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UNADM

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

Geometría

Unidad 1

Evidencia de aprendizaje.

Alumno: Claudio Ramón Rodríguez Mondragón.

Matrícula: AL13503064

1.-Sean dos rectas en R1 y R2 en un plano P paralelas. Demostrar que existen dos planos que contienen a las rectas que no son paralelos.

Una recta puede ser elemento de dos o más planos, inclusive infinito.

Los planos P1 y P3, no son paralelos.

2.- Observa con detalle la siguiente figura:

Si el ángulo α = 56.39°, ¿Cuánto miden los ángulos β, δ, y ε?

ε = α, por ser opuestos por el vértice.

Entonces:

ε = 56.39°, por ser opuesto por el vértice, mide lo mismo que el ángulo α

α + δ = 180°, porque son suplementarios.

Entonces:

δ=180 °−α

δ=180 °−56.39 °

δ=123.61 °

β= δ, por ser opuestos por el vértice.

Entonces:

β = 123.61 °, por ser opuestos por el vértice, mide lo mismo que el ángulo δ

Se debe de cumplir:

α+δ=180 °

β+ε=180 °

α+β=180 °

ε+δ=180°

Además:

α+δ+ε+β=360 °

Por consiguiente:

123.61° + 56.39° = 180

para cualquier par de ángulos suplementarios.

Y por último, la suma de los cuatro ángulos debe de ser igual a 360°

123.61° + 56.39° + 123.61° + 56.39° = 360°

360° ≡ 360°

3. Sea un cuadrado. Demostrar que si se traza un diámetro en el cuadrado, este divide al mismo en dos triángulos isósceles.

Se construye el cuadrado perfecto ABCD, y una circunferencia circunscrita toca sus cuatro vértices.

Con GEOGEBRA, se identifican los cuatro ángulos rectos del polígono.

Después se traza un diámetro, de punto a punto de la circunferencia, pasando por el centro E, además que toque dos de los vértices del cuadrado ABCD.

Con GEOGEBRA se localizan los nuevos ángulos cortados. El diámetro cumple función de bisectriz.

Se formarán dos triángulos, que en este caso son triángulos isósceles.

Definición:

Triángulo isósceles es aquél triángulo que tiene dos de sus lados iguales y el tercer lado desigual y por consiguiente los ángulos opuestos a estos lados iguales, también son iguales, y el tercer ángulo desigual (Baldor, 2004, pág. 55).

En la figura se forman dos triángulos isósceles, al trazar un diámetro de vértice a vértice opuesto. Estos triángulos son congruentes.

Triángulos isósceles: Δ ACD y Δ ABC.

Para el Δ ACD:

Las medidas de los ángulos iguales: ζ = η = 45°

Las medidas de los lados iguales: AD=CD

Por lo tanto el Δ ACD es un triángulo isósceles.

Para el Δ ABC:

Las medidas de los ángulos iguales: θ= I = 45°

Las medidas de los lados iguales: AB=BC

Por lo tanto el Δ ACD es un triángulo isósceles.

4. Sea un triángulo cuya bisectriz es al mismo tiempo su altura. Demostrar que este triángulo es isósceles.

Definición:

Bisectriz: Es la recta que bisecta o divide en dos ángulos congruentes a un ángulo partiendo del vértice del mismo (Guerrero, 2006, pág. 88)

La bisectriz en un triángulo es la recta notable que parte en dos ángulos iguales a un ángulo interior del triángulo. Un triángulo tiene tres bisectrices para cada ángulo interior (Guerrero, 2006, pág. 89).

Altura: Es la longitud (en este caso representada por un segmento de recta) del segmento perpendicular desde uno de los vértices del triángulo, a la recta del lado opuesto a dicho vértice (Guerrero, 2006, pág. 106). En pocas palabras, es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (Baldor, 2004, pág. 57).

En la figura se traza un triángulo isósceles.

Para el Δ ABD:

Las medidas de los ángulos iguales: y = β = 70°

Las medidas de los lados iguales: AD=BD

Por lo tanto el Δ ACD es un triángulo isósceles.

Trazamos su bisectriz, usando GEOGEBRA:

El segmento BK es la bisectriz.

Ahora se traza la altura sobre la base AB y perpendicular al vértice D.

AB⊥∢D

Analizando con GEOGEBRA, nos damos cuenta que la altur y la bisectriz están en el mismo segmento KD.

Además:

∢DKB=90 ° : por la perpendicularidad de laaltura .

∢α=∢ ADB

∢α=40°

La bisectriz corta en dos ángulos congruentes el ángulo ∢α .

∢ ADK≡∢KDB

Ahora con GEOGEBRA mediremos los ángulos que resultaron de la bisectriz aplicada y de la altura trazada.

Ahora:

En el vértice D, los ángulos congruentes miden lo mismo:

ζ=ϵ=20 °.

Analizando un triángulo escaleno y un triángulo equilátero encontramos lo siguiente:

La bisectriz también divide en dos ángulos congruentes.

Para un triángulo equilátero, también se cumple esta demostración.

∢ β=30 °

∢ y=30 °

∢α=90 ° , es⊥

∢ ACB=∢ y+∢ β=60 °

∢ϕ=60°∢ μ=60°

Para un triángulo equilátero, también se cumple esta demostración.

