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Electromagnetismo II Página 1 de 18
Unidad 2. Propagación de ondas Electromagnéticas
Ing. José Miguel Hernández
Abril, 2009
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 10.1 de Sadiku
En el vacío, yakxtH ˆ)102cos(1.0 8
A/m. (a) calcule k, y T. (b) Determine el tiempo t1 que
la onda tarda en recorrer /8. (c) Trace la onda en t1.
= 2108 rad/m
kcu
667.0
103
1028
8
ck
rad/m
2 fcu 425.9
102
)103(228
8
cm
9
810416.31
102
221
fT s = 31.4 ns
Fase constante kxt constante 0 xkt
Si 01 tt 8/x 08
1
kt 88
2
8
21
Tt
En t = t1:
yy axakxT
H ˆ)667.07854.0cos(1.0ˆ)8
102cos(1.0 8
t1=T/8
t =0
/8
0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375 1.5
0.15
0.1
0.05
0.05
0.1
0.15
H x 0 ( )
H xT
8
x
Electromagnetismo II Página 2 de 18
11.15 Hayt, 5a. Edición
Una señal de radar de 30 GHz puede representarse como una onda plana uniforme en una región
suficientemente pequeña. Calcule la longitud de onda en centímetros y la atenuación en
decibelios por pie si la onda se está propagando en un material no magnético para el cual:
(a) r = 1, = 0; (b) r = 1.01, = 1103
S/m; (c) r = 2.1, = 5 S/m.
SOLUCIÓN: f = 30109 Hz , =2f No magnético: r = 1, = 0;
.(a) r = 1, = 0; , = 0
jjjjjj 0000
2
00 )0()(
75.62810302 00
9
00 rad/m
3109931.975.628
22
m = 0.99931 cm
= 0 Atenuación: 0 dB/pie
.(b) r = 1.01, = 1.010; = 1103
S/m
]01.1)10302(101[)10302()( 0
93
0
9 jjjj
jj 9.631187.0
9.631 rad/m
3109433.99.631
22
m = 0.99433 cm
= 0.187 Np/m Atenuación: 495.0pie
m 0.305
Np
dB 8.686
m
Np187.0 dB/pie
.(c) r = 2.1, = 2.10; = 5 S/m
]1.2)10302(5[)10302()( 0
9
0
9 jjjj
jj 9.1066555
9.1066 rad/m
3108892.59.1066
22
m = 0.589 cm
= 555 Np/m Atenuación: 4701pie
m 0.305
Np
dB 8.686
m
Np555 dB/pie
Ejercicio 10.2 de Sadiku
Electromagnetismo II Página 3 de 18
Una onda plana que se propaga por un medio con r = 8, r = 2, tiene
x
z aztseneE ˆ)10(5.0 83/
V/m. Determine
.(a) ; (b) la tangente de pérdidas; (c) la impedancia de la onda; (d) la velocidad de la onda; (e) el campo magnético.
00 8 r 00 2 r = 1/3 =1108 rad/s
.(a)
11
2
2
11
2
2
22
2
2
2
112
1248.11
)8)(2()101(
)3/1(21
21
00
28
2
2
22
3753.111248.12
)8)(2()101(11
2
008
2
rad/m
.(b) 1248.11
2
tan515.011248.1 2
.(c) 61.1771248.1
8
2
1
0
0
4
2
2
62.13515.0tan
2
1tan
2
1 11
62.1361.177
.(d) 68
1071.723753.1
101
u m/s
.(e) Si x
z azteEtzE ˆ)sin(),( 0
EkH aaa ˆˆˆ yxzH aaaa ˆˆˆˆ
y
z azteE
tzH ˆ)sin(),( 0
Electromagnetismo II Página 4 de 18
y
z aztetzH ˆ)62.133753.110sin(61.177
5.0),( 83/
y
z aztetzH ˆ)62.133753.110sin(815.2),( 83/
mA/m
10.15 Sadiku
Suponga un material homogéneo de longitud infinita con 10102 F/m, 51025.1 H/m, y
= 0. Hágase xakztE ˆ10cos400 9
V/m. Si todos los campos varían sinusoidalmente, utilice
las ecuaciones de Maxwell para encontrar
D ,
B ,
H y k.
SOLUCIÓN
xx akztakztED ˆ10cos1080ˆ10cos)400)(102( 99910
C/m2
xakztD ˆ10cos80 9
nC/m2.
