movimiento relativo relatividad del movimiento movimiento ... · si tenemos dos sistemas de...
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Relatividad del movimientovelocidad relativa
aceleración relativa
Movimiento relativo deTraslación general
Movimiento relativo deRotación pura
Movimiento Relativo
O’X’Y’Z’ – S.R., respecto del cual el movimiento de un punto material se conoce
OXYZ –S.R. , respecto del que se quiere describir el movimiento de la partícula.
Objetivo del tema:
Si se conoce la evolución de O’X’Y’Z’ respecto de OXYZ, se trata de relacionar los vectores de:
r’,v’,a’ O’X’Y’Z’ r,v,a OXYZ
O O’
Z
X Y
Z’
Y’ X’
r(t) r’(t) P
Definición I: Traslación General
Se caracteriza por OO’(t)
Definición II: Rotación Pura
En general: Traslación+Rotación
€
dˆ ′ i dt
= ω × ′ i
Se caracteriza por u fija para OXYZ y O’ fija.
Se caracteriza:
u(t) y O’(t).
O
Y
X Z
O’ O’
Z’ Z’
Z
X
Y’ Y’ X’
X’
Y’
Z’
Y
X’
O=O’
u w
u
u
t1 t2
i’,j’,k’- trayectoria circular
X’
Z’
Y’
Movimiento relativo de dos puntos materiales
S.R –OXYZ-fijo
vAB, vBA, aAB, aBA
A B
Z
O Y X
rBA
rB rA
Posición relativa de B respecto de A.
Movimiento Relativo de Traslación General
Se conoce el movimiento de un punto P en O’X’Y’Z’
Describir el movimiento de P en OXYZ.
X X’
Z’
Y’ O’
Z
Y
P
O
€
r '(t)
€
r (t)
Relacionar {r,v,a}OXYZ con {r,v,a}O’X’Y’Z’
Obtenemos las Transformaciones Galileanas:
€
r (t) = r '(t) + O
O '(t)⇒
r (t) = r '(t) + O
O '(t0) +
v r (t − t0)
€
a (t) = a '(t)
v (t) = v '(t) +
v r(t), v r(t) = const
Caso particular: Movimiento Relativo de Traslación Uniforme
€
v r = const ⇒ a r =d v rdt
= 0
v r =dO O '(t)dt
= const ⇒
O O '(t) = O
O '(t0) +
v r(t − t0)
Consecuencia importante en la formulación Newtoniana de la mecánica clásica.
Movimiento Relativo de Rotación Pura
Consideramos O=O’ • En cada una de SR se usa la descomposición del vector r(t) según vectores unitarios de cada SR.
• r(t)=r’(t) Z
X Y’
O=O’
X’ Z
Y €
ˆ u
€
w
La velocidad del punto P según cada S.R.
Como r = r’ Se puede escribir como:
O bien:
Se hace extensible a la derivada temporal para cualquier vector A:
Aplicamos esta expresión para hallar la a:
Analicemos cada termino:
Analicemos cada termino:
Aplicación al Movimiento de los cuerpos en la Superficie Terrestre:
(α = 0 ω=const )
Si consideramos un punto A sobre la superficie terrestre y ,donde es la aceleración de la gravedad medida por un observador que no gira:
Tierra:
• Velocidad angular de rotación ω (una vuelta completa (2·π) cada 24 horas (86400 s):
• El radio de la Tierra: R=6370 km ≅6.4 106 m
• g0 = 9.8 m/s2
• λ latitud
I. Cuerpo en reposo o con muy pequeña velocidad
(o de magnitud despreciable) Si y
se llama acelarción efectiva, medida por un observador en A, moviendose con la Tierra.
1. Dirección y modulo de • señala hacia centro de la tierra
(dirección radial)
• go=9.8 m/s2
Hemisferio Norte
2. ¿ Dirección y modulo de la aceleración centrifuga?:
Hemisferio Sur
Analicemos el vector (aceleración efectiva)
Hemisferio Norte
Señala en la dirección DA (señala hacia fuera)
• λ es la latitud (ángulo (ACE))
• Situados en el hemisferio Norte (latitudλ). Una partícula situada en un punto A sobre la Tierra describe una circunferencia de radior=R·cosλ. Eje rotación
Aceleración centrífuga:
• Aceleración centrifuga en modulo:
La aceleración centrifuga disminuye del ecuador a los polos.
Si ω = | ω | = 7.272 •10-5 rad/s (eje de rotación Tierra)
|r| = |AC| = R = 6.4 •106 m, dirección radial
• Aceleración centrifuga se descompone en dos componentes según la direccion radial y la dirección Norte-Sur:
• Componente en dirección radial, (linea AB):
ω 2R·cos2λ (nula en los polos)
• Componente en dirección Norte-Sur (linea NS) ω2R·cosλsenλ (nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º y en los polos)
R S
N A
B
€
g o
El efecto de la aceleración centrifuga no depende del estado de movimiento del cuerpo, solo de su posición.
