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Colegio Antonino
TALLER DE REPASO ANUAL 2019 Profesora: Johana Acevedo
Área de: Matemáticas
Grado: Undécimo.
Matemáticas
1. Determina si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de
estas simetrías; además, calcula los puntos de corte con los ejes.
a. (𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥)(𝑥 − 2)2(𝑥 − 4)
b. 𝑓(𝑥) =𝑥(𝑥2−9)
5𝑥+4
c. 𝑓(𝑥) =(𝑥−1)(𝑥2−9)
3(𝑥2−1)
d. 𝑓(𝑥) =(𝑥−3)(𝑥+2)
𝑥+1
e. 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)(2 + 𝑥)
f. 𝑓(𝑥) = −5𝑥 + (𝑥 + 1)
g. 43 48)( xxxf
h. 2
1)(
xxf
2. Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
a. 𝑓(𝑥) =√𝑥−2
𝑥2−2𝑥−8
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 15
c. 𝑓(𝑥) =1
√(𝑥+1)(2𝑥+3)
d. 𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥2−4
3. Determina si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica la respuesta.
a. Una función polinómica en la que todos los exponentes que aparecen son pares
es una función par. ( )
b. La gráfica de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 con n perteneciente a los enteros corta a
los ejes en el punto (0,0). ( )
c. El rango de las funciones de la forma y=xn, con n un número par, es [0,+∞). ( )
d. Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, donde n es un número impar son simétricas respecto a l
eje Y. ( )
e. La función polinómica 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 𝑥 es de grado 3. ( )
4. Completa los espacios, con la información correspondiente a las funciones
polinómicas.
a. El rango de las funciones de la forma y=xn, con n un número ________, es el conjunto
de los números reales.
b. Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, donde n es un número _________ son _________ con respecto
al eje y.
c. La grafica de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 con 𝑛 ∈ _________ corta a los ejes en el punto
______.
d. La __________ de la función 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 no interseca al eje _____.
e. El __________ de 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 es (0, +∞).
5. Relacionada cada función con su respectiva tabla de valores, elige una y represéntala.
a. 𝑓(𝑥) = log5 𝑥
( )
x 10 100 1000
y 1 2 3
b. 𝑓(𝑥) = (1
2)𝑥
( )
x 1 5 25
0 1 2
c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥
( )
x -2 -1 0
y 1
9
1
3
1
d. 𝑓(𝑥) = log 𝑥
( )
x -2 -1 0
y 4 2 1
6. En base a la sucesión 𝑐𝑛, analiza cada enunciado y escribe una V si es verdadero, de lo
contrario escribe F.
𝑐𝑛 = {1
3,2
6,3
11,4
18,… }
a. El término general de la sucesión es 𝑐𝑛 =𝑛
𝑛2−2. ( )
b. La sucesión es monótona decreciente. ( )
c. El décimo término de la sucesión es 5
51. ( )
d. El termino general para los numeradores de la sucesión es n. ( )
e. Si en la sucesión 𝑐𝑛 le sumo a cada término 1
2, obtengo la sucesión
𝑐𝑛 = {5
6,5
6,17
22,13
18, … } ( )
7. Encuentra los primeros 5 términos de las siguientes sucesiones.
a.
1
1 24
n
nnbn
b. 2
32
n
nan
c. 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 1
3𝑛−1
d. 𝑏𝑛 = (−1)𝑛 1
(𝑛+1)(𝑛+2)
e.
n
nn
nb
5
1
8. Comprueba si 5, 7 y 9 son términos de la sucesión que tiene de término general
32 nan
9. Halla el termino general de las siguientes sucesiones:
a. ,...
243
32,
81
16,
27
8,
9
4,
3
2
b. ,...17
16,
13
8,
9
4,
5
2
c. ,25
4,
16
3,
9
2,
4
1
d. −3,−5,−7,−9
e. 5,−10, 20,−40
f. −3, 9,−27, 81
10. Dadas las sucesiones 1
1
nan
y 32 nbn , calcula:
a. nn ba
b. nn ba
11. Determina si 65
11
13
6,
17
7,1 y son términos de la sucesión:
1
32
n
nan
.
