localización y transferencia de energía en redes

Universidad de SevillaDepartamento de Física de la Materia CondensadaDepartamento de Física Aplicada IGrupo de Física No Lineal

Localización y Transferencia de Energía en RedesAnarmónicas No Homogéneas

Jesús Cuevas Maraver

Directores:Dr. D. Juan Francisco Rodríguez Archilla

Dr. D. Francisco Romero Romero

Sevilla, 20 de Febrero de 2003

Introducción

Redes de osciladores: cristales, biomoléculas, arrays de unionesJosephson...

Evidencias experimentales de localización de energía:

Origen en la no linealidad de las interacciones.

Origen en la no homogeneidad de la red (impurezas,aleaciones desordenadas, código genético).

Transferencia de energía localizada.

Afectada por la no homogeneidad.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.1/56

Esquema

1. Introducción. Localización en redes.

2. Localización en redes anarmónicas homogéneas. Breathers.Estabilidad de las soluciones.

3. Localización en redes anarmónicas no homogéneas. Relaciónentre breathers y modos Anderson.

4. Transferencia de energía en redes anarmónicas. Interacciónentre breathers móviles e impurezas.

5. Localización y transferencia de energía en modelos de ADN coninteracción dipolar y curvatura.

6. Conclusiones.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.2/56

Redes de osciladores

Hamiltoniano en redes de tipo Klein–Gordon:

H =∑

�n

(1

2mn�u

2�n + V�n(�u�n) + C

∑�m

W�n,�m(�u�n, �u�n+�m)

)

V : Potencial on–site (o de substrato).

W : Potencial de interacción.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.3/56

Red armónica homogénea

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.4/56

Red armónica no homogénea

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Red anarmónica homogénea

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.6/56

Redes anarmónicas homogéneas

Localización intrínseca (Takeno y Sievers, 1988).

MacKay–Aubry (1994). Teorema de existencia de breathers ymultibreathers.

Basado en el límite anti-continuo.

Soluciones exactas, periódicas y reversibles en el tiempo:un(t) = zo

n + 2∑

k zkn cos(kωbt).

Condiciones necesarias para la existencia:

Anarmonicidad del potencial on–site.No resonancia con los fonones (kωb �= ωph, k = 1, 2, 3, . . .).

Sistema no lineal y discreto para la existencia de breathers.

Métodos de cálculo (Marín y Aubry, 1996) en el espacio real yespacio de Fourier.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.7/56

Redes anarmónicas homogéneas

Código σ = {σn} para osciladores en el límite anti-continuo:

σn = 0: Oscilador en reposo (un(t) = 0).

σn = +1: un(t = 0) > 0.

σn = −1: un(t = 0) < 0.

σn = k: Oscilador con frecuencia kωb.

Tipos de breathers:

1–site breather: 1 oscilador excitado.

n–site breather: n osciladores (adyacentes) excitados.

Phonobreather: todos los osciladores excitados.

n–site dark breather: n osciladores en reposo. Resto excitado.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.8/56

Tipos de potenciales

Potencial duro (ωb > ωo):

Potencial φ4: V (x) = ω2ox2/2 + x4/4.

Potencial blando (ωb < ωo):

Potencial cúbico: V (x) = ω2ox2/2 − x3/3.

Potencial de Morse V (x) = D(exp(−bx) − 1)2.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

ωph

C

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.9/56

Ejemplos (potencial blando)

H =∑n

(1

2u2

n +1

2(e−un − 1)2 + C(un − un−1)2

)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.10/56

Ejemplos (potencial duro)

H =∑

n

(12u2

n + 12ω2

ou2n + 1

4u4

n + C(un − un−1)2)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.11/56

Dark breather en fase

H =∑n

(1

2u2

n +1

2x2 +

1

4x4 + C(un − un−1)2

)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.12/56

Dark breather en zig-zag

H =∑n

(1

2u2

n +1

2(e−un − 1)2 + C(un − un−1)2

)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.13/56

Estabilidad de las soluciones

Ecuaciones dinámicas de una perturbación un → un + ξn:

ξn(t) + V ′′(un(t))ξn(t) − C∑

i

W ′′(un+i(t) − un(t))(ξn+i(t) − ξn(t)) +

+C∑

i

W ′′(un(t) − un−i(t))(ξn(t) − ξn−i(t)) = 0

Estabilidad lineal de soluciones periódicas → Análisis de Floquet:

ξ(T )

ξ(T )

= Fo

ξ(0)

ξ(0)

El operador de Floquet es real y simpléctico:

λ, 1/λ, λ∗, 1/λ∗ son autovalores.

Condición necesaria y suficiente de estabilidad lineal en sistemasHamiltonianos: Todos los autovalores en la circunferencia unidad.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.14/56

Estabilidad de las soluciones

Estable Inestable

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.15/56

Tipos de bifurcaciones

Armónica Subarmónica Oscilatoria

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.16/56

Estabilidad de multibreathers

1–site breathers: estables para acoplos pequeños (MacKay yAubry, 1994).

Multibreathers:

Teoría de bandas (Aubry, 1997).

Teorema de Estabilidad de Multibreathers. [Archilla, Cuevas,Sánchez-Rey, Álvarez; Physica D (2003)].

Conjuga teoría de bandas de Aubry con la teoría deperturbaciones degenerada.Extendido por el autor para potenciales asimétricos.

Dark breathers:

Aplicación del teorema de estabilidad.

Resultados numéricos. [Álvarez, Archilla, Cuevas, Romero;New J. Phys. (2002)].

