multiplicacion de matrices
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1- Dada Las Matrices A y B.
Calcular la suma: A+B
2 3 5 1 1 2 A= 4 3 2B= 2 3 -1 1 2 -1 3 4 1
2 3 5 1 1 2 A+B= 4 3 2 + 2 3 -1 1 2 -1 3 4 1
2 + 1 3 + 1 5 + 2 A+B= 4 + 2 3 + 3 2 - 1 1 + 3 2 + 4 - 1 + 1
3 4 7 A+B= 6 6 1 4 6 0
2- Dada La Matriz : 1 2 5 D= 3 2 1 2 -1 4 Y un escalar K = 2
CALCULAR: K D 1 2 3 K D= 2 3 2 1 2 -1 4
2x1 2x2 2x3 K D=2 2x3 2x2 2x1 2x2 2x(-1) 2x4
2 4 6 K D=2 6 4 2 4 -2 8
3- Sea: 4 3 2 B= 2 -3 1 1 2 3
Determinar si la matriz B es singular o no singular
B Sera singular si: IBI = 0B Sera no singular si: IBI O
4 3 2 -62 -3 1 +8-161 2 3 - 18 = -31-(16)=-31+164 -3 2 -36 IBI=-152 -3 1 +8-31 IBI0 -3 -31(NO SINGULAR)
4- Dada la matriz : 4 5 3 C= 3 2 1 5 7 6
Calcular la transpuesta:
4 3 5C= 5 2 73 1 6
5- Tenemos : 1 a 2 3 1 4 2 3 M= b 3 4 1N= 3 3 4 1 2 1 c 3 2 1 5 3
Si M = N a + b + c= ..Como M y N son matrices iguales
En la 1 Fila: a le corresponde el 4 En la 2 Fila: b le corresponde el 3 En la 3 Fila: b le corresponde el 5
6- Calcular C= a. A + b. B
1 0 -2 -3 1 2 A= 2 -3 2 B= 1 -2 3 0 1 3 2 1 4
A= 2 , B= -3
1 0 -2 -3 1 2 C= 2 2 -3 2 + (-3) 1 -2 3 0 1 3 2 1 4
2 0 -4 +9 -3 -6 11 -3 -10C= 4 -6 4 + -3 +6 -9 = 1 0 -5 0 2 6 -6 -3 -12 -6 -1 -6
7- Paola, Claudia, John y Martn van de compras a una tienda :
Compran Paola Claudia John Martin Lpices 3 1 2 4 Cuadernos 1 1 0 2 Libros 0 2 3 0
Determinar la matriz que se tiene: 3 1 2 4 1 2 0 2 0 2 3 4
8- Que Matriz N debemos sumar para obtener la identidad.
3 4 2 1 0 0 2 1 0 + N = 0 1 0 3 2 1 0 0 1
3 4 2 -2 -4 -2 1 0 0 2 1 0 + -2 0 0 = 0 1 0 3 2 1 -3 -2 0 0 0 1
9- Dadas las matrices:
2 3 1 -2 3 2 C= 0 0 -1 , D = 4 0 1 3 1 0 0 3 -2
Calcular: C.D
(2,3,1). (-2,4,0) (2,3,1).(3,0,3) (2,3,1).(2,1,-2)C.D = (0,0,-1).(-2,4,0) (0,0,-1).(3,0,3) (0,0,-1).(2,1,-2) (3, 1,0)(-2, 4,0) (3, 1,0). (3, 0,3) (3, 1,0). (2, 1,-2)
8 9 5 C.D= 0 -3 2 -2 9 7
10- Calcular: A + 1 , Si A= 4 3 1 1 2 3 3 1 2
4 3 1 1 0 0 A+1 = 1 2 3 + = 0 1 0 3 1 2 0 0 1
5 3 1 A+1= 1 3 3 3 1 3
11- Dada la Matriz M = 4 5 -1 3 1 -2 -4 3 2La matriz que debo sumarle para obtener la matriz nula?
4 5 -1 -4 -5 1 0 0 0 3 1 -2 + -3 -1 2 = 0 0 0 -4 3 2 4 -3 -2 0 0 0
12- Dadas:
0 1 3 3 1 5 3 2 1A= 1 4 2 , B= 2 4 6 , C= 0 1 0 -2 0 1 0 1 2 2 0 1
Hallar: F= 2A + B-C
0 1 3 3 1 5 3 2 1F= 2 1 4 2 + 2 4 6 - 0 1 0 -2 0 1 0 1 2 2 0 1
0 2 6 3 1 5 3 2 1= 2 8 4 + 2 4 6 - 0 1 0 4 0 2 0 1 2 2 0 1
0 1 10F= 4 11 10 -6 1 3
13- Dada: Bij=2i-j. Calcule la matriz. B3X4?