12. Dadas las sucesiones ,...23,18,9,6,4na y ,...5,3,4,2,3,1 nb halla na·2 y nn ba .
13. Determinar el valor de cada límite a partir de la gráfica que se muestra:
lim𝑥→−2−
𝑓(𝑥) =
lim𝑥→−0−
𝑓(𝑥) =
lim𝑥→−2+
𝑓(𝑥) =
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) =
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) =
lim𝑥→0+
𝑓(𝑥) =
14. Calcula el valor de los siguientes límites:
1) 163 2
1
xxlim
x 2) 122
xxlim
x 3) xxlim
x
33
4)
22
2 1
ax
axaxlim
ax
5)
12
22
2
1
xx
xxlimx
6)
2
1
2
1
xxlimx
7) 12
22
2
1
xx
xxlimx
8) 44
12 xx
limx
9) 632 34
4
xx
xlimx
10) 2
2
0
96
x
xxlimx
11)
xx
xlimx 5
252
2
5
12)
xx
xxxlimx 62
22
23
13) 15
24
x
xxlimx
14) 12
32
25
x
xxlimx
15) ax
axlim
ax
16) x
xlimx
33
0
17) xxlim
x
3 2
52 18)
x
xxlimx
21
19)
xxxxlim
x 20)
42
11
2
2
x
xlimx
21) 1
12
x
xlimx
15. Representa y estudia la continuidad de las funciones:
24
21
2
)(
2
xsi
xsi
xsix
xf
27
2372
32
)( 2
xsi
xsixx
xsix
xf
16. Calcula el valor de a y b para que sea continua la función:
2
213
11
)(
2
xsibx
xsi
xsiaxx
xf
17. Hallar el valor de a y b, para que la función sea continua en los reales:
22
213
1
)(
2
xsibx
xsi
xsiaxx
xf
18. Teniendo en cuenta las siguientes funciones, resuelve las operaciones indicadas:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 1; 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 − 𝑥)2 𝑦 ℎ(𝑥) = 4𝑥2
a. ((3𝑔 ∙ 𝑓)′′ − ℎ2′)(𝑥)=
b. (−4𝑓
𝑔2)′(𝑥)=
19. Dadas las siguientes funciones, calcula las derivadas que se indican en cada caso:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 1; 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 − 𝑥)3 𝑦 ℎ(𝑥) = 4𝑥2
a. 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)
b. (𝑔 ∙ 𝑓)′′(𝑥)
c. (𝑓
ℎ2)′(𝑥)
d. (2𝑓 − 3𝑔)′(𝑥)
20. Resuelve las siguientes integrales
2
7
5
3
3
23
3
)
)
)
)
) 3
1)
)
1)
2)
5
a x dx
b x dx
c x dx
d x dx
e x dx
f dxx
g x dx
h dxx
xi
x
21. Calcula cada una de las siguientes integrales indefinidas:
a. ∫ (2𝑥2−𝑥3+𝑥+3
√√𝑥3 )𝑑𝑥
b. ∫ (√𝑥 +1
√𝑥−
3
𝑥3− 𝑒𝑥)𝑑𝑥
c. ∫ (√𝑥 +1
√𝑥−
3
𝑥3+ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥
d. ∫(2𝑥4 − 3𝑥2 + 1)𝑑𝑥
e. ∫ (√𝑥−𝑥3+2𝑥
𝑥2)𝑑𝑥
f. ∫ ((𝑥+1)2−(𝑥+3)(𝑥+6)
√𝑥34 )𝑑𝑥
Analiza y resuelve las siguientes situaciones problema:
22. Un estacionamiento público tiene una tarifa de $4000 la primera hora y $2500 por cada
hora o fracción adicional. Elige la forma más conveniente para representar la función que
da el precio que debe pagar una persona por las cuatro horas que estará, posiblemente,
su auto en el estacionamiento.
23. La población de una especie animal está modelada mediante la función 𝑓(𝑥) =20+3𝑥2
𝑥2+6𝑥+9,
donde X se mide en años. ¿Se puede afirmar que la especie tiende a desaparecer
después de muchos años? Argumenta.
24. Un equipo de fútbol desea que todos sus aficionados adquieran el bono que les permitirá
ingresar a todos los partidos de la temporada. La siguiente función muestra el número de
aficionados que comprará el bono desde el momento en que se lanza la oferta (x en
meses):
f(x) = √𝑛 + 1 − √𝑛 + 2
¿Cuántos aficionados comprarán el bono si se mantiene la promoción por un tiempo
ilimitado?
