métodos de variable compleja en dinámica de fluidos perfectos
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Métodos de Variable Compleja en Dinámica de
Fluidos Perfectos
2
Introducción
1. Potenciales, funciones de corriente y funciones de variable compleja
2. Transformaciones complejas y preservación de ángulos
3. Aplicación a los perfiles clásicos.4. Teoremas de sustentación5. Fluidos reales
3
1. Fluidos y variable complejaUn fluido estacionario en 2D se representa como dijimos por un campode velocidades con . Suponemos la condición de incompresibilidad (1) y también la de no vorticidad (2) Esta implica que existe un potencial tal que (3) Pero entonces (1) implica que (4)
O sea que es una función armónicaAdemás su armónica conjugada también lo es.
0 yx vu
xy vu
.; vu yx
0 yyxx
),( vuU
),();,( yxvyxu
),( yx
),( yx),( yx
4
1b. Fluidos y variable compleja
Tenemos pues que y son funciones armónicas.Se llaman función potencial y función de corriente.El hecho de que son conjugadas quiere decir que
(5) y
Estas son las condiciones de Cauchy-Riemann para que existauna función analítica de variable compleja tal que (6)
Para la derivación real vs. compleja se tiene (7)
),( yx),( yx
xy
yx
),()( yxFzF
),(),()( yxiyxzF
y
iyix
ixx
FzF
1)('
5
1c. Fluidos y variable compleja
Tenemos pues que es una función analítica, el potencial complejo; y y son funciones armónicas. Para la derivación real vs. compleja se tiene luego cuando se tiene
La velocidad conjugada es una función analítica
)(zF),( yx ),( yx
),( vu
)())(()(' adxbdyibdyadxidydxbiadzzFdF 0dy
.)()()()(' dxivudxidxidxzFdF yxxx
),(),( vuuv
6
1d. Fluidos y variable compleja
Tenemos que tiene gradiente perpendicular al de de forma que
(9)
(10)
Las trayectorias circulan por las lineas constante
),( yx ),( yx
),(),(),( uvxyyx
0),( yx vuvud
),( yx
7
1e. Fluidos y variable compleja
Toda función analítica compleja tiene asociado un flujo bidimensional, incompresible e irrotacional. La correspondencia es biunívoca si el dominio es simplemente conexo.
),(,Re vuUFF
Además toda función analítica compleja realiza una transformación conformeDe un dominio del plano en su imagen sii no es singular,
)(),(),( zFwzyx
0)(' zF
8
Flujos elementales2a. El flujo libre
aybxyxbyaxyx
biaeU i
),(,),(0
9
Flujos elementales
Vórtice, w= i c log (z)Fuente w= c log z
10
Flujos elementales
El Dipolo, w= log(z+a)-log(z-a) El doblete, w= c/z
11
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THE JOUKOWSKI TRANSFORMATION
Se trata de la transformación conforme
Escribiendo z’-> w, y w=F(z) se tiene
Con lo que la velocidad se anula en los puntos
2
2
1)('z
zF
z
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Flujo alrededor de un cilindro
Mapa calórico de presionesLineas de corriente
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Retículo biortogonal conforme
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Los teoremas Tma de BLASIUS
with integral around the body
Tma de Kutta-Joukovski
where C is the circulation of V on the boundary. ¿?
dzViF 2)2/(
vVCiF ),(
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El primer vuelo, 17 dic 1903
Los hermanos Wilbur y Orville Wright Kitty Hawk, Carolina del Norte
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Airfoils
Lineas de corriente Mapa calórico de presiones
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Airfoils
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Wake, estela R = 15,000 Dye in water shows a laminar boundary layer and living for one radius
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Ejemplo de malla en 2D
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Un airfoil en 2D
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Versión en otra escala
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