método de monte carlo (3)

S AN TIAGO V ILLEGASS TEPAHY ARIAS

C LAUDIA ALEJANDRA DAVIDDAN IELA RO S ER O

Método de Monte Carlo

Método de Monte Carlo

Permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias

Es aplicado en los años 40 por John Von Neumann para resolver problemas complejos que no podían ser resueltos de forma analítica

Genera serie de números aleatorios uniformemente distribuidos

Notación de elementos básicos

x - Variable aleatoria (discreta o continua)

Fx- Distribución de probabilidad de x

V (x)- Varianza de x

DE(x)- Desviación estándar de x

X=(x1,x2,…,xm)- Vector aleatorio de dimensión m

Promedio y desviación estándar

Motivación de método

El método proviene de dos teoremas:La ley Débil de los Grandes Números: Explica por

qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Teorema del Límite Central: Indica cual es el comportamiento asintótico de la distribución del error cometido al emplear Sn como estimador de µ.

Ambos resultados proveen la motivación para aplicar Monte Carlo, ya que indican que con un número suficientemente alto de experimentos, es posible estimar el parámetro deseado incurriendo en un pequeño error con alta probabilidad.

Ventajas del método

Facilita la reproducción de fenómenos naturales que necesitan números aleatorios(física estadística, física de partículas)Muchas veces es poco práctico examinar todos los casos posiblesPermite formular condiciones extremas con riesgos nulosExiste gran variedad de programas para simularlo

Obtención de números aleatorios continuos

Tablas de números aleatorios

Números Pseudo aleatorios Método de los centros de los cuadrados Métodos congruenciales Generador multiplicativo Generador mixto

Generador de números aleatorios Fluctuación de voltaje por ruido

Obtención de números aleatorios discretos

Método de la función de distribución inversa

Método de Box- Muller

Método de aceptación/rechazo

Método de la función de distribución inversa

Ej: Generación de v. a’s exponenciales.Recordemos que la función de distribución de una variables aleatoria viene dada por:

Por el método de la inversa tenemos que considerando la igualdad u=Fx(x), tenemos que para se verifica que: (Despejamos x) para obtener:

Por tanto, podemos generar variables exponenciales generando u y calculando

0 x,

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos un satélite, que para su funcionamiento depende de que al menos 2 paneles solares de los 5 que tiene disponibles estén en funcionamiento, y queremos calcular la vida útil esperada del satélite (el tiempo promedio de funcionamiento hasta que falla).Supongamos que cada panel solar tiene una vida útil que es aleatoria, y esta uniformemente distribuida en el rango [1000h, 5000h] (valor promedio: 3000 h).

Solución:Para estimar por Monte Carlo el valor de p , haremos n experimentos, cada uno de los cuales consistirá en sortear el tiempo de falla de cada uno de los paneles solares del satélite, y observar cual es el momento en el cual han fallado 4 de los mismos, esta es la variable aleatoria cuya esperanza es el tiempo promedio de funcionamiento del satélite.

El valor promedio de las n observaciones nos proporciona una estimación de p.

Ejemplo 1

De esta simulación, tenemos un valor estimado para la vida útil esperada del satélite de 3683. Un indicador del error que podemos estar cometiendo es la varianza o equivalentemente la desviación estándar de Sn, que en este caso es (haciendo los cálculos) 297.

Ejemplo 2- Modelamiento y simulación de la fármaco cinética/ dinámica para la dosificación

de antibióticos

(T. Katsube, Y. Yano, T. Wajima, Y. Yamano and M. Takano, 2010)

Para el modelo de crecimiento de la bacteria y el efecto atibacteial se supuso un modelo de Michaelis-Menten:

Ejemplo 2- Modelamiento y simulación de la fármaco cinética/ dinámica para la dosificación de antibióticos

Se tuvieron en cuenta cuatro formas de dosificación:250 mg dos veces al día250 mg tres veces al día500 mg dos veces al día500 mg tres veces al díaLos parámetros de la población normal se simularon

basados en estudios clínicos realizados en Japón: Edad y peso de acuerdo a la distribución normalNiveles de creatinina de acuerdo a la distribución

lognormal

Bibliografía

Aragón, L. J. (9 de Mayo de 2014). Área de Estadística e Investigación Operativa. Obtenido de UCLM: http://www.uclm.es/profesorado/licesio/Docencia/mcoi/Tema4_guion.pdf

Departamento de Investigación operativa. (9 de mayo de 3014). Métodos de Monte Carlo. Obtenido de Universidad de la República, Montevideo, Uruguay: http://www.fing.edu.uy/inco/cursos/mmc/unidad01/sesion02/transp.pdf

PK/PD Modeling and Simulation to Guide Dosing Strategy for Antibiotics. (9 de Mayo de 2014). Obtenido de Mathworks: http://www.mathworks.com/help/simbio/examples/pk-pd-modeling-and-simulation-to-guide-dosing-strategy-for-antibiotics.html#zmw57dd0e2634