num norm

LEY DE LOS GRANDES NMEROS Y NMEROS NORMALES Guillermo Basulto Elas, Facultad de Matemticas, U niv. de Guanajuato

Asesor: Vctor M. Prez Abreu, CIMAT

4to. Verano Estatal de la Investigacin CONSEJO DE CIENCIA Y TECNOLOGA DEL ESTADO DE GUANA JUATO

RESUMEN En el Verano de Investigacin trabajamos en el problema de la Ley de los Grandes Nmeros de Borel y su relacin con los Nmeros Normales.

En el marco del desarrollo de la axiomatizacin de la teora moderna de la probabilidad, a principios del Siglo XX Emile Borel hizo aportaciones importantes. Por un lado, fue el primero en sealar que exista una relacin entre la probabilidad y la teora de la medida, cosa que fue completamente clarificada por Kolmogorov en 1933. Tambin propuso un modelo matemtico riguroso para el problema del lanzamiento de una moneda un nmero infinito de veces, as como una extensin matemtica no trivial de la Ley de los Grandes Nmeros de Bernoulli: La frecuencia relativa del nmero de guilas se aproxima a un medio. En el contexto de esta extensin, Borel introduce lo que hoy se conoce como los nmeros normales de Borel en base 2.

Si bien existen extensiones de la ley de grandes nmeros estudiadas en el marco de los axiomas de Kolmogorov, en el tema de nmeros normales an existen varios problemas abiertos de inters.

En este trabajo presentamos brevemente las ideas de Borel y algunas de sus extensiones. INTRODUCCIN Si tenemos una moneda y marcamos una cara con cero y cruz con uno, entonces cada sucesin de ceros y unos representar el lanzamiento de tal moneda un nmero infinito de veces. Llamemos al intervalo (0,1]

A al conjunto {n

i 1=U ( ii ba , ]: nN,

10 a 0,

nlm P({x :|

n

1sn(x)-q| })=0,

donde sn(x) es el nmero de xitos hasta el n-simo lanzamiento. Si definimos

Mq={ x : n

lmn

1sn(x)=q},

podemos establecer la siguiente bien conocida Ley Fuerte de los Grandes Nmeros: M Cq es pio.

Por ltimo consideremos, en lugar de una moneda, una ruleta con m (m 2) opciones equiprobables. Cada opcin la numeramos del 0 al m-1. Para m=2 es el mismo modelo que el de la moneda balanceada, para m=6 sera un dado balanceado, o bien, podemos modelar los resultados de girar una ruleta con m opciones. La Ley Dbil de los Grandes Nmeros de esta generalizacin es: >0 k{0,1,,m-1}

nlm P({x : |

n

1rn,k(x)-

m

1 | })=0,

donde rn,k(x) es el nmero de veces que se ha observado el nmero k en la ruleta hasta el n-simo giro.

Para todo m 2, el conjunto

N m ={ x : nlm n1

rn,k(x)=m

1},

con rn,k(x) definida como arriba, es el conjunto de los nmeros normales en

base m. El conjunto N=

=1nU N n es el

conjunto de los nmeros normales. Cada N m es denso en y adems no numerable; lo mismo ocurre con sus complementos. Tambin esto es cierto para N. En este caso, la Ley Fuerte de los Grandes Nmeros nos dice que para todo m 2, N Cm es pio. Las ideas y resultados anteriores fueron la base para el trabajo. OBJETIVOS 1) Aprender algunas generalizaciones

del problema del lanzamiento de una moneda un nmero infinito de veces y los problemas de investigacin actuales relacionados.

2) Conocer la relacin entre los

nmeros normales y la Ley de Grandes Nmeros.

3) Investigar sobre la aplicacin de los

nmeros normales en otras ciencias.

MATERIALES Y MTODOS 1) Se comprendi el caso de la

moneda balanceada para comprender a detalle este modelo y sus limitaciones.

