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Modelización de Sistemas Biológicos (por computadora)

Parte I Modelos de Transmisión de enfermedades infecciosas

FIUNER

Enfermedades Infecciosas

Tasa de Infección

Modelo SIR S: Individuos susceptibles a enfermar

I: Individuos infectados

R: Individuos Removidos o Recuperados de la enfermedad o muertos (No se pueden volver a infectar)

Relaciona la tasa de infección con el numero de casos.

Modelo SIR: enfoque compartimental/poblacional

• Los brotes epidémicos suelen ser mucho más rápidos que la dinámica vital de la población se desprecian nacimientos y muertes naturales se mantiene la cantidad total de individuos

• Población fija de tamaño N= S + I + R

Modelo SIR: enfoque compartimental/poblacional

• Las enfermedades infecciosas se transmiten por contacto entre individuos enfermos y sanos (competencia interespcífica) β*S*I

• v depende de la durac. promedio de la infección

Modelo de Kermack-McKendrick (1927)

• β tasa de transmisión o contacto o contagio

• v tasa de recuperación

R(t)=N-S(t)-I(t) Se puede eliminar la última ecuación diferencial del sistema

Duración de la enfermedad

• El termino de curación o recuperación ν*I representa una perdida exponencial en el numero de casos

• El promedio de la duración de la enfermedad o período promedio de infección es : 1/ν

vteItIvIdt

dI )0()(

Número básico de reproducción R0

Si y

• 1/R0 es un umbral para S por encima del cual la cantidad de infectados crece

decrece infectados de cantidad la 01

si

crece infectados de cantidad la 01

o 1 si

0

0

0

dt

dI

RS

dt

dI

RSRS

Número básico de reproducción R0

• 1/R0 es un umbral para S por encima del cual la cantidad de infectados crece

• Al comienzo S es grandeS e I ; cuando S=1/R0 I también comienza a decrecer

1/R0

S/I/R

t

Otra definición de R0

¿Cuándo un enfermo desencadenará una epidemia?

• Cuando R0 por la cantidad inicial de susceptibles sea mayor que uno cuando la cantidad inicial de susceptibles sea mayor

que

Si N es grande S(0)≈N

00

1)0( o 1)0(

)0(0

0)0(1)0(

RSSR

vSvIISdt

dI

dt

dII

NR /10 0/1 R

763 ;4404.0 ;00218.0

N

vIdt

dR

vISIdt

dI

SIdt

dS

I

Modelo SIR con nacimientos, muertes y “población constante”

0

dt

dR

dt

dI

dt

dSNRIS

Modelo SIR con nacimientos y muertes

RvIdt

dR

IvISN

I

dt

dI

SSN

IN

dt

dS

Sistema sobreamortiguado que tiende a un equilibrio estable No condice con la realidad

• Agregar aleatoriedad a los parámetros acerca a la solución real

• Agregar estacionariedad acerca a la solución real

tt 2cos1)( 0

I

Modelo Físico DiagramáticoEcuaciones

Una vez que se cuenta con el modelo físico diagramático,

es sencillo generar el modelo matemático

Modelos SIS

• En algunas enfermedades el individuo no desarrolla inmunidad:

– Se pueden contemplar nacimientos y muertes

IIISdt

dI

SIISNdt

dS

IISdt

dI

IISdt

dS

Modelos SIRS (con pérdida de inmunidad)

Tasa de pérdida de inmunidad

RRIdt

dR

IIISdt

dI

RSISNdt

dS

Modelo SEIS

Modelo SEIR

• El compartimento E le brinda el fenómeno de “latencia” al modelo

1/σ es el Período de Latencia

σ

Modelo SEIRS con nacimientos y muertes

RRIdt

dR

IIEdt

dI

EEISdt

dE

RSISNdt

dS

Modelo SEIR con muertes por enfermedad

Ifdt

dN

IEdt

dI

EISdt

dE

ISdt

dS

1

fϒ

(1-f)ϒ

EISNR

Enfermedades mediadas por Vector

• El vector es un organismo, que transmite un agente infeccioso desde los individuos afectados a otros que aún no portan ese agente.

• Malaria, Dengue, Chagas, Chukunguña y otras son ejemplos de enfermedades transmitidas principalmente por insectos hematófagos como los mosquitos, vinchucas, etc..

• Los agentes patógenos que transmiten los vectores son diversos virus y protistas.

Enfermedades mediadas por Vector

• Modelo general

S I

Vector Agente

E R A

I

Enfermedades mediadas por Vector

• Modelo simplificado de Malaria (paludismo): – enfermedad provocada por el parásito Plasmodium

– Transmitida por el mosquito Anopheles hembra

• Para simplificar se trabaja con proporciones, siendo i=I/N y s=S/N s=(1-i) y a=A/M y v=V/N v=(1-a)

s

v a

i ah

im

Enfermedades mediadas por Vector

• Modelo simplificado de Malaria

aiadt

da

iaidt

di

mm

hh

)1(

)1(

s

v a

i ah

im

h

m

Modelo simplificado de Malaria

• Análisis de puntos de equilibrio

• i*1=0, a*1=0 es equilibrio inestable

• es equilibrio estable para valores coherentes de los parámetros

aiadt

da

iaidt

di

mm

hh

)1(

)1(s

v a

i ah

im

h

m

)(

2*

hhm

hmmhi

Bibliografía

• Mathematical Epidemiology. Brauer, F.; Van den Driessche, P.; Wu, J., Mathematical Biosciences Subseries, Springer, Berlin, 2008.

• Modeling Biological Systems. J.W. Haefner, Springer, NY, 2005

• Mathematical Biology I: An Introduction. JD Murray, Third Edition, Springer, 2002

• Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology. Gerardo Chowell, James M. Hayman, Luis M. A. Bettencourt, Carlos Castillo-Chave

• Matemáticas para Biólogos. Hadeler • VIH/SIDA y Salud Publica: Manual para Personal de Salud.

Carlos Magis Rodriguez, Hermelinda Barrientos Barcenas.