monofásica: apuntes de electrotecnia para grados de ingeniería

Monofásica: Apuntes de Electrotecnia para Grados de Ingeniería

Autor: Ovidio Rabaza Castillo

INDICE Tema1: Campos variables con el tiempo. Inducción electromagnética

- Definición de Campo Magnético - Generación de Fuerza Electromotriz - Ley de Inducción de Faraday - Variables en Corriente Alterna - Aparatos de Medida Eléctricos

Tema 2: Análisis de circuitos de corriente alterna

- Circuito eléctrico - Tipos de circuitos - Elementos pasivos - Elementos activos - Onda senoidal y valores asociados - Representación fasorial - Impedancia - Análisis de redes - Leyes de Kirchhoff - Asociación de elementos - Transformación de fuentes

Tema 3: Circuitos monofásicos

- Método de las mallas - Método de los nudos - Método de superposición

Tema 4: Potencia de circuitos monofásicos - Potencia - Triángulo de potencias - Teorema de Boucherot - Factor de potencia - Mejora del factor de potencia

Apéndice

- Repaso de números complejos Bibliografía

Tema 1: Campos variables con el tiempo. Inducción electromagnética.

Índice

Definición de campo magnético Generación de Fuerza Electromotriz Ley de inducción de Faraday Variables de Corriente Alterna Aparatos de Medidas Eléctricos

Definición de Campo Magnético Campo magnético creado por una carga en movimiento

rrvqrB

dSenvqB

−×⋅⋅=⇒

⋅⋅⋅=

πµθ

Inducción magnética o Densidad de flujo magnético

Definición de Campo Magnético Campo magnético creado por una corriente eléctrica

Regla del sacacorchos o de la mano derecha.

Generación de F.E.M.

( ) SBSBSB⋅≡⋅⋅= , cosφ

SB ⋅=maxφ

Ley de Inducción de Faraday

dtdte φ

−=)(

tsente )( max ωφω ⋅⋅=

maxmax

max )(φωω

⋅⋅=⋅=

Netsenete

SB ⋅=maxφ

tSBt ωφ cos)( ⋅⋅= para N espiras:

( ) SBSBSB⋅≡⋅⋅= , cosφ

Variables de Corriente Alterna

Intensidad de corriente eléctrica

Tensión, diferencia de potencial o caída

de potencial

dtdqti =)(

dqdEtu =)(

)( )( )(

ssegundoCCulombioAAmperio

)( )( )( CCulombio

JJulioVVoltio

Variables de Corriente Alterna

Potencia eléctrica (suministrada o consumida)

Energía eléctrica (suministrada o

consumida)

dtdEtp =)( )()()( titu

dtdEtp ⋅=⋅==⇒ ( ))( WVatio

dttitudttpdE ⋅⋅=⋅= )()()( ( )sWJ ⋅=

Aparatos de Medida

Tema 2: Análisis de circuitos de corriente alterna

Índice

Circuito eléctrico Tipos de circuitos Elementos pasivos Elementos activos Onda senoidal y valores asociados Representación fasorial Impedancia

Circuito eléctrico

Activos: fuentes o generadores que suministran energía eléctrica al sistema.

Pasivos: disipan o almacenan energía eléctrica. Aproximaciones en el estudio analítico:

Parámetros concentrados (Simplificación) Parámetros distribuidos (Real)

Definición: un circuito eléctrico o una red eléctrica, es un conjunto de elementos combinados de tal forma que con ellos se pueda originar una corriente eléctrica. Los elementos pueden ser:

Tipos de Circuitos: clasificación

Por su excitación De tipo continuo

De tipo alterno

Tipos de Circuitos

Por su régimen de funcionamiento Transitorio

Estacionario o Permanente

Elementos pasivos

Definición: aquellos componentes que disipan o almacenan energía

Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)

Resistencia:

Variación de la resistencia con el material y dimensiones

Resistencia fija Resistencia variable

)()( tiRtu ⋅=

⋅== ρ

)/( )/(

mmmcmmm

ρ resistividad Conductividad (Cu = 58; Al = 36 a 20 ºC) longitud

sección

resistencia

disipa energía en forma de calor

)( ΩR Resistencia (Ohmio)

Nombre genérico: Impedancia

Elementos pasivos Variación de la resistencia con la temperatura:

Potencia y energía

)](1)[()( 1212 TTTRTR −+= α

)](1)[()( 1212 TTTT −+= αρρ

0039.0=Cuα

RtutiRtitutp )()()()()(

22 =⋅=⋅=

∫ ⋅⋅=⇒=t

dttiREdttpdE0

2 )()(

en cc:

tIRE ⋅⋅= 2

Elementos pasivos

Cortocircuito: incremento brusco de la intensidad eléctrica a valores muy por encima de lo soportado por el elemento que lo provoca y d.d.p. entre bornes muy próximo a cero.