LEY DE LOS GRANDES NMEROS Y NMEROS NORMALES Guillermo Basulto Elas, Facultad de Matemticas, U niv. de Guanajuato

Asesor: Vctor M. Prez Abreu, CIMAT

4to. Verano Estatal de la Investigacin CONSEJO DE CIENCIA Y TECNOLOGA DEL ESTADO DE GUANA JUATO

2) Se estudiaron generalizaciones del modelo.

3) Se investig acerca de los nmeros

normales, problemas no resueltos y aplicaciones.

RESULTADOS Vimos que la Ley Fuerte de los Grandes Nmeros en trminos de lanzamientos de monedas (es decir, con los nmeros normales de base dos) dice que casi todo nmero es normal, en el sentido de que el conjunto de los nmeros no normales tiene medida cero. La interpretacin es que los nmeros no normales prcticamente no pueden ocurrir.

Hay al menos dos posibles generalizaciones, la primera es trabajar el lanzamiento de una moneda cargada con probabilidad p de xito un nmero infinito de veces. La segunda es tomando un juego con n eventos, cada uno con la probabilidad de ocurrir. Para ambos casos se estudiaron las Leyes de Grandes Nmeros. Se encontr que hay un gran nmero de problemas que no han sido resueltos y que son de gran inters, por ejemplo, demostrar que , ln(2) , )3( y e son normales (o no). Los nmeros normales tienen aplicacin en las ciencias computacionales y ltimamente se estn relacionando con el ADN, en biologa. CONCLUSIONES Y DISCUSIN Borel introdujo la idea de nmeros normales en el contexto de una formulacin de de la Ley de Grandes Nmeros para el problema del lanzamiento de una moneda un nmero infinito de veces. Las contribuciones probabilsticas de Borel son actualmente de carcter histrico y didctico que motivan el uso de teora de la medida en probabilidad, pues son resultados bien conocidos en

cursos de probabilidad en el contexto de los axiomas de Kolmogorov. Sin embargo, en el tema de nmeros normales an existen varios problemas abiertos de inters, algunos de ellos muy fciles de plantear, pero difciles de resolver REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS a) Mark Kac. Statistical Independence

in Probability, Analysis and Number Theory. Carus Mathematical Monograph, Number 12, 1959.

b) Patrick Billingsley. Probability and

Measure. Wiley, Tercera Edicin, 1995. Captulo 1.

c) Malcom Adams. Measure Theory

and Probability. Birkhuser 1996. Captulo 1.

d) Agafonov, V. N. "Normal sequences

and finite automata." Soviet Mathematics Doklady, 9:324-325, 1968.

Ley de los Grandes Nmeros y Nmeros Normales

Reporte en extenso

Guillermo Basulto Elas

Julio 2007

Contenido

Introduccin 1

1 Nmeros Normales de Borel 2

1.1 Espacio de probabilidad para el lanzamiento de una moneda un nmero in-

nito de veces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ley de Grandes Nmeros de Borel y Nmeros Normales . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Bibliografa 16

i

Introduccin

En el Verano de Investigacin trabajamos en el problema de la Ley de los Grandes Nmeros

de Borel y su relacin con los Nmeros Normales.

En el marco del desarrollo de la axiomatizacin de la teora moderna de la probabilidad,

a principios del Siglo XX mile Borel hizo aportaciones importantes. Por un lado, fue el

primero en sealar que exista una relacin entre la probabilidad y la teora de la medida, cosa

que fue completamente claricada por Kolmogorov en 1933. Tambin propuso un modelo

matemtico riguroso para el problema del lanzamiento de una moneda un nmero innito

de veces, as como una extensin matemtica no trivial de la Ley de los Grandes Nmeros

de Bernoulli: La frecuencia relativa del nmero de guilas se aproxima a un medio. En el

contexto de esta extensin, Borel introduce lo que hoy se conoce como los nmeros normales

de Borel en base 2.

Si bien existen extensiones de la ley de grandes nmeros estudiadas en el marco de los

axiomas de Kolmogorov, en el tema de nmeros normales an existen varios problemas

abiertos de inters. En este trabajo presentamos brevemente las ideas de Borel y algunas de

sus extensiones.