λ
λ
Aceleración efectiva:
La aceleración efectiva es maxima en los polos y minima en el ecuador.
Se analiza el vector a lo largo de la dirección radial AB y la linea SN en el puntoA (hemisferio Norte):
Comp. aceleración efectiva (dirección radial): gAB = g0 -ω2R·cos2λ (disminuye la aceleración g0 de la gravedad)
Comp. aceleración efectiva (plano horizontal):
gNS = ω2R·cosλsenλ (nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º.)
A
B
N S λ
S N A
B
λ α
Analizemos la desviación del vector (aceleración efectiva) respecto de la dirección radial:
Por lo tanto si:
• La desviación de respecto de es muy pequeña.
Si ahora consideramos un cuerpo que cae:
Se comprueba que la aceleración centrifuga (la componente en el plano horizontal) lo desvia hacia el Sur en en Hemisferio Norte:
S N A
B
A’
Hemisferio Norte
AB – dirección radial
α
• La dirección de nos da la linea de la plomada.
Aceleración centrífuga en el Hemisferio Sur:
• Situados en el hemisferio Sur (latitudλ). Una partícula situada en el punto A describe una circunferencia de radior= R·cosλ. • La aceleración centrífuga (dirigida hacia afuera) de modulo:
ac= = ω 2r = ω 2R cosλ.
N
S B
R
λ
λ go r
ω Por lo tanto, disminuye de ecuador hacia los polos:
• Ecuador (λ = 0) Μax
• Polos (λ = 90) Min.
Se descompone en dos componentes:
A
Aceleracíon efectiva en el Hemisferio Sur:
Si ahora consideramos un cuerpo que cae en el Hemisferio Sur:
• Se comprueba que la aceleración centrifuga (la componente horizontal) lo desvia hacia el Norte en en Hemisferio Sur.
S N A
B
A’ Hemisferio Sur
AB – dirección radial
go g
α
• La dirección de g nos da la linea de la plomada.
• Como α es pequeño, está desviación es despreciable.
2. Cuerpo en movimiento y el termino de Coriolis
H.N.
H.S.
ω A
A
B
B
S
N
1. Cuerpo que cae:
N
S
λ
B
λ
W
v’
E A A’
Hemisferio Norte
€
v '
€
v '
En el Hemisferio Sur:
B
W E A A’
• El vector velocidad angular ω forma un ángulo igual a la latitud λ con la dirección Norte-Sur.
• La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte y Sur está dirigida hacia el Este y su módulo es:
aCor= = 2ω v’·cosλ
• La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es:
nula en los polos (λ =90º). En los polos ω|| v’ por tanto .
máxima en el ecuador (λ =0º).
€
( ω × v ')
S
N ω λ
Para un cuerpo que cae con velocidad v’.
€
v '
Por lo tanto, la trayectoria de una cuerpo que cae tanto en el hemisferio norte como en el hemisferio sur, experimenta una desviación hacia el Este, debida a la aceleración de Coriolis.
A A W E E W
H.S. H.N.
El efecto conjunto sobre la trayectoria de las aceleraciones de Coriolis y la aceleracioón Centrifuga es:
• HN-> desviación hacia sureste (SE)
• HS -> desviación hacia noreste (NE)
A’ A’ go go
€
v '
€
v '
3. Cuerpo que se mueve en un plano horizontal. Componentes del vector
según el plano horizontal: • No influye en la desviación a la trayectoria
• Desvía la trayectoria hacia la derecha en HN y hacia la izquierda en HS. Plano horizontal en el H.N.
Plano horizontal en el H.S.
W
S
E N
W
N
S E
ω
v’
B
A aH
aV
v’ ω
λ
B
aH aV λ
Casos particulares, cuando el cuerpo se mueve en un plano horizontal:
• En el ecuador (λ = 0) , aH = 0, tiene dirección radial.
N
S
ω N
S v’ ωH
B A
A
• Si un cuerpo se mueve según un meridiano: ωH || v’
aV = 0, aH # 0
• Si un cuerpo, en el ecuador, se mueve según un meridiano, ωH || v’:
aV = 0, aH = 0
• Si un cuerpo se mueve en los polos (λ = 90) , en un plano horizontal:
aV = 0, aH # 0
Ejemplo de la aceleración de Coriolis en el movimiento horizontal:
1. Remolino de un huracan:
Centro de baja presión-> el viento fluye hacia él.
acor desvía las moleculas de aire hacia:
• la derecha en el HN
• la izquierda en el HS
Da lugar a un movimiento de la masa del aire en el sentido contrario a las agujas de reloj en HN (remolino); en el HS las rotaciones son en el sentido contrario.
