matemÁticas ii geometrÍa actividades resueltas. el espacio afÍn

MATEMÁTICAS IIMATEMÁTICAS II

GEOMETRÍAGEOMETRÍA

Actividades resueltasActividades resueltas

EL ESPACIO AFÍNEL ESPACIO AFÍN

RESUMEN TEÓRICO (1)

Un vector v define una dirección en el espacio

LA RECTA

Una recta vectorial se consigue multiplicando v por un parámetro : v

Si hacemos que pase por un punto P, obtenemos la forma vectorial de la ecuación de la recta: = +

P

X

v(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (vx, vy, vz)

X(x, y, z) P(x1, y1, z1) v(vx, vy, vz)

x = x1 + vx

y = y1 + vy

z = z1 + vz

Ecuaciones paramétricas

Eliminando parámetros

Ecuación en forma continuaz

1

y

1

x

1

v

zz

v

yy

v

xx

RESUMEN TEÓRICO (2)EL PLANO

X(x, y, z)

Dos vectores linealmente independientes,

v(vx, vy, vz) y w(wx, wy, wz), determinan un

plano Cualquier vector u de es combinación lineal de v y w: u = v + w

v

wu

Pero los vectores son libres

Necesitamos indicar un punto P(x1, y1, z1) para fijar el plano

P

PX = v + w

x – x1 = vx + wx

y – y1 = vy + wy

z – z1 = vz + wz

x = x1 + vx + wx

y = y1 + vy + wy

z = z1 + vz + wz

Ecuaciones paramétricas del plano

Eliminamos los parámetros y y se obtiene la expresión de la ecuación general del plano:

Ax + By + Cz + D = 0

RESUMEN TEÓRICO (y 3)

EL PLANOLA RECTA

P(x1, y1, z1)

v(vx, vy, vz)

x = + y = + z = +

x1

vx

y1

vy

z1

vz

= =x - y - z -

x = x1 + vx

y = y1 + vy

z = z1 + vzEcs. paramétricas

Ecs. forma continua

P(x1, y1, z1)

v(vx, vy, vz)

w(wx, wy, wz)

x = x1 + vx + wx

y = y1 + vy + wy

z = z1 + vz + wz

Ecs. paramétricas

Ax + By + Cz + D = 0

Ec. forma general

Ax + By + Cz + D = 0

A’x + B’y + C’z +D’ = 0

Recta dada por

intersección de dos planos

Dibuja un sistema de referencia con el origen

en un vértice de un cubo y los vectores de la

base, las tres aristas concurrentes en ese

punto.

Determina las coordenadas del vértice del cubo

que no está sobre los planos de coordenadas.

54

P(1, 1, 1)

X

Y

Z

1

(1, 0, 0)

1(0, 1, 0)

1

Haz lo mismo que en la actividad anterior,

pero ahora con un ortoedro.

55

P(a, b, c)

X

Y

Z

a

(a, 0, 0)

b(a, b, 0)

c

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto

P(1, 2, 3) y tiene la dirección del vector P(1, 2, 3) y tiene la dirección del vector vv(4, 5, 6).(4, 5, 6).

56

v(4, 5, 6)

VECTOR LIBRE

P(1, 2, 3)

recta6

3z

5

2y

4

1x

Halla la ecuación de la recta que pasa por los Halla la ecuación de la recta que pasa por los

puntos A(1, 2, 3) y B(6, 5, 4).puntos A(1, 2, 3) y B(6, 5, 4).

57

Vector que une A con B: v: (6 – 1, 5 – 2, 4 – 3) = (5, 3, 2)

Podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta a partir de un punto (por ejemplo el A) y un vector: v:

OX = OA + v

x = 1 + 5 y = 2 + 3 z = 3 + 2

ecuaciones paramétricas

coordenadas de A componentes de v

Pasamos ahora de forma paramétrica a forma continua:

x = 1 + 5

y = 2 + 3

z = 3 + 2

5

1x

3

2y

2

3z

y como el valor de es el mismo en las tres igualdades:

2

3z

3

2y

5

1x

que son las ecuaciones de la recta en forma continua

Componentes de v

Coordenadas de A

Halla la ecuación del plano que contiene el punto Halla la ecuación del plano que contiene el punto

P(1, 0, 2) y los vectores P(1, 0, 2) y los vectores uu(3, 2, 1) y (3, 2, 1) y vv(2, 1, 3).(2, 1, 3).