b11 b12 b13 b14 1 0 -1 -2 b21 b22 b23 b24 = 3 2 1 0 b31 b32 b33 b34 5 4 3 2
b11 = 2(1)-1=1 b21 = 2(2)=-1 b31=2(3)=-1 b12 = 2(1)-2=0 b22=2(2)-2=-1 b32= (3)=-2 b13 = 2(1)-3=-1 b23=2(2)=-3 b33=2(3)=-3 b14 = 2(1)-4=-2 b34=2(3)=-4
14- Dado: aij=ai2-2j
1 m -1 2 A= 3 2 n 0 2 p q 4 3x4
Calcular: (m-n) (p+q) m=a12 = 2(1)2-2 (2)=-2 n=a23 = 2(2)2-2 (3)=2
p=a32 = 2(3)2-2 (2)=14
q=a33 = 2(3)2-2 (3)=12
= (-4)(26) (m - n) (p + q)= -104
15- Dada la matriz . T = 1 2 1 0 2 0 1 0 3
Determinar si tiene inversa: 1 2 1 1 1 = 2 (1X3-1-1) Det.T 0 2 0 = 2 1 3 = 2(2) 1 0 3 = 4
16- Calcule la inversa del ejercicio anterior de la matriz T.
1 2 1 1 0 0 F1 (-1) + F3 0 2 0 0 1 0 F2 (-1)+ F1 1 0 3 0 0 1
1 0 1 1 -1 0 F2 + F3 0 2 0 0 1 0 F2 () 0 -2 2 -1 0 1
1 0 1 1 -1 0 0 1 0 0 0 F3 0 0 2 -1 1 1
1 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
17- Cules de las matrices son conformables para la suma:
I) A4X3 + B 3X4II) C 3X5 + D4X5III) M5X6 + N 5X6
I) No es posible nmero filas. Nmero de columnas.II) No es posible nmero de filas.III) Si es posible. = nmero de filas.=nmero de columnas.
18- Cules de las matrices son conformables para la multiplicacin:
I) A4X3 B 3X4II) C 3X5 D 4X5III) M 5X6 N 5X6IV) P4X4 Q4X4
I) A4X3 B 3X4 =
Si es posible. = 4
II) C 3X5 D 4X5 No es posible.
III) M 5X6 N 5X6
No es posible.
IV) P4X4 Q4X4
Si es posible.
19- Dada A= 2 3 1 3 2 0 0 -1 2
Calcular: A + AT
2 3 1 2 3 1 A + AT = 3 2 0 + 3 2 0 0 -1 2 0 -1 2
2 3 1 2 3 0 A + AT = 3 2 0 + 3 2 -1 0 -1 2 1 0 2
4 6 1 A + AT = 6 4 -1 1 -1 4
21- Dada las matriz: 2 4 3 B= 1 5 2 , si intercambios 2 filas de la matriz. 3 1 1 qu sucede con su determinante? 2 4 3IBI 1 5 2 3 1 1 IBI = 37 - 53= -16 2 4 3 1 5 2
2 4 3 1 5 21 5 2 F1 con F2 2 4 33 1 1 3 1 1
1 5 22 4 3 = 53 - 373 1 1 = 161 5 22 4 3
22- Calcular la traza de la matriz:
6 -1 3 M= 2 -2 1 4 3 5
Traza (M) = 6 + (-2) + 5
Traza (M) = 9
23- Dada la matriz. B
1 2 3 4 2 3 3 2B= 0 2 1 0 2 4 0 1
Calcular su matriz triangular superior. 1 2 3 42 3 3 2 F1 (-2) + F20 2 1 0 F1 (-2) + F3 2 4 6 9
1 2 3 4 0 -1 -3 -6 F2 (-1) 0 2 1 0 F2 (-1) 0 0 - 0 1 1 2 3 4 0 1 1 6 0 0 -5 -120 0 0 124- Dada: 0 2 1 0 F= 4 2 0 -4 2 3 1 -2 1 2 0 4
Calcular su matriz triangular inferior:0 2 1 04 2 0 -4 F2 + F32 3 1 -21 2 0 4
0 2 1 0 0 0 0 04 2 0 -4 F3(-1) 4 2 0 -4 F4 + F20 3 1 0 + F1 0 2 1 01 2 0 4 1 2 0 4 0 0 0 0 5 4 0 0 0 2 1 01 2 0 4
25- Dada: aij= 0 , ij Diag (1,2,3,4)
Su representacin matricial ser:
1 0 0 0Diag (1,2,3,4)= 0 2 0 0-0 3 0 0-0 0 0 4
26- Dada la matriz diagonal escalar.
7 0 0 0 A= 0 7 0 00 0 7 00 0 0 7
Exprselo en funcin de la matriz identidad.
