {(Qk,VU)} correspondiente a cartas adaptadas para P sea un atlas Cm.
6.20.Proposición
Pia tiene una ¿étnuciuna de van¿edad dááenenc¿abie, con la
cual ¡{(Qk,VU)} es un atlas Cm, V k E No.
Dem.
Sea k > l
k1.- P = U Vu
En efecto:= k -1 _ k -1 = k -l _ k
U Vu U(wo) (U) — (no) (U U) (no) (P) - P6.18-1
k h . .2.- o : VU4 R es blyectlva
En efecto:
6.18
Calculemos (ók)-l: Rh r'VUl m 1 n. i i hSea (aInauÉJ'w, ba, .g'ba..'a )
"a b l k
Sea f: Rm+ Rm+n C0°
f =(flvqu'fmü-l'.“'fm+n) = (fa'fl)tal que:
i) fa = proyección a la ü-ésima Coordenada , V 1<n<m
ii) fl (a) = bl‘m _,V m+1< i< m+n
iii) DGt (fi)(a) = b:_m a _,v m+l<i <m+n , v 1<r<kr ...l r0.a
Es fácil ver que una tal f Coosiempre existe.
Recordemos que tenemos una carta adaptada (U,wo,w) para P.Sea entonces:
S = 9-1 O f o Wo :w(U) + U
Luego s es Cm y además:
_ -1 _ -1 _ nos-now ofotpO —«p00plofo«po—1d6.15 L.N_ i)
Luego s€EP(w(U),U). ‘
Definimos entonces:
h -1 i ¿ _ .k -1(<I>) (a,b,b(Jl ,..,ba1.“%) —J (S)(«po (a))
k -1 . . .(a) - (Ó ) está blen deflnlda:
En efecto:'\;. m + . 0° .. . ..Sl sz + Rmn es otra funC1ón C verlflcando 1),11), e 111) y
'b _. l ’\Js = w o f o wo , entonces:
s(«p;1(a)) = w’lman = so‘lua) = so*1(É(a>) =3(«p;1<a))
Y
3 w o s _= D (w o s o w ) (a) =
aval . awgr m-1(a) 0‘1 r o
= D (spl o «p_1 o f o 490.0081) (a):a1 '“r 6.18-2
+.= a a (fm l><a> =l... r
w . r i m+= D (fm l)(a) = _ï__í__9_í_0Llu'OLr a a -l
awol...asaor «po (a)
Luego,por 6.18-3, s zh, 3» jk(s)(w;l(a)) = jk(3)(«p;l(a)) ./.kup (a)
O
(b) — ek o (Qk)—l = id h y (ok)_l o ok = id :R VU
k k -lEsto es trivial a partir de las definiciones de Q y (Q ) . .//.
Luego Qkes biyectiva -//
3.- @k(VUñ Va) es un abierto de RhEn efecto:
Veamos que <1>k(VUñ VB) = W(U ñ 8) x Rh_m_n
c) Sea (a,b,bl,...,bl ) E ®k(V ñ V“) 9a al ..uk U U
= (a,b,bl,..,b: )e¿‘((n‘;>‘l (unï‘m =a l"'ak 6.19’b
a existe Wentorno abierto en My s E F(W;Uñ U) tal que
<I>k(jk(s)(x)> = (a,b,b:,..-,b: > , para algún x e w =lo. .ka
6.20
’b ’\¡
=’ (a,b) = w(s(x)) E «p(Uñ U), pues s(x)€ U ñ U. a6.19 . . m _ _= (a,b,bl,...,bl )€so(Uñu)x Rhmn -/a a ,..,al k
i i N h-m-n h =3) Sea (a,b,ba,...,ba )e m(U o U) x R C R_ 1...ak
'11 ’\¡
= (a,b)G w(U ñ U) =Eíp G U ñ U tal que (a,b) = w(p) 3
=>a=pluo<pn =wow(pn =aepou(unün
Sea szm + Rm+n lea aplicación definida en 2.-l'b 'b
Sea w = w («(UrWU))o f (v(U o U))-l
Luego W es un abierto de Rm, f(W)C w(UñÜ) y aeÏW. Luego wo (W)es un abierto de M.
