modelo de clasificación análisis de la varianza ejemplo 1:modelo de clasificación unifactorial...

Modelo de Clasificación

Análisis de la Varianza

Ejemplo 1:Modelo de Clasificación unifactorial

Comparación del porcentaje de semillas germinadas en función del color de las semillasClaro Oscuro Rojizo

60 53 80

73 40 87

73 53 87

80 33 93

93 13 66

87 33 60

93 20 87

93 26 100

87 20 80

claro rojizo oscuro

Color

14

35

56

78

99

PG

Ejemplo 1: Continuación

Análisis de la varianza

Variable N R² R² Aj CV PG 27 0.79 0.77 19.60

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)

F.V. SC gl CM F valor p Modelo 14900.22 2 7450.11 45.12 <0.0001 Episperma 14900.22 2 7450.11 45.12 <0.0001 Error 3962.44 24 165.10 Total 18862.67 26

Ejemplo 2:Modelo de Clasificaciónbifactorial – sin interacciones

Hembras

Machos

Hembras

Machos

15 20 25 30

Temperatura

23

26

29

32

35

Lo

ng

itu

d d

e co

la

Efecto de la temperatura sobre la longitud de la cola en hembras y machos de un nemátodo del género Pratylenchus.

Ejemplo 2 (continuación)

Variable N R^2 R^2ajustLargoCola 160 0.51 0.49

Cuadro de Análisis de la Varianza F.V. SC gl CM F p

Modelo 866.49 7 123.78 23.06 <0.0001

Temperatura 195.67 3 65.22 12.15 <0.0001

Sexo 640.97 1 640.97 119.38 <0.0001

Tempe*Sexo 29.85 3 9.95 1.85 0.14

Error 816.09 152 5.37

Total 1682.58 159

Modelo de Clasificación Unifactorial

Consideremos un experimento unifactorial balanceado con 3 niveles y 2 repeticiones.

11

11

11

11

11

11

X=

6

8

6

5

2

3

y=

3

2

1

b=

;i 1,...,3; j 1,2ij i ijY y=Xb+

Existen dos criterios que conducen a las ecuaciones normales

a. La maximización de la función de verosimilitud suponiendo y~N(Xb,2I)

b. La minimización de la suma de cuadrados residual (método de mínimos cuadrados)

Ecuaciones Normales

Ecuaciones Normales

Maximización de la función de verosimilitud

Este principio requiere la especificación de las propiedades estadísticas del vector y. Bajo la teoría clásica y ~Nn(Xb, 2I)

/ 2/ 22 22

2 22

1( , ) 2 exp

2

1ln( ( , )) ln(2 ) ln( )

2 2 2

nnL b

n nL b

y Xb y Xb

y Xb y Xb

2 22

1ln( ( , )) ln(2 ) ln( )

2 2 2

n nL b

y Xb y Xb

derivando ln(L) con respecto a b y 2 e igualando a cero se tiene

2

2

2

ln( ( , )) 1

21

2 2 0 02

L b

b b

y Xb y Xb

X y X Xb X y X Xb

X Xb X y

2

2 2 4

4 22

ln( ( , )) 1 10

2 2

12

2

L b n

n

n

y Xb y Xb

y Xb y Xby Xb y Xb

Ecuaciones NormalesMinimización de la SC del error

Este principio no requiere supuestos distribucionales sobre los

errores, excepto que su esperanza sea cero y su matriz de

covarianzas sea 2I.

Esta robustez permite utilizar el principio de estimación por

mínimos cuadrados aún cuando los errores no son normales.

Las propiedades asintóticas de las funciones estimables

obtenidas a partir de las soluciones por mínimos cuadrados son

idénticas a las que se obtienen bajo normalidad y por lo tanto la

inferencia clásica basada en modelo normal es válida si n es

suficientemente grande

(ver teorema de Gauss Markov, pag 219, Graybill F.).

Ecuaciones NormalesMinimización de la SC del error

bmin y Xb y Xb

2 2 0

b

y Xb y Xb

X y X Xb

X Xb X y

Tres formas de resolver el sistema de ecuaciones normales

Usando inversa generalizada

Imponiendo restricciones a las soluciones

Reparametrizando el modelo

Solución de las ecuaciones normales

Se propone como solución a b0=GX´Y, donde G es una

inversa generalizada de X´X.

Modelo de clasificación unifactorial-continuaciónG es una inversa generalizada de X’X

6 2 2 2

2 2 0 0

2 0 2 0

2 0 0 2

0 0 0 0

0 ½ 0 0

0 0 ½ 0

0 0 0 ½

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

6 2 2 2

2 2 0 0

2 0 2 0

2 0 0 2

6 2 2 2

2 2 0 0

2 0 2 0

2 0 0 2

=

X’X G

X’X X’XX’XG1 1 0 01 1 0 01 0 1 01 0 1 01 0 0 11 0 0 1

X

Modelo de clasificación unifactorial-continuación- una solución

b0=G X´y

G=X´y=

30

5

11

14

0 0 0 0

0 ½ 0 0

0 0 ½ 0

0 0 0 ½

b0=

0

5 / 2

11/ 2

14 / 2

6 2 2 2

2 2 0 0

2 0 2 0

2 0 0 2

X’X=

¿Es b0=G X´Y la única solución?