58

P(1, 0, 2)

v(2, 1, 3)

u(3, 2, 1)

20

3

3

2

2

1

1

Ecuaciones parámetricas:

x =

y =

z =

… eliminamos parámetros:

0

312z

12y

231x

Ecuación general del plano: 5x – 7y – z – 3 = 0

+

+

+

+

+

+

1

Halla la ecuación del plano definido por los puntos

A(1, 0, 2), B(2, 1, 0) y C(1, 1, 2).

59

X

Y

Z

A(1, 0, 2)

B(2, 1, 0)

C(1, 1, 2)

Ecuaciones paramétricas:

x = 2 + 1· + 1·

y = 1 + 1· + 0·

z = 0 - 2· - 2·

Ecuación general:

0

22z

011y

112x

2x – z – 4 = 0

BA(1, 1, -2)BC(1, 0, -2)

X

Y

Z

A(1, 0, 2)

B(2, 1, 0)

C(1, 1, 2)

Forma equivalente: ecuación del plano

dado por tres puntos:

0

1211

1012

1201

1zyx

Ecuación general:

2x – z – 4 = 0

Calcula, de dos maneras distintas, la ecuación

de un plano que, pasando por el origen,

contenga al segmento de extremos A(1, 2, 3) y

B(0, 0, -1).

60

El origen es el punto O(0, 0, 0). Tenemos, pues, tres puntos:

A(1, 2, 3)

B(0, 0, -1)

O(0, 0, 0)

… y desarrollando el determinante:

Ecuación general del plano: 2x – y = 0

0

1000

1100

1321

1zyx

Otra forma de obtener la ecuación del plano es obtener dos vectores linealmente independientes.

OA

OB

(1, 2, 3)

(0, 0, -1)0

130z

020y

010x

0

13z

02y

01x

… de donde, desarrollando el determinante, se obtiene:

Ecuación general del plano:

Punto O(0, 0, 0)

2x – y = 0

Un plano contiene a las rectas

r: x – 1 = y – 2 = z –3 y s:

Halla su ecuación.

x = 1 +

y = 2

z = 3 + 2

61

r: x – 1 = y – 2 = z –3

x = 1 +

y = 2

z = 3 + 2

v( , , )

w( , , )

P( , , )

1 1 1

1

1

1

s: = 0

1

0

2

1

0

21 2 3

x – 1

y – 2

z – 3

Ecuación general del plano: 2x – y – z + 3 = 0

Utilizando las propiedades de los determinantes,

comprueba que son equivalentes las formas de

ecuación de un plano: Ax + By + Cz + D = 0 y

62

0

qpzz

qpyy

qpxx

330

220

110

Desarrollamos por los elementos de la primera columna:

(x – x0)(p2q3 – p3q2) – (y – y0)(p1q3 – p3q1) (z – z0) = 0+ (p1q2 – p2q1)

A + B + C

Y, por último, operamos los paréntesis:

Ax – Ax0 + By – By0 + Cz – Cz0 = 0

Ax + By + Cz + D = 0

Posición relativa de los planos:

1: 3x+2y-z+7=0 y 2: 2x-y+z-1=0.

63

1: 3x + 2y – z + 7 = 0 2: 2x - y + z -1 = 0 3 22 -1 -1 1

PLANOS SECANTESPLANOS SECANTES

Los planos son SECANTES: se cortan en una rectaLos planos son SECANTES: se cortan en una recta

Posición relativa de los planos:

1: 6x + 12y - 9z + 1 = 0 y 2: 2x + 4y - 3z – 7 = 0.

64

1: 6x + 12y - 9z + 1 = 0 2: 2x + 4y - 3z – 7 = 06 212 4 9 3

= =

PLANOS PARALELOSPLANOS PARALELOS

Los planos son PARALELOS (NO COINCIDENTES)Los planos son PARALELOS (NO COINCIDENTES)

= 3

1 -7

¡No coincidentes!¡No coincidentes!

Posición relativa de los planos:

1: 6x + 12y - 9z + 15 = 0 y 2: 2x + 4y - 3z – 5 = 0.