1

Captulo 1

Nmeros Normales de Borel

1.1 Espacio de probabilidad para el lanzamiento de una

moneda un nmero innito de veces

Borel encontr el espacio de probabilidad para este fenmeno, el cual resulta ser el mismo

que el espacio de probabilidad de un nmero aleatorio entre cero y uno.

Si se tiene una moneda marcada con un uno y cero en sus caras, entonces al lanzarla un

nmero innito de veces, se obtiene una sucesin innita de cero y unos. Una posible forma

de dar un espacio es considerar esta sucesin como los dgitos de la expansin binaria de un

nmero entre cero y uno.

Denamos pues = (0; 1] y

A =(

n[j=1

(aj; bj] : n 2 N; a1 < b1 a2 < b2 an < bn

)[ f?g :

Adems, si A =n[

j=1

(aj; bj] 2 A; denimos P (A) =nP

j=1

(bj aj) :

Proposicin 1.1 (;A;P) es un espacio de probabilidad elemental.

Demostracin. Para ver que A es lgebra, observe que = (0; 1] 2 A. Luego, si A =n[

j=1

(aj; bj] 2 A, es claro que Ac = (0; a1] [ (b1; a2] [ (b2; a3] [ [ (bn1; an] [ (bn; 1] est

2

en A. Finalmente, si A =m[j=1

(aj; bj] y B = (a; b] estn en A, con b0 = 0, am+1 = 1;

k0 =mxfj : bj ag y k1 =mnfj : aj bg ; entonces

A [B =m[j=1

(aj; bj][

(a; b]

=

k0[j=1

(aj; bj]

![(a; b]

[ m[j=k1

(aj; bj]

!;

de donde A [B 2 A. Por lo tanto A es lgebra.

Por otro lado, P es probabilidad, pues es no negativa por denicin, P () = P ((0; 1]) = 1.

Y si A =m[j=1

(aj; bj] 2 A; entonces

P (A) =mXj=1

(bj aj) =mXj=1

Z

1(aj ;bj ] (x) dx (1.1)

=

Z

1 m[j=1

(aj ;bj ](x) dx =

Z

1A (x) dx;

por lo que para A1; :::; An 2 A se tiene que

P

n[

j=1

A

!=

Z

1[nj=1A (x) dx =nX

j=1

Z

1Aj (x) dx

=nX

j=1

P (Aj) :

Por lo tanto, P es probabilidad. Adems, de (1:1) se ve que la probabilidad de los elementos

de A no depende de la parametrizacin, por lo que est bien denida la probabilidad.

Este espacio de probabilidad es el que usaremos para modelar el lanzamiento de una

moneda balanceada un nmero innito de veces. Para esto, denamos para todo x 2 ;

Tx =

8

Proposicin 1.2 Para todo x 2 se cumple que

x =1Xi=1

di (x)

2i:

Demostracin. Sean x 2 ; n 1; y T 0s := s; entonces

dn+1 (x) = d1 (Tnx) = d1

T n1Tx

= dn (Tx) :

Ahora vericamos por induccin que

nXi=1

di (x)

2i< x

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n; para x 2 y n 2 N: (1.2)

Sean x 2 y n 1.

Si n = 1; entonces si x 2 (0; 1=2]; se tiene que d1 (x) = 0: Por tanto,nXi=1

di (x)

2i= 0 < x 1

2=

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n:

Anlogamente, si x 2 (1=2]; se tiene que d1 (x) = 1 y as,

4

nXi=1

di (x)

2i=

1

2< x 1

2+

1

2=

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n:

Ahora supongamos se satisface (1:2) para n 2 N; entonces

x 2

nXi=1

di (x)

2i;

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n

#:

Sea

=

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n+1;

el punto medio del intervalo. Si x ; entonces dn+1 (x) = dn (Tx) = 0; entoncesn+1Xi=1

di (x)

2i=

nXi=1

di (x)

2i< x =

n+1Xi=1

di (x)

2i+

1

2n+1:

De la misma manera, si x > , dn+1 (x) = dn (Tx) = 1 yn+1Xi=1

di (x)

2i= < x

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n=

nXi=1

di (x)

2i+

1

2n+1+

1

2n+1=

n+1Xi=1

di (x)

2i+

1

2n+1;

por lo que (1:2) se cumple para n+ 1.