9101 rad/s, 4000
E V/m Forma fasor del campo eléctrico x
kzS aeEE ˆ0
SS BjE
y
jkz
y
jkz
y
jkz
jkz
zyx
S aekE
aeEjkj
az
eEj
eE
zyx
aaa
jB ˆˆ
)(ˆ
00
ˆˆˆ
000
0
B
H y
jkz
y
jkz
S aeHaekE
H ˆˆ 00
00
kEH
t
E
t
DEH
SSSS
x
kz
x
jkz
x
jkz
x
jkz
jkz
zyx
S aeEjaeEk
jaeHjkaz
eH
eH
zyx
aaa
H ˆˆˆ)(ˆ
00
ˆˆˆ
00
2
00
0
x
kz
x
jkz
aeEjaeEk
j ˆˆ 00
2
22 k k (se toma el valor positivo para que
sea consistente con la onda de campo eléctrico del enunciado).
0
50)102)(1025.1(101 1059 k rad/m
Electromagnetismo II Página 5 de 18
y
zj
y
zj
y
jkz
S aeae
aekE
B ˆ1020ˆ101
)400)(50(ˆ
506
9
50
0
V/m
yaztB ˆ)5010cos(20 9
T
6.1)1025.1)(101(
)400)(50(59
00
kEH
yaztH ˆ)5010cos(6.1 9
A/m
D11.4 Hayt, 5ª. Edición. Dado un material no magnético, el cual tiene r = 2.25, = 1104
S/m,
encuentre los valores numéricos en 2.5 MHz para:
.(a) la tangente de pérdida
.(b) la constante de atenuación
.(c) la constante de fase
.(d) la impedancia intrínseca
SOLUCIÓN
.(a) 320.0)25.2)(105.22(
101tan
0
6
4
.(b) )]25.2)(105.22(101[)105.22()( 0
64
0
62 jjjj
2.162104642.6 32 333 1056.79104.1214.811052.80 j
Constante de atenuación: = 12.4103
Np/m
.(c) Constante de fase = 79.56103
rad/m
.(d)
86.813.24572.171009.60
)25.2)(105.22(101
)105.22( 3
0
64
0
6
j
j
j
j
11.7 Hayt, 5ª. edición
Una onda que se propaga en un dieléctrico no disipativo tiene xaztE ˆ)10cos(500 7
V/m y
yaztH ˆ)10cos(1.1 7
A/m. Si la onda está viajando con velocidad 0.5c, encuentre: (a) r, (b)
r, (c) , (d) , (e) .
Electromagnetismo II Página 6 de 18
SOLUCIÓN
No disipativo:
H y
E en fase y la impedancia intrínseca es real, c = 3108 m/s.
1.1
500
0
0
H
E
2
1.1
500
(A)
cu 5.01
22
c (B)
(A)(B)
22
2 2
1.1
500
c
6100324.32
1.1
500
c 4131.2
104
100324.37
6
0
r
(B)(A)
22
2
500
1.12
c
12106768.14500
1.12
c
6576.1108542.8
10678.1412
12
0
r
c
rr
rrrr
0000
31267 107128.66)106768.14)(100334.3(101 rad/m
= 0.0667 rad/m
Se puede comprobar que la velocidad en el medio es
rrrrrr
cu
0000
11
18.94107128.66
223
m
Se puede comprobar que la impedancia intrínseca del medio es
Electromagnetismo II Página 7 de 18
r
r
r
r
r
r
0
0
0
0
0 0 : Impedancia intrínseca del vacío
55.4541066768.14
100324.312
6
11.20 Hayt, 5ª. Edición
Una onda plana uniforme se propaga en la dirección za a través de un material disipativo con
2.11.0 j m1
y 25300 j . Sea xS aE ˆ100
V/m en z = 0. (a) Encuentre promz)(
P en
z = 0, y en z = 1. (b) ¿Cuánta potencia promedio por metro cúbico está siendo disipada en
P(2,3,4)?