65

1: 6x + 12y - 9z + 15 = 0 2: 2x + 4y - 3z + 5 = 06 212 4 9 3

= =

PLANOS PARALELOSPLANOS PARALELOS

Los planos son COINCIDENTES: ambas ecuaciones corresponden al MISMO PLANOLos planos son COINCIDENTES: ambas ecuaciones corresponden al MISMO PLANO

= 3

15 5

=

¡COINCIDENTES!¡COINCIDENTES!

Posición relativa de los planos:

66

1: 3x + 2y – z + 7 = 0

2: 2x – y + z – 1 = 0

3: x + y + z = 0

1: 3x + 2y – z + 7 = 0

2: 2x – y + z – 1 = 0

3: x + y + z = 0

Estudiar la posición relativa de los planos:Equivale a discutir el sistema de ecuaciones:

= - 7

= 1

= 0

3

2

1

2

-1

1

-1

1

1

rango = 3 S. C. D.

Solución única (- 1, - 1, 2)

Los tres planos se cortan en el punto: (-1, -1, 2)

Estudia, en función de los valores del parámetro k, la

posición relativa de los planos:

1: 3x – ky + 2z - (k - 1) = 0

2: 2x - 5y + 3z – 1 = 0

3: x + 3y - (k - 1)z = 0.

67

1: 3x – ky + 2z – (k – 1) = 02: 2x – 5y + 3z – 1 = 0 3: x + 3y – (k – 1)z = 0.

Se trata de discutir el sistema de ecuaciones:

= k – 1= 1= 0

A =

321

- k- 5 3

23

1 - k

|A| = - 2k2 + 14k - 20

|A| = 0 - 2k2 + 14k – 20 = 0 k = 2 o k = 5

Si k 2 y k 5, entonces rango(A) = 3 = rango B

Sistema Compatible Determinado: SOLUCIÓN ÚNICA

Si k = 2,

3 - 2 2

A = 2 - 5 3

1 3 - 1

Rango(A) = 2

0131

1352

1223

B =

052

23

0

031

152

123

Rango(B) = 2

Sistema

Compatible

Indeterminado

Si k = 5,

3 - 5 2

A = 2 - 5 3

1 3 - 4

Rango(A) = 2

0431

1352

4253

B =

052

53

30

031

152

453

Rango(B) = 3

Sistema

Incompatible

En resumen:

Si k 2 y k 5 S. C. D. (Solución única)

Los tres planos se cortan en un punto

123 = P1

Si k = 2 S. C. I. (∞ soluciones)

Los tres planos se cortan en una recta

123 = r

Si k = 2 S. I. (No hay soluciones)

Los planos se cortan dos a dos

2

3

68

Halla la ecuación de “todas las hojas de un libro, en

cualquier posición de lectura”, sabiendo que las

‘tapas, abiertas en una determinada posición” tienen

de ecuación:

0z

0zy3

Las distintas posiciones corresponderán a los planos

del haz que tiene por eje la recta r

Por tanto, la ecuación es:

( ) +

El núcleo de un transformador de corriente eléctrica está

formado por placas de metal separadas por capas de

aislante o dieléctrico. Halla la ‘ecuación de esas capas’,

si la de la primera metálica es x + y + z = 1

69

Como se trata de planos paralelos, lo único que cambiará en la ecuación será el término independiente…

Por tanto, la ecuación del haz de planos paralelos es:

x + y + z = n

Determina la ecuación del haz de planos que tiene por

eje o arista la recta que pasa por los puntos A(0, 1, 1) y

B(1, 0, -2).

70

2

1

Hallamos las ecuaciones de la recta que pasa por

los puntos A y B:

01

0x

1

x

10

1y

1

1y

12

1z

3

1z

Las pasamos a la

forma de intersección de dos planos

- 1·x = 1·(y – 1) x + y – 1 = 0

-3·x = 1·(z – 1) 3x + z – 1 = 0

Y ya tenemos dos planos del hazPor tanto, la ecuación del haz de planos es:

(x + y – 1) + (3x + z – 1) = 0

estudia la posición relativa de cada par de ellas.

