metodo de ajuste por cuadrados minimos · 2017. 6. 12. · metodo de ajuste por cuadrados minimos...
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES:• ESTUDIO DE VINCULACION DE VARIABLES DE UN EVENTO.• PARA ARMAR LA INTERDEPENDENCIA SE DEBE EVALUAR EL
COMPORTAMIENTO.• LA RELACION DE VARIABLES A VECES PUEDE SER LINEAL, CUADRATICA,
EXPONENCIAL, ETC.
DIBUJAR LA RELACION DE PUNTOS QUE DEFINEN EL ESTUDIO
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES:• EXCEL PREVEE INTERFASE DE ANALISIS CON EL USUARIO
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
• LA FUNCION QUE MEJOR APROXIMA ES UNA RECTA
Y(X)=A . X + B
Yi - (A . Xi + B) = 0Yi - (A . Xi + B) = ei ei
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON EL ERROR:• Búsqueda de error cero
𝜓" =$𝑒&"'
&()
Nuestro análisis busca que 𝜓" → 0
𝜕𝜓"
𝜕𝐴 = 0 𝜕𝜓"
𝜕𝐵 = 0
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON EL ERROR:• Búsqueda de error cero
𝜕𝜓"
𝜕𝐴 ⇒$
𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) "
𝜕𝐴
'
&()
= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) . 𝑥&
'
&()
𝜕𝜓"
𝜕𝐵 ⇒$
𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) "
𝜕𝐵
'
&()
= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) . −1'
&()
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON EL ERROR:• Búsqueda de error cero
𝐴.$ 𝑥& " + 𝐵.'
&()
$ 𝑥& −'
&()
$ 𝑥&.𝑦& = 0'
&()
𝐴.$(𝑥&)+ 𝐵.'
&()
𝑁 −$ 𝑦& = 0'
&()
𝐴.𝑥" + 𝐵�̅� − 𝑥. 𝑦 = 0𝐴�̅� + 𝐵 − 𝑦< = 0
𝜕𝜓"
𝜕𝐴 ⇒$𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& +𝐵) "
𝜕𝐴
'
&()
= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& +𝐵) . 𝑥&
'
&()
𝜕𝜓"
𝜕𝐵 ⇒$𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) "
𝜕𝐵
'
&()
= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) . −1'
&()
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON EL ERROR:• Búsqueda de error cero
𝝏𝝍𝟐
𝝏𝑨 ⇒$𝝏 𝒚𝒊− (𝑨𝒙𝒊 + 𝑩) 𝟐
𝝏𝑨
𝑵
𝒊(𝟏
= 𝟐.$ 𝒚𝒊 − (𝑨𝒙𝒊 +𝑩) . 𝒙𝒊
𝑵
𝒊(𝟏
𝝏𝝍𝟐
𝝏𝑩 ⇒ $𝝏 𝒚𝒊− (𝑨𝒙𝒊 + 𝑩) 𝟐
𝝏𝑩
𝑵
𝒊(𝟏
= 𝟐.$ 𝒚𝒊− (𝑨𝒙𝒊 + 𝑩) . −𝟏𝑵
𝒊(𝟏
𝑨.$ 𝒙𝒊 𝟐 + 𝑩.𝑵
𝒊(𝟏
$ 𝒙𝒊 −𝑵
𝒊(𝟏
$ 𝒙𝒊. 𝒚𝒊 = 𝟎𝑵
𝒊(𝟏
𝑨.$ 𝒙𝒊 + 𝑩.𝑵
𝒊(𝟏
𝑵 −$ 𝒚𝒊 = 𝟎𝑵
𝒊(𝟏
𝑨.𝒙𝟐 + 𝑩.𝒙H − 𝒙.𝒚 = 𝟎
𝑨. 𝒙H +𝑩 − 𝒚H = 𝟎
𝐴 =𝑥. 𝑦 − �̅�𝑦<𝑥" − �̅�"
𝐵 =𝑥".𝑦< − �̅� . 𝑥. 𝑦𝑥" − �̅�"
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON LOS COEFICIENTES:
¿¿SE TERMINARON LAS CUENTAS??
