nociones básicas de teoría de conjuntos
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a b
c d
e
AB
TEORIA DE CONJUNTOS
Concepto.- Es la agrupación de objetos bien definidos
A B
C
RELACIÓN DE PERTENENCIA
V
∈ V ∉ V
Amor
Respeto
Responsabilidad
Honestidad
Honestidad Odio
Odio
Cuando un objeto forma parte de un conjunto llamamos a este objeto “elemento” del conjunto y empleamos el símbolo ∈
A B
C
CLASES DE CONJUNTOS
a e
i o u
A
B
C
D
0 1
2 3 4
5 …E
F
Números pares
Puntos de la recta
FINITOS INFINITOS
Adelante
Conjunto Finito.- Es aquel cuyos elementos podemos contar de principio a fin
Atrás
A B
C
Conjunto Infinito.- Es aquel que no es finito
Atrás
A B
C
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
{ }A a,e,i,o, u= { }A x / x es vocal=
A B
C
{ }B 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9= { }B x / x es número digito=
{ }C 0,2,4,6,8,10,...= { }C x N / x es número par= ∈
{ }E 0,3,6,9,12,15,...= { }E x N / x es multiplo de 3= ∈
TABULACIÓN COMPRENSIÓN
{ }D a,b,c,d,e, f ,..., z= { }D x / x es letra del alfabeto=
A B
CRELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a b c d ef g
A
1 23
4 0 6
C
a g c f e
d b
D
B1 2 3 4 0 6 9 7
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN
IGUALDAD
⊆
=
A B
C
Definición.- Decimos que el conjunto B está incluido en el conjunto A y lo notamos con
cuando todos los elementos que pertenecen al conjunto B también pertenecen al conjunto A
INCLUSIÓN
A
0 9
6
1 3 5
1 3 5
B
B A⊆
INCLUSIÓN
Se lee “B está incluido en “A”
“B está contenido en A”
“B es subconjunto de A”
“A incluye al conjunto B”
“A contiene al conjunto B”
“A es superconjunto de B”
B A⊆
INCLUSIÓN
A
0 9
6
1 3 5
1 3 1
5 8
B
¿Cuando decimos que B no
está incluido en A?
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
A
a b
c
d e f
A
a b
c
d e f
Reflexiva.- Todo conjunto está incluido en si mismo
0 4
6
C
⊆Transitiva.- Si A B y B C entonces A C⊆ ⊆
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
{ }A 1,2,5=
{ }B 1,2,7,8,9,5=
{ }C 1,0,4,2,7,8,6,9,5=
1 8
9
B
1 2 5
A
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
Antisimétrica.-
A
a b
c
d e f
B
a b
c
d e f
B A⊆
A B⊆
A B=
SI A B Y B A entonces A B⊆ ⊆ =
A B
C
IGUALDAD
Definición.- Decimos que el conjunto A es igual al conjunto B y lo notamos con A=B cuando tienen los mismos elementos
a b c d ef g
A
a b c d ef g
B=
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Reflexiva.- Todo conjunto es igual en si mismo
A
1 2
3
A
1 2
3
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Simétrica.- Si A = B entonces B= A
A
a b
c
d e f
B
a b
c
d e f
A B=
B A=
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Transitiva.- Si A = B y B = C entonces A = C
{ }A 1,2,5=
{ }B 1,2,5=
{ }C 1,2,5=
1 2 5
A
1 2 5
B
1 2 5
C
===
A B
C
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
UNION
INTERSECCIÓN
DIFERENCIA
DIFERENCIA SIMÉTRICA
COMPLEMENTO
UNION
A B
C
4 0
9• 42 1 0
6 9
A
8 5
B
DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A
unión B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos pertenecen a los conjuntos A y B
A B∪
{ }A B x / x A x B∪ = ∈ ∨ ∈
A B∪
PROPIEDADES DE LA UNION
A B
C
Clausurativa.- Si A y B son conjuntos entonces es también conjunto
A B∪
PROPIEDADES DE LA UNION
Conmutativa.- Si A y B son conjuntos entonces
A B B A∪ = ∪
A BB A
A B∪
B A∪
PROPIEDADES DE LA UNION
A B
C
Asociativa.- Si A, B y C son conjuntos entonces
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪A
B
C
PROPIEDADES DE LA UNION
A B
C
Modulativa.- Si A es un conjunto entonces
A A A∪ ∅ = ∅ ∪ =
1 5
3 44 0
A
INTERSECCION
A B
C
• 42 1 0
6 9
A
8 5
B
DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A
intersección B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y al conjunto B
A B∩
{ }A B x / x A x B∩ = ∈ ∧ ∈
A B∩
4 0
9
PROPIEDADES DE LA INTERSECCION
A B
C
Clausurativa.- Si A y B son conjuntos entonces es también conjunto
A B∩
A
A
B
B
Conmutativa.- Si A y B son conjuntos entonces
PROPIEDADES DE LA INTERSECCION
A B B A∩ = ∩
A B∩
B A∩
PROPIEDADES DE LA INTERSECCION
A B
C
A BC
Asociativa.- Si A, B y C son conjuntos entonces
( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
( )A B C∩ ∩
( )A B C∩ ∩
DIFERENCIA
• 42 1 0
6 9
A
8 5
B
DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A menos
B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B
{ }A B x / x A x B− = ∈ ∧ ∉
A B−
4 0
9
A B−
DIFERENCIA SIMÉTRICA
• 42 1 0
6 9
A
8 5
B
DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A
diferencia simétrica B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos son los no comunes a los conjuntos A y B
( ) ( )A B A B B A∆ = − ∪ −
A B∆
4 0
9
A B∆
COMPLEMENTO RELATIVO
1 8
9
B
1 8
9
1 2 5
A
BCADEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos tales que, decimos complemento de A respecto a B y lo notamos con , al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto B y no pertenecen al conjunto A
A B⊆
BCA
{ }BCA x / x B A= ∈ ∧ ∉
0 1 3
• 7
8 9
1 56
U
A
CA
COMPLEMENTO
DEFINICION.- Sea A un conjunto, decimos complemento de A y lo notamos con , al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto U y no pertenecen al conjunto A
{ }BCA x / x U A= ∈ ∧ ∉
CA
OPERACIONES COMBINADAS
{ }A = { }B =
{ }C =
C
A
1 , 5 3 84, ,,
0 4, ,5, ,7 8
2 , 5 3 64, ,
B
OPERACIONES COMBINADAS
( ) { }A B C∪ − =
{ }1,5, 8A 3,4,= { }2,5, 6B 3,4,= { }0,5, 8C 7,4,=
C
1
5
4
A
3 2 6
B
1
5
4
A
3 2 6
BA
8
7 0
1
5
4
3 2 6
B
1 , 2 3 6, ,
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