-1oSea s = o f o wo la sección dada en 2.- y sea É =
Claramente 3 E P(w;l(W),UfïÜ), pues f(W)C w(UfïÜ). Como
w;1(a) E w;l(W), pues a E W, resulta:
jk(3)<w;1<a>>= jk(s)(w;l(a)).Luego:
k k)_l(a,b,b: “..,b:l... k> = j (3)(w;1<a)> =
= ®k(jk(3)(w;1(a)))
(Q=mm:Pero como:
nï<jk(2)<w;1(a)))==j°<3><wg (a))== E<wgl(a))6.12
-1 -1 N N=w (f(a)) = w (a,b) E Un U, pues f(a) = (a,b)E w(Uf7U). Re
sulta entonces que:_ _ _ _ N
jk<3) wol<an e (nï)1XUF‘8) = mg) lun n Mi) lun =
= VUÍWVE
iLuego(a,b,bi,...,bCi. Ole-oak
)eok(VUera) ./.
Comov es un difeomorfismo, se concluye lo afirmado.//.
_ “k k —1. k m mk m4. Q o (Q ) .© (VUrïVU) e Q (VUñ VÜ) es C .
i i ke n NSea (a,b,ba,..,ball-.’ak) Q (VU VU).
'bSi s es la sección dada en 3- resulta:
“k k —1 1 1 _ “k .k m -1 _(Ó o (q)) )(alblbal"lbal...ak) "' CD (S)(‘po ’5.19
mi m k mi m
=<3<3w01<a>>>,3_m°_5/_1 W Osa >0. _.
3 S’o “o (a) a: 1..aïok/wol(a)
Bastará entonces observar que las funciones "coordenadas" dem _ . .
ok o (Qk) l son C‘comofunción de las variables a,b,b:,..,bl al...ockEn efecto:
NNv(s(w;l(a)))= (3 o w_l)(f(a)) = (3 o w-l)(a,b).
Por otra parte:mi mW O S mi N -l mi N -1—-rc-—-— = s (tp (w (a))) = D (s )o(sp Osa )(a) =a gg /W 1(a) a o o a o o
= Da (Si o g o 381) o (Go o wgl) (a) =
_ mi -1 ’ ’ m-l m “1 _—Da(«pom lo f ¡d woowo)o(woo«p )(a)—l o
m+n m m. .= 1 -1 j B m-l N ‘32-1 ¿l Djw o «p )o f(a). D5(f )(a). Dawo 0 «Po)OW’o 0 90])(a)
' . a; si 1< j< mPero f(a) = (a,b) y DB(fJ)(a) =
bgqn si m+1< j <m+n
Luego:
mi m m _ _ _W 0 S = z 13(31 o cp l)(a,b).D (s08 o Co“1)o(3 o «p l>(a) +ma l B a o o o o
amo /sa (a) B=l
m m+n . ._+ Z D.('Ï'ploso_l)(a,b).b%m.
3:1 j=m+1 3
B m-l N -1. Dawo o «po ) o («po o wo )(a)
En general será:
' NBríïlo s . _ _ _
____—_____—— = (D ...D (31 o w lo f o w o 3 lnou? o w l)(a)a mal amar / —l(a) ar al o o o osao...«po «po.
m+nm . . _
= Da . . Da < z Z Dj(31 o w'1)ó f. D8(f3).Da(wg o wol)) or 2 ¿43:1 - ,“V’
m -1o («po o s00 )(a) (*)
Observemosque al derivar (*) respecto de a2,...,ar aparecerántérminos de la forma:
’b ‘ _
i) Di ... Di (ml o w 1)(f(a>)1 2
ii) D ...D (f3)(a)B1 82
... B m-l N -1111) Dal...Da2(«po o wo )o (wo o mo )(a)
multiplicados y sumadosentre si.
Claramente los del tipo i) y iii) son Coocomo función de lasiOL
variables a,b,b: ,...,b a . Para los términos del tipo ii)lbasta observar que para 2292 (el caso 2:1 ya fue analizado):
. 0 si l<j<mD8 B (f3)(a> =l"' 2 j-m si m+l<j <m+n
81... 82
que es claramente Cm.Resulta entonces lo afirmado.//.
