matematicas1.ppt modo de compatibilidad
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ESCUELA:
Matemticas
Ingeniera Civil
PROFESOR:
FECHA:
Ing. Belizario Zrate Torres
OCTUBRE - 2010
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Contenido SISTEMAS LINEALES y MATRICES
a) Sistemas lineales y su solucinb) Matrices, clases y operaciones con matricesc) Matriz aumentadad) Matriz Escalonadae) Eliminacin Gaussianaf) Matriz Inversag) Eliminacin Gauss JordanEjercicios.
SISTEMAS LINEALES y MATRICESa) Sistemas lineales y su solucinb) Matrices, clases y operaciones con matricesc) Matriz aumentadad) Matriz Escalonadae) Eliminacin Gaussianaf) Matriz Inversag) Eliminacin Gauss JordanEjercicios.
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SISTEMAS LINEALES Un sistema de ecuaciones es la reuninde dos o ms ecuaciones con dos o msincgnitas
Un sistema de ecuaciones es la reuninde dos o ms ecuaciones con dos o msincgnitas
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SOLUCIN DE UN SISTEMA La solucin de un sistema deecuaciones es un grupo de valores delas incgnitas que satisface todas lasecuaciones del sistema
La solucin de un sistema deecuaciones es un grupo de valores delas incgnitas que satisface todas lasecuaciones del sistema
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Ejercicios Verificar si los valores de x e ysatisfacen los sistemas de ecuaciones:
-3y-2x
13472194
xyyx
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-3y-2x
13472194
xyyx
1/3y1/2x
11588910
yxyx
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SISTEMA
COMPATIBLE INCOMPATIBLE
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TIENESOLUCIN
NO TIENESOLUCIN
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SISTEMA
Determinado tieneuna sola solucin
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COMPATIBLE
Determinado tieneuna sola solucin
Indeterminado tiene mas de unasolucin
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Resolucin de S. Lineales
Cuales son los mtodos para resolversistemas lineales?
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Mtodo de adicin y sustraccin Mtodo de sustitucin Mtodo grfico Mtodo de los determinantes
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Mtodo de adicin y sustraccin Mtodo de sustitucin Mtodo grfico Mtodo de los determinantes
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Mtodo de adicin ysustraccin (reduccin)
Consiste en escoger una ecuacin comobase y una incgnita a ser eliminadapar reducir el orden de la ecuacin enuna unidad.
Al final se llega a una ecuacin con unaincgnita
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Consiste en escoger una ecuacin comobase y una incgnita a ser eliminadapar reducir el orden de la ecuacin enuna unidad.
Al final se llega a una ecuacin con unaincgnita
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Ejemplo Resolver el siguiente sistema:
7651034
yxyx
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7651034
yxyx
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Se debe escoger una de las dosvariables y hacer que sus coeficientessean iguales. En el ejemploescogeremos la variable y.
Se debe escoger una de las dosvariables y hacer que sus coeficientessean iguales. En el ejemploescogeremos la variable y.
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7651034
yxyx
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Para lograr eliminar la variable y, sedebe multiplicar la primera ecuacinpor 2
Para lograr eliminar la variable y, sedebe multiplicar la primera ecuacinpor 2
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765(2)1034
yxyx
7652068
yxyx
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Al multiplicar la primera ec. Por 2 selogra que la variable y tenga losmismos coeficientes.
Al multiplicar la primera ec. Por 2 selogra que la variable y tenga losmismos coeficientes.
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7652068
yxyx
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Al sumar la 1ra y la 2da ecuacin setiene:
7652068
yxyx
15
7652068
yxyx
11313
1313
x
x
x
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Para hallar el valor de y, se sustituyeel valor de x en cualquiera de las dosecuaciones.
Para hallar el valor de y, se sustituyeel valor de x en cualquiera de las dosecuaciones.
1623663
4103103)1(4
y
y
yy
y
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Realice los siguientesejercicios
342570761157
1932
xyyx
yxyx
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342570761157
1932
xyyx
yxyx
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Mtodo de sustitucin Se basa en despejar una de lasincgnitas y sustituirla en la siguienteecuacin logrando obtener unaecuacin con una sola incgnita.