25. Unos científicos están probando un tratamiento contra cierta enfermedad que aumenta
la vida media de los glóbulos rojos.
Los hematólogos que han empleado el medicamento saben que la vida media de los
glóbulos rojos varía dependiendo de la duración en días del tratamiento, según la
expresión 𝑉(𝑡) =150𝑡
𝑡+5.
26. si se emplea el tratamiento por un período muy largo, ¿qué pasaría con la vida media de
los glóbulos rojos?
27. si la vida media de estas células es de 120 días, ¿en qué momento del tratamiento se
alcanzará esa cifra?
28. En cierto país, se analizó la tasa de fecundidad y se dedujo que el número de hijos que
tiene una mujer es inferior a la cantidad de hijos procreados en décadas pasadas. Según
los estudios, e número de hijos f(n) puede definirse mediante el modelo:
𝑓(𝑛) =3𝑛2 + 1
2𝑛2 + 3
Donde n es el número de años.
¿A qué valor tiende el número de hijos cuando el tiempo crece tanto como se quiera?
29. Los fractales son objetos geométricos que se generan luego de infinitas interacciones,
donde el mismo patrón de crecimiento se repite a diferentes escalas.
El perímetro del fractal anterior, está dado por la sucesión 𝑎𝑛 = 3(3
2)𝑛
Calcula el perímetro de todos los triángulos generados cuando el número de lados (n)
tiende a infinito.
30. Un equipo de investigación estimo que el número de bacterias, en miles, de un cultivo, en
función del tiempo x que pasó de un instante inicial x=0 en horas, viene dado por la
función:
{
2
9𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
4𝑥
𝑥 + 1, 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 10
4 𝑠𝑖 𝑥 > 10
a. Compruebe que la función es continua en todo su dominio.
b. Haz una representación de la función.
c. Demuestra que existe algún instante en el que el número de bacterias es de 3600.
d. ¿Cuál es el número de bacterias cuando han transcurrido 30 minutos?
31. Con relación a la siguiente información, responde si cada enunciado es verdadero (v) o
falso (f).
Un peluquero canino cobra por el corte de pelo de acuerdo con el peso de una
mascota. Si el perro pesa 15 libras o menos, el corte cuesta $35 000; si pesa entre 15 y
40 libras, cobra $ 40 000, y si pesa 40 o más libras, cobra $ 2000 por cada libra adicional.
a. La función que representa la situación presenta una discontinuidad evitable. ( )
b. El corte del pelo para un perro de 45 kg cuesta $ 50 000. ( )
c. El corte del pelo para un perro de 20 kg cuesta $ 35 000. ( )
d. El último tramo de la función se puede representar mediante la expresión 2000𝑥. ( )
e. La derivada del primer tramo de la función es igual a 1. ( )
f. La función es continua en todo su dominio. ( )
32. Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la
hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El
precio del tablón es de $128000 por metro cuadrado y el de los listones es de $87000 por
metro lineal.
Determina:
a. Las dimensiones de una puerta de 2 m2 de superficie de hoja para que el coste
sea mínimo. ¿Cuál será su precio?
b. Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?
33. Demuestra la siguiente fórmula, la cual corresponde al cálculo de la segunda derivada
de una función (𝑓 ∙ 𝑔)′′ = 𝑓′′𝑔 + 2𝑓′𝑔′ + 𝑓𝑔′′ y realiza la operación (2𝑓 ∙ 𝑔2)′′, dada las
funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1.
34. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre
las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si
el perímetro de la misma debe ser 12 metros.
35. La expresión 𝑠(𝑡) = 2𝑡3 −9
2𝑡2 − 7𝑡, con t>0, corresponde a la función posición de una
partícula.
a. ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5m/s?
b. ¿Cuándo es CERO la aceleración?
36. En un estanque se tienen 25 peces. Cada pez engorda 45 g por mes. Por cada 2 peces
que se aumente al estanque, la producción por pez disminuye en 2.5 g por mes. Hallar el
número ideal de peces para garantizar la máxima producción.
37. Se quiere hacer un encierro de atún de forma cilíndrica para permitir el movimiento de los
organismos. Las paredes y el fondo estarán hechos con red. Se ha determinado que el
volumen ideal para los encierros es de 100 m3. Calcular las dimensiones que debe tener el
encierro para utilizar la menor cantidad de red posible.