Luego, dado que1

2nn!1! 0;

entonces se sigue al tomar el lmite n!1 en (1:2) que para x 2 ,

x =1Xi=1

di (x)

2i:

Observemos que no se puede tener que di (x) = 0 para todo i mayor a alguna N; pues de

existir tal N , entonces

x =NXi=1

di (x)

2i;

pero hemos demostrado quenXi=1

di (x)

2i< x; para toda n 2 N:

La sucesin (dn (x))1n=1 es precisamente la expansin binaria del nmero x. Tambin

usaremos la notacin 0:d1 (x) d2 (x) d3 (x) :::2 = x:

5

Ejemplo 1.1 Sea x = 1=2; entonces

d1 (x) = 0;

d2 (x) = d1 (Tx) = d1 (1) = 1;

d3 (x) = d1T 2x

= d1 (T (1)) = 1;

...

dn (x) = 1; para n 2:

La expansin binaria de 1=2 es entonces 0:0111:::2

Ejemplo 1.2 Sea x = 1=3; entonces

d1 (x) = 0;

d2 (x) = d1 (Tx) = d1 (2=3) = 1;

d3 (x) = d1T 2x

= d1 (1=3) = 0;

d4 (x) = d3T 1x

= d1 (1=3) = 0

Entonces 1=3 =P1

j=1 22j := 0:010101:::2

Ejemplo 1.3 Los primeros dgitos de la expansin binaria de es

= 0:001001000011111101101010100010:::2

Un nmero puede tener dos posibles representaciones binarias, como

0:5 = 0:12 = 0:01111:::2;

pero una de ellas terminar en ceros, y nuestra denicin tomar aqulla que no termine en

ceros.

Continuando con la idea de asociar cada lanzamiento de una moneda balanceada un

nmero innito de veces con un nmero, se tiene que para cada nmero, hay un juego de

monedas del que hemos mencionado. El problema est en que, de acuerdo a nuestro modelo,

6

hay lanzamientos de sucesiones para los que no existe un nmero (los que caen ceros despus

de un cierto nmero de lanzamientos). En la siguiente subseccin veremos que estos eventos

son prcticamente imposibles de ocurrir.

Veamos algunos ejemplos de probabilidades de eventos.

Ejemplo 1.4 Sea A el evento en el que 1 aparece en el primer lanzamiento, entonces

P (A) = P [x 2 : d1 (x) = 1] = P ((1=2; 1]) =1

2:

Ejemplo 1.5 Sea B el evento en el que 0 ocurre en el n-simo lanzamiento.

P (B) = P [x 2 : dn (x) = 0] = 2n1P

0;1

2n

= 2n1 1

2n=

1

2:

Esto debido a que los intervalos en los que dn (x) = 1; son todos de la misma longitud, y

esta longitud es precisamente la del intervalo (0; 2n] :

Ejemplo 1.6 Sea C el evento en el que los primeros n lanzamientos aparecen exactamente

k unos.

P (C) = P

"x 2 :

nXi=1

di (x) = k

#=

n

k

1

2n;

pues haynk

maneras de que una sucesin tenga exactamente k unos.

1.2 Ley de Grandes Nmeros de Borel y Nmeros Nor-

males

El siguiente resultado nos dice que para un nmero grande de lanzamientos, la probabilidad

de que la diferencia entre 1=2 y la frecuencia de unos sea grande, es cero. Lo obtuvo el

matemtico suizo Daniel Bernoulli (1700 - 1782).

Teorema 1.1 (Ley de Grandes Nmeros de Bernoulli) Para todo " > 0 se tiene que

lmn!1

P

(x 2 :

1nnXi=1

di (x)1

2

")!