NO
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON LOS COEFICIENTES:• Sabemos que cualquier calculo o medición siempre
tendrá un error asociado.• Debemos determinar que error asociado poseen
tanto «A» como «B»• Luego de algunas consideraciones podemos
concluir que:
𝐴 ± 𝐸K = pendiente
𝐵 ± 𝐸R = ordenada al origen
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
𝐴 ± 𝐸K = pendiente
𝐵 ± 𝐸R = ordenada al origen
𝜎K = 𝜎Y1
𝑁. 𝑥" − �̅�"
𝜎R = 𝜎Y𝑥"
𝑁. 𝑥" − �̅�"
𝐸K =𝜎K𝑁
𝐸R =𝜎R𝑁
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON LOS CALCULOS:
¿¿ESTAN BIEN DETERMINADOS??
¿¿TENEMOS ALGUNA FORMA DE SABERLO??
SI
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON LOS CALCULOS:
CONTAMOS CON LA POSIBILIDAD DE EVALUAR LA CALIDAD DE NUESTRO AJUSTE.
LLAMAREMOS BONDAD DEL AJUSTE A ESTA POSIBILIDAD:
𝑅 =𝑥. 𝑦 − �̅�. 𝑦<
𝑥" − �̅�" − 𝑦" − 𝑦
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON LA CALIDAD:
𝑅 =𝑥. 𝑦 − �̅�. 𝑦<
𝑥" − �̅�" − 𝑦" − 𝑦
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METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS
CONSIDERACIONES CON RELACIONES NO LINEALES:Debemos tener en cuenta que el método de cuadrados mínimos puede ser utilizado también en relaciones de puntos de tipo no lineal, como por ejemplo:
𝑦 = 𝑏. 𝑥\ → ln 𝑦 = ln 𝑏 + 𝑎. ln 𝑥
𝑦 = 𝑏. 𝑒\.^ → ln 𝑦 = ln 𝑏 + ln 𝑒\.^ → ln 𝑦 = ln 𝑏 + 𝑎. 𝑥
𝑦 =𝑎
𝑏 + 𝑥 →1𝑦 =
𝑏𝑎 +
𝑥𝑎
𝑦 = 𝑏.𝑥\
𝑦 = 𝑏.𝑒\.^
𝑦 =𝑎
𝑏 + 𝑥
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AHORA …A
TRABAJAR!!!
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TRABAJO PRACTICO Nº2OBJETIVO
• DETERMINAR LA LEY DE HOOKE, CALCULANDO K:
ü POR METODO ESTATICOü POR METODO DINAMICOü CALCULAR LA PORCION DEL RESORTE QUE COLABORA CON LA
MASAü COMPARAR LA PRECISION DE AMBOS METODOS
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
Ø RESORTE CARGADO EXPERIMENTA DEFORMACION δØ ESFUERZOS DE TORSION Y FLEXIONØ SE CONSIDERARA SOLO LA TORSION
P = K . ∆δ
DEFORMACION FUNCION DE LA MASA
FUNCION DEL RESORTE, MATERIAL, ETC
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
∆X
Alejar la masa generará una Fuerza:Fe = -k . (∆ δ + ∆x)
Por la 2º ley Newton:Fe + P = m . a
k . ∆ δ + k . x – m1.g = (m2 + m1) . a
m1 . g
k . ∆x = - m1 . g
soluciones: X = A . Sen (w.t)
δ0
Δδ
δ
x
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TRABAJO PRACTICO Nº2
∆X
𝑘𝑚 = 𝜔 = 2. 𝜋. 𝑓
𝑇 = 2. 𝜋.𝑚𝑘
m = m + cM
𝑇 = 2. 𝜋.m + cM𝑘
Para el método estático: P = K . ∆δ
Para el método dinámico: 𝑇 = 2. 𝜋.m + cM𝑘
FUNDAMENTO TEORICO
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𝒎𝒊 𝒎𝒊𝟐 𝒎𝒊2
δ𝒊H 𝑚𝑖 δi
TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
∆X
MÉTODO ESTATICO:
Hemos visto: k . x = - m . a
x = - gh
. g
Que dará una curva:
Ensayo Nº mi ± Em Deformación(Li – L0)
12.