Dadas las rectas:

71

r: s: t:

I. Posición relativa de r y t

21z

1y

x 1: x - y - 1 = 0

2: 2y - z + 2 = 0

Vector dirección de r: v (1, 1, 2)

Ecs. Paramétricas de t

x = 1 + y = z = 2 + 2

Vector dirección de t: w (1, 1, 2)

x =1y

+

z =2

+

2y

y =

v ≡ w

RECTAS PARALELASPunto de r: A( , , )

0

1-1

Punto de t: B( , , )

1

0

2

AB ( 1, -1, 3)

NO COINCIDENTES

II. Posición relativa de r y s

21z

1y

x

1

2z

2

y

1

1x

Vector dirección de r: v (1, 1, 2)

Vector dirección de s: u (1, 2, 1)No tienen la misma

dirección

Punto de r: A( , , )

0

1-1

Punto de s: C( , , )

1 0 2

AC (1, -1, 3)

rango

1

1

2

1

2

1

1

-1

3

= 3 Vectores linealmente independientesVectores NO COPLANARIOSLas rectas SE CRUZAN

Componentes

NO proporcionales

III. Posición relativa de s y t

1

2z

2

y

1

1x

1: x - y - 1 = 0

2: 2y - z + 2 = 0

Vector dirección de t: w (1, 1, 2)

Vector dirección de s: u (1, 2, 1)

Según se ha visto:

Componentes

NO proporcionalesNo tienen la misma

dirección

C(1, 0, 2) sB(1, 0, 2) t Por tanto B ≡ C st

Las rectas tienen un punto en común:

SON COPLANARIAS y SECANTES

72

Estudia la posición relativa del plano : x + y + z + 1 = 0

con la recta de ecuaciones r: x - 1 = 2 - y = z / 3.

Pasamos la ecuación de r a forma paramétrica:

x – 1 = 2 – y = = t

x = 1 + t

y = 2 – t

z = 3t

Sustituimos las expresiones de x, y, z en la ecuación de :

x + y + z + 1 = 0

(1 + t)

(2 – t)

3t

3t + 4 = 0 t =

La recta INCIDE en el plano en el punto: P( , , )

x =

y =

z =

3

4

3

1

3

z

3

10

4

Ecuación compatible

4,

3

10,

3

1P

Halla el punto de intersección de la recta

x = 2t

y = 3t + 1

z = t

con el plano 3x + 2y –11z – 5 = 0.

73

x = 2t y = 3t + 1z = t

3 x + 2 y – 11 z – 5 = 0

Sustituimos las expresiones de x, y, z de las

ecuaciones paramétricas, en la ecuación del plano

2t6t(3t + 1) 6t + 2

tt - 3 = 0 t = 3

Llevamos ahora este valor del parámetro a las ecuaciones de la recta para obtener el punto de intersección:

3

6

( , , )

3

10

10

33

Estudia la posición relativa del plano : x + y + z + 1 = 0

y las rectas r: x = y = y s:

74

I. Posición relativa de y r:

r: x = y =

Sustituimos en la ecuación del plano:

: x + y + z + 1 = 0

2

z

2

z

-z + z + 1 = 0 - z ¡Pero esto es falso!

Por tanto, recta y plano NO tienen ningún punto común

r es PARALELA a PARALELA

2

z

II. Posición relativa de y s:

s:x – y = 0

2x + z + 1 = 0: x + y + z + 1 = 0

x – y = 0

2x + z = - 1

x + y + z = - 1

Procedemos a discutir este sistema

1 -1 0

2 0 1

1 1 1

rango = 2

1 -1

2 0

1 1

rango

0

-1

-1

= 2

S. C. I. La recta s está contenida en el plano

s

s

Fin

de

“Espacio Afin”

ESPACIO ESPACIO

EUCLÍDEOEUCLÍDEO

RESUMEN TEÓRICO (1)

Distancia entre dos puntos

A(x1, y1, z1)

B(x2, y2, z2)d(A, B) =

(coincide con el módulo del vector AB)

Ángulo entre dos vectores v y w

v·w = |v|·|w|·cos = v1w1 + v2w2 + v3w3

v(v1, v2, v3)

w(w1, w2, w3)cos Producto escalar

= ————————

v1w1 + v2w2 + v3w3|v|·|w|

RESUMEN TEÓRICO (2)

v(v1, v2, v3)

w(w1, w2, w3)