= 0:

7

Para su demostracin se requieren otros resultados y deniciones que se enunciarn y

demostrarn

enseguida. Este resultado tambin se conoce como Ley Dbil de Grandes Nmeros.

Para todo x 2 ; las nsima funcin de Rademacher ser

rn (x) =

8

Si suponemosR 10rm (x) dx = 0; entoncesZ 1

0

rm+1 (x) dx =

Z 10

[2dm+1 (x) 1] dx =Z 10

[2dm (Tx) 1] dx

=

Z 10

rm (Tx) dx =

Z 1=20

rm (Tx) dx+

Z 11=2

rm (Tx) dx

=

Z 10

rm (x) dx+

Z 10

rm (x) dx = 0:

(ii)R 10tm (x) dx =

R 10

mPj=1

rj (x) dx =mPj=1

R 10rj (x) dx = 0:

(iii) Suponer s.p.g. quem < n; entonces en cada intervalo didico de orden n1 (del tipon1Pi=1

ai2i;n1Pi=1

ai2i

+ 12n1

; para algunas ai 2 f0; 1g). rm es constante y rn es 1 a la izquierda

y 1 a la derecha. Entonces Z 10

rm (x) rn (x) dx = 0:

(iv) Z 10

t2m (x) dx =

Z 10

"mXi=1

ri (x)

#"mXi=1

ri (x)

#dx

=mXi=1

Z 10

r2i (x) dx+mXi=1

mXj=1

j 6=i

Z 10

ri (x) rj (x) dx

=mXi=1

Z 10

1dx = m:

(v) t4m (x) nos deja cuatro tipos de productos; r4i (x), r

2i (x) r

2j (x), r

2i (x) rj (x) rk (x),

r3i (x) rj (x) y ri (x) rj (x) rk (x) rl (x) para i; j; k y l distintos entre s.

Como r4i (x) = r2i (x) r

2j (x) = 1, r

2i (x) rj (x) rk (x) = rj (x) rk (x) y r

3i (x) rj (x) = ri (x) rj (x),

entonces tenemos queZ 10

t4m (x) dx = m+ 3 (m 1)m = 3m2 2n 3m2;

pues hay m trminos de la forma r4i (x), 3m (m 1) de la forma r2i (x) r2j (x) y el resto de las

integrales se anulan.

Slo falta un resultado ms para poder demostrar la Ley de Grandes Nmeros de Bernoulli.

ste en realidad es un caso particular del obtenido por el matemtico ruso Pafnuty L. Che-

byshev (1821 1894).

9

Teorema 1.2 (Desigualdad de Chebyshev) Sean f : ! R una funcin escaln no

negativa y un nmero positivo, entonces

P (fx 2 : f (x) > g) 1

Z

f (x) dx:

Demostracin. Si f (x) =nP

k=1

ckI(ak1;ak] (x) ; con 0 = a0 < a1 < < an = 1 y cj no

negativos. Entonces si existe k tal que ck > ; entonces es claro que

fx 2 : f (x) > g = [ci

(ai1; ai] :

Por tanto Z 10

f (x) dx =nX

j=1

cj (aj aj1) Xcj>

cj (aj aj1)

Xck>

(ak ak1) = P (fx 2 : f (x) > g) :

Observemos que si ck < ; 8ck; entonces fx 2 : f (x) > g = ? y por tanto

P (fx 2 : f (x) > g) = 0 1

Z

f (x) dx:

Ahora s tenemos las herramientas necesarias para dar la demostracin de la Ley de

Grandes Nmeros de Bernoulli.

10

Demostracin (L.G.N. de Bernoulli). Usando la desigualdad de Chebyshev, se tiene

que

P

(x 2 :

1nnXi=1

di (x)1

2

")!

= P

(x 2 :

nXi=1

di (x)n

2

n")!

= P

(x 2 :

12nXi=1

[2di (x) 1] n"

)!

= P

(x 2 :

12nXi=1

ri (x)

n")!

