modelos de valoración de opciones parte 1 prof. dr. prosper lamothe fernández jorge otero...
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Modelos de Valoración de OpcionesModelos de Valoración de Opciones
Parte 1 Parte 1
Prof. Dr. Prosper Lamothe FernándezProf. Dr. Prosper Lamothe Fernández
Jorge Otero RodríguezJorge Otero Rodríguez
Modelos de Valoración de Opciones 2
ContenidosContenidos
Introducción
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Límites de Límites de valoraciónvaloración
Black Black ScholesScholes
OpcionesOpciones realesreales
Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés
Árboles Árboles binomialesbinomiales
Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas
Notas Notas finalesfinales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 3
Opciones: definición y tipologíaOpciones: definición y tipología
Una opción de compra o call (venta o put) es un contrato que otorga a su titular el
derecho a comprar (vender) un activo subyacente a un precio determinado (conocido
como precio de ejercicio o strike), en una fecha futura establecida, a cambio del pago de
una prima
Respecto al activo subyacente, la opción puede ser
Financiera: sí el activo subyacente es un activo financiero, como una acción.
Real: sí el activo subyacente es un activo real, como un proceso productivo
Respecto a la fecha de ejercicio, la opción puede ser
Europea: la opción únicamente puede ejercitarse en la fecha de vencimiento
Americana: la opción puede ser ejercitada en cualquier momento desde su emisión
hasta su fecha de vencimiento
Bermuda: la opción puede ser ejercitada en varias fechas establecidas desde su
emisión hasta su fecha de vencimiento. Es una opción híbrida entre el tipo
americano y europeo
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 4
Prima de una opción financieraPrima de una opción financiera
Las opciones son un activo/pasivo contingente, dado que su valor depende del valor
del activo subyacente que es función de ciertas contingencias
Valor de una opción (P) = Valor intrínseco (VI) + Valor temporal o extrínseco (VE)
Valor intrínseco (VI): valor que tendría la opción sí se ejerce inmediatamente. Así es
el máximo entre cero y el valor de la opción en caso de ser ejercitada.
Opción de compra: Máximo (Precio activo subyacente – Precio ejercicio ; 0)
Opción de venta: Máximo (Precio ejercicio - Precio activo subyacente ; 0)
Valor extrínseco (VE): valoración que hace el mercado de las probabilidades de
beneficios con la opción sí el movimiento del precio del activo subyacente es
favorable. Componente probabilístico.
Valor intrínseco y contingencias
Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente > 0 In the money VE decreciente
Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente = 0 At the money VE es máximo
Flujo de caja sí se ejerce inmediatamente < 0 Out of the money P = VE
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 5
Prima opción = Valor intrínseco + Valor temporalPrima opción = Valor intrínseco + Valor temporalCall Europea sin reparto de dividendosCall Europea sin reparto de dividendos
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
13.6414.1914.7315.2815.8316.3716.9217.47
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
6.53 7.63 8.72 9.81 10.91 12.00 13.09 14.19 15.28 16.37 17.47
St
Va
lor
op
ció
n -
Lím
ite
Valor opción Valor intrínseco Valor temporal
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
6.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47
St
Va
lor
op
ció
n -
Lím
ite
Valor intrínseco Valor temporal
Modelos de Valoración de Opciones 6
¿Cómo se efectúa el pricing de una opción?¿Cómo se efectúa el pricing de una opción?Los métodos de valoración de opciones expresan cuantitativamente el valor del contrato
de opción a través de tres etapas
Definir el contrato, es decir, formalizar matemáticamente los pagos asociados a
cada estado de la naturaleza
Por ejemplo, en el caso de una opción de compra, el valor intrínseco es función del precio del
activo subyacente, siendo el pago asociado a cada estado de la naturaleza:
Máximo (Precio activo subyacente – Precio ejercicio ; 0)
Conocer la dinámica generatriz del precio del activo subyacente, esto es, cómo
evoluciona, qué ley determinística o probabilística sigue, cuál es su dinámica
estocástica. En el caso de las acciones negociadas en mercados financieramente
eficientes
Establecer un método analítico o numérico que proporcione el valor esperado
monetario actualizado del contrato
TσT;2
σμN
S
SLn
2t Ten generada continua compuesta adRentabilid
S
SLn t
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 7
Métodos de valoración de opciones financierasMétodos de valoración de opciones financieras
Método de Black-Scholes (Fisher Black y Myron Scholes,1973)
Método analítico exacto en tiempo continuo
Método Binomial (Cox, Ross y Rubinstein, 1976)
Método numérico en tiempo discreto mediante simulación organizada a través de
árboles binomiales.
Método de Monte Carlo
Método numérico en tiempo discreto mediante simulación aleatoria.
Los modelos asumen que el precio de las acciones sigue un paseo aleatorio los
cambios proporcionales en el precio de las acciones en un período corto de tiempo se
distribuyen normalmente, lo que implica que, el precio de las acciones en cualquier
momento del futuro sigue una distribución lognormal (Ln (St / St-1) sigue una distribución
normal).
Rentabilidad esperada : rentabilidad media anual obtenida a corto plazo
Volatilidad del precio de las acciones : medida de la incertidumbre sobre los
movimientos futuros del precio de las acciones
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 8
Genealogía de Opciones (I)Genealogía de Opciones (I)
Productos de primera generación: Opciones plain vanilla
Las posiciones básicas que se pueden tomar con una opción con sus
correspondientes perfiles de riesgo son:
Compra de una call Compra de una put
Riesgo: limitado al pago de la prima limitado al pago de la prima
Beneficio: potencial ilimitado precio de ejercicio
Expectativas: alcistas bajistas
Venta de una call Venta de una put
Riesgo: ilimitado precio de ejercicio
Beneficio: limitado a la prima limitado a la prima
Expectativas: moderadamente bajistas moderadamente alcistas
Productos de segunda generación: Opciones sintéticas
Su estructura esta formada por dos o más contratos “tradicionales” (futuros/forward,
opciones y swaps), con el objetivo de reducir el precio o prima del instrumento
resultante a cambio de disminuir su potencial de beneficios.