38. Se cuenta con el dinero para comprar 500 m2 de terreno. Dentro de este terreno se quieren
construir cuatro estanques rectangulares para el cultivo de un molusco dado. Encontrar
las dimensiones del terreno que garanticen que el área de cada estanque será máxima.
La separación entre estanques y con la reja que cercará el terreno debe de ser de 2 m.
39. Se quiere hacer una lata de atún que tenga 125 cm3 de volumen. El costo del material
para hacer las tapas de dicha lata es de $0.25 por cm2 mientras que el costo del material
que conforma al cilindro es de $0.35 por cm2. Hallar las dimensiones que deberá tener la
lata de atún para que el costo de la lata sea el mínimo.
40. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio
con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista
que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?
41. Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene
como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al
plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?
42. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13
de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le
descontó el pagaré?
43. Por un préstamo de 19.000.000 para comprar un vehículo hemos tenido que pagar
21.200.000 al cabo de un año a Bancolombia. ¿Cuál es la tasa de interés que nos han
cobrado?
44. ¿Cuál es el valor que voy a recibir si al cabo de 5 años cuando termine mi carrera
universitaria, había invertido $2.000.000 en la CFA, a una tasa de interés del 7,5% anual
simple?
45. Se depositan $ 8.000.000 en un banco que reconoce una tasa de interés del
14% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro
años?
46. Calcula el interés de un capital de $19.000.000 invertido durante 720 días al 10% anual,
del cual se obtiene $26.500.000.
47. ¿Cuál es el valor que voy a recibir si al cabo de 5 años cuando termine mi carrera
universitaria, había invertido $2.000.000 en la CFA, a una tasa de interés del 7,5% anual
Estadística.
48. Considere el experimento que consiste en lanzar cuatro monedas, se define la variable
aleatoria X como el número de sellos obtenidos.
a. Halla la función de probabilidad.
b. Encuentra la media, la varianza y la desviación típica.
c. Para la variable aleatoria X de esta distribución halla las probabilidades p(x< 2)
y p(x ≤ 3).
49. Explica si las siguientes variables corresponden al modelo de una distribución binomial.
a. X: “Número de niñas en una familia que tiene cuatro hijos”.
b. A: “Número de artículos defectuosos en un grupo de 1500 artículos”.
c. Y: “Número de veces que una persona ha salido de su país natal”.
d. C: “Número de estudiantes que aprueban el examen final de matemáticas del
grado once del colegio Antonino”
50. Considere el experimento que consiste en lanzar tres monedas, se define la variable
aleatoria X como el número de sellos obtenidos.
d. Halla la función de probabilidad.
e. Encuentra la media, la varianza y la desviación típica.
f. Para la variable aleatoria X de esta distribución halla las probabilidades p(x< 2)
y p(x ≤ 3).
51. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las
puntuaciones obtenidas. Halla la función de probabilidad, la esperanza matemática y la
varianza
52. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
a. Calcula y representa gráficamente la función de distribución
b. Calcula las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X ≥ 3)
p (3 ≤ X < 4.5)
53. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los
lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura. ¿Cuál es la
probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?
54. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30
años, vivan:
a. Las cinco personas
b. Al menos tres personas
c. Exactamente dos personas
55. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál
es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
56. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Se
envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Halla el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
57. Un grupo de estudiantes avanzan en un proyecto de indagación, el cual está apoyado
en el siguiente objetivo general.
Identificar los obstáculos cognitivos presentes en la comprensión del concepto de
derivada en los estudiantes.
a. ¿A qué población se deben dirigir y como pueden determinar la muestra para que sea
significativa?
b. Elabora un marco teórico que sustente el proyecto (entre 10 y 15 líneas).
c. Describe dos tecinas (instrumentos), que les permita la recolección de los datos de
manera segura y asertiva.
58. Menciona otra situación problemática que se pueda sustentar mediante los elementos y
la información recolectada hasta la fecha, como soporte del proyecto de indagación.
¿Qué estrategias utilizarías para dar a conocer las conclusiones de tú trabajo, para que
sirvan de entrada a nuevos estudios investigativos?
59. Realiza un mapa conceptual que permita identificar las diferentes técnicas de recolección
de datos en un proyecto de investigación.
60. Elabora un escrito en el que compares los diferentes tipos de muestreo, haciendo énfasis
en las ventajas y desventajas de cada uno de estos.
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