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
∆X
MÉTODO ESTATICO:
mi
δi
A partir de los pares (mi, δi) podemos armar la ecuación
Y(Xi) = A . Xi + B
δ(mi) = A . mi + B
δ (mi) = ih .𝑚& + δ0
𝐴 = ik . 𝑚&
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
∆X
MÉTODO ESTATICO:
mi
δi
𝐴 = ik . 𝑚&
Por un lado tenemos Por otro lado tenemos
𝐴 =𝑥. 𝑦 − �̅�𝑦<𝑥" − �̅�"
Podemos concluir1. De A tenemos su valor.2. Podemos determinar el valor de k a partir de A.
k = iA .𝑚&
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
∆X
MÉTODO ESTATICO:
k = iA .𝑚&
El valor que obtengamos de k, presentara un error que dependerá de dos factores1. El error del método por tratarse de una medición indirecta2. El error estadístico por cuanto esta medición fue obtenida de una serie de repeticiones
𝐸jkj\l = 𝐸mnj\o&nj&pk + 𝐸gmjkok
𝐸mnj\o&nj&pk =𝜎h𝑁 𝐸gmjkok =
𝜕𝑘𝜕𝑚 . ∆𝑚 +
𝜕𝑘𝜕𝐴 . 𝐸K
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
MÉTODO ESTATICO:
k = iA . 𝑚& ± E
Por otro lado también podemos armar la ecuación que rige la deformación en función de la masa
δ(mi)=(A ± EA). mi + (B ± EB)
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
MÉTODO DINAMICO:
La base para armar la memoria de calculo de este método responde a lo ya visto en la parte de regresión lineal
Yi - (A . Xi + B) = e
𝐴 =𝑥. 𝑦 − �̅�𝑦<𝑥" − �̅�"
𝐵 =𝑥".𝑦< − �̅� . 𝑥. 𝑦𝑥" − �̅�"
𝜎K = 𝜎Y1
𝑁. 𝑥" − �̅�"
𝜎R = 𝜎Y𝑥"
𝑁. 𝑥" − �̅�"
𝐸K =𝜎K𝑁
𝐸R =𝜎R𝑁
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
MÉTODO DINAMICO:A la canasta vinculada al resorte, se le irán incorporando pesas, midiendo para cada una, el periodo promedio de 10 oscilaciones:
- k . ∆x = m . asoluciones: x = A . sen (w.t)v = A . w . cos (w.t)a = - A . w2 . sen (w.t)
𝝎 =𝒌𝒎
𝝎 = 𝟐.𝝅. 𝒇 𝒇 =𝝎𝟐.𝝅
𝑻 =𝟐. 𝝅𝝎 𝑻 = 𝟐. 𝝅 .
𝒎𝒌
𝑻 = 𝟐.𝝅.𝒎 + 𝒄𝑴
𝒌
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
MÉTODO DINAMICO:
𝑇" = 4. 𝜋".𝑚 + 𝑐𝑀
𝑘
Ahora podemos linealizar la expresión:
Armamos la tabla:
Nº ENSAYO Mi +/-E Tiempo de 10 oscilacionesT= 10t +/- Et
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
MÉTODO DINAMICO:
𝑇" = 4. 𝜋".𝑚 + 𝑐𝑀
𝑘
Ahora podemos linealizar la expresión:
Obtenemos los coeficientes A y B, quedando:𝑇" (mi) = A . Mi + B
𝑇" =4. 𝜋"
𝑘 .𝑚& +4. 𝜋"
𝑘 . 𝑐𝑀
A B
A
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TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO
MÉTODO DINAMICO:
De los valores obtenidos podemos hallar “k”
𝑇" =4. 𝜋"
𝑘 .𝑚& 𝑘 =4. 𝜋"
𝑇" .𝑚&
Y ahora el error de K
estadístico
método 𝜕k 𝜕𝑚 . ∆𝑚 +
𝜕𝑘𝜕𝑇 .
𝑑𝑇𝑑𝑡 . ∆𝑡
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PREGUNTAS
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