.(a) En z = 0, xS aE ˆ1000
V/m
yyS aaj
H ˆ)76.4332.0(ˆ25300
1000
A/m
Para z > 0
x
zS aeE ˆ100
V/m
x
zjS aeE ˆ100 )(
V/m
y
zjS aeeH ˆ332.0 76.4
A/m
y
zjjS aeeH ˆ332.0 )(76.4
A/m y
zjjS aeeH ˆ332.0 )(76.4
A/m
SSpromedio HEz Re2
1)(P
z
z
y
zjj
x
zjpromedio aeaeeaez ˆ76.4cos6.16ˆ332.0ˆ100
2
1)( 2)(76.4)(
P W/m2
z
zpromedio aez ˆ54.16)( 2.0
P W/m2
En z = 0. zpromedio a54.16)0( P
W/m2
En z = 1. zpromedio a54.13)1( P
W/m2
y
z
x
E
H
Propagación
Electromagnetismo II Página 8 de 18
.(b)
yxzSdzzP
)()()( PP
En z: yxzzP )()( P
En z+z: yxzzzzP )()( P
yxzyxzzPPP entsal )()( PP
Potencia disipada por unidad de volumen
zyx
yxzyxzz
v
P
)()( PP
z
zzz
v
P
)()( PP En el límite cuando el volumen tiende a cero:
dz
zd
z
zzz
v
P
dv
dP
zv
)()()(limlim
00
PPP
Se puede demostrar que, en general,
Pdv
dP
zzz eeedz
d
dz
zd
dv
dP 2.02.02.0 308.3)2.0(54.1654.16)(
PW/m
3.
En el punto (2,3,4) 4864.1308.3 )4(2.0 edv
dP 4864.1
dv
dPW/m
3.
Se disipa 1.49 W/m3.
11.30 Hayt (5ª Edición)
En la región 1, z < 0, 1 = 0, r1= 4, r1 = 1; en la región 2, z > 0, 2 = 0, r2 = 1.44, r1= 6.25.
Hay una onda incidente en la región 1, x
zj
S aeE ˆ400 20
1
V/m. (a) Especifique la frecuencia f. (b)
encuentre el campo total E
en la región 1. (c) Determine
2SE .
z
z
x
Psal Pent
S pequeño
Electromagnetismo II Página 9 de 18
Medio 1 Medio 2
111
1
1
u (a)
222
2
1
u (b)
De (a) 11
1
6
0011
1 1013.477)4)((2
20
22
f Hz
477f MHz ( = 3.0109 rad/s)
De (a) y (b) 11
1
22
2
30)20(41
25.644.11
11
22
1
11
22
2
rr
rr rad/m
314.020
22
1
1
m 209.0
30
22
2
2
m
Incidente
Reflejada
Transmitida
z
x
z = 0
Electromagnetismo II Página 10 de 18
37.1884 0
0
1
11
85.784
44.1
25.6
0
0
2
22
Coeficiente de reflexión 6129.037.18885.784
37.18885.784
12
12
Coeficiente de transmisión 6129.11
x
zjzj
x
zjzj
iS aeeaeeEE ˆ6129.0400ˆ)20()20()20()20(
01
x
ztjztjtj
SaeeeEE ˆ16.245400ReRe )20()20(
11
xaztztE ˆ)20(16.245)20cos(4001
xaztsensenztE ˆ2084.15420coscos16.6451
Onda transmitida
x
zj
x
zj
iS aeaeEE ˆ16.645ˆ)30()30(
02
xx
ztjtj
S aztaeeEE ˆ)30cos(16.645ˆ16.645ReRe )30(
22
2 1 0 1
500
500
z
1 2
Electromagnetismo II Página 11 de 18
Ejercicio 10.9 Sadiku
La onda plana yaztsenE ˆ)5(50
V/m situada en un medio sin pérdidas ( = 40, = 0)
encuentra a un medio disipativo en x = 0 ( = 0, = 40, = 0.1 S/m) viajando en la dirección
paralela al eje x. Halle: (a) , y s; (b) rE
y rH
; (c) tE
y tH
; (d) encuentre los vectores de
Poynting promedio en el tiempo en ambas regiones.