Combinaciones forward / opciones: range forwards, break forwards, forward parciales.
Combinaciones de opciones: collars, cilindros, ratio spreads.
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 9
Productos de tercera generación: Opciones exóticas
Son propiamente las opciones exóticas y suponen una modificación de alguna o varias
de las características de las opciones estándar.
Existe una gran variedad de opciones exóticas, que se incrementa cada día debido al
rápido proceso de la innovación financiera que se está dando en los mercados
financieros.
Se podrían clasificar según las siguientes categorías:
Opciones compuestas
Opciones path-dependent o con memoria
Opciones con pay-off modificado
Opciones time-dependent
Opciones multivariantes
Genealogía de Opciones (II)Genealogía de Opciones (II)
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 10
Opciones compuestasOpciones compuestas
Call sobre una call: su comprador adquiere el derecho a comprar una opción call sobre un activo
subyacente.
Ccall = Max call (S, E1, , r, q, T2) – E2; 0
Call sobre una put: el comprador adquiere el derecho a comprar una opción put sobre un activo
subyacente.
Cput = Max put (S, E1, , r, q, T2) – E2; 0
Put sobre una call: el comprador adquiere el derecho a vender una opción call sobre un activo
subyacente.
Pcall = Max E2 – call (S, E1, , r, q, T2); 0
Put sobre una put: el comprador adquiere el derecho a vender una opción put sobre un activo
subyacente
Pput = Max E2 – put (S, E1, , r, q, T2); 0
Opciones compuestas: Son aquellas opciones cuyo subyacente es otro contrato Opciones compuestas: Son aquellas opciones cuyo subyacente es otro contrato
de opción. Se pueden clasificar en:de opción. Se pueden clasificar en:
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 11
Opciones exóticas: opciones path dependent (I)Opciones exóticas: opciones path dependent (I)
Dependientes de limite / extremo: tienen una dependencia especifica del valor máximo o mínimo
alcanzado por el activo subyacente durante la vida de la opción ya sea a efectos del calculo de su
pay-off, de la determinación del precio de ejercicio o, por ejemplo, por la existencia de mecanismos
de activación o desactivación de la opción.
Opciones barrera: estándar, con barrera parcial, con barrera múltiple, con barrera exógena, ...
Opciones lookback: con precio de ejercicio fijo o flotante
Opciones ladder:
CT= Max. (ST-E), Max. (LA-E), 0
PT= Max (E-ST), Max (E-LA), 0
Opciones Cliquet
Son aquellas opciones cuyo valor intrínseco al vencimiento no solo depende del Son aquellas opciones cuyo valor intrínseco al vencimiento no solo depende del valor del activo subyacente al vencimiento, sino también de la evolución valor del activo subyacente al vencimiento, sino también de la evolución
particular que haya seguido el precio del activo a lo largo de la vida de la opción. particular que haya seguido el precio del activo a lo largo de la vida de la opción. Se pueden clasificar en:Se pueden clasificar en:
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 12
Opciones exóticas: opciones path dependent (II)Opciones exóticas: opciones path dependent (II)
Asiáticas: dependen directamente de la evolución del activo subyacente durante la vida de la opción,
ya que el precio utilizado para su liquidación o el propio precio de ejercicio se obtienen como una
media (aritmética, geométrica) del precio del subyacente que se calcula en base a una frecuencia
predeterminada (diaria, semanal, mensual, etc.)
De tipo de cambio medio o con strike fijo (asiáticas)
CT= Max 0, S – E / PT= Max 0, E – S
De media ponderada
Con precio de ejercicio medio
De media aritmética
De media geométrica
Opciones apalancadas o Leveraged: su valor intrínseco a vencimiento viene dado por una función
polinomial o potencial, de forma que ofrecen un mayor nivel de apalancamiento.
Opciones polinomiales
Opciones potenciales
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 13
Opciones condicionales o con pay-off modificadoOpciones condicionales o con pay-off modificado
Son opciones cuyo pay-off final, a diferencia del perfil continuo del pay-off de una opción estándar
(cero o la diferencia respecto al strike), es de naturaleza discontinua, es decir, pagan cero o una
cantidad prefijada (que puede ser variable) si expiran in-the-money.
Digitales o binarias: proporcionan al inversor un pay-off predeterminado solo si al vencimiento la
opción expira in-the-money.
Cash-or-nothing
CT: 0 si S E y K si S > E
PT: 0 si S E y K si E > S
Asset-or-nothing
CT: 0 si S E y S si S > E
PT: 0 si S E y S si E > S
Binary gap
Cash or nothing call (put) sobre dos activos
Cash or nothing up-down (down-up) sobre dos activos
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 14
Opciones exóticas: Opciones time-dependent Opciones exóticas: Opciones time-dependent
Opciones Bermuda: son un híbrido entre opciones europeas y americanas en las que el
ejercicio anticipado es posible pero solo en una serie predeterminada de fechas.
Opciones Chooser: opciones as-you-like-it, permiten al comprador decidir en una fecha futura si
quiere que su opción sea una CALL o una PUT estándar:
Opciones Chooser simples
Opciones Chooser complejas
Forward start options: opciones de tipo europeo por las que se paga la prima en el momento de
su contratación pero que solo comienzan a estar vigentes a partir de una fecha futura.