Circuito abierto: se produce cuando la intensidad por el

elemento es cero. El hueco vacío entre dos puntos de un circuito es igual a una resistencia de valor infinito.

)()( tiRtu=

Elementos pasivos

Bobina: Si la intensidad i(t) que circula por la bobina es constante, la

tensión entre sus bornes es cero. Esto implica que la bobina se comporte como un cortocircuito (controlado).

No admite cambios bruscos de intensidad. Derivada infinita.

Bobina fija Bobina variable

dttdiLtu )()( ⋅=

)( HL Inducción (Henrio)

almacenan energía magnética

)(21)()()( 2

0tiLdt

dttditiLEdttpdE

t⋅=⋅⋅=⇒= ∫

Elementos pasivos

Condensador: Si la tensión u(t) entre los bornes es constante el

condensador actúa como un circuito abierto.

Cambios bruscos de tensión equivale a un cortocircuito.

Condensador fijo Condensador variable

dttduCti )()( ⋅=

)( FC Capacidad (Faradio)

almacenan energía eléctrica

)(21)()()( 2

0 tuCdtdt

tdutuCEdttpdE t ⋅=∫ ⋅⋅=⇒=

Elementos activos

Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica

Fuentes o generadores de tensión ideal Suministra tensión al circuito independientemente de la intensidad eléctrica.

Elementos activos

Fuentes o generadores de tensión real Suministra tensión al circuito dependientemente de la intensidad eléctrica.

Elementos activos

Fuentes o generadores de corriente ideal Suministra corriente al circuito independientemente de la tensión en los bornes.

Elementos activos

Fuentes o generadores de corriente real Suministra corriente al circuito dependientemente de la tensión en los bornes.

Elementos activos

Fuentes o generadores dependientes

Onda senoidal y valores asociados

Generación y valores asociados

⇒−== )2

( cos )( maxmaxπωω tetsenete )( cos)( max ϕω += tete

sradVe

ω −⋅

Valor máximo de f.e.m. Pulsación o frecuencia angular Tiempo

Ángulo de desfase

Valor instantáneo de f.e.m. (Voltio)

⋅==⋅

− ππω 22)(

)( 1)(

Periodo

Frecuencia

Desfase entre ondas Angulo de fase o desfase, el que existe entre el origen y un punto cualquiera de la onda.

21 ϕϕϕ −=

Angulo de desfase entre dos ondas:

)cos()( 2max ϕω −⋅= tete

)cos()( 1max ϕω +⋅= tete

Tomando la onda azul como referencia: tete ωcos)( max ⋅=

La onda verde está adelantada en fase:

La onda roja está retrasada en fase:

Ondas en fase Ondas en cuadratura Ondas en oposición

021 =−ϕϕ

221πϕϕ ±=−

πϕϕ ±=− 21

Valor medio

n x n1 x1 n2 x2 - - nm xm N

∑ ⋅= Nn

imedixx

∫ ⋅=∑ ⋅=⇒= ∆ TT

timed dtty

Ttyytyy 0 )(1)()(

Valor medio (Cont.)

Valor eficaz

20cos1)(cos)(

max0 maxmax

⋅=∫ ⋅⋅=⇒⋅=

πωωωω

senTsenT

edtteT

Tetete Tmed

0)( =⇒ Temed

∫ ⋅=T

ef dttyT

2 )(1Se define el “valor eficaz” de una función durante un tiempo T como:

∫ ⋅=⋅⇒∫ ⋅=⋅ Tef

Tef dttiTIdttyTY 0

22 )()(

TIREdttiRE ef

T⋅⋅=⇒⋅⋅= ∫ 2

∫ ⋅=T

med dttyT

)(1El “valor medio” de una función durante un tiempo T es:

¿Para qué sirve?

Para simplificar

Valor eficaz (Cont.)

⇒==∗

+=⋅⇒+=∫ ⋅

∗=∫ ⋅=∫ ⋅=∫ ⋅=

)(coscos)(1

maxmax

Ttsentdtta

axsenxdxax

IdttiT

ωωω

efII ⋅= 2maxπωπω 22

=⇒= TT

tItIti

tUtUtu

cos2cos)(

⋅⋅==

tIti cos)( max ω=

¿Cómo serían las magnitudes en Corriente Continua?