SOLUCIÓN
Medio 1: x < 0, Medio 2, x > 0
.(a) 111 6
0011
1 107504
5
rad/s
46.7534
0
0
1
11
56.3744.9518.5866.75
)4)(10750(1.0
10750
0
6
0
6
2 jj
j
j
j
08.1718185.0127.0809.0
46.75356.3744.95
46.75356.3744.95
12
12 j
55.332297.01269.01914.0
46.75356.3744.95
56.3744.9522
12
2 j
02.108185.01
8185.01
1
1
s
.(b) )08.171925.40)050)(08.1718185.0(00 ir EE
Electromagnetismo II Página 12 de 18
y
xrS aeE ˆ)08.171925.40( 1
511 jj
yr axtsenE ˆ)08.1715(93.40
V/m
92.80543.046.753
)050)(08.1718185.0(
1
000
i
ir
EHH A/m
z
xj
z
xjrS aeaeH ˆ)92.80543.0(ˆ)92.80543.0( 55
zr axtsenH ˆ)92.85(3.54
mA/m
.(c) )55.334850.11)050)(55.332297.0(00 it EE
y
xtS aeE ˆ)55.33485.11 2
V/m
25.9403.25)4107501.0)((10750())(( 0
6
0
6
2 jjjjj
44.5288.983.702.625.9403.252 jj
y
xjxtS aeeE ˆ485.11 )55.3383.7(02.6
y
xt axtseneE ˆ)55.3383.7(485.11 02.6
V/m
z
xjxz
xjx
tStS aee
aeeEH ˆ120.0
56.3744.95
ˆ485.11 )01.483.7(02.6)55.3383.7(02.6
2
z
xtS axtseneH ˆ)01.483.7(12.0 02.6
A/m
.(d) Medio 1, onda incidente
xxz
xj
y
xjiSiSi aaa
eaeHE ˆ659.1ˆ
46.753
50
2
1ˆ
50ˆ50Re
2
1Re
2
1 2
1
55
1
P W/m
2.
Medio 1, onda reflejada
z
xj
y
xjrSrSr aeaeHE ˆ)92.80543.0(ˆ)08.171925.40(Re
2
1Re
2
1 551
P W/m
2.
Electromagnetismo II Página 13 de 18
xxr aaj ˆ111.1ˆ0222.2Re2
11
P W/m2.
Total medio 1: xrSrSiSiSri aHEHE ˆ)111.1659.1(Re2
1Re
2
11
PPP
xx aa ˆ548.0ˆ)111.1659.1(1
P W/m2.
Medio 2:
z
xjx
y
xjxtStSt aeeaeeHE ˆ)01.4120.0(ˆ)55.33485.11Re
2
1Re
2
1 )83.7(02.6)83.7(02.6
P W/m
2
x
x
x
x
x
xt aeaejae ˆ546.0ˆ)8401.00925.1(Re
2
1ˆ56.370925.1Re
2
1 04.1204.1204.12
P W/m2.
13.5 Hayt (7ª)
La región z < 0 se caracteriza por r’= 1, r1=1, r’’= 0. El campo total
E está dado como la
suma de dos ondas planas uniformes, x
zj
x
zjS aeaeE ˆ)2050(ˆ150 1010
V/m.
.(a) ¿Cuál es la frecuencia de operación?
.(b) Especifique la impedancia intrínseca de la región z > 0 que proporcione la onda reflejada.
.(c) A qué valor de z en el intervalo 10 cm < z < 0, tiene máxima amplitud la intensidad de
campo eléctrico total?
SOLUCIÓN
.(a) 9
0011
1 10310
rad/m f = 477.46 MHz
.(b) )0150(2050
20
3
1
)0150(
2050
Electromagnetismo II Página 14 de 18
73.3760
0
1
11
12
12
1212 )( 2211 12
)1(
)1(
2407.1779560.69073.376
203
11
203
11
2 j
E1,max = 200 V/m
E1,min = 100 V/m
VSWR = 2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00
50
100
150
200
250
E1 z( )
z
Incidente
Reflejada
Transmitida
z
x
z = 0
Medio 2 Medio 1
Electromagnetismo II Página 15 de 18
Primer máximo en el intervalo
especificado se produce en
2
2mz
Con m = 0
3104.17)10(2
)0(2180
20
z
. zmax = 1.74 cm
13.7 Hayt (7ª Edición). Las regiones semiinfinitas: z < 0, z > 1 m están en el espacio libre. Para
0 < z < 1 m, r = 4, r =1, = 0. Una onda uniforme con = 4108 rad/s está viajando en la
dirección za a la interfaz en z = 0. (a) Encuentre la razón de onda estacionaria en cada una de las
tres regiones; (b) Encuentre la ubicación de max
E
para z < 0 que está más cerca de z = 0.