No, existen infinitas soluciones La forma general de la solución al sistema de

ecuaciones normales está dada por

b0=GX’y+(G1X’X - I)z

Donde G y G1 son g-inversas de X’X y z un vector px1 arbitrario.

Solución imponiendo restricciones

X X C b X yC 0 λ

C bRestricción

Searle, pag 212

GX XC C

Solución reparametrizando

Reparametrización

Forma particular de introducir restricciones

Fijar en cero los parámetros que “sobran”

El número total de parámetros a estimar es menor

La complicación es la interpretación de los resultados

Ejemplo de reparametrización

Modelo de Clasificación Unifactorial

Consideremos un experimento unifactorial balanceado con 3 niveles y 2 repeticiones.

11

11

11

11

11

11

X=

6

8

6

5

2

3

y=

3

2

1

b=

;i 1,...,3; j 1,2 ij i ijYy=Xb+

¿Como reconstruimos los valores medios?

Veamos un ejemplo sencillo

Parémetros Est EE

(Intercept) 2.5 0.7

tratB 3.0 1.0

tratC 4.5 1.0

Un ejemplo con interacciones

Sumas de Cuadrados

SC para Tipo I Tipo II Tipo III y IV

A R(|) R(|,) R(|,,)

B R(|,) R(|,) R(|,,)

AB R(|,,) R(|,,) R(|,,)

Fuente: SAS Institute (1996). Advanced General Linear Models with an emphasis on mixed model. Course Notes. Chapter 5.

Tipo de Sumas de Cuadrado para un Modelo Bifactorial

;i 1,...,a; j 1,...,b; k 1..ijnijk i j ij ijkY

Como calcular las reducciones

XU A B C

X=U|A|B|C

R(|) = y’(P(UA) -P(U)) y

R(|,) = y’(P(UAB) -P(UA))y

R(|,,) = y’(P(X) -P(UAB))y

R(|,) = y’(P(UAB) -P(UB))y

R(|,,) = y’(P(X) -P(UBC))y

R( |,,) = y’(P(X) -P(UAC))y

Efecto Iguales ProporcionalesNo

proporcionalesCeldas vacias

A I=II=III=IV I=II, III=IV III=IV

B I=II=III=IV I=II, III=IV I=II, III=IV I=II

AB I=II=III=IV I=II=III=IV I=II=III=IV I=II=III=IV

Numero de observaciones por celda

Cuando los tipos se omiten implica que difieren de cualquier otro tipo

Fuente: SAS Institute (1996). Advanced General Linear Models with an enphasis on mixed model. Course Notes. Chapter 5.

Relaciones entre tipos de sumas de cuadrados para un modelo bifactorial

¿Que prueban las sumas de cuadrados?

Dieta Insulina Glucosaaspartame A 5.16aspartame A 4.92aspartame A 4.68aspartame B 4.50aspartame B 4.29aspartame B 4.50saccharin A 4.93saccharin B 4.42saccharin B 4.54sugar A 5.25sugar A 4.94sugar A 5.53sugar B 4.69sugar B 4.44sugar B 4.95

A B Total

Aspartame 3 3 6

Saccharin 1 2 3

Azucar 3 3 6

Total 7 8 15

Fuente:Advanced General Linear Models With an Emphasis on Mixed Models.Course Notes (1996). SAS, SAS Institute. Cap 5, pag 421-464

SC Dieta glTipo I 0.34261000 2Tipo II 0.28195124 2Tipo III,IV 0.28448258 2

¿Que prueban las sumas de cuadrados?..Para el efecto dieta según el tipo de sc.

Tipo I

H01: 0.511+ 0.512 - 0.531 - 0.532=0H02: 1/321+ 1/622 - 0.531 - 0.532=0

Tipo II

H01: 0.511+ 0.512 - 0.531 - 0.532=0H02: 0.068211+ 0.068212 +0.3636 21 +0.6364 22 - 0.431831 - 0.568231=0

Tipo III y IV

H01: 0.511+ 0.512 - 0.531 - 0.532=0H02: 0.5 21+0.522 - 0.531 - 0.531=0

A B

Aspartame 11 12

Saccharin 21 22

Azucar 31 32

A B Total

Aspartame 3 3 6

Saccharin 1 2 3

Azucar 0 3 3

Total 4 8 12

Fuente:Advanced General Linear Models With an Emphasis on Mixed Models.Course Notes (1996). SAS, SAS Institute. Cap 5, pag 469-480

SC Dieta glTipo III 0.10920516 2Tipo IV 0.11402083 2

Sumas de cuadrados, celdas vaciasDieta Insulina Glucosaaspartame A 5.16aspartame A 4.92aspartame A 4.68aspartame B 4.50aspartame B 4.29aspartame B 4.50saccharin A 4.93saccharin B 4.42saccharin B 4.54

sugar B 4.69sugar B 4.44sugar B 4.95

¿Que prueban las sumas de cuadrados?..Para el efecto dieta según el tipo de sc.

Tipo III

H01: 0.2511+ 0.7512 - 0.2521 + 0.2522 - 32 =0H01: -0.2511+ 0.2512 +0.2521 + 0.7522 - 32 =0

Tipo IV

H01: 12 - 22=0

H02: 22 - 32=0

A B

Aspartame 11 12

Saccharin 21 22

Sugar 32