6.23
En conclusión, de l,2,3,y 4, resulta que existe sobre Pk una
estructura de variedad diferenciable, única, tal que la familia
{(Qk,VU)},correspondiente a cartas adaptadas para P, es un atlasCm. Lo que no nos asegura lo anterior es que, con esta estructura,
kP sea una variedad T2 y N2. Veamos esto:
5. Pk es N2
Por ser P una variedad N2 y 6.18-1 podemos conseguir una fami
lia numerable {(Ui,woi,wi)}i€N de cartas adaptadas para P correspondiente a un atlas numerable {(Ui,wi)}iCZN de P. Por lo tanto
(de 1.-) 1a familia {(VU ,QÏ)}1E N es un atlas numerable de Pk. Lueigo Pk es N2.-//—
6. Pk es T‘2
kSean yl,y2 E P tales que y1# yz.
k ka) Sup. no(yl) # no(y2)
Sean (U1,wol,wl) y (U2,woz,vz) cartas adaptadas para Pk . .
tales que no(yi) E Ui, i=1,2 y UlfïU2= ©(esto Siempre
se puede conseguir pues P es T2 y 6.18-1).
Luego VU= (w:)_l (Ui) son entornos abiertos de yi, i=1,2iñ = _ _
tales que VU1 VU2 m /k _ k
b) Sup. no(yl) —no(y2)
Existe entonces (U,wo,w)carta adaptada para P alrededork _ kde _ÏTO(Y2)g e
h k kSean Wl y W2 entornos abiertos de Ó (yl) y Q (yz)
en ZRhtales que Wlf'ïW2= o (siempre es posible conseguir
esto pues Rh es T2 y ®k(yl) # ©k(y2) pues les biyectiva).
Luego (Qk)_l(Wi), i=1,2, son entornos abiertos de yien VU,
luego abiertos en Pk tales que:
<q>k>‘1(wl) n<©k)‘1<w2) = (cpk)'1(wlnw2) = Ó _/_
Luego de a) y b) Pk es T2-//
Basta observar por último que si k=0, por 6.13-1, P°tiene
una estructura diferenciable con la cual {(@°,VU)}es un atlas
Cm. Observemos que en este caso es ®° 1 o y VU: U —///—
6.21. Notación
Sea (ok,VU) una carta de Pk correspondiente a una carta adap
tada para P,(U,wo,w).Queremos darle nombres a las funciones coordenadas de ®k.
Teniendo en cuenta 6.18-2 notaremos:
l m“po: (t I-art)0L OL
o sea: wo = t , V l < a S mmW= (t', .,t , X ,..,Xn)
o sea: am = ta , V 1 <c1 < m
wl = Xl , V l í 1 < n
Ol. .
Recordemos que las t de wo no son las mlsmas que las de W,. . . "¡0L El .
Sl por un momento 1nd1camos t = vo se cumple la relac1ónoc m0Lt = t O TT.
Por analogía notamos:
k a i i i<1>= (t ,X ,xa ,..,xa . )
donde:t°‘(jk(s)<x)) = «p (x) = t°‘<x) = t°‘(s(x)>r v l<oc<m
Xi(jk(s)(X)) = siwo<xn = xi<s<x)> , v 1< i<n
Xi(jk(5)(x)) = si(w (x)) = si(tl(x),..,tm(x)), v 1< 1€ n,oc 0L O OL
Vl<a<my en general
' . . ' 1
xl <3k(s>(x>) = sl a (wo(x)) = s: a (t (X),...,tm(x)),dilo-¡(Ir (11.. r la... r
V 1€ i< n, V l <al,...,dr=<m
Recalcamos que aunque estamos usando la misma notación para. . k ,. .
Clertas func1ones coordenadas de wo,w y Q , estas no son 1guales(pues claramente parten de distintos conjuntos), pero indicando
los puntos correctamente (los únicos posibles) entonces esas fun. OL i .Clones (t y x ) toman los mlsmos valores.
6.22.0bservaciones
1.- Si s‘EF(W,P), entonceá jk(s) E F(W,Pk). En efecto:
Por 6.10-1 sabemos que jk(s) es una sección de nk. Bastará
entonces ver que jk(s):W 9 Pk es Cm.
Sea x E W a s(x)<EP.
Sea (U,wo,w) una carta adaptada para P alrededor de s(x).Sea:
W = s_l(U)’\.u
Luego W es un entorno abierto de x en M tal que WC: W y
s<%) c U.
Luego, V z E % reSulta:
v:(jk(8)(z)) = j°(s>(z> = s<z)e Uy por lo tanto:
.k NJ (s)(W)C VU
Luego las cartas (wo,%) de M alrededor de x y (Ók,VU) de Pk
alrededor de jk(s)(x) son tales que jk(S)(%)C V y ademáS:U,
©k0 jk(s) o «gl (€‘,...,tm) =m m= (tl,..,t , sl(tl,..,t ), s:(t1,..,tm),...,sl (t1,...,tm)>al...ak
es claramente Cm.-//
2.- Si siGEF(Wi,P), i=l,2, son tales que sl]:x s2 V x6 Wlñ Wz,I
entonceó jk(sl) = jk(sz). La demostración es trivial—//
7. APENDICE II
El propósito de este apéndice es analizar en detalle ciertosaspectos de la teoria de los k-jets (vista en el Apéndice I) en
el caso particular que nuestro contexto sea el detallado en 2.1 dela Sección 2.