SOLUCIÓN:
.(a) Vacío: 1200
3
4
103
1048
8
31
c
rad/m
Región intermedia
60
4 0
0
2
22
3
84104 00
8
222
rad/m
3
81
3
82 d rad
En z = 0,
32.14167.231)3/8sin(120)3/8cos(60
)3/8sin(60)3/8cos(12060
sincos
sincos
2322
22232 j
j
j
djd
djdent
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0150
160
170
180
190
200
210
E1 z( )
z
Incidente
Reflejada
Transmitida
z
x
Medio 2
Vacío
Reflejada
Transmitida
d
Incidente
Vacío
Medio 1 Medio 3
Dieléctrico
Electromagnetismo II Página 16 de 18
Primera interfaz
73.122324.0273.0175.0
12032.14167.231
12032.14167.231
1
112 j
j
j
ent
ent
En región 1: 96.1324.01
324.01
1
1
12
12
1
s
Segunda interfaz 3
1
60120
60120
23
2323
En región 2: 2333.01
333.01
1
1
23
23
2
s
En región 3: No hay onda reflejada: 0 101
013
s
.(b) )(
12012011111
zjzj
i
zjzj
i eeEeeEE en donde 1212
El máximo de E1 se da cuando cada uno de los términos entre corchetes tienen el mismo ángulo,
es decir están en fase y el máximo es
1201 1 iEE
)2(11 mzz 1
max2
2
mz
m = 0, 1, 2, . . .
Primer máximo: m = 0 8032.03/42
)0(2/18073.122max
z m
13.16 Hayt (7ª Edición). Una onda plana uniforme en el aire incide perpendicularmente en una
placa de dieléctrico sin pérdidas de grosor igual a /8 e impedancia intrínseca de 260 .
Determine la razón de onda estacionaria enfrente de la placa. Asimismo, encuentre la fracción de
la potencia incidente que se transmite al otro lado de la placa.
SOLUCIÓN:
48
2 2
2
2
d
707.02
2)4/sin()4/cos(
Incidente
Reflejada
Transmitida
z
x
Medio 2
Aire
Reflejada
Transmitida
d
Incidente
Aire
Medio 1 Medio 3
Dieléctrico
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La impedancia de entrada en la interfaz 1-2 es
23.9209.243707.0377707.0260
707.0260707.0377260
sin377cos260
sin260cos377
22
222 j
j
j
djd
djdent
92.136259.0177.0189.0
37723.9209.243
37723.9209.243
1
112 j
j
j
ent
ent
A la izquierda de la placa: 7.1259.01
259.01
1
1
12
12
1
s
Segunda interfaz 18.0260377
260377
23
2323
P1=P2=P3= Pi(1122)= Pi(10.259
2)=0.9329 Pi
Se transmite el 93.29%
13.17 Hayt (7ª Edición). Repita el problema 13.16 para el caso en que la frecuencia es: (a) doble,
(b) cuádruple.
SOLUCIÓN
1
.(a) Al duplicar la frecuencia, la longitud de onda se hace mitad y el grosor es ahora /4
24
2 2
2
2
d
44.179377
260
)2/sin()2/cos(
)2/sin()2/cos( 2
32
232
j
jent
35.037744.179
37744.179
1
112
ent
ent
A la izquierda de la placa: 10.235.01
35.01
1
1
12
12
1
s
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P1=P2=P3= Pi(1122)= Pi(10.35
2)=0.874 Pi
Se transmite el 87.4%.
(b) Al duplicar la frecuencia, la longitud de onda se hace cuarta parte y el grosor es ahora /2.
2
2 2
2
2d
377260
377260
)sin(377)cos(260
)sin(260)cos(377260
2
j
jent
0377377
377377
1
112
ent
ent
A la izquierda de la placa: 101
01
1
1
12
12
1
s
P1=P2=P3= Pi(1122)= Pi(10
2)= Pi
Se transmite el 100%. No hay reflexión.
PROPUESTOS PARA RESOLVER
Capítulo 10 de Sadiku (Electromagnetismo, 3ª edición), “Ejercicios” propuestos dentro del
capítulo desde 10.1 hasta 10.9. Problemas de final del capítulo desde 10.1 hasta 10.39.
Corrección: en problema 10.5 la impedancia intrínseca es 24030 .
De Hayt (Electromagnetismo, 7ª edición)
Caps. 10 12 y 13
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