Corriente Continua

Magnitud Alterna

Magnitud Continua

tItIti

tUtUtu

cos2cos)(

⋅⋅==

efYY == maxy 0ω

¿Podemos decir que la corriente continua es una particularidad de la alterna?

Representación fasorial

Representación polar

El Fasor es un vector que gira con una velocidad angular constante. La representación se realiza en un determinado instante.

( )ϕϕϕϕ jsenYsenYjYY +⋅=⋅+⋅= coscos

( )º69.33º69.33cos61.3

º69.3332arctan

61.32323

=+==+=

Ejemplo:

( ) ϕϕϕϕϕ ∠=+⋅=⋅+⋅= YjsenYsenYjYY coscos

º69.3361.323 ∠=+= jzEjemplo:

Representación fasorial Representación fasorial

)cos()( max ϕω +⋅= tete

)()cos()( maxmax ϕωϕω +++= tsenjeteteSupongamos el siguiente número complejo:

)(Re)( tete =

Representación fasorial Representación fasorial (Cont.)

( ) ( ) ( )tetetjsentete efefef ωϕϕωϕωϕω ∠⋅∠=+∠⋅=+++⋅⋅= 2)(2))cos(2)( (

( ))()cos(2)()cos()( maxmax ϕωϕωϕωϕω +++⋅⋅=+++= tjsentetsenjetete ef

tete ω∠⋅=⇒ 2)(

ϕϕω ∠=⇒+⋅⋅= efef eetete )cos2)( (

ϕ∠= efee

En resumen:

Impedancia

Resistencia

tItRUti

tiRtutUtu ωωω cos2cos2)(

)()(cos2)( ⋅⋅≡⋅=⇒

⋅=⋅⋅=

UU=∠=

∠=⇒

∠=∠=

∠=º0

º0º0

Vamos a deducir las expresiones complejas (y polares) de los elementos pasivos

Impedancia Reactancia inductiva

)º90cos(2

)º90cos(2)º90cos(2

)(1)()()(

cos2)(

−⋅⋅≡

≡−⋅=−⋅=

=⋅∫ =⋅⋅=

=∫ ⋅=⇒

⋅⋅=

UdttLU

dttdiLtu

=∠=−∠

∠=⇒

−∠=−∠=

∠=º90

º90º0

º90º90

ωωLXLj =ω

Impedancia Reactancia capacitiva

)º90cos(2)º90cos(2

2)()()(

cos2)(

+⋅⋅≡+⋅⋅=

=⋅⋅−=⇒

⋅⋅=

tsenCUti

dttduCti

ωωω

=−∠=∠∠

∠=∠=

∠=º901

º90º0

º90º90º0

CUIIUU

ωωω CXCj=−

Impedancia Impedancia

ϕ∠=+== ZjXRI

)(ΩZ Ohmio

Recordamos:

=+=⋅+

XLjRjR

00 Resistencia

Bobina

Condensador

Triángulo de impedancias

Impedancia Admitancia

ϕ−∠=+

Y 1112222 )( 1−ΩY Siemens o mho

Conductancia (G) Susceptancia (B)

jBGY +=

Análisis de redes

Definiciones Nudo: es un punto de unión entre tres o más elementos del

circuito.

Rama: elemento o grupo de elementos conectado entre dos

nudos.

Análisis de redes

Definiciones (Cont.) Lazo o bucle: conjunto de ramas que forman una línea

cerrada.

Malla: un lazo que no contiene ningún otro en su interior

7 Lazos o bucles

Leyes de Kirchhoff

1ª Ley de Kirchhoff “En todo nudo de una red (o circuito) la suma algebraica de las corrientes que concurren a él es cero” (Principio de Conservación de la Carga).

dtdqti =)(Recordamos:

42531 dqdqdqdqdq +=++

dtidtidtidtidti 42531 +=++

42531 iiiii +=++

Leyes de Kirchhoff

2ª Ley de Kirchhoff “En toda malla de una red (o circuito) la suma algebraica de las tensiones existentes entre sus terminales es cero” (Principio de Conservación de Energía).

dqdEtu =)(Recordamos:

43152 dEdEdEdEdE ++=+−

dqudqudqudqudqu 43152 ++=+−

43152 uuuuu ++=+−

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Datos: tensiones de los generadores y las impedancias (resistencias)

Se trabajará con Fasores:

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Señalar todas las corrientes en cada rama. El sentido de las corrientes será arbitrario.