7 0 0 0 1 0 0 0 A= 0 7 0 0 = 7 0 1 0 00 0 7 0 0 0 1 00 0 0 7 0 0 0 1 I
A= 7 I
27- Sea la matriz : -1 3 5 B= 1 -3 -5 -1 3 5 - Se desea saber. Si es idempotente.B ser idempotente B2 = B
-1 3 5 -1 3 5 -1 3 5 1 -3 -5 1 -3 -5 1 -3 -5 -1 3 5 -1 3 5 -1 3 5
28- Sea matriz: 1 -3 -4 D= -1 3 4 1 -3 -4 Se desea saber si es Nilpotente: 1 -3 -4 1 -3 -4 0 0 0-1 3 4 -1 3 4 0 0 0 = 0 1 -3 -4 1 -3 -4 0 0 0
B NILPOTENTE B2= 0
29- Sea la matriz : 2 -3 4 P= -3 5 -1 4 -1 2 Es simtrica?
P es simtrica pt = P 2 -3 4 2 -3 4 -3 5 -1 = -3 5 -1 4 -1 2 4 -1 2
30- Sea la matriz: 0 4 3 R= -4 0 -5 -3 5 0
es anti simtrica? RT =-R 0 4 3 0 -4 -3 -4 0 - 5 = 4 0 -5 -3 5 0 -3 5 0 = (-1) 0 4 3 -4 0 -5 -3 5 0 RT= -R
31- Lo conjugado de Q = i 1 -3i 5 2 i -1 -3i 3 i -6 5i
-i 1 3i 5 Q= 2 -i 1 -3i 3 -i -6 -5i
32- Calcular la matriz ampliada de las matrices:
1 -1 0 1 0 0 A= -1 0 2 , I= 0 1 0 2 0 -2 3X3 0 0 1 3X3
1 -1 0 1 0 0 -1 0 2 0 1 0 2 0 -2 0 0 1 3X4
33- Sea: 5 2 1 -2 cuadrada, elija una sub-matriz de mayor orden r U= 0 -1 0 1 1 3 2 0 3X4
R min 3, 4R=3 5 2 1Elegimos una sub-matriz: 0 -1 0 1 3 2
34- Del ejercicio anterior elija una sub-matriz cuadrada de menor orden. R
R < min 3 , 4
Las maneras sub-matrices cuadradas de r=1 son:
3 , -1 , 0 , -2 , 1 , 2
35- Hallar el rango de la matriz:
1 2 -1 B= 2 4 -2 -1 3 6 4 5 -7 4X3
R R=3 1 2 -1 1 2 -1 2 4 -2 = 0 2 4 -2 = 0 -1 3 6 4 5 -7
1 2 -1 -2 4 -2 -2 3 -2 = 0 , -1 3 6 = 0 4 5 7 4 5 -7
R=2 2 4 = 10 0 -1 3
36- El rango de la matriz A = 1 2 3 2 2 3 5 1 1 3 4 5 3x4
1 2 3 2 F2 - 2 F1 1 2 3 2 (-1) F22 3 5 1 0 -1 -1 -31 3 4 5 F3-F2 0 1 1 3
1 2 3 2 1 0 1 -4 0 1 1 3 0 -1 -1 -3 = B0 1 1 3 F3-F2 0 0 0 0
37- Su matriz dada:
2 1 -2 00 0 1 0 es cannica?0 0 0 1
NO ES CANNICA: no cumple un requisito en la columna a la cual pertenece el primer elemento no nulo de una fila, todos los dems elementos deben ser nulos.
38- Decir, si la matriz es cannica y determine su rango:
1 2 0 0 -1 C= 0 1 0 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0 4X5
Si es cannica (cumple los requisitos)Tiene 3 filas que no se anulan.
39- Escribir la matriz: A= aij 3x2 Columnas Filas
a11 a12A= a21 a22 a31 a32 3x2
40- Dado: A= aij mxn , B= bij mxn
Representar la suma de matrices:
A+B= aij mxn + bij mxn
A+B= aij + bij mxn
A+B= cij mxn
A+B=C
41- Dadas :
2 4 2 2 3 1 A= 1 5 1 B= 0 1 -1 3 -2 0 4 3 2
Calcular: (a+b)T
(A+B)T = 2 4 2 2 3 1 T1 5 1 + 0 1 -13 -2 0 4 3 2 (A+B)T = 2 4 2 2 3 1 T 1 5 1 + 0 1 -13 -2 0 4 3 2 (A+B)T = 2 1 3 2 0 4 T4 5 -2 + 3 1 32 1 0 1 -1 2
= 4 1 7 7 6 1 3 0 2
42- Calcular: (K A )T
2 1 3 K= 3 , A= 4 5 -2 2 1 0
2 1 3 T ( K A)T = 3 4 5 -2 2 1 0
6 3 9 T 6 12 6 ( K A)T = 12 15 -6 = 3 15 3 6 3 0 9 -6 0
43- Formar la matriz: A= aij Aij = (-1)i+j , i j i+j , i
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