metodos de minimos cuadrados

Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresEl método de los mínimos

cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales.

Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones

Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresASÍ PUES, SOLAMENTE NOS

SIRVE PARA AJUSTAR

MODELOS LINEALES

SI ESTE NO ES EL CASO, SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE

Definiciones PreliminaresDefiniciones PreliminaresEl método de los mínimos

cuadrados se calcula en base al siguiente

CRITERIO

La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima.

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

DIBUJAMOS

UNOS EJES DE COORDE-NADAS

0 x

y

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

TRAZAMOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE:

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

L

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

δy

δy = yi – y(xi)

L

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.

Para todos los puntos

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

δy

xi

yi

y(xi)δy = yi – y(xi)

δy = yi – (mxi + b)

L

GRÁFICAMENTEGRÁFICAMENTE

CRITERIO: La distancia, δy, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima.

Esta distancia se tomará al cuadrado.

0

+

++

+

+ +

++

+ +

+

x

y

δy

xi

yi

y(xi)δy = yi – y(xi)

δy = yi – (mxi + b)

δy2 =[ yi – (mxi + b)]2... Ec. 1

L

CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..

CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,

CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

2

i2i

mxxn

nS yS

2-n

bxmyS

2ii

y

CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen

2

i2i

iiii2i

xxn

yxxyxb

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

2

i2i

mxxn

nS yS

2-n

bxmyS

2ii

y

CALCULANDO LOS CALCULANDO LOS VALORES VALORES DE DE la pendiente, la pendiente, m,m, y de la ordenada, y de la ordenada, bb..

Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error, y de la ordenada al origen con su error; de la “mejor recta”:

2

i2i

iiii2i

xxn

yxxyxb

2

i2i

iiii

xxn

yxyxnm

2

i2i

mxxn

nS yS

2

i2i

2i

bxxn

xS yS

2-n

bxmyS

2ii

y

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN,

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:

V = pendiente VI + . al origen

y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las

unidades u, y la x está en las unidades u´.

ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELOMODELO..

AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL:

y = (m ± Sm) x + (b ± Sb); donde la y está en las

unidades u, y la x está en las unidades u´.

Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distribuyen normalmente.

EJEMPLOEJEMPLO

SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

EJEMPLOEJEMPLO

SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml

1 10 9.9

2 15 15.3

3 20 19.8

4 25 25.2

5 30 29.9

6 35 35.3

7 40 39.8

8 45 45.2

9 50 49.9

10 55 55.1

EJEMPLOEJEMPLO

SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN, Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:

#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml

1 10 9.9

2 15 15.3

3 20 19.8

4 25 25.2

5 30 29.9

6 35 35.3

7 40 39.8

8 45 45.2

9 50 49.9

10 55 55.1

•Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y

•Determinar el valor de la densidad del agua.

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

donde M está en g, y V está en ml.

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

donde M está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

x

y

x

y

S

y

xS

ymx my

2

2

2

EJEMPLOEJEMPLO

Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

x

y

x

y

S

y

xS

ymx my

2

2

2

2

2

2

)1()005.0)(1(

10

000.111

m

EJEMPLOEJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:

La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml.

La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g.

La ecuación será: M = (1.000± 0.005) V + (0.0± 0.2),

dondeM está en g, y V está en ml.

Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:

Así pues, la densidad será: ρ = 1.000± 0.005 g/ml.

x

y

x

y

S

y

xS

ymx my

2

2

2

2

2

2

)1()005.0)(1(

10

000.111

m