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.17/56

Teorema de Estabilidad (T.E.M.)

Restricción al espacio de osciladores excitados en el límiteanti-continuo.

Diagonalización de la matriz Q:Qnm =< n|Q|m >=< n|V ′′′(u(0, t)) ∂u

∂C (0, t) + J |m >.

J : matriz de acoplo.

Autovalores de Q→ λi. Ei = Cλi.

La teoría de bandas establece para acoplos pequeños:

Potencial duro: Multibreather estable si Ei > 0, ∀i.Potencial blando: Multibreather estable si Ei < 0, ∀i.Si hay autovalores de distinto signo, el multibreather esinestable con independencia del potencial.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.18/56

Forma de la matriz Q

Matriz Q definida por:

Qnm = Jnm, n �= m, σn = σm ∀n, m

Qnm = σnσmJnm, n �= m, γ = 1.

Qnm = 12Jnm[(σnσm + 1) + γ(σnσm − 1)], n �= m.

Qnn = −∑m�=n Qnm.

Coeficiente de simetría γ = −∫ T/2−T/2 u0(t) u0(t+T/2) dt∫ T/2

−T/2 u0(t) u0(t) dt.

γ ∈ [0, 1]. γ = 1 para potenciales simétricos.

γ = ωb para el potencial de Morse.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.19/56

Aplicación del T.E.M.

n–site breathers (Acoplo atractivo):

Patrón Potencial blando Potencial duro

Fase Inestable Estable

Zig-zag Estable Inestable

Otro Siempre Inest. Siempre Inest.

Phonobreathers (Acoplo atractivo):

Extremos libres / fijos C.c. periódicas

Patrón P. blando P. duro P. blando P. duro

Fase Inestable Estable Inestable Estable

Zz (N par) Estable Inestable Estable Inestable

Zz (N impar) Estable Inestable Inest. Paridad Inest. Paridad

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.20/56

Estabilidad de dark breathers

Aplicación del teorema de estabilidad (Acoploatractivo):

Extremos libres / fijos C.c. periódicas

Patrón P. blando P. duro P. blando P. duro

Fase Inestable Indefinido Inestable Estable

Zz (σ1 �= σN ) Indefinido Inestable Estable Inestable

Zz (σ1 = σN ) Indefinido Inestable Inest. Paridad Inest. Paridad

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.21/56

Estabilidad de dark breathers

Resultados numéricos. Análisis de bandas en dark breathers en fase:

Bifurcaciones subarmónicas y oscilatorias existen en sistemas infinitos.

Sistemas disipativos:un + γun + 1

2πsin(2πun) + C(2un − un−1 − un+1) = F sin(ωbt).

Estables para acoplos pequeños atractivos y repulsivos.

−3 −2 −1 0 1 2 3−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

E

θ−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

E

θ

C < 0 C > 0

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.22/56

Relación breather–modo Anderson

Localización en redes anarmónicas homogéneas→ Breathers.

Localización en redes armónicas desordenadas→ ModosAnderson.

Conexión entre ambos modos localizados→ Aproximación AMM.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.23/56

Localización Anderson

Ausencia de difusión electrónica en presencia de unpotencial aleatorio (Anderson,1958): H = −∇2 + Vn.

Función de onda electrónica decae exponencialmentepara un desorden suficientemente grande.

Sistemas multidimensionales→ Mobility edges.Transición aislante–conductor (Mott et al, 1967).

Resultados aplicables a dinámica reticular.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.24/56

Redes anarmónicas desordenadas

Red armónica desordenada: Conductividad eléctrica y

térmica nula.

La evidencia experimental muestra la existencia de

conductividad en redes desordenadas.

Anarmonicidad y desorden pueden o bien competir

destruyendo la localización o bien cooperar.

Estudios de modos de vibración localizados en redes

anarmónicas desordenadas:

Kopidakis y Aubry (1999).

Archilla, MacKay y Marín (1999). Aproximación AMM.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.25/56

Aproximación AMM

Construcción de un camino cuasi–continuo entrebreathers y modos Anderson a acción constante.

V (x) = ω2nx

2/2− sx3 → Potencial blando asimétrico.

Parámetro s: s = 1 Límite anarmónico ordenado.s = 0 Límite armónico desordenado.

Implementación del desorden:ωn = ωo (1 + ρ(s) (rn/2)). ρ(s) = (1− sq) con q > 0.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.26/56

Bifurcaciones AMM (1d)

Desorden No linealidad

Número de modos Anderson: Nd

Número de multibreathers: 3dN − 1.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.27/56

Extensión de la aprox. AMM

Objetivos:

Observar el comportamiento en dos dimensiones.

Ampliar los resultados en una dimensión:

Distintas implementaciones del desorden.Estudio de los modos Anderson de frecuencia máxima ymínima.

Resultados:

Bifurcaciones 2d iguales a 1d. [Cuevas et al; J. Phys. A(2001)].

Conexión de modos Anderson de frecuencia máxima ymínima entre sí y un dark breather.

Desorden gaussiano→ aumento del número de conexiones ybifurcaciones cuando aumenta el desorden.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.28/56

Diagrama de bifurcación 1d

Desorden No linealidad

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.29/56

Transferencia de energía

Estudio de breathers móviles en sistemas no homogéneos:

Redes con una impureza. [Cuevas et al; J. Phys. A (2002)].

Cadenas de ADN con interacción dipolar y curvatura. [Cuevaset al; Phys. Lett. A (2