operaciones con binarios
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Informática
Bioingeniería
Representación Números
Negativos
En matemáticas, los números negativos
en cualquier base se representan del
modo habitual, precediéndolos con un
signo «−». Sin embargo, en
una computadora, hay varias formas de
representar el signo de un número.
Representación Números
Negativos
Existen varios métodos de extender
el sistema binario para
representar números con signo:
signo y magnitud
complemento a uno
complemento a dos
Complemento a dos
En el caso de los números binarios, sería el complemento a dos y la forma de obtener el complemento a dos de un número binario es :
empezando desde la derecha encontramos el primer '1'
Negamos a todos los bits que quedan por la izquierda
○ 0101001 0101100
○ 1010111 1010100
Complemento a dos
De esta forma, en la representación por Complemento a dos de un número signado de n-bits asignamos: un bit para representar el signo. Ese bit a
menudo es el bit más significativo y, por convención: un 0 denota un número positivo, y un 1 denota un número negativo;
los (n-1) bits restantes para representar el significando que es la magnitud del número en valor absoluto para el caso de números positivos, o bien, en el complemento a dos del valor absoluto del número, en caso de ser negativo.
Complemento a dos
Sea una representación en formato de Complemento a dos que nos permite codificar en binario en punto fijo con 8 bits (un byte).
Se le otorga 1 bit para el signo y 7 bits para la magnitud. Con 8 bits, podemos representar, 28 = 256 números. Los cuales, según éste formato, van a estar repartidos entre 128 números positivos (bit de signo en 0) y 128 números negativos (bit de signo en 1).
Complemento a dos
Supongamos ahora, que tenemos que
representar el número -9710(se necesita 8
bits para representarlo). Procedemos a:
Tomar nota del signo del número -9710, que
siendo negativo, llevará como bit de signo un 1;
Como el signo es negativo, el número a
continuación del bit de signo, deberá
expresarse en complemento a dos. Al realizar la
conversión: el valor absoluto de -9710 es |-9710|
= 9710. Que en binario es: 11000012, el
complemento a dos: 00111112;
Complemento a dos
Colocar todo junto, el número -9710 en binario
con formato de Complemento a dos
es: 100111112.
Donde el 1 en el bit más significativo indica un
número negativo, y 00111112 es el significando
en complemento a dos del valor absoluto del
número.
Complemento a Dos
45 en binario es 101101, con 6 dígitos.
Complementos a dos de 45 = 010011
El - 45, expresado en complemento a dos
usando 8 bits sería 11010011
Expresados en 16 bits serían
1111111111010011
Complemento a dos
Para el caso inverso, dado un número
binario en Complemento a dos, por
ejemplo, 101101012, procedemos a:
Analizar el bit más significativo, que siendo
un 1 indica que el número es negativo;
Convertir el significando a la base deseada,
el complemento a dos:
C2(0110101)=10010112 |7510|. Siendo que
el bit de signo es 1, el número real es -7510.
A practicar…
Convertir los siguientes números a complemento a dos: - 34
- 165
- 83
- 141
Convertir de Complementos a dos a números: 10110101
00110110
1000111111011101
000011000011100
Operaciones con Binarios
Suma
Resta
Multiplicación
Suma
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.
De la misma forma que hacemos cuando sumamos
números del sistema decimal, esta operación
matemática la comenzamos a realizar de derecha a
izquierda.
Cuando se suma el 1+1, se aplica lo que dice
en la tabla se escribe el 0 y se acarrea o se
lleva el 1.
ACARREO Se suma con el acarreo.
Si se vuelve a sumar
1+1, se vuelve a utilizar
el acarreo
ACARREO
10112
1112 1 + 1 = 10 pones 0 y llevas 1
1 + 1+ 1 = 11 pones 1 y llevas 1
1 + 1 = 10 pones 0 y llevas 1
1 + 1 = 10
1
100102
1
Sumar 10112 + 1112
1
Suma
Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario.
Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre).
A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).
A sumar…
1112 + 10012
1102 + 11102
11112 + 1112
0111012 + 1011112
1101112 + 10112 + 100112
Resta
El algoritmo de la resta en binario es el mismo que
en el sistema decimal. Pero conviene repasar la
operación de restar en decimal para comprender
la operación binaria, que es más sencilla. Los
términos que intervienen en la resta se llaman
minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:
Resta
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en
el sistema decimal, tomando una unidad
prestada de la posición siguiente: 10 - 1
= 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir
en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad
prestada debe devolverse, sumándola,
a la posición siguiente.
Cuando se resta 0-1, se aplica lo que dice en
la tabla se escribe el 1 y se acarrea o se lleva
el 1. ACARREO
Se resta con el acarreo, pero
de abajo hacia arriba con el
primer número.
RESPUESTA
Resta
A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es
fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema
decimal y hemos aprendido a restar
mecánicamente, sin detenernos a pensar en el
significado del arrastre. Para simplificar las restas
y reducir la posibilidad de cometer errores hay
varias soluciones:
Dividir los números largos en grupos. En el siguiente
ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres
restas cortas:
Resta
Utilizando el complemento a dos. La resta de
dos números binarios puede obtenerse sumando
al minuendo el complemento a dos del
sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos
la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario:
En el resultado nos sobra un bit, que se desborda
por la izquierda. Pero, como el número resultante no
puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante
se desprecia.
A practicar…
10011101 – 01110000
00110010 – 11111011
11111000 – 00011110
Multiplicación
La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:
El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.
Lo que queda no es más que una suma,
se utiliza las reglas de la suma ,
teniendo muy en cuenta el acarreo
Se aplica lo que dice en la regla todo número
multiplicado por 0 es 0 y todo número
multiplicado por 1 es igual a el mismo número
El resultado de la suma es la respuesta
del ejercicio
A practicar …
10010111 * 11
00110111 * 110
11101110 * 0011
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