6 incógnitas, entonces serán necesarias 6 ecuaciones

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Identificamos los nudos y aplicamos la primera ley de Kirchhoff:

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Cada ecuación es combinación lineal del resto, por ejemplo D=A+B+C

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

=++−

=−−

3 ecuaciones, nos faltan otras 3

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Identificamos bucles y mallas

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Identificamos bucles y mallas y aplicamos la segunda ley de Kirchhoff:

4422111 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅=

5533222 IRIRIRU ⋅−⋅+⋅−=−

4455331121 IRIRIRIRUU ⋅+⋅−⋅+⋅=−

6655443 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅−=

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

La tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras

4422111 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅=

5533222 IRIRIRU ⋅−⋅+⋅−=−

4455331121 IRIRIRIRUU ⋅+⋅−⋅+⋅=−

6655443 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅−=

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

Nos quedamos entonces con las ecuaciones de cada malla

4422111 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅=

5533222 IRIRIRU ⋅−⋅+⋅−=−

6655443 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅−=

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

en los nudos (todos menos uno) A

6655443

5533222

4422111

IRIRIRU

IRIRIRUIRIRIRU

⋅+⋅+⋅−=

⋅−⋅+⋅−=−

⋅+⋅+⋅=

=−−

en las mallas (todas)

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

en los nudos (todos menos uno)

6655443

5533222

4422111

IRIRIRU

IRIRIRUIRIRIRU

⋅+⋅+⋅−=

⋅−⋅+⋅−=−

⋅+⋅+⋅=

=−−

−−−

−−−−

000000000101001011010000111

IIIIII

RRRRRR

Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:

en los nudos (todos menos uno)

6655443

5533222

4422111

IRIRIRU

IRIRIRUIRIRIRU

⋅+⋅+⋅−=

⋅−⋅+⋅−=−

⋅+⋅+⋅=

=−−

−−−

−−−− −

000000000101001011010000111

IIIIII

RRRRRR

Asociación de elementos

Elementos pasivos en serie

“Varios elementos están conectados en serie cuando por ellos circula la misma intensidad”

∑= iT ZZ

∑⋅=⋅++⋅+⋅= iN ZIZIZIZIU ...21 TZIU ⋅=

- Resistencias

- Bobinas

- Condensadores

)( RZ =

)( LjZ ω=

∑≡ iT LL

∑≡ iT RR

ω−=

∑≡iT CC

Elementos pasivos en paralelo

“Varios elementos están conectados en paralelo cuando están sometidos a la misma tensión”

∑=iT ZZ

∑⋅=+++=+++=iN

ZUIIII 1......

TZUI =

- Resistencias

- Bobinas

- Condensadores

)( RZ =

)( LjZ ω=

∑≡iT RR

ω−=

∑≡ iT CC

∑≡iT LL

Elementos pasivos Conexión estrella - triángulo

)( \\2112 CAB ZZZZZZ +=+=

CABCAB ZZZ

ZZZZZZ

ZZZZ+++

+=+=−−

)()()(

11)( \\11

CABCAB ZZZ

ZZZZZZZZZ+++

=+=+=)()( \\2112

CBACBA ZZZ

ZZZZZZZZZ+++

=+=+=)()( \\3223

BACBAC ZZZ

ZZZZZZZZZ+++

=+=+=)()( \\1331

CABCAB ZZZ

ZZZZZZZZZ+++

=+=+=)()( \\2112

CBACBA ZZZ

ZZZZZZZZZ+++

=+=+=)()( \\3223

BACBAC ZZZ

ZZZZZZZZZ+++

=+=+=)()( \\1331

ZZZZZ++⋅⋅2

12 Z⋅ =

ZZZZZZ++

133221

ZZZZZZZZ A⋅+⋅+⋅

133221

ZZZZZZZZ B⋅+⋅+⋅

133221

ZZZZZZZZC⋅+⋅+⋅

Ejercicio: calcular la resistencia equivalente entre los terminales A y B, así como i(t)