= P (fx 2 : jtn (x)j > 2n"g)

= P

x 2 : t2n (x) > 4n2"2

14n2"2

Z 10

t2n (x) dx =1

4n2"2n (Lema 1.1.4)

=1

4n"2n!1! 1:

Denicin 1.1 Sea Sn (x) =Pn

j=1 dj (x) (el nmero de unos que aparecen en los primeros

n dgitos de la expansin binaria de x): Diremos que A es un conjunto nulo si para

todo " > 0 existe una sucesin de subconjuntos de , (Aj)j2N ; tales que

A 1[j=1

Aj y1Xj=1

P (Aj) < ":

Observemos que P est denida slo para uniones nitas de intervalos, sin embargo,

esta denicin asigna una probabilidad a ciertos tipos de conjuntos que no necesariamente

son de este tipo. Por ejemplo, los nmeros normales, que a continuacin veremos, tienen

probabilidad 1 (Ley de Grandes Nmeros de Borel) y es un conjunto totalmente disconexo

(Proposicin 1.3.2).

Denicin 1.2 N denido como

N =

x 2 : lm

n!1

Sn (x)

n=

1

2

es llamado conjunto de Nmeros Simplemente Normales en base dos.

11

A continuacin veremos la generalizacin de la Ley de Grandes Nmeros de Bernoulli,

cuya demostracin la dio Borel a principios del siglo pasado.

Teorema 1.3 (Ley de Grandes Nmeros de Borel) N es un conjunto nulo.

Este resultado tambin se conoce como Ley Fuerte de Grandes Nmeros.

Demostracin. Sean " > 0: Para cada n 2 N denamos An = fx 2 : jtn (x) j > nng,

donde

n = cn1=8 > 0 para alguna c > 0 tal que

3

c4

1Xk=1

1

k3=2< ":

Tenemos entonces que

P (An) = P (fx 2 : jtn (x) j > nng)

= P

x 2 : t4n (x) > n44n

1n44n

Z 10

t4n (x) dx (Desigualdad de Chebyshev.)

3n2

n44n(Lema 1.1.5.)

=3

n24n:

N c es nulo debido a que N c [1n=1An yP1

n=1 P (An) < ", lo cual demostramos a

continuacin.

Dado que para x 2 \1n=1An (equivalentemente, jtn (x) j n";8n 2 N) ; se tiene que

Sn (x)

n=

P1n=1 dn (x)

n

=

P1n=1 (rn (x) + 1)

2n

=tn (x) + n

2n

n!1! 12;

pues jtn=nj nn!1! 0: Por lo tanto \1n=1An N y de aqu se sigue la armacin.

12

Por otro lado,1Xn=1

P (An) 1Xn=1

3

n24n

=3

c4

1Xn=1

1

n3=2

< ":

Los nmeros con doble representacin binaria son racionales de la forma p=2k 2 ; para

k 2 Z+ y p 2 N. Es claro que (en cualquiera de sus dos representaciones) esta clase de

nmeros son no-normales, es decir, que ocurren con probabilidad cero. Por tanto el modelo

para el lanzamiento de una moneda un nmero innito de veces es adecuado.

A pesar de que casi todo nmero es normal en base dos, los nmeros no-normales tienen al-

gunas

caractersticas interesantes.

Proposicin 1.3 (i) N c es no numerable.

(ii) N c es denso en :

(iii) Se cumplen (1) y (2) para N:

Antes de demostrar esta proposicin, veamos algunas propiedades de conjuntos nulos.

Lema 1.2 (i) Si A es nulo y B A es nulo, entonces B es nulo.

(ii) Los singuletes (conjuntos con un nico elemento) son nulos.

(iii) Si A1; A2; ::: son nulos, entonces [1n=1An es nulo.

(iv) Los conjuntos numerables de son nulos.

Demostracin del Lema 1.2. (i) y (ii) son obvios. Ahora, si A1; A2; ::: son nulos y

" > 0; sean (I1k)k2N ; (I2k)k2N ; ::: sucesiones de intervalos tales que, para toda j 2 N,

Aj [k2N

Ijk yXk2N

P (Ijk)