Se basa en despejar una de lasincgnitas y sustituirla en la siguienteecuacin logrando obtener unaecuacin con una sola incgnita.
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Ejemplo Resolver por el M. de sustitucin
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Se despeja una de las incgnitas
Se sustituye en la siguiente ecuacin
Se despeja una de las incgnitas
Se sustituye en la siguiente ecuacin
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Se resuelve la ecuacin y se obtiene laprimera solucin.
Finalmente el valor calculado se loremplaza en una de las ecuaciones
Se resuelve la ecuacin y se obtiene laprimera solucin.
Finalmente el valor calculado se loremplaza en una de las ecuaciones
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Matrices Una matriz es una tabla cuadrada orectangular de datos (llamadoselementos o entradas de la matriz)ordenados en filas y columnas, dondeuna fila es cada una de las lneashorizontales de la matriz y unacolumna es cada una de las lneasverticales
Una matriz es una tabla cuadrada orectangular de datos (llamadoselementos o entradas de la matriz)ordenados en filas y columnas, dondeuna fila es cada una de las lneashorizontales de la matriz y unacolumna es cada una de las lneasverticales
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Operaciones con matrices Suma de matrices Dadas las matrices m-por-n ,A y B, susuma A + B es la matriz m-por-ncalculada sumando los elementoscorrespondientes (i.e. (A + B)[i, j] =A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cadauno de los elementos homlogos de lasmatrices a sumar.
Suma de matrices Dadas las matrices m-por-n ,A y B, susuma A + B es la matriz m-por-ncalculada sumando los elementoscorrespondientes (i.e. (A + B)[i, j] =A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cadauno de los elementos homlogos de lasmatrices a sumar.
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Propiedades de la adicion Asociativa Dadas las matrices mn A, B y C A + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa Dadas las matrices mn A y B
A + B = B + A Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A Existencia de matriz opuesta con gr-A =
[-aij] A + (-A) = 0
Asociativa Dadas las matrices mn A, B y C A + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa Dadas las matrices mn A y B
A + B = B + A Existencia de matriz cero o matriz nula A + 0 = 0 + A = A Existencia de matriz opuesta con gr-A =
[-aij] A + (-A) = 0
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Ejemplo
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Producto escalar Dada una matriz A y un escalar c, suproducto cA se calcula multiplicandoel escalar por cada elemento de A (i.e.(cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Dada una matriz A y un escalar c, suproducto cA se calcula multiplicandoel escalar por cada elemento de A (i.e.(cA)[i, j] = cA[i, j] ).
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Propiedades Sean A y B matrices y c y d escalares. Clausura: Si A es matriz y c es escalar,entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA) Elemento Neutro: 1A = A Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB De matriz: (c+d)A = cA+dA
Sean A y B matrices y c y d escalares. Clausura: Si A es matriz y c es escalar,entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA) Elemento Neutro: 1A = A Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB De matriz: (c+d)A = cA+dA
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Ejemplo
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Producto de matrices El producto de dos matrices se puededefinir slo si el nmero de columnasde la matriz izquierda es el mismo queel nmero de filas de la matriz derecha
El producto de dos matrices se puededefinir slo si el nmero de columnasde la matriz izquierda es el mismo queel nmero de filas de la matriz derecha
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Propiedades Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC). Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si
A.B = 0 , No necesariamente A B son matrices nulas El producto de matrices no verifica la propiedad de
simplificacin: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo,
es decir, AB BA.
Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC). Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si
A.B = 0 , No necesariamente A B son matrices nulas El producto de matrices no verifica la propiedad de
simplificacin: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo,
es decir, AB BA.
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Ejemplo
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Matriz aumentada En lgebra lineal, se utiliza la matrizaumentada para representar loscoeficientes as como las constantes decada ecuacin
En lgebra lineal, se utiliza la matrizaumentada para representar loscoeficientes as como las constantes decada ecuacin
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Matriz escalonada Es aquella que tiene como primerelemento diferente de 0 de cadarengln el elemento unidad (1) y loselementos debajo de este deben ser 0
Es aquella que tiene como primerelemento diferente de 0 de cadarengln el elemento unidad (1) y loselementos debajo de este deben ser 0
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