Producto vectorial

vw es un vector

Dirección perpendicular al plano vw

Sentido: regla del sacacorchos

Módulo: | vw | = |v|·|w|· sen

v

wvw

Regla práctica: vw =

RESUMEN TEÓRICO ( y 3)

Aplicaciones del producto vectorial

base

altura

v

w = |w|·sen

Área = base altura |v|

·|w|·sen = |vw|

Área = |vw| 1

2

RESUMEN TEÓRICO ( y 3)

Volumen = Base altura

v

wBase

= |vw|

alturau

= |u|·sen

Volumen = |vw|

|u|·sen

u·(vw)producto mixto

Regla práctica: u·(vw) =V = u·(vw)

1

6

vw

cos

Comprueba que los tres productos escalares

de los vectores de la base por sí mismos dan

la unidad.

75

i(1, 0, 0)

j(0, 1, 0)

k(0, 0, 1)

i·i = (1, 0, 0)·(1, 0, 0) = 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

j·j = (0, 1, 0)·(0, 1, 0) = 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1

k·k = (0, 0, 1)·(0, 0, 1) = 0·0 + 0·0 + 1·1 = 1

|i| = 222 001 = 1

|j| = 222 010

222 100 |k| =

= 1

= 1

i·i = |i|·|i|·cos(i, i) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1

j·j = |j|·|j|·cos(j, j) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1

k·k = |k|·|k|·cos(k, k) = 1·1·cos0º = 1·1·1 = 1

1

1

1

Verifica que los tres productos escalares de dos

vectores distintos de la base son nulos.

76

i(1, 0, 0)

j(0, 1, 0)

k(0, 0, 1)

i·j = (1, 0, 0)·(0, 1, 0) = 1·0 + 0·1 + 0·0 = 0

i·k = (1, 0, 0)·(0, 0, 1) = 1·0 + 0·0 + 0·1 = 0

j·k = (0, 1, 0)·(0, 0, 1) = 0·0 + 1·0 + 0·1 = 0

|i| = 222 001 = 1

|j| = 222 010

222 100 |k| =

= 1

= 1

i·j = |i|·|j|·cos(i, j) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0

i·k = |i|·|k|·cos(i, k) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0

j·k = |j|·|k|·cos(j, k) = 1·1·cos90º = 1·1·0 = 0

0

0

0

Halla el producto escalar de los dos vectores

representados en la figura.

77

(0, 0, 0)

(1, 0, 1) (1, 1, 1)

u vu (1, 0, 1)v

(1, 1, 1)

u

v

· = ·

(1, 0, 1)

(1, 1, 1)

= 1·1 + 0·1 + 1·1 = 2

Por tanto, u · v = 2

Calcula a y b en los vectores (1, 2, a) y (b, -1, 0),

sabiendo que tienen producto escalar nulo y que las

componentes primera y tercera de su suma coinciden.

78

v(1, 2, a) w(b, -1, 0)

v + w = (1, 2, a) + ( b, -1, 0) 1+b, 1 b2 -1 1,a 0 a)

Componentes 1ª y 3ª coinciden:

= ( 1+b

=

a

a – b = 1

v · w = (1, 2, a) · ( b, -1, 0) = 1 b2 -1 - 2 +a 0 0 = 0b b = 2

a – b = 1

b = 2

a – 2 = 1a = 3Por tanto, a = 3 y b = 2

Dada la recta r: (A, u) y el plano : Ax+By+Cz+D=0,

¿por qué es condición necesaria y suficiente para

que sean paralelos que Au1 + Bu2 + Cu3 = 0?

79

r(A, u)

: Ax + By + Cz + D = 0

r

uA

A B C (A, B, C)

Vector dirección de r: u(u1, u2, u3)

Vector característico de : (A, B, C)¡PERPENDICULARES!