H 01.0

H 02.0

H 01.0

F 01.0

F 05.0

ttu ⋅⋅⋅= 100cos2100)(

Ejercicio: transformamos las impedancias y la tensión del generador a Fasores

H 01.0

H 02.0

H 01.0

F 01.0

F 05.0

ttu ⋅⋅⋅= 100cos2100)(

Ejercicio: simplificamos a una impedancia las que estén en serie

º01∠

º02∠

º901∠

º902∠

º901∠

º901 −∠

º902.0 −∠

º0100∠=U

Ejercicio: transformamos de triángulo a estrella

º452∠

º902∠

º901∠

º57.265 −∠

º902.0 −∠

º0100∠=U

Ejercicio: volvemos a simplificar a una impedancia las que están en serie

º04.58343.0 ∠

º04.59686.0 ∠ º04.103485.0 ∠

º57.265 −∠

º902.0 −∠

º0100∠=U

Ejercicio: transformamos las impedancias en paralelo a una

º565.26203.0 ∠

º04.59686.0 ∠

º6.15963.1 −∠

º0100∠=U

Ejercicio: simplificamos a una sola impedancia

º04.59686.0 ∠ º865.22188.0 ∠

º0100∠=U

Ejercicio: deducimos la intensidad y la convertimos de Fasor al dominio temporal

Ω∠ º54.51884.0

V º0100∠=U

AttiZUI )º54.51100cos(5.1182)(º54.515.118

º54.51844.0º0100

−⋅⋅⋅=⇒−∠=∠∠

Elementos activos (fuentes o generadores) Fuentes de tensión ideal en serie

Fuentes de tensión ideal en paralelo

∑= iT UU

Sólo es posible si son iguales y están conectadas con la misma polaridad.

Elementos activos (fuentes o generadores) Fuentes de intensidad ideal en paralelo

Fuentes de intensidad ideal en serie

∑= iT II

Sólo es posible si son iguales y están conectadas con el mismo sentido.

Transformación de fuentes

Entre generadores de tensión e intensidad reales

IIZUU gg −=⇒⋅−=

UIIIIIII ggg −=−=⇒+=

= 1 Ambos son equivalentes si se cumple:

Transformación de fuentes

Ejemplo:

)º35100cos(2202)( +⋅⋅= ttu

º13.535º35220

º13.1844º13.535º35220

−∠=∠

∠=gI

)º13.18100cos(442)( −⋅⋅= tti

Tema 3: Circuitos monofásicos

Índice

Método de las mallas Método de los nudos Método de superposición

Método de las mallas

“Consiste en escribir todas las ecuaciones correspondientes a las mallas”

Objetivo: determinar las corrientes en cada rama

Asignamos corrientes a cada malla. Todas han de ir orientadas hacia el mismo sentido.

( )( ) ( )

( ) 542

ZIZIIU

ZIIZIZII

ZIIZIU

⋅+⋅−=−

⇒⋅−+⋅+⋅−=

⋅−+⋅=

IZZIZU

IZIZZZIZ

IZIZZU

⋅++⋅−=−

⇒⋅−⋅+++⋅−=

⋅−⋅+=

IZZIZU

IZIZZZIZ

IZIZZU

⋅++⋅−=−

⇒⋅−⋅+++⋅−=

⋅−⋅+=

+−−++−

zzzzzzzz

∑∑∑

−−−−−−

333231

232221

131211

zzzzzzzzz

=ijZSuma de impedancias en la malla i para i = j Suma de impedancias comunes entre las mallas i y j para i j ≠

Restricciones del método El método de las mallas se aplica directamente cuando todos los generadores son de tensión. Cuando hay algunos generadores de corriente, si éstos son reales se transforma a generadores reales de tensión, sin embargo, si éstos son ideales se realiza el siguiente cambio:

Ejemplo: calcular la intensidad que circula por el condensador.

º901 0º 1 901

901 º01

∠=−∠≡−=

∠≡=∠=

º0109010

−∠=

) 100cos(210)(

) 100( 210)(

tsenti

Transformamos fuentes de corriente a fuentes de tensión y simplificamos las impedancias.

−−

º01021 ∠=−= III

A 100cos 210)( tti ⋅=

Método de los nudos

“Consiste en escribir las ecuaciones correspondientes a todos los nudos menos uno (consecuencia de la 1ª ley de Kirchhoff)”

Objetivo: determinar las tensiones en cada rama

Ponemos el nudo inferior a tierra

Representamos las corrientes en cada rama y aplicamos la 1ª ley de Kirchhoff

=+ ⇒21223

=+ ⇒22123

⇒22123

++⋅−

=−⋅

++⋅−

=−⋅

( ) 223212

122121

IUYYUY

IUYUYY

=⋅++⋅−

=⋅−⋅+

⇒( )( ) 223212

122121

IUYYUY

IUYUYY

=⋅++⋅−

=⋅−⋅+

+−−+

YYYYYY

∑∑∑

−−−−−−

333231

232221

131211

YYYYYYYYY

=ijYSuma de admitancias conectadas al nudo i para i = j Suma de admitancias conectadas entre los nudos i y j para i j ≠

Restricciones del método El método de los nudos se aplica directamente cuando todos los generadores son de corriente. Cuando hay algunos generadores de tensión, si éstos son reales se transforman a generadores reales de corriente, sin embargo, si éstos son ideales se realiza el siguiente cambio:

Ejemplo: calcular la intensidad que circula por el condensador.