Opciones con vencimiento extensible
Todas las opciones dependen directamente del factor tiempo. Por este tipo de opciones se Todas las opciones dependen directamente del factor tiempo. Por este tipo de opciones se
designan aquellas que poseen una estructura “especial” de fechas de ejercicio o aquellas en designan aquellas que poseen una estructura “especial” de fechas de ejercicio o aquellas en
las que el tenedor tiene el derecho de, con el transcurso del tiempo, fijar alguna característica las que el tenedor tiene el derecho de, con el transcurso del tiempo, fijar alguna característica
de la opción o el valor intrínseco acumulado hasta entonces. Se pueden clasificar en:de la opción o el valor intrínseco acumulado hasta entonces. Se pueden clasificar en:
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 15
Opciones exóticas: opciones sobre varios subyacentesOpciones exóticas: opciones sobre varios subyacentes
Opciones basket o cesta: el pay-off de la opción es función del comportamiento agregado de una serie de
activos que conforman, con unos pesos determinados, una cesta. Efecto diversificación:
CT = Max 0, i ( w i x Sni ) - E
PT = Max 0, E – i ( w i x Sni )
Opciones Rainbow (n colores): el pay-off de la opción se determina a partir de la relación al vencimiento
de múltiples (n) activos.
Opciones sobre dos activos intercambiables, u opciones “exchange
Opciones que entregan el mejor de dos activos
Opciones que entregan el peor de dos activos
Opciones que entregan el mejor de dos activos o dinero
Opciones sobre el mejor de dos activos: valor a vencimiento
Opciones sobre el peor de dos activos
Opciones best/worst performer (de n activos): estas opciones pagan el máximo o el mínimo de varios
activos.
Opciones ligadas al tipo de cambio: dependen explícitamente de un solo activo, pero en las que interviene
el tipo de cambio, por lo que su valoración se ve afectada por movimientos tanto del activo subyacente como
del tipo de cambio. Son conocidas como “quantos” (quantiy-adjusted options)
Límites de valoración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
IntroducciónIntroducción
Modelos de Valoración de Opciones 16
IntroducciónIntroducción
A través del arbitraje se pueden obtener unos límites mínimos, que aún no siendo en sí
mismos la prima de la opción, son una referencia de valoración.
Los límites se pueden obtener para:
Tipo de opción: Call - Put.
Tipo de opción (ejercicio): europea - americana.
Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos -
divisas.
Programa: Opciones_limites.xls.
Ubicación:
Hoja Call Eur sin Dividendos: límite inferior para una Call Europea sobre un activo
subyacente que no distribuye dividendos
Hoja Put Eur sin Dividendos: límite inferior para una Put Europea sobre un activo
subyacente que no distribuye dividendos
Hoja Call Eur Dividendos: límite inferior para una Call Europea sobre un activo
subyacente que distribuye dividendos en tasa continua
Hoja Put Eur Dividendos: límite inferior para una Put Europea sobre un activo
subyacente que distribuye dividendos en tasa continua
Límites de Límites de valoraciónvaloración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 17
AplicaciónAplicación
Objetivo: aplicación de límites de
valoración, valor temporal e
intrínseco.
Programa:
Opciones_limites.xls.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad subyacente.
Tasa de descuento
(rentabilidad de deuda tesoro).
Tasa de dividendos.
Límites de Límites de valoraciónvaloración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Opciones FinancierasValor intrínseco y temporal - Límites de valoración
Precio acción 12.00 1200 Call PutPrecio de ejercicio 11.85 1185 Black Scholes 1.39 0.83Tipo de interés anual 3.500% 3500 Black Scholes dividendos 1.31 0.87Volatilidad 23.25% 2325 Binomial - Americanas 1.39 0.87Tasa de dividendos 1.000% 1000Nº iteraciones (binomial) 31 31 S+P VA(X)+CTiempo al vto. (años) 1 1000 Black Scholes 12.83 12.83 (días) 365 Black Scholes dividendos 12.75 12.75Tipo de interés continuo 3.440%
Put Europea sin dividendos
13.6414.1914.7315.2815.8316.3716.9217.47
Paridad Put Call
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
6.53 7.63 8.72 9.81 10.91 12.00 13.09 14.19 15.28 16.37 17.47
St
Va
lor
op
ció
n -
Lím
ite
Limite inferior Valor opción Valor intrínseco Valor temporal
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
6.53 7.08 7.63 8.17 8.72 9.27 9.81 10.36 10.91 11.45 12.00 12.55 13.09 13.64 14.19 14.73 15.28 15.83 16.37 16.92 17.47
St
Va
lor
op
ció
n -
Lím
ite
Valor intrínseco Valor temporal
Modelos de Valoración de Opciones 18
ArbitrajeArbitraje
Objetivo: existen cuatro módulos de arbitraje que determinan la estrategia a adoptar en caso de que la prima de la opción no respete el límite de valoración.
Programa:
Opciones_limites.xls.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad subyacente.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro).
Tasa de dividendos continua.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).