Producto escalar nulo

(u1, u2, u3)

(A, B, C)

· = 0 Au1 + Bu2 + Cu3 = 0

Halla la dirección de todos los clavos ‘clavados derechos’

en un tablero cuya ecuación es:

= 0

80

0

112z

101y

21x

La dirección vendrá dada por un vector cuya dirección sea perpendicular al plano dado:

1

0

1

v(1, 0, 1)2

1

1 w(2, 1, 1)

v

w

Una dirección perpendicular a v y a w nos la da el producto vectorial de ambos:

112

101

kji

= (-1, 1, 1)= i11

10 - j12

1112

11+ k

12

01(-1, 1, 1)

Halla los ángulos entre los planos siguientes:

)1: x + y + z + 2 = 0, 2: x – 2z = 0

b) 1: 3x + 4z – 1 = 0, 2: z = 0

81

El ángulo formado por dos

planos es el mismo que el

formado por sus vectores

característicos

Por tanto, hallaremos el ángulo entre vectores característicos

v·w = |v|·|w|·cos = v1w1 + v2w2 + v3w3cos = v1w1 + v2w2 + v3w3|v|·|w|

a) 1: x + y + z + 2 = 0

2: x – 2z = 0

v( , , ) 1 1 1

w( , , ) 1 0 -2

cos =

1 1 1

1 0 -2

· + · + ·

|v| =

·

|w| =

= = arc cos 105º

cos = v1w1 + v2w2 + v3w3

|v|·|w|

b) 1: 3x + 4z – 1 = 0

2: z = 0

v( , , ) 3 0 4

w( , , ) 0 0 1

cos =

3 0 4

0 0 1

· + · + ·

|v| =

·

|w| =

= = arc cos 36º52’

55

11

82

Considera el ángulo triedro de aristas:

r: x = y = z s: x = = y t:

Halla lo que miden sus tres ángulos diedros.

y

2

z

3

2z

y

x

r

s

t

r

s

t

: x = y = zVector dirección

v (1, 1, 1)

: x =y z

2 3— = —

Vector dirección

w (1, 2, 3)

1Vector característico de 1:

vw

vw =321

111

kji

= (1, -2, 1)

Vector dirección

u(1, -1, 2)

Vector característico de 2:

2

uw =

u

321

211

kji

= (-7, -1, 3)

Vector característico de 3:

3

uv =111

211

kji

= (-3, 1, 2)

Ahora, para calcular los ángulos entre cada dos planos, averiguamos el ángulo entre los respectivos vectores característicos:

1 2

= arc cos (1, -2, 1)·(-7, -1, 3)

|(1, -2, 1)|·|(-7, -1, 3)| 22º

1 3

= arc cos

|(1, -2, 1)|·|(-3, 1, 2)| (1, -2, 1)·(-3, 1, 2) 109º

2 3

= arc cos (-7, -1, 3)·(-3, 1, 2)

|(-7, -1, 3)|·|(-3, 1, 2)| 25º

Comprueba que la proyección ortogonal del origen de

coordenadas sobre el plano : x + 2y + 3z – 4 = 0 es

el punto O’(2/7, 4/7, 6/7)

83

: x + 2y + 3z – 4 = 0

O

O’( , , )7

2

7

4

7

6

v( , , )1 2 3 v

rr

x = t

y = t

z = t

1 2 3

(r pasa por el origen O)

Sólo hay que comprobar que O’ está sobre la recta r

7

2

=

1t

y = 2t = 2·7

2=

7

4

z = 3t = 3· 7

2=

7

6

Por tanto, O’ = ProyO

?

84

Calcula qué ángulo forman el plano 3x + y - 2z = 0

y la recta r:

083

082

zy

yx

Plano : 3x + y - 2z = 0

Recta r:

3 1 -2 ( , ,

)

r(y = t)

x = 8 + 2t

y = t

z = – 8 – 3t

r:

( , , )

2

1

-3

v

w

|v| = ) 14213 222

|w| = ) 14312 222

cos = ———v·w|v|·|w|

= —————————3·2 + 1·1 + (-2)·(-3) 14·14

= ——1314

21º47’

+ = 90º 90º - 21º47’ Luego 68º13’

Calcula el perímetro de un paralelogramo ABCD, siendo tres

de sus vértices los puntos A(0, 0, 3), B(1, 2, 3) y C(0, 4, 3).

85

C(0, 4, 3)

A(0, 0, 3) B(1, 2, 3)

d(A, B) =

x

= =

y

= d(B, C) =

Perímetro = 2x + 2y = 4

x

y

86

Una pirámide tiene su base de 4 cm2 sobre el

plano x + y + z = 1, y su vértice o cúspide es el

punto V(3, 3, 3). Halla su volumen.