Ejemplo de la aceleración de Coriolis en el movimiento horizontal:
1. Oscilaciones de un péndulo
(1851 Jean Leon Foucault, con un péndulo de 67m de largo, demostró que su plano de oscilación rotaba. )
Si soltamos el péndulo en A, volvería en B, si la Tierra no estuviera rotando.
A causa de la aceleración de Coriolis, se demuestra que la trayectoria de la rotación del péndulo se desvía respecto de B hacia:
• la derecha en el HN
• la izquierda en el HS
Debida a esta desviación continua, el plano de oscilación esta rotando:
Transformaciones de Lorentz
1. Si tenemos dos sistemas de referencia con movimiento de traslacion uniforme se obtienen las transformaciones Galileanas:
€
v (t) = v '(t) +
v r(t), v r(t) = const ⇔ a (t) =
a '(t)
€
r (t) = r '(t) + O
O '(t)⇒ r (t) =
r '(t) + O O '(t0) +
v r(t − t0)
Si suponemos que O=O’ (los origenes del sistema de referencia movil y fijo) coinciden en t=t’=0 y el movimiento de traslacion uniforme es a lo largo de la direccion positiva del eje X con velocidad constante , obtenemos:
€
v r(t) = uˆ i
€
x(t) = x '(t) + ut; y(t) = y'(t); z(t) = z'(t)
€
dxdt
=dx'dt
+ u; v = v'+u; d2xdt 2
=d2x'dt 2
; a = a'
Conclusion: estas ecuaciones son validas solo cuando v’<<c.
Si v’=c se contradice la hipotesis de Einstein (la velocidad de la luz es una invariante física que tiene el mismo valor para todos los observadores)!!!
€
v = v'+u = c + u⇒ v > c
Se debe reemplazar la transformacion Galileana, por otra para que la velocidad de la luz sea una invariante.
Supongamos que pata t=t’=0 y O=O’ se emite un pulso de luz.
La luz ha llegado al punto P en un tiempo t para el observador O y en un tiempo t’ para el observador O’.
(1) El observador en O:
€
r = ct→ r2 = x 2 + y 2 + z2 = c 2t 2
(2) El observador en O’:
€
r'= ct'→ r'2 = x'2 +y'2 +z'2 = c 2t '2
Objetivo: relacionar (1) y (2) Como y=y’ y z=z’ y la velocidad de O’ es ( ), se cumple que x = ut cuando x’=0
€
O O '= utˆ i
€
u
Esto hace suponer que:
€
x'= k(x − ut)t'= a(t − bx)
Donde: k, a, b son constantes a determinarse. Para la transf. Galileana: k=a=1, b=0
Sustituyendo en (2), se obtiene:
€
(k 2 − b2a2c 2)x 2 − 2(k 2u − ba2c 2)xt + y 2 + z2 = (a2 − k 2u2 /c 2)c 2t 2
Como este resultado debe ser identico a (1), se obtiene:
€
(k 2 − b2a2c 2) =1, (k 2u − ba2c 2) = 0, (a2 − k 2u2 /c 2) =1
Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos:
€
k = a =1
1− u2
c 2
, b = u /c 2 Se obtienen asi las Transformaciones de Lorentz:
€
x'= k(x − ut) =x − ut
1− u2
c 2
y = y' z = z'
t'= a(t − bx) =t − ux /c 2
1− u2
c 2
Son compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz.
Ley de transformacion de Lorentz para las velocidades:
La velocidad de A medida por un observador en O:
€
vx =dxdt
, vy =dydt
, vz =dzdt
,
La velocidad de A medida por un observador en O’:
€
v'x =dx 'dt '
, v'y =dy 'dt '
, v'z =dz'dt '
,
€
dx'= dx − udt
1− u2
c 2
, dy = dy', dz = dz'
dt'= dt − udx /c 2
1− u2
c 2
Si diferenciamos las ecuaciones de Lorentz, se obtiene:
O, que es lo mismo:
€
dx'= vx − u
1− u2
c 2
dt, dy = dy', dz = dz'
dt'= 1− uvx /c 2
1− u2
c 2
dt
Es decir, se obtienen las ecuaciones de la ley de Lorentz para las velocidades:
€
v'x =dx 'dt '
=vx − u
1− uvx c 2
; v'y =dy 'dt '
=vy 1− u
2
c 2
1− uvx c 2
; v 'z =dz'dt'
=vz 1− u
2
c 2
1− uvx c 2
Caso particular:
Si una particula se mueve en la direccion X:
€
vx = v ; vy = vz = 0
v'= v − u1− uv c 2
€
v =v '+u
1− uv'c 2
Consecuencias de la transformación de Lorentz:
€
k =1
1− u2
c 2
• Contracción de la longitud
• Dilatación del tiempo
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