5. Sea un triángulo y extendemos uno de los lados más allá de uno de sus vértices. Demostrar que el ángulo exterior de esta recta extendida es

suplementario al ángulo al cual es adyacente y que la suma de los otros dos ángulos internos opuestos es equivalente a este ángulo externo.

Definición:

Ángulo exterior: Es el ángulo que, prolongado uno de sus lados del triángulo, la abertura de este queda fuera del interior del triángulo.

Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes (Baldor, 2004, pág. 59).

Analizando la situación con un ejemplo real, trazamos un triángulo en GEOGEBRA:

(nota: los ángulos se dibujaron con valores decimales a propósito)

∢α+∢ β=∢δ

54.75° + 78.28° = 133.03°

Por lo tanto: La suma de los dos ángulos internos opuestos no adyacentes, es equivalente al ángulo externo.

∢ y+∢δ=180 °

46.97° + 133.03° = 180°

Por lo tanto:

∢ y ,∢δ : sonángulos suplementarios .

6. Sea C una circunferencia en el plano P. Dados los puntos A y B sobre la circunferencia con el punto O forman un triángulo. Demostrar que los radios OA y OB sumados son mayores o iguales que la cuerda cuyos límites son los puntos A y B.

Trazamos una circunferencia en GEOGEBRA y se dan las medidas reales:

AB=8.44

OA=5

OB=5

Se debe de cumplir:

OA+OB≥ AB

5 + 5 ≥ 8.44

10 ≥ 8.44: Verdadero.

Por lo tanto, se cumple la condición:

OA+OB≥ AB

7. Sea un triángulo cuyos vértices son A, B y C. Demostrar que la suma de los ángulos internos del triángulo suman dos rectos.

Analizando la situación con GEOGEBRA, se traza una figura:

Sean los ángulos:

∢ β=∢ δ : por ser alternosinternos

∢ϵ=: por ser alternos internos

Los ángulos sobre la recta GG´, deben de sumar 180°

∢δ+∢α+∢ϵ=180 °

Por consiguiente:

∢ β+∢α+∢ y=180 °

Que es la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

UU´ es secante.

QQ´ es secante.

Para la suma de los ángulos sobre la recta horizontal GG´:

∢δ+∢α+∢ϵ=180 °

29.37° + 123.3° + 27.33° = 180°

Para la suma de los ángulos internos del triángulo Δ ABC:

∢ β+∢α+∢ y=180 °

29.37° + 123.3° + 27.33° = 180°

Con lo cual queda afirmada la demostración.

8. Sea un polígono regular. Demostrar que los ángulos externos a sus vértices son congruentes.

Elaborando con GEOGEBRA un polígono regular de 5 lados:

n=5

por ser pentágono ,5 lados ,5 ángulos

Los ángulos centrales miden 72°

∢C=360°n

∢C=360°5

∢C=72 °

Trazando todos sus radios, desdeel punto F, se forman 5 triángulos congruentes, isósceles, cuyo ángulo en el punto F, es el central, y los otros dos ángulos miden cada uno:

∢q=180°−∢C2

∢q=180°−72°2

∢q=54 °

Si juntamos y sumamos dos ángulos ∢q=54, encontramos el ángulo interno:

∢ I=180 °−∢C

∢ I=180 °−72

∢ I=108 °

Todos los ángulos internos miden 108° y son congruentes entre ellos.

Ahora si prolongamos con una semirrecta todos los lados del polígono de cinco lados, obtenemos los ángulos externos y son los siguientes ángulos:

Obtenemos que el suplemento del ángulo interno sea 72°, entonces el ángulo exterior es el ángulo suplementario del ángulo interior.

∢E=180°−∢ I

∢E=180°−108 °

∢E=72°

Como es un polígono regular, estos ángulos son los mismos en cada vértice, entonces, todos los ángulos exteriores miden lo mismo y son congruentes.

Para comprobar los suplementos y las relaciones de los ángulos, se analiza la siguiente figura:

En los vértices D, C, y B, se comprueban los ángulos suplementarios entre los ángulos interior y exterior.

En los vértices A y E, observamos que la suma de los tres ángulos que están sobre el lado y la prolongación de la semirrecta, suman 180°.

En conclusión, el ángulo exterior es congruente al ángulo central.

∢E≡∢C

Para este polígono, de cinco lados, obtenemos que:

∢E=72°

∢C=72 °

Por consiguiente:

∢E≡∢C

72° ≡ 72°

9. Determina el polígono regular cuyos ángulos internos son de 60º

Datos: ∢ I=60 °

Formulas:

∢ I=180 °−∢C

∢C=360°n

Sustituyendo las fórmulas:

∢ I=180 °−360 °n

Sustituyendo los datos:

60 °=180 °−360 °n

Despejando:

360°n

=180 °−60°

360°n

=120 °

360°120°

=n

n=3

El polígono regular de tres lados se llama triángulo:

10. Hallar la suma de los ángulos interiores del polígono regular de cinco lados.

Datos:

n=5

Fórmulas:

∢ I=180 °−360 °n

Para encontrar la suma:

∑∢ I=n(180 °−360 °n )Sustituyendo valores:

∑∢ I=5 (180 °−360°5 )Resultado:

∑∢ I=540 °

Software:

GEOGEBRA

BibliografíaBaldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. México: Publicaciones Cultural

S.A.

Guerrero, A. (2006). Geometría: Desarrollo Axiomático. Bogotá: Ecoe Ediciones.