º901 0º 1 901

901 º01

∠=−∠≡−=

∠≡=∠=

º0109010

−∠=

) 100cos(210)(

) 100( 210)(

tsenti

Transformamos fuentes de tensión a fuentes de corriente y simplificamos las impedancias.

−)1(5

10)1/(1

−=−=

)100(210)( tCosti ⋅=

º01010

2 ∠=−−

Método de superposición

“En una red formada por fuentes (de intensidad y tensión) e impedancias, la corriente en cada rama es la suma de las corrientes que se producirían si las fuentes actuasen una a una independientemente” Se aplica el Principio de Linealidad.

Objetivo: determinar la intensidad que circula por la impedancia Z2

Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita.

Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita. Paso 1º. Se abren las fuentes de intensidad:

3211 ZZZ

Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita. Paso 2º. Se cortocircuita la fuente de tensión y se abre la fuente de intensidad

112 ZZZ

⋅−=

Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita. Paso 3º. Se cortocircuita la fuente de tensión y se abre la otra fuente de intensidad.

323 ZZZ

⋅−=

3211 ZZZ

112 ZZZ

⋅−=

323 ZZZ

⋅−=

321 IIII ++=⇒Nota. El método de superposición es el único con el que se puede resolver circuitos con fuentes de frecuencias distintas, si es así: ¡Ojo! Se tiene que pasar primero de fasores al espacio temporal y hacer la SUMA .

Ejemplo: Calcular la intensidad que circula por el condensador.

º901 0º 1 901

901 º01

∠=−∠≡−=

∠≡=∠=

º0109010

−∠=

) 100cos(210)(

) 100( 210)(

tsenti

Trabajamos con la fuente de tensión, entonces dejamos abierta la fuente de corriente.

1 +=−=⇒

Trabajamos con la fuente de corriente, entonces cortocircuitamos la fuente de tensión.

jjb 55

)1/(11 2

1 −=−

jIa 55 +=

jIb 55 −=

⇒ )100( 210)(º010 tCostiIII ba ⋅=⇒∠=+=

Tema 4: Potencia de circuitos monofásicos

Índice

Potencia Triángulo de potencias Teorema de Boucherot Factor de potencia Mejora del factor de potencia

Potencia

Efecto Joule

(J) ∫∫∫∫ =====TTTT

TIRdttiRdttiRdttitudttpE0

00 )( )( )( )( )(

tUtu cos2)( ω⋅⋅= tItRU

Rtuti cos2 cos2)()( ωω ⋅⋅=⋅⋅==

TIRQ 2 24.0 ⋅=

“Es la disipación de energía en forma de calor al pasar una corriente eléctrica por un elemento pasivo”. Supongamos una resistencia R conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t);

(Cal) ∫= Tef dtty

Potencia Potencia instantánea, fluctuante, aparente,

activa y reactiva.

[ ]=+−=−⋅== ϕϕωϕωω cos)2cos( ) cos( cos 2)( )()( tUIttUItitutp

º0 cos2)( ∠=⇒⋅⋅= UUtUtu ωϕϕ

ϕ−∠=−∠=

∠∠

== IZU

ZUI º0

Supongamos una impedancia Z conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t);

ϕ∠= ZZ

) ( cos2)( ϕω −⋅= tIti

[ ])cos()cos(21coscos bababa −++=

Potencia

[ ] PPUItUItUI f +=+−=+−= ϕϕωϕϕω cos)2cos(cos)2cos(

Potencia Fluctuante Potencia Activa PPtp f +=)(

Potencia Fluctuante Potencia Activa Potencia Instantánea =+Parte de la energía la rechaza la carga y es como si la devolviese

Potencia - Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre una resistencia R

PPUItUIUItUItp f +=+=+−=⇒ ωϕϕω 2coscos)2cos()(º0∠= RZ

No devuelve nada de energía (en cada segundo), la gasta entera en realizar un trabajo

Potencia - Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre una bobina L

( ) fPtUIUItUItp =−=+−=⇒ 902coscos)2cos()( ωϕϕωº90∠= LZ ω

Devuelve toda la energía (en cada segundo), por tanto “no” realiza ningún trabajo

Potencia - Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre un condensador C

( ) fPtUIUItUItp =+=+−=⇒ 902coscos)2cos()( ωϕϕωº901−∠=

Devuelve toda la energía (en cada segundo), por tanto “no” realiza ningún trabajo