Límites de Límites de valoraciónvaloración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Opciones FinancierasLímites de valoración
Precio acción 20.00 2000Precio de ejercicio 18.00 1800Tipo de interés anual 10.000% 10000Volatilidad 30.15% 3015Tiempo al vto. (años) 1 1000 (días) 365Tipo de interés continuo 9.531%
Mínimo teórico Call Europea sin dividendos
Mínimo teórico Call Europea 3.7129Precio observado de la call 2.0000
Se puede arbitrarEstrategia
Cash Flow Al final del período
Sí St es mayor que 18 p.ej 22,5
Sí St es menor que 18 p.ej 13,5
Comprar la opción Call -2 St 22.50 13.50Vender la acción 20 Resultado Call 4.50 0.00Cash Flow neto 18 Resultado en subyacente +/- prima -2.61 6.50Inversión del CF 19.89307653 Resultado total 1.89 6.50
Modelos de Valoración de Opciones 19
Alternativamente al análisis desarrollado, se pueden utilizar las siguientes funciones:
Funciones VBAFunciones VBA
DescripciónPropiedades_Opciones
Función
LimiteInferior_Call_futuros(F , K , t , r )LimiteInferior_Put_futuros(F , K , t , r )LimiteInferior_Call_Eur(S , K , t , r )LimiteInferior_Put_Eur(S , K , t , r )LimiteInferior_Call_Ame(S , K )LimiteInferior_Put_Ame(S , K )PPC_valor_put(S , K , t , r , Prima_Call ) PPC_valor_call(S , K , t , r , Prima_Put ) PPC_DividendosTasa_valor_put(S , K , t , r , q , Prima_Call ) PPC_DividendosTasa_valor_call(S , K , t , r , q , Prima_Put ) PPC_Divisas_valor_put(S , K , t , r_local , r_extranjera , Prima_Call ) PPC_Divisas_valor_call(S , K , t , r_local , r_extranjera , Prima_Put )
PPC_DividendosCP_valor_put(S , K , t , r , VA_Div , Prima_Call )
PPC_DividendosCP_valor_call(S , K , t , r , VA_Div , Prima_Put )
Dist_Lognormal_LnSt_media(S , t , v , rent_esperada )Dist_Lognormal_St_esperanza(S , t , rent_esperada )
Varianza del Precio - Distribución LognormalDesviación Típica del Ln(Precio) - Distribución LognormalIntervalo de confianza. Límite inferior para en Ln(St) - Media del Ln(Precio) - Distribución LognormalIntervalo de confianza. Límite superior para en Ln(St) - Distribución Lognormal
Dist_Lognormal_St_varianza(S , t , v , rent_esperada )Dist_Lognormal_LnSt_desvstand(v , t )
Dist_Lognormal_LnSt_LimInfer(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )
Dist_Lognormal_LnSt_LimSuper(S , t , v , rent_esperada , Niv_Confianza )
Valor mínimo para la prima de un Call en FuturosValor mínimo para la prima de un Put en FuturosValor mínimo para la prima de un Call EuropeaValor mínimo para la prima de un Put EuropeaValor mínimo para la prima de un Call AmericanaValor mínimo para la prima de un Put AmericanaPrima de un Put de un activo subyacente que no reparte dividendos Prima de un Call de un activo subyacente que no reparte Prima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos en Prima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos Prima de un Put de una divisa obtenida por la paridad put-callPrima de un Call de una divisa obtenida por la paridad put-callPrima de un Put de un activo subyacente que reparte dividendos modelo CP obtenida por la paridad put-callPrima de un Call de un activo subyacente que reparte dividendos modelo CP obtenida por la paridad put-callMedia del Ln(Precio) - Distribución LognormalEsperanza del Precio - Distribución Lognormal
Límites de Límites de valoraciónvaloración
Black Scholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 20
IntroducciónIntroducción
En 1973 Fisher Black y Myron Scholes contribuyeron de manera decisiva al desarrollo de
la economía financiera al establecer las bases de la valoración de opciones financieras
europeas.
Dada su importancia, se ha utilizado extensivamente sus resultados en diversas áreas, a
saber:
Cálculo de sensibilidades o griegas.
Estrategias con opciones: perfil de beneficios y sensibilidades.
Opciones reales.
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 21
Determinación de la prima de opciones CALL y PUTDeterminación de la prima de opciones CALL y PUT
)N(deX)N(dSCall 2Tr
1
Tσ
T2σrXSlnd
2
1
TσdTσ
T2σrXSlnd 1
2
2
N(0,1)dProbdN 11 N(0,1)dProbdN 22
N(0,1)d-Probd-N 11 N(0,1)d-Probd-N 22
)dN(S)dN(eXPut 12Tr
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 22
GriegasGriegas
Los programas desarrollados son tres, a saber:
Black_Scholes_griegas.xls – análisis de sensibilidad para opciones europeas sin reparto de
dividendos.
Black_Scholes_griegas_dividendos.xls – análisis de sensibilidad para opciones europeas que
distribuyen dividendos.
Black_Scholes_griegas_divisas.xls – análisis de sensibilidad para divisas.
Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a:
Tipo de opción: Call - Put.
Tipo de opción (ejercicio): europea.
Tipo de activo subyacente: sin reparto de dividendos - con reparto de dividendos - divisas.
Las hojas de cálculo permiten:
Obtenerse un completo análisis gráfico en dos y tres dimensiones con tablas de sensibilidad
para los siguientes parámetros:
Prima de un Call, prima de un Put, delta Call, delta Put, gamma, Put,Rho Call, Rho Put, theta Call, theta Put,vega.
Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor
de la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de
iteraciones.
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 23
Cálculo de Cálculo de griegasgriegas (I) (I) N(d1)/d1
N(d2)/d2
c Call Delta
p Put Delta
2
)(d 21
eΠ2
11d1)N(d
2
Tσd
2
2
21
eΠ2
1d
)N(d
0N(d1)S
CallΔ Delta Call
0N(d1)1S
PutΔ DeltaPut
•Sensibilidad de la prima a las Sensibilidad de la prima a las
variaciones del precio del variaciones del precio del
subyacente.subyacente.•Probabilidad de que la opción Probabilidad de que la opción
sea ejercida.sea ejercida.
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 24
Cálculo de Cálculo de griegasgriegas (II) (II) Gamma
Vega
Call Rho
Put Rho
0d
)N(d
TσS
1S
PutS
Call γGamma
1
12
2
2
2
0d
)N(dTS
σPut
σCall
Vega1
1
•Sensibilidad de la Delta a los Sensibilidad de la Delta a los cambios del precio del cambios del precio del subyacente (delta de la delta).subyacente (delta de la delta).•Indica la velocidad de los Indica la velocidad de los ajustes para posiciones de la ajustes para posiciones de la delta neutral.delta neutral.
•Sensibilidad de la opción a las Sensibilidad de la opción a las variaciones de la volatilidad variaciones de la volatilidad implícita negociada en el implícita negociada en el mercado.mercado.•Su signo es positivo para las Su signo es positivo para las compras de opciones y compras de opciones y negativo para las ventas de negativo para las ventas de opciones.opciones.