Sin pérdida de generalidad y para no aumentar la ya complicada
notación supondremos que en 2.1 c=l y notaremos entonces r1=r y sl=s.En este caso (2.1) y (2.2) se convierten en:
p = u T:(Mp> = T:(M) , n=m(r+s) (7.1)pGM
Comoen 2.1 consideramos pGEMy (x,U) una carta local de M al
rededor de p tal que x(U) = Rm. Sea (x,U) otra carta local de M
con x(U) = Rm.
Nuestra intención es describir la aplicación w:(%). Para elloN - .es necesario conocer el comportamiento de la aplicación ok o (Qk l;’)
Recordemos (ver 6.19) que las cartas (wk,VU)de Pk se conseguían
partiendo de cartas adaptadas,(U,wo,w),para P. En nuestro contextoactual,dado por (7.1),las cartas (x,U) y (x,U) nos determinan dos
_cartas (mk,VU) y (3k,VU) de Pk a partir de las cartas adaptadas
(n_l(U),tU,x) y (n_l(U),tU,x) correspondientes. Recordemostambiénlque en 6.20 para definir (ok)_ nos valïamos de una cierta función
auxiliar f¿ Para no confundir dicha función conla definida en elLema 2.2 aqui la llamaremos 6.
Cada elemento de Rh es de la forma:i ...i
(a,b) = (a1,...,am,b.l r ri ...i
. , b.1 . ,.31...js 31...]Sai ...il r
n-lb. . )31...jr al...dk
Luego para (a,b) EZRhdefinïamos:
e: JRm -> 1Rm+n C°°
i ...ie = (91,...,®m,® l F ) tal que:
jloooas‘
. i . . . .l)@ = proyecc16n a la leé81ma coordenada, V l <1=<mi ...i i ...i
ii) 9.1 .r (a) = .1 .rJl...Js Jl...JSi ...i i ...i
iii) D a (9.1 .r) = b.l .r a , v 1< r< kal... r 31...]S 31...]s l...ar
Resulta entonces, reemplazando en 6.20-4 todo lo necesario
que:
3k o (ok)‘l(a,b) = ((ÉUo t51)(a,b),i ...i -
(1) D ((É ).1 .r o t‘lo e o x o ï'l) o (i o x_l)(a),...,a U Jl...Js U
i ...i _D ((Ï ) l r o t l o e o x O g l) -1)al...ak U 31...]s U
(a))'bo (x o x
Ahora bien, es conocido (y fácil de ver)que:'\.I _l ,b Nh .h
(2) tU o tU (a,b) = ((X 0 X_l)(a)' bkíz:.k:)
mhl...hr h _ h _ j _donde, b = A.1(x l(a))... Air(x l(a)).Bk1(x l(a))...r 1k1...ks 11
11...1ks - jl...js y donde Ag: aïl/ axJ y BÉ=axl/aïj
Por otra parte por 6.20-4:h ...h
m 1 r -1 m-1 m -1 _Dm(tU)kl.“ks o tU o e o xao x ) o (x o x )(a)—
h .. h ._ m 1 ' r —1 1 m-l N -l
(3) — DJ._((tU)kl_Hks o tU )(a,b). Dq(x o x ) o (x o x )(a)+h ...h
N 1 r -l J i N-l m —lÉ DJ(.(tU)kl . ..kSO tU )(a,b) . bl. Da(x o x )o(x o x )(a)
i ...idonde con J indicamos todas las coordenadas posibles (jl...j
r>
deZRn.
