mecÁnica de fluidos
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Hidrostática.
La presión es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie. Por lo
tanto, vendrá definida por su módulo o intensidad y por su dirección, siendo
evidente el sentido en que actúa (hacia el cuerpo considerado). A continuación
vamos a estudiar las dos propiedades que la definen.
1. Relativa a su dirección: En una masa líquida en equilibrio, la
presión hidrostática en cualquiera de sus puntos debe ser
normal (perpendicular) al elemento plano sobre el que actúa. Si
no fuera así, existiría una componente tangencial que rompería
el equilibrio.
siendo: F: Fuerza uniformemente repartida, o bien, fuerza media que
actúa sobre s
s: Superficie
Si s se hace infinitamente pequeña, entonces se define la presión:
2. Relativa a su intensidad: En un punto de una masa líquida
existe la misma presión hidrostática en todas las direcciones,
es decir, la presión es independiente de la inclinación de la
superficie sobre la que actúa. Consideremos un volumen
elemental de líquido en reposo en forma de tetraedro OABC.
Fuerzas másicas, es decir, las fuerzas exteriores que actúan sobre la
masa del elemento líquido. Se deben a la gravedad, dependen del peso del
elemento considerado, y por tanto son proporcionales al producto de las tres
dimensiones (dx × dy × dz), es decir, al volumen.
El empuje sobre cada una de las caras del tetraedro, debido a las
presiones ejercidas por el resto del líquido.
Presiones totales:
Estableciendo la ecuación de equilibrio de las fuerzas de presión
intervinientes y proyectándolas sobre el eje OX se obtiene:
Ecuación fundamental de la hidrostática
En el líquido en reposo, ver figura, se aísla un volumen infinitesimal, formado
por un prisma rectangular de base y altura .
Imaginemos un plano de referencia horizontal a partir del cual se miden las
alturas en el eje z.
La presión en la base inferior del prisma es , la presión en la base superior
es . La ecuación del equilibrio en la dirección del eje z será:
o sea:
integrando esta última ecuación entre 1 y 2, considerando que se
tiene:
o sea:
Considerando que 1 y 2 son dos puntos cualesquiera en el seno del
líquido, se puede escribir la ecuación fundamental de la hidrostática del fluido
incompresible en las tres formas que se muestran a continuación.
Primera forma de la ecuación de la hidrostática
La ecuación arriba es válida para todo fluido ideal y real, con tal que
sea incompresible.
(Fluido ideal es aquel fluido cuya viscosidad es nula)
Segunda forma de la ecuación de la hidrostática
La constante y2 se llama 'altura piezométrica'
Tercera forma de la ecuación de la hidrostática
Donde:
= densidad del fluido
= presión
= aceleración de la gravedad
= cota del punto considerado
= altura piezometrica
Empuje sobre superficies planas y curvas
Empujes sobre superficies planas sumergidas
Para analizar el empuje sobre una superficie plana sumergida vamos a
considerar:
Sea OX el nivel del agua
Sea S la superficie sumergida sobre la que se quiere calcular el empuje
La presión en el punto M situado sobre la superficie S resulta: p = γ·z
El empuje dE en el entorno del punto M, para una superficie dS es: dE =
p·dS = γ·z·dS
Teniendo en cuenta que
siendo zg la cota del c.d.g. de la superficie S respecto de OX. El empuje total
sobre la superficie S será:
Determinación del centro de empuje:
Tomando momentos de E respecto de la superficie libre del agua, OX
Aplicando el teorema de Steiner y sustituyendo en la ecuación (9)
Operando
que fija la localización del Centro de Empuje.
El centro de empuje queda siempre por debajo del c.d.g y ambos puntos
están tanto más separados cuanto más pequeño sea el valor de zg (cuanto
menos sumergida está la superficie)
Empuje hidrostático sobre una superficie plana situada en le plano OP,
que forma un ángulo β con el nivel del agua
El empuje dE en el entorno dS del punto M es: dE = p·dS ; p = γ·z = γ·x·sen β
Extendiendo el empuje a toda la superficie
2.2 Empuje sobre superficies curvas sumergidas
Se supone la superficie curva como una sucesión de superficies planas
elementales ΔS.
El empuje sobre cada superficie elemental ΔS puede reducirse a una
componente horizontal, a una componente vertical y a una componente axial.
La suma de todas estas componentes ΣX; ΣY; ΣZ dará lugar a tres
términos X, Y, Z que en general se cruzarán en el espacio, dando lugar a una
fuerza resultante y a un par (método de Poincare).
El problema se simplifica tratándose de superficies cilíndricas de
revolución, que por otra parte son las de mayor aplicación en la práctica, por lo
que a continuación se detiene a comentarlas.
Empujes sobre superficies curvas de revolución sumergidas
Sea la superficie de la figura, una cuarta parte de un cilindro de
revolución, y se descompone la superficie curva en una sucesión de superficies
planas elementales ΔS.
Cada una de estas superficies estará sometida a un empuje ΔE,
perpendicular a la misma, que se puede descomponer en una componente
horizontal ΔX y en una vertical
ΔZ, tal que verifiquen:
ΔX = ΔE·cos β ; ΔZ = ΔE·sen β
Geométricamente se comprueba:
La suma de todas las proyecciones, tanto horizontales como verticales, resulta:
Sz, es la proyección de la superficie cilíndrica sobre el plano vertical
(paralelo a las generatrices)
Sx, es la proyección de la superficie cilíndrica sobre el plano horizontal;
Z = V·γ (el peso de la columna líquida que carga sobre la superficie
curva, que se aplica en el c.d.g. de dicha columna.
El principio de Pascal y sus aplicaciones
La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente
se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo.
Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por
el físico y matemático francés Blas Pascal (1623-1662), se conoce como
principio de Pascal.
El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de
la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los
líquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante, de modo que de
acuerdo con la ecuación p = po + · g · h si se aumenta la presión en la
superficie libre, por ejemplo, la presión en el fondo ha de aumentar en la misma
medida, ya que · g · h no varía al no hacerlo h.
La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de
Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado.
Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre
sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o
aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en
cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido.
Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la
presión p1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite
íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será
igual a la presión p2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección
S2, es decir:
p1 = p2
con lo que:
y por tanto:
Si la sección S2 es veinte veces mayor que la S1, la fuerza F1 aplicada
sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por veinte en el émbolo grande.
La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de
Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el
fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos
hidráulicos de maquinaria industrial.
P1 = P2
P1, P2 = Presiones en 1 y en 2
F1, F2 = Fuerzas 1 y 2
S1, S2 = Superficies 1 y 2
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