Potencia

PUIdtT

UIdttT

UIdttpT

media ==+−== ∫∫∫ 000cos cos)2cos()(1 ϕϕϕω

[ ] =++=−+= tSenSenUItCosPtCosUICosUItp ωϕωϕωϕ 2 2 1 )2( )(

senbsenababa coscos)cos( +=−

[ ] [ ] tQtPtSenSenUItCosP ωωωϕω 2sen 2 cos1 2 2 1 ++=++=

Q (Potencia reactiva)

Ppmedia =

Potencia

[ ] tSenQtCosPPFCosUItCosUItp ωωϕϕω 2 2 1 )2( )( ++=+=+−=

(W) ϕCosUIP ⋅=

(VAr) ϕSenUIQ ⋅=

(VA) UIS =

(Potencia activa)

(Potencia reactiva)

(Potencia aparente)

La potencia activa (potencia media) es la que realmente realiza el trabajo, ésta es la razón por la que se le denomina activa.

La potencia aparente es la que aparentemente proporciona el generador, sin embargo, sólo una parte actúa activamente en producir el trabajo.

Triángulo de Potencias

ϕϕ ∠=∠⋅∠=⋅ UIIUIU º0*

jQPIUS +=⋅= *

º0 cos2)( ∠=⇒⋅⋅= UUtUtu ωϕϕ

ϕ−∠=−∠=

∠∠

== IZU

ZUI º0

ϕ∠= ZZ

ϕϕ * SenjUICosUIIU ⋅+⋅=⋅⇒

Teorema de Boucherot

22TTTiT QPSSS +=⇒=∑

La potencia activa absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica de las potencias activas absorbidas por cada uno de ellos. La potencia reactiva absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica de las potencias reactivas absorbidas por cada uno de ellos. La potencia aparente absorbida por un conjunto de receptores es la suma vectorial de las potencias aparentes absorbidas por cada uno de ellos.

∑= iT PP

∑= iT QQ

Teorema de Boucherot

Demostración: a) Circuito en serie

( ) ( ) TTNN

jQPQQQjPPPjQPjQPjQPSSS

IUIUIUIUUUIUS

+=+++++++==++++++=+++=

=⋅++⋅+⋅=⋅+++=⋅=

221121

b) Circuito en paralelo

Demostración en el libro del área

Factor de Potencia

SPpotenciadeFactor =

¿Qué significado físico tiene?

Ejemplo: Efectuar un estudio comparativo para una instalación en la que se desea alimentar un motor de 20kW (inductivo), a 380 V, mediante una línea monofásica cuya resistencia total es de 0,003 Ω/m y una longitud total de 100 m, para; i) Cos φ = 1 ii) Cos φ = 0.5

ϕϕϕ ... cos CospdfCosUI

=⇒==

Factor de Potencia La intensidad que circula por el circuito cuando conectamos la carga (motor) es:

=ϕCosU

Nota: en los motores, en vez de dar el valor de su impedancia se proporciona el valor de la potencia eléctrica consumida (cuando se conecta a su tensión nominal) y el factor de potencia.

∠=−∠

∠==⇒−∠=⇒=

∠=∠

∠==⇒∠=⇒=

º06 61.3º60 26.105

º0 380º60 26.105A 26.1055.0380

º0 22.7º0 632.52

º0 380º0 632.52A 632.520.1380

Por efecto Joule, la potencia disipada en forma de calor por la línea monofásica es:

=⋅= 2IRPL

=×=×

W9.332326.1053.0 W04.831632.523.0

Factor de Potencia La potencia proporcionada por el generador al sistema para que funcione el motor en su tensión nominal es:

=+= MLG PPP

W90.23323200009.3323 W04.208312000004.831

El rendimiento de las dos instalaciones es:

% 75.8590.23323

% 96.0004.20831

La potencia reactiva consumida por el motor es:

=⋅= ϕ tanPQ

=×=×

VAr 34641º60 tan 20000 VAr 0º0 tan 20000

Mejora del Factor de Potencia Medida del factor de potencia

222222 )()(

ArhkVkWhkWh

tQtPtP

⋅+⋅

Medida del factor de potencia a través de contadores de activa y reactiva:

a) Corrección de un f.d.p. inductivo

Corrección del factor de potencia

Mejora del Factor de Potencia

⇒+=−=∠

−∠

∠⋅∠=⋅=

⋅=⋅=

C jQPCjU

XUUIUS ω

º90 1º0

*)º901(

º0 º0 ***

[ ]⇒−⋅=−⇒−=⇒ 1222 tan tan ϕϕωω PCUCUQC

21 tan tanU

PC −⋅=

[ ]121212 tan tan ϕϕ −⋅=⇒−=⇒+= PQQQQQQQ CCC

Mejora del Factor de Potencia

b) Corrección de un f.d.p. capacitivo

Mismo procedimiento que en el caso anterior, pero esta vez usando una bobina conectada en paralelo (las impedancias de corrección de f.d.p. no se conectan en serie porque entonces habría que generar más tensión para compensar la caída por la impedancia conectada en serie). Realizando el mismo procedimiento, el valor de la bobina es:

tan tan ϕϕω −⋅=

Problema Una obra alimentada por una red monofásica a 220 V y 50 Hz, tiene las siguientes cargas: 1) Grúa con una potencia total instalada de 10 kW, cosφ = 0,8 inductivo, rendimiento 90%. 2) Dos hormigoneras de 5 CV cada una, cosφ = 0,75 inductivo, η = 88%. 3) Un grupo de soldadura de 5 kW, η = 97%, f.d.p. unidad.

Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga. b) Corriente total y su f.d.p. c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω, calcular la potencia perdida por efecto Joule

en la misma. d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9

en retraso. e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y

potencia perdida en la línea por efecto Joule. f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de

condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2

Problema Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.

Grúa 10kW

f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

f.d.p. 1.0 rendimiento 97%

220 V 50 Hz

ϕcosUIP =ϕcosU

PI =⇒ϕη cosU

PI mec

⋅=⇒

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

A 13.638.02209.0

10000cos

=⋅⋅

=ϕη U

PI mec

Grúa:

inductivoser por positivo es ángulo el 87.368.0cos =⇒= ϕϕ

A º87.3613.63 −∠=I

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

A 34.2575.022088.0

7365cos

=⋅⋅

ϕη UPI mec

Hormigonera:

inductivoser por positivo es ángulo el 41.4175.0cos =⇒= ϕϕ

A º41.4134.25 −∠=I

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

A 43.23122097.0

5000cos

=⋅⋅

=ϕη U

PI mec

Grupo soldadura:

01cos =⇒= ϕϕ

A º043.23 ∠=I

Problema Calcular: b) Corriente total y su factor de potencia.

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

=∠+−∠×+−∠=+⋅+= º043.23º41.4134.252º87.3613.632 GrupoaHormigonerGrúaT IIII

A º53.3276.132 −∠= inductivo 0.84º53.32cos =

Problema Calcular: c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω, calcular la potencia perdida por efecto Joule

en la misma.

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

W52.176276.1321.0 22 =⋅=⋅= IRPcalor

Problema Calcular: d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9

en retraso.

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

[ ] [ ] kVAr 78.3º84.25tanº58.32tan84.076.132220tantan =−⋅⋅⋅=−⋅= fiC PQ ϕϕ

0.84º58.32cos = 0.9cos =fϕ 25.84º=⇒ fϕ

220 V 50 Hz

Problema Calcular: e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y

potencia perdida en la línea por efecto Joule.

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

El condensador que ha mejorado el factor de potencia no modifica la potencia activa consumida por las cargas, por tanto conocemos la potencia activa:

º84.2534.124A 34.1249.0220kW 7.24 −∠=⇒=⇒⋅⋅== IIIP W13.154634.1241.0 22 =⋅=⋅= IRPcalor

Problema Calcular: f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de

condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2

Grúa 10kW

Hormigonera 5CV

Grupo soldadura 5kW

220 V 50 Hz

antes: 22 mm 25.44

A/mm 3A 76.132A 76.132 ==⇒= sIT

ahora: 22 mm 45.41

A/mm 3A 34.124A 34.124 ==⇒= sIT

Apéndice

Repaso de números complejos

Bibliografía

1. F. Aznar, A. Espín y F. Gil. “Electrotecnia básica para ingenieros”. 2ª Ed. Universidad de Granada, 2012.

2. J. Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos eléctricos”. 4ª Ed. McGraw-Hill, 2005. 3. A. Pastor Gutiérrez, J. Ortega Jiménez, V. M. Parra Prieto y A. Pérez Coyto.

“Circuitos Eléctricos” Vol. I. Editorial de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, 2005.

4. J. Fraile Mora. “Problemas de circuitos eléctricos”. Pearson, 2013. 5. M. R. Spiegel, L. Abellanas. “Fórmulas y tablas de matemática aplicada”. McGraw-

Hill, 1997.

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