Ahora bien:
N h ...h h h _ j _(t ) 1 r o t-l(c,d) = (A.lo x-l)(c)...(A.ro x l)(c)(B lo x lXC)...U k ...k U l 1 k1 s l r l
j _ i ...i.(BkSo x l)(c)d.l .rs 31"°Js
Luego será:
m h ...h h h
Di((tU) Ï_._kr o t51)(a,b) = {[Aili<x‘1<a)>...Air<x‘1<a>)+...s l rh h
(A4) + Ail(x_l(a)) Airi(x_l(a))]l r
j1 -1 js -1 hl —1 Mhr -1 jl —1B (x (a)) B (X (a)) + A. (x (a))...A. (x (a))[B .(x (an...k1 ks 1, lr k1;
js -1 jl -1 js -1 j -1 il”'ir..Bks(x (a)) + +Bk (x (a))...Bij(X (a))] Ai(x (a))} bjl.“js
il.y dado J = (. .r) será:
J1’ Jsh ...h h jN 1 r 1 —l r -l 1 -l(5 D ((t) Ot )(a,b) -A- (X (a))” A (X (a))B (X (a))..
¡ J U k1...ks U 11 r kl
js -l.B (x (a))
kS
Además
(6) Da(xi o 2‘1>(<ï o x'1)(a)) = B: (x'1<a))
Por último, reemplazando (4), (5) y (6) en (3) y teniendo en
cuenta que A; B; = 6: resulta que:
m h u.h _ _ _Qx(üh)kl k? o Hf'o e o xc>ï 1)c>(>Ïox l)&n =1.“ S
hl hr hl hr i jl js= HA i ... i + ... + Ai ... Ai i] B Bk ... Bk +
r 1 r a 1 s
h j j j j ¿1...1’r 1 s l s r+-A. ... A. [ ...B + ... + B ...B 1} —1 b. . +lr Bkla ks k1 ksa (x (a)) 31...]S
h h j j . i “.i' l s l l r+ m....er .u B} . ..1 lr Bk1 Bks a (X—1(a)) 31...jsi
mhl...hrk al primer término deEs claro que si notamos con bb1x no.
esta igualdad y pensamos a los bá1”';r como las componentes de un' stensor de tipo (r,s), dicha igualdad resulta ser el cambiodecoordenadas del "tensor" de la carta (x,U) a la carta (Ï,U).
Es claro de aqui que realizando un trabajo similar, aunque
mucho más engorroso, con las restantes coordenadas de Éko (4>k)_l
éstas serán elementos de la forma:
ghl...hrk ...ks al...a
il...irdonde su expresión vendrá dada considerando b. j como lasl... Scomponentes de un tensor de tipo (r,s) y calculando formalmente
.el cambio de coordenadas de la carta (x,U) a la carta (Ï,U) de las
derivadas de orden t.
Por lo tanto concluïmos que:
Nh . ..h ._ m _ ..3k o(q>k)1<a,b)=(<x o x 1)(a), b 1 r, b 1 rk ...k k ...k B1 s 1 sNhl...hr
..., b (7.2))k1...kssl...sk
Y entonces:i . ..i i . ..i i ...i
w262)(bjí...j:rbjï...j:0,""’bjí...j:dl...ock(7.3)
= (x(p),É:l. :r, Éïl...:r5,...,B:1...:rB B)l... 1...5, . 1...51...k
Y Hk(c,b) = (ghl...hr ghl...hr ,..- 1,\),hl...hr ) (7.4)k1...ks’ k1...ksB ' k1...kssl... sk’\J
Es fácil ver a partir de (7.3) que si (;,U) y (Ï,U) son dosm kxcartas con Ï(U) = ;(U) =2Rmtales que w:(Ï) =w :( ) entonces:
k(x“112280): fw )),
kP
donde f es la aplicación definida en el Lema2.2, por lo tanto f’\.r
está bien definida. Recïprocamente si (Ï,U) y (;,U) son dos cartas’\¡’b
con Ï(U) = Ï(U) =2Rmtales que ;(p) = ;(p) = x(p) Y
. i i .l 3x 3x N1B, = . = . = B.
J(p) ( 3;] )p (3%] )p J(p)
entonces:m '\¡
w];(x) = 4:11:62)
y por lo tanto la aplicación g definida en el Lema2.2 (g=f_l) tambiénresulta bien definida.
Por último remarcamos que efectivamente el hecho de haber consi
derado c=1 no hace perder generalidad, ya que si c#l habria quel ...lrepetir el mismorazonamientoanterior considerandob(l)j rlj ,...,il...ir 1 S1
b( . c. como las componentes de c tensores de tipo (r ,s )'C)Jl.. J 2 2' s c(l < 2 < c) y calculando formalmente los cambios de coordenadas de
una carta (x,U) a otra (;,U) de dichos tensores y sus derivadashasta el orden k.
10
ll
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Dobarro, F.
Horndeski,G.W.
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