0e)N(dTKr
Callρ Rho Call Tr
2
0e)N(d1TKr
Putρ RhoPut Tr
2
•Sensibilidad de la opción a las Sensibilidad de la opción a las variaciones en el tipo de variaciones en el tipo de interésinterés
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 25
Cálculo de Cálculo de griegasgriegas (III) (III) Call Theta
Put Theta
Call Theta diaria
Put Theta diaria
0)N(deKRd
)N(d
T2
σST
CallCallTheta 2
Tr
1
1
0)N(d1eKRd
)N(d
T2
σST
PutThetaPut 2
Tr
1
1
•Sensibilidad de la Sensibilidad de la
prima de la opción al prima de la opción al
paso del tiempo.paso del tiempo.
•En general tiene valor En general tiene valor
positivo, i.e, a mayor positivo, i.e, a mayor
plazo mayor prima.plazo mayor prima.365díasT
CallDiaria Theta Call
365díasT
PutDiaria ThetaPut
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 26
MODELO DE BLACK SCHOLESAnálisis de sensibilidad del parámetro Rho Call - POSICIÓN LARGA
Tipo de cambio spot 25.75 2575 Call Put Cálculos intermediosTipo de cambio strike 26.50 2650 Prima 2.80585 3.221 d1 0.094Tipo de interés anual local 3.250% 3250 Griegas d2 -0.204Volatilidad 29.75% 2975 Delta 0.527 -0.453 N(d1) 0.537Rentabilidad moneda extranjera 2.01% 201 Gamma 0.051 0.051 N(d2) 0.419Tiempo al vto. (años) 1 1000 Theta -1.568 -1.242 N(-d1) 0.463 (días) 365 Theta diaria -0.004 -0.003 N(-d2) 0.581Tipo de interés continuo 3.198% Vega 0.100 0.100S*exp(-r_ext*t)+P 28.4584 Rho 0.108 -0.149VA(X)+C 28.458441 0
Se utilizará para graficar las griegas. Es independiente de graficar la prima de la opción (lista desplegable)
Parámetro Rho Call: sensibilidad al tipo de cambio
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 5 10 15 21 26 31 36 41
Tipo de cambio spot
CALL PUT
GriegasGriegas
Activo sin dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Activo con dividendos.
Activo subyacente So.
Precio de ejercicio.
Tipo de interés.
Tiempo al vencimiento.
Volatilidad anualizada.
Tasa de dividendos.
Divisas.
Tipo de cambio spot.
Tipo de cambio strike.
Tipo de interés anual local.
Volatilidad.
Rentabilidad moneda extranjera.
Tiempo al vencimiento. (años).
Variables a suministrarVariables a suministrar
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 27
Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas.xls, se pueden
utilizar las siguientes funciones:
Griegas – Activos que no distribuyen dividendosGriegas – Activos que no distribuyen dividendos
Descripción
vol_implic_BS_put(S , K , t , r , PutBS ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
ThetaDiaria_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)vol_implic_BS_call(S , K , t , r , CallBS ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Call
Rho_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interésThetaDiaria_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
Vega_BS(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés
Theta_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)Theta_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
Delta_BS_Put(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente
dNd2_dd2(S , K , t , r , v )Derivada parcial de la función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2 respecto al parámetro d2
Delta_BS_Call(S , K , t , r , v ) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
BS_Put(S , K , t , r , v ) Prima de un Put por Black-Scholes
dNd1_dd1(S , K , t , r , v )Derivada parcial de la función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1 respecto al parámetro d1
Nd_2(S , K , t , r , v ) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2BS_Call(S , K , t , r , v ) Prima de un Call por Black-Scholes
FunciónBlack_Scholes - Activo subyacente que no distribuye dividendosd_1(S , K , t , r , v ) Parámetro d1d_2(S , K , t , r , v ) Parámetro d2Nd_1(S , K , t , r , v ) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 28
Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_dividendos.xls, se
pueden utilizar las siguientes funciones:
Griegas - Activos que distribuyen dividendos (tasa continua)Griegas - Activos que distribuyen dividendos (tasa continua)
Descripción
Parámetro d1Parámetro d2
d1_dividendos(S , K , t , r , v , q)d2_dividendos(S , K , t , r , v , q)
FunciónBlack_Scholes_Dividendos - Activo subyacente que distribuye dividendos en tasa continua
Nd1_dividendos(S , K , t , r , v , q) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1Nd2_dividendos(S , K , t , r , v , q) Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Prima de un Put por Black-ScholesDelta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Delta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)Gamma_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacenteVega_BS_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacenteRho_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interésRho_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interésTheta_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)Theta_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)ThetaDiaria_BS_Call_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)ThetaDiaria_BS_Put_dividendos(S, K, t, r, v, q) Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)vol_implic_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 29
Alternativamente al análisis desarrollado en Black_Scholes_Griegas_divisas.xls, se
pueden utilizar las siguientes funciones:
Garman KohlhagenGarman Kohlhagen - Griegas - Griegas
DescripciónFunción
d1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera) Parámetro d1d2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera) Parámetro d2
Nd1_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1
Nd2_divisas(S , K , t , r_local , v , r_extranjera)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2
BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera) Prima de un Put por Black-Scholes
Delta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Delta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Gamma_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente
Vega_BS_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacente
Rho_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés
Rho_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interés
Theta_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
Theta_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
ThetaDiaria_BS_Call_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
ThetaDiaria_BS_Put_divisas(S, K, t, r_local, v, r_extranjera)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
vol_implic_BS_call_divisas(S , K , t , r_local , CallBS , r_extranjera ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_divisas(S , K , t , r_local , PutBS , r_extranjera ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
Black_Scholes_Divisas
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 30
Análisis de estrategiasAnálisis de estrategiasObjetivo: analizar el perfil de resultados y
sensibilidades de la conjunción de
diversos activos (opciones y acciones)
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls
Ubicación:
Hoja Analisis de posiciones
Variables a suministrar
Precio acción subyacente
Precio de ejercicio
Vencimiento (días)
Volatilidad
Tipo de descuento
Tipo de activo (opción u acción)
Número de títulos
Análisis:
Perfil de resultados
Sensibilidades de los activos ante
variaciones del activo subyacente
(griegas)
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESAnálisis de estrategiasBlack_Scholes_Opciones_reales
Precio accion subyacente 30.50 3050Precio de ejercicio 30.00 3000 Diaria Semanal Hasta vto.Vto (días) 90 90 0.46 1.00 4.33Volatilidad 23.75% 2375Tipo de descuento 3.490% 3490Vto (años) 0.25
Número de títulos
Tipo(S/C/P)
Precio Ejercicio
Precio teórico Precio efectivoVolatilidad implícita
300 S 30.00 9,150.00 9,150.00 N/A
-150 C 30 -273.95 -273.95 23.75%
-200 P 30 -213.89 -213.89 23.75%Total 8,662.16 8,662.16
Número de títulos
Tipo(S/C/P)
Delta Gamma Vega Theta (diaria) Rho
300.00 S 300.00 0.00 0.00 0.00 0.00(150.00) C (91.01) (16.04) (8.73) 1.39 6.16(200.00) P 78.65 (21.39) (11.64) 1.29 (6.44)
287.64 (37.43) (20) 3 (0)
95%Número de
títulosTipo
(S/C/P)VaR diario Var semanal
300.00 S 225.17 495.69(150.00) C (68.31) (150.38)(200.00) P 59.03 129.95
Bº/Pª = Valor de la posición -VF(Coste de la posicion) Confianza 95.00%1.959962787
St 1.00 16.00 31.00 46.00 61.00 76.00 90.00 Rango27.00 -112.10 -119.42 -141.26 -171.39 -204.72 -239.16 -271.52 -1.9627.35 -42.13 -52.75 -82.15 -118.65 -156.99 -195.47 -230.94 -1.7627.70 27.83 11.42 -27.13 -70.38 -113.77 -156.18 -194.64 -1.5728.05 97.80 71.82 22.89 -27.21 -75.47 -121.60 -162.86 -1.3728.40 167.77 126.92 67.01 10.33 -42.46 -91.98 -135.76 -1.1828.75 237.72 175.01 104.40 41.75 -15.03 -67.51 -113.49 -0.9829.10 307.39 214.44 134.37 66.71 6.60 -48.33 -96.12 -0.7829.45 373.70 243.79 156.41 84.95 22.32 -34.49 -83.69 -0.5929.80 423.08 262.09 170.23 96.37 32.09 -26.00 -76.18 -0.3930.15 434.32 268.94 175.79 101.00 35.96 -22.78 -73.51 -0.2030.50 406.04 264.58 173.26 98.99 34.07 -24.72 -75.58 0.0030.85 358.54 249.80 163.05 90.62 26.64 -31.64 -82.22 0.2031.20 306.59 225.83 145.72 76.25 13.93 -43.31 -93.25 0.3931.55 254.14 194.15 121.96 56.33 -3.72 -59.48 -108.45 0.5931.90 201.66 156.31 92.54 31.36 -25.96 -79.86 -127.58 0.7832.25 149.19 113.76 58.26 1.85 -52.38 -104.14 -150.38 0.9832.60 96.71 67.79 19.89 -31.65 -82.60 -132.00 -176.58 1.1832.95 44.24 19.42 -21.83 -68.63 -116.21 -163.13 -205.91 1.3733.30 -8.24 -30.55 -66.24 -108.58 -152.83 -197.20 -238.11 1.5733.65 -60.71 -81.55 -112.77 -151.04 -192.07 -233.90 -272.91 1.7634.00 -113.19 -133.19 -160.94 -195.60 -233.58 -272.94 -310.05 1.96
Interés -0.84 -13.44 -26.03 -38.63 -51.22 -63.82 -75.58
Resultados (Bº/Pª) vs días al vto.
0
475.27
Griegas
VaR (nivel de confianza)
(216.08) (477.29)215.89
Var semanalVaR diario
Desv. Estand. Precio acción
Modelos de Valoración de Opciones 31
Valoración - Activo sin dividendosValoración - Activo sin dividendos
Objetivo: valoración de opciones europeas sobre acciones que no distribuyen dividendos
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls
Ubicación:
Hoja BS convencional
Variables a suministrar
Precio del activo subyacente
Precio de ejercicio
Fecha de valoración
Fecha de vencimiento
Volatilidad subyacente
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro)
Análisis:
Perfil de resultados
Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta)
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESActivo sin dividendos
Precio del activo subyacente en t=o (S) 8.25Precio de ejercicio (K) 8.00Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 24/11/2004Volatilidad subyacente 22%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.250%Tiempo al vto. (años) 0.493Factor de descuento 0.984Días al vto. 180Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.20%
Prima del Call (Black-Scholes) 0.7142Prima del Put (Black-Scholes) 0.3371
Cálculosln(S/K) 0.0308(r + v^2/2) T 0.0280 v T (.5) 0.1567d1 = ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) / v t (.5) 0.3753d2 = d1 - v t (.5) 0.2186N(d1) 0.6463
N(d2) 0.5865
N(-d1) 0.3537
N(-d2) 0.4135KB(0,T) VA(K) 7.8729Se -qT N(d1) 5.3319KB(0,T) N(d2) 4.6177Prima del Call (Black-Scholes) 0.7142S N(-d1) 2.9181KB(0,T) N(-d2) 3.2552Prima del Put (Black-Scholes) 0.3371
Prima del Call - Valor intrínseco
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
5.72 6.22 6.73 7.24 7.74 8.25 8.76 9.26 9.77 10.28 10.78
St
Prim
a
Valor Intrínseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
5.72 6.22 6.73 7.24 7.74 8.25 8.76 9.26 9.77 10.28 10.78
St
Del
ta (
N(d
1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 32
Valoración - Activo con un calendario de dividendos concreto a corto plazoValoración - Activo con un calendario de dividendos concreto a corto plazo
Objetivo: valoración de opciones europeas sobre acciones con un calendario de reparto de dividendos a corto plazo.