V(3, 3, 3)Volumen = — Base · altura1

3

Base = 4 cm2

altura = d(V, )

: x + y + z – 1 = 0x + y + z – 1 d(V, ) = ———————| |

3 3 3

222 111 = ——8

3

Volumen = —— 4 · —— = ———— cm213

83

32 9

3

Calcula las distancias entre los siguientes elementos:

a) El punto P(1, 0, 1) y la recta r: x = y = ———

b) Las rectas r: x = y = z + 2 y s: x = y – 1 = z

c) Los planos 1: 3x + 4y + 12z – 3 = 0 y

2: 3x + 4y + 12z + 2 = 0.

z + 2 2

87

Primera forma …

r: x = y = ———z + 2 21 2

A( , , )

0 0 -2

A

( , , )

P(1, 0, 1)

uu es vector característico del plano perpendicular a r que pasa por P:

1

1·(x – 1) + 1·(y – 0) + 2·(z – 1) = 0

: x + y + 2z – 3 = 0

Q

Q = r z + 2

2

z + 2

2+ + 2z – 3 = 0 z =

d = d(P, r) = d(P, Q) = u

a)

r: x = y = ———z + 2 21

( , , )

1 2

A( , , )

0 0 -2

u

A

P(1, 0, 1)

v = AP = (1, 0, 3)

La distancia de P a la recta es la altura del paralelogramo

ÁreaPARALELOGRAMO = Base altura

|uv| = |u| · dd=|uv| |u|

=|(3, -1, -1)|

|(1, 1, 2)|= unidades

Segunda forma …a)

b)

r: x = y = z + 2

s: x = y – 1 = z

A(0, 0, -2)

u(1, 1, 1)

B(0, 1, 0)

v(1, 1, 1)

u = v RECTAS PARALELAS

r

s

B

d = d(r, s) = d(B, r) =

|AB v|

|v|

Luego, d = |(0, 1, 0)(1, 1, 1)|

|(1, 1, 1)|= u

c)

1: 3x + 4y + 12z – 3 = 0

2: 3x + 4y + 12z + 2 = 0.v (3, 4, 12) vector característico

PLANOS PARALELOS

Dos opciones:

I. d = |d(O, 2) - d(O, 1)| = 2 – (–3)

|v|=

5

13u

II. Tomar un punto cualquiera P, de 1, y hallar d(P, 2)

Por ejemplo, en 1, si y = z = 0 x = 1 P(1, 0, 0)

d(P, 1) = |3·1 + 4·0 + 12·0 + 2|

|v|=

5

13u

Calcula el producto vectorial de los vectores

p(1, 2, 3) y q(0, 1, 2).

88

p(1, 2, 3)

q(0, 1, 2)

pq =

pq

DIRECCIÓN perpendicular al plano

que contiene a p y a q

SENTIDO según regla del sacacorchos

MÓDULO |pq| = |p|·|q|·sen (pq)

Regla práctica:

i j k

1 2 3

0 1 2

pq = = (1, -2, 1)

Dados p(0, 1, 2) y q(-1, 0, -1), calcula pq y qp y

comprueba que se obtienen vectores opuestos.

89

pq =

i j k

0 1 2

-1 0 -1

= ( -1, -2, 1)

qp =

i j k

-1 0 -1

0 1 2

= ( 1, 2, -1)

Vectores opuestos

Signoscambiados

Comprueba la no asociatividad del producto vectorial

con los vectores p(1, 2, 0), q(1, -1, 3) y r(1, 1, 0)

90

qr =

i j k

1 -1 1

2 1 0

= (-1, 2, 3)

p(qr) =

i j k

1 2 0

-1 2 3

= (6, -3, 4)

pq =

i j k

1 2 0

-1 0 -1

= (-2, 1, 2)

(pq)r =

i j k

-2 1 2

1 1 0

= (-2, 2, -3)

Halla el producto vectorial de los vectores

ortogonales v(a, 1, 0) y w(1, 0, 1)

91

Si son ortogonales, el producto escalar es cero

v·w = (a, 1, 0)·(1, 0, 1) = a

Por tanto: a = 0

v = (0, 1, 0)

w = (1, 0, 1)

vw =

i j k

0 1 0

1 0 1

= (1, 0, -1) vw

Escribe la ecuación de un plano que pasa por el

origen y tiene dos direcciones u(1, 1, 3) y v(0, -2, 1).

