números y-ecuaciones
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Contenidos: 1.- Números positivos y negativos-Uso de los signos-Comparación de números enteros -Resolución de problemas
2.- Ecuaciones de primer grado.-Noción de igualdad de expresiones algebraicas.-Ecuaciones con una incógnita.-
Uso de propiedades de los números y de las operaciones para encontrar soluciones.
-Creación de diversos problemas a partir de ecuaciones.
3.- Tratamiento de la información.Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa.
Los números positivos, negativos y el cero, forman un conjunto de números, llamados: números enteros.
1.
Números negativos: Nº menores a cero. Usados parar representar magnitudes contrarias, perdidas, etc.
Números positivos: son todos los números mayores a cero. Usados para representar magnitudes positivas, ganancias, etc.
Recta numérica
“Adición de números positivos y negativos”existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con
signo distinto.
a.) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ej.: -3 + -8 = - 11
12 + 25 = 37
b.) Números de distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor
absoluto.
Sumo y conservo el signo.
Ej: -7 + 12 = 5
5 + -51 = - 46
-14 + 34 = 20
Sumo normal, luego agrego signo del número mayor. Siguiente
Para restar números, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Hay que seguir dos pasos:
a) Cambiar el signo de la resta en suma. b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de
operación por su signo contrario.
Ej: -3 - 10 = -3 + - 10 = -13 signos iguales se suman y se conserva el signo.
19 - -16 = 19 + +16= 19+16 = 35
“sustracción de números positivos y negativos”
Siguiente
Multiplicación y división de números positivos y negativos. La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para
dividir. Primero Multiplico números y luego multiplico los signos
de acuerdo a la siguiente tabla:
+ · + = + - · - = ++ · - = -- · + = -
Ej.: 12 X - 4 = -48 ( 12 · 4 = 48 ) ( + x - = - )
-5 X -10 = 50 ( 5 ·10 = 50 ) ( - x - = + )
Comparación de números enteros
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
- Comparación de números Positivos: Dados dos números enteros positivos en la recta, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Ej.: En la recta marcamos el 3 y el 8 .
el +8 es mayor que el +3, ya que posee mayor valor absoluto. (8 > 3)
- Comparación de números Negativos: Dados dos números enteros negativos, al contrario de los positivos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Ej.: En la recta numérica marcamos el -11 y el -6
El -6 es mayor que el -11, ya que posee menor valor absoluto. (-6 > -11)
Siguiente
Comparación de números enteros
Regla general: Para comparar dos números enteros situados en la recta numérica ocupamos: “Siempre es mayor el numero que esta situado a la derecha de otro.”
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ej.: 3 esta a la derecha de -6, por lo tanto es 3 es mayor.
-1 esta situado a la derecha de -9, por lo tanto -1 > -9
Ecuación: es una igualdad entre expresiones algebraicas, es decir el lado izquierdo es igual al lado derecho de la misma; en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos.
El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario (x,y,z) aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.
Ej.: 3 + x = 7 x= 7 -3 x = 4
Debemos hallar un Nº, en valor de x, para que tal afirmación sea verdadera: 1.- despejamos “X” ; y el número positivo, pasa al lado derecho del signo Igual cambiando su valor a negativo. (+3 se transforma a – 3 del lado izq.)
2.- Se realiza la resta y el resultado es igual a la incógnita.En este caso x = 4
Recuerda: Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.
Ecuaciones con una incógnita
Son las que poseen solo un miembro en incógnita o en “x” Ej.: 3 + x = 6
Para resolverlas se recomienda seguir el siguiente orden: 1.- quitar paréntesis (en caso que hayan)2.- Quitar denominadores; se puede hacer multiplicando ecuación por productos de estos o
multiplicar ecuación por M.C.M. de denominadores3.- Suprimir de ambos miembros los términos iguales.4.- pasar a un miembro los términos con incógnita y al otro miembro los números.5.- reducir términos semejantes y resolver. 6.- Despejar la incógnita
Siguiente
Ejercicio resuelto de ecuación de primer grado con una incógnita
4 + x = 6 + 5
4 + x = 11
X = 11 - 4
X = 7
1.- Sumar los números de un mismo lado
2.- Pasar el número que esta junto a la incógnita al lado donde están los números.
3.- una vez despejada X, se restan los números restantes.
4.- X va a ser igual al numero resultante entre la operación realizada, en este caso fue sustracción .
Uso de propiedades de los números y de las operaciones para encontrar soluciones
Regla de la suma: si a los dos miembros de una ecuación se les suman o se les resta el mismo número o la misma expresión algebraica, se
obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo: para resolver la ecuación:
Restamos 4x
Sumamos 7
Operamos
5x – 7 = 28 + 4x
5x – 7 – 4x = 28 + 4x – 4x
5x – 7 -4x + 7 = 28 + 4x -4x + 7
X = 35
Siguiente
Ejemplo anterior en forma directa.
5x – 7 = 28 + 4x
5x – 7 – 4x = 28
5x – 4x = 28 + 7
X = 35
Resolver en forma mas fácil y directa
1.Se pasa 4x al primer miembro, restando
2.Se pasa 7 al segundo termino sumando
3.Se opera
Siguiente
Uso de propiedades de los números y de las operaciones para encontrar soluciones
Regla del producto: si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
5 x = 270 2
5 x = 2 * 270 22 *
X = 108
5x = 540
Para resolver:
Multiplicamos por 2
Dividimos por 5
5 x = 270 2
5x = 540 X = 108
En forma directa…
Se multiplica por 2 a ambos miembros
Se simplifica por 5
Creación y resolución de diversos problemas a partir de ecuaciones.
Problema resuelto: Marta tiene 11 años y su madre 43 ¡dentro de cuantos años la edad de marta sera el triple que la edad de su hija?
Resolucion:
años que tienen que transcurrir….... x
edad de marta dentro de x años …... 11+ x
edad de la madre dentro de x años ….43 + x
Dentro de x años se tiene que cumplir : 3 (11 + x) = 43 + x
33 + 3x = 43 + x
2x =10
x = 5
Tienen que transcurrir 5 años para que la madre tenga el triple de edad de su hija.
Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas.
Variables cualitativas: aquellas que no aparecen en forma numérica, sino como categorías o atributos (sexo, profesión, color de ojos) y sólo pueden ser nominales u ordinales.
Variables cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas.
Tratamiento de la información.
Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa.
Área urbana-rural
Ambos sexos
Hombres Mujeres
Total país 15.116.435 7.447.695 7.668.740
Urbana 13.090.113 6.366.311 6.723.802
Rural 2.026.322 1.081.384 944.938
Responder según grafico anterior
¿Qué es un censo?
¿Qué porcentaje de hombres y de mujeres hay en el país? Realiza un gráfico circular.
¿ Hay más hombres o mujeres en el país?
¿Qué porcentaje representa la población urbana del país? ¿ y la rural?
Con los datos, Construye grafico que registre información.
Resolución de problemas
Guía de ejercicios “Comparación de números enteros”
Guía de ejercicios “Números enteros y uso de los signos”
Guía de ejercicios “Números enteros” (todo lo aprendido)
Guía de ejercicios “tratamiento de la información”
Guía de ejercicios “ecuaciones primer grado”.
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