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja BS dividendos CP.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad subyacente.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro).
Dividendos: importe y fechas de percepción.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESActivo con dividendos - Fechas concretas - Modelo C/P
Precio del activo subyacente en t=o (S) 9.15Precio de ejercicio (K) 8.50Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 28/05/2005Volatilidad subyacente 32%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.000%
Fecha de percepción Importe
Dividendo nº 1 27/06/2004 0.25Dividendo nº 2 11/08/2004 0.25Dividendo nº 3 10/09/2004 0.50Dividendo nº 4 25/10/2004 0.50VA dividendos 1.49Tiempo al vto. (años) 1.000Factor de descuento 0.970Días al vto. 365Tasa compuesta continua libre de riesgo 2.96%
Prima del Call (Black-Scholes) 0.7371Prima del Put (Black-Scholes) 1.3233
Cálculosln((S-VA(Dividendos))/K) -0.1037(r + v^2/2) T 0.0800v * T ^.5) 0.3175d1 = ( ln(S/K) +(r + v^2/2) t ) / v t (.5) -0.0748d2 = d1 - v t (.5) -0.3923N(d1) 0.4702
N(d2) 0.3474
N(-d1) 0.5298
N(-d2) 0.6526
KB(0,T) VA(K) 8.2488Se -qT N(d1) 3.6028
KB(0,T) N(d2) 2.8657Prima del Call (Black-Scholes) 0.7371(S-VA(Dividendos)) N(-d1) 4.0598KB(0,T) N(-d2) 5.3831Prima del Put (Black-Scholes) 1.3233
Prima - Valor intrínseco
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
2.89 3.85 4.80 5.76 6.71 7.66 8.62 9.57 10.52 11.48 12.43
St - VA(Dividendos)
Prim
a
Valor Intrínseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
2.89 3.85 4.80 5.76 6.71 7.66 8.62 9.57 10.52 11.48 12.43
St - VA(Dividendos)
Del
ta (
N(d
1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 33
A continuación se detallan las funciones que permiten obtener los parámetros de
sensibilidad y primas de estas opciones:
Griegas - Activos que distribuyen dividendos (modelo corto plazo)Griegas - Activos que distribuyen dividendos (modelo corto plazo)
DescripciónFunción
d1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos) Parámetro d1d2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos) Parámetro d2
Nd1_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1
Nd2_dividendosCP(S , K , t , r , v , VA_Dividendos)Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2
BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos) Prima de un Call por Black-ScholesBS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos) Prima de un Put por Black-Scholes
Delta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Delta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el precio del activo subyacente (Delta)
Gamma_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la Delta de la prima de una opción ante variaciones en el precio del activo subyacente
Vega_BS_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción ante variaciones en la volatilidad del activo subyacente
Rho_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tipo de interés
Rho_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tipo de interés
Theta_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
Theta_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en años)
ThetaDiaria_BS_Call_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Call ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
ThetaDiaria_BS_Put_dividendosCP(S, K, t, r, v, VA_Dividendos)Sensibilidad de la prima de una opción Put ante variaciones en el tiempo al vencimiento (en días)
vol_implic_BS_call_dividendosCP(S , K , t , r , CallBS , VA_Dividendos ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Callvol_implic_BS_put_dividendosCP(S , K , t , r , PutBS , VA_Dividendos ) Volatilidad implícita negociada en la prima de un Put
Black_Scholes_DividendosCP
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 34
Valoración - Activo con reparto de dividendos en tasa continuaValoración - Activo con reparto de dividendos en tasa continua
Objetivo: valoración de opciones europeas
sobre acciones con una tasa de reparto de
dividendos continua.
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja BS dividendos continuos.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad subyacente.
Tasa de descuento (rentabilidad de
deuda tesoro).
Tasa de dividendos continua.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante
variaciones del activo subyacente
(delta).
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESBlack-Scholes - Tasa de dividendos continua
Precio del activo subyacente en t=o (S) 25.00Precio de ejercicio (K) 24.50Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 12/07/2004Tasa de dividendos (continua) 5.000%Volatilidad subyacente 24%Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.500%Tiempo al vto. (años) 0.123Factor de descuento 0.996Días al vto. 45Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44%
Prima del Call (Black-Scholes) 1.0561Prima del Put (Black-Scholes) 0.6043
Cálculosln(S/K) 0.0202(r - q + s2/2) T 0.0015 s T (.5) 0.0825d1 = ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) / s t (.5)
0.2628
d2 = d1 - s t (.5)0.1803
N(d1) 0.6036
N(d2) 0.5715
N(-d1) 0.3964
N(-d2) 0.4285KB(0,T) VA(K) 24.3945Se -qT N(d1) 14.9984KB(0,T) N(d2) 13.9422Prima del Call (Black-Scholes) 1.0561Se -qT N(-d1) 9.8480KB(0,T) N(-d2) 10.4523Prima del Put (Black-Scholes) 0.6043
Prima del Call - Valor intrínseco
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
20.96 21.77 22.57 23.38 24.19 25.00 25.81 26.62 27.43 28.23 29.04
St
Prim
a
Valor Intrínseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
20.96 21.77 22.57 23.38 24.19 25.00 25.81 26.62 27.43 28.23 29.04
StD
elta
(N
(d1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 35
Valoración - Valoración - Garman Kohlhagen - DivisasGarman Kohlhagen - Divisas
Objetivo: valoración de opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua.