92

x – 0 1 0

y – 0 1 -2

z – 0 3 1

= 0 7x – y – 2z = 0

O también:

uv =

i j k1 1 30 -2 1

= (7, -1, -2)

7(x – 0) – 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0

7x – y – 2z = 0

uv

v. característico uv

Expresa en forma paramétrica y continua la ecuación

de la recta r:

93

x + y + 2 = 0

y + z – 1 = 0

Haciendo

y = t

x = – 2 – t

y = t

z = 1 – t

Ecuaciones paramétricasEcuaciones paramétricasDespejando

y

en ambas

y = – x – 2

y = – z + 1

y =

y =

x + 2

-1 x + 2

-1 = y =z – 1

-1

z – 1

-1

Ecs. en forma continuaEcs. en forma continua

Analiza qué diferencia esencial hay entre los

productos escalar y vectorial.

94

El resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector.

Tiene, por tanto, módulo, dirección y sentido

En cambio, el producto

escalar de dos vectores

da como resultado un

escalar, es decir, un

número

Calcula el área del triángulo cuyos vértices son

A(1, 0, 0), B(1, 1, 1) y C(0, 1, 0)

95

A(1, 0, 0)

B(1, 1, 1)

C(0, 1, 0)

v = (0 – 1, 1 – 0, 0 – 0)

v(-1, 1, 0)

w = (1 – 1, 1 – 0, 1 – 0)

w(0, 1, 1)

Área = |vw|

2

|(1, 1, -1)|

2= =

√3

2u2

Idem con los vértices O(0, 0, 0), A(1, 1, 1) y C(0, 1, 2).

96

O(0, 0, 0)

A(1, 1, 1)

C(0, 1, 2)

v = (0 – 1, 1 – 0, 2 – 0)

v(0, 1, 2)

w = (1 – 0, 1 – 0, 1 – 0)

w(1, 1, 1)

Área = |vw|

2

|(1, -2, 1)|

2= =

√6

2u2

Un rombo tiene de vértices los puntos A(1, 4, 1),

B(3, 1, 1), C(5, 4, 1) y D(3, 7, 1). Halla su área,

usando la fórmula A = y también

descomponiéndolo en triángulos. Comprueba la

igualdad de los resultados.

97

S = D·d

2

A(1, 4, 1)

B(3, 1, 1)

C(5, 4, 1)

D(3, 7, 1)

= |AC| = 5 – 1 = 4

D

d

= |BD| = 7 – 1 = 6

S = = 12 u2 6·4

2

v(4, 0, 0)

w(2, -3, 0)

Striángulo = |vw| = 6 u21

2

S = 2·Striángulo = 12 u2

También, puesto que el rombo es un paralelogramo:

S = |ABAD| = |(2, -3, 0)(2, 3, 0)| = 12 u2

¿Qué puede deducirse del resultado |pXq| = |p||q|,

respecto de los vectores p y q?

98

Puesto que

|pq| = |p|·|q|·sen(p

q)

Significa que:

sen(p q) = 1

O sea, que p y q son

PERPENDICULARES

El área de una elipse es el doble de la del círculo que

proyecta ortogonalmente sobre un plano . Calcula el

ángulo que forma el plano de la elipse con .

99

S

S1

2

½S = S·cos cos = ½ = 60º

Calcula la distancia mínima entre las rectas que se cruzan:

r: y s:

100

x – 2y + z = 0

2x – z + 7 = 0

2x + y + z – 6 = 0

x – y = 0

x – 2y + z = 0

2x – z + 7 = 0

2x + y + z – 6 = 0

x – y = 0

r

r

s

s

d

Hacemos x = 0 z = 7 y = 7/2 A(0, 7/2, 7)

( , , )( , , ) = 1 -2 1

2 -10 v(2, 3, 4)

A

v

Hacemos x = 0 y = 0 z = 6 B(0, 0, 6)2( , , )( , , ) =

1 1

1 -1 0 w(1, 1, -3)B

w

u

Volumen del paralelepípedo =

[u, v, w] = Base·altura = |vw|·dd

= ————

[u, v, w] |vw|

Por tanto, la distancia es:

d = = ———

0 7/2 12 3 41 1 -3

|(-13, 10, -1)|

17√30

45

—

Fin

de

“Espacio Euclídeo”