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja BS divisas - Garman Kohlhagen.
Variables a suministrar.
TC spot (cents./Unidad) (S).
Precio de ejercicio (K).
Fecha actual.
Fecha de vencimiento.
Volatilidad anualizada del TC.
Rentabilidad letra tesoro.
Rentabilidad título soberano extranjero.
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
MODELO DE BLACK SCHOLESGarman Kohlhagen - Divisas - Black-Scholes
TC Spot (cents./unidad) (S) 99.35Precio de ejercicio (K) 99.75Fecha actual 28/05/2004Fecha de vencimiento 26/08/2004Volatilidad anualizada del TC 35.75%Rentabilidad letra tesoro 3.50%Rentabilidad título soberano extranjero 3.35%
Días al vencimiento 90.000 Años al vto 0.247Factor de descuento (doméstico), B(0,T): 0.9914Tasa de dto continuo compuesta (doméstica) 0.01%Factor de descuento (extranjero), Bf(0,T): 0.9918Tasa de dto continuo compuesta (extranjera) 0.01%
Prima Call (cents.) 6.8032Prima Put (cents.) 7.1633
Paridad Put-Call
B(0,T) K + call: 105.696
Bf(0,T)S(0) + put = 105.696
Cálculos
ln ([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) -0.004
s2T/2 0.016
s T (.5) 0.178
d1=(ln([S(0)Bf (0,T)]/[KB(0,T)]) +s2T/2)/sT (.5)0.06821
d2 = d1 - s t (.5)-0.1093
N(d1) 0.5272
N(d2) 0.456
N(-d1) 0.473
N(-d2) 0.544
KB(0,T) 98.893Prima Call (cents.) 6.80317
Bf(0,T) S(0) N(d1) 51.946
B(0,T) K N(d2) 45.142Prima Put (cents.) 7.16330TC forward teórico, f (0,T): 99.3868 Call delta, Bf(0,T)N(d1): 0.5229
Put delta, -Bf(0,T)N(-d1): -0.4689
Prima del Call - Valor intrínseco
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
TC Spot
Prim
a (G
arm
an-K
ohlh
agen
ad
apta
ción
de
Bla
ck-S
chol
es)
Valor Intrínseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
TC SpotD
elta
(N
(d1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Modelos de Valoración de Opciones 36
MODELO DE BLACK SCHOLESValoración de Warrants - Tasa de dividendos continua
Precio del activo subyacente en t=o (S) 15.65Precio de ejercicio (K) 17.25Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento 24/11/2004Tasa de dividendos (continua) 5.000%Volatilidad subyacente 37.00%Nº acciones en circulación 750,000Nº warrants vivos 15,000Tasa de dto (rentabilidad de deuda tesoro) 3.500%Tiempo al vto. (años) 0.493Factor de descuento 0.983Días al vto. 180Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44%
Prima Warrant Call (Black-Scholes) 0.8478Precio ajustado de las acciones 15.3598Prima Warrant Put (Black-Scholes) 2.7934Precio ajustado de las acciones 15.3979
Cálculosln(S/K) -0.0973(r - q + s2/2) T 0.0261 s T (.5) 0.2598d1 = ( ln(S/K) +(r -q + s2/2) t ) / s t (.5)
-0.2743
d2 = d1 - s t (.5)-0.5342
N(d1) 0.3919
N(d2) 0.2966
N(-d1) 0.6081
N(-d2) 0.7034KB(0,T) VA(K) 16.9548Se -qT N(d1) 5.9841KB(0,T) N(d2) 5.0291Prima del Call (Black-Scholes) 0.9550Se -qT N(-d1) 9.2847KB(0,T) N(-d2) 11.9257Prima del Put (Black-Scholes) 2.6410
Prima del Call - Valor intrínseco
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
St
Prim
a de
l War
rant
Valor Intrínseco Call Valor Call Valor Put Valor Intrínseco Put
Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
64.78 71.70 78.61 85.52 92.44 99.35 106.26 113.18 120.09 127.00 133.92
StD
elta
(N
(d1)
Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)
Valoración - WarrantsValoración - WarrantsObjetivo: valoración de warrants sobre opciones europeas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua.
Programa:
Black_Scholes_y_derivaciones.xls.
Ubicación:
Hoja Warrants.
Variables a suministrar.
Precio del activo subyacente.
Precio de ejercicio.
Fecha de valoración.
Fecha de vencimiento.
Tasa de dividendos (continua).
Volatilidad subyacente.
Nº acciones en circulación.
Nº warrants vivos.
Tasa de descuento (rentabilidad de deuda tesoro).
Análisis:
Perfil de resultados.
Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
Modelos de Valoración de Opciones 37
Valoración Warrants - Funciones VBAValoración Warrants - Funciones VBA
Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes
funciones:
DescripciónWarrants
Warrant_Put_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )Warrant_Sajustado_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )
Función
vol_implic_Warrant_BS_put_dividendos(S , K , t , r , PutBS , q , N_Acc , N_Warr )vol_implic_Warrant_BS_call_dividendos(S , K , t , r , CallBS , q , N_Acc , N_Warr )
Warrant_BS_Call_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr ) Prima de un Call WarrantPrima de un Put WarrantPrecio ejustado del subyacente al vencimiento de los Call WarrantPrecio ejustado del subyacente al vencimiento de los Put WarrantVolatilidad implícita negociada en un Call WarrantVolatilidad implícita negociada en un Put Warrant
Warrant_Sajustado_BS_Put_Dividendos(S , K , t , r , v , q , N_Acc , N_Warr )
Límites de valoración
Black Black ScholesScholes
Opciones reales
Opciones sobre tipos de interés
Árboles binomiales
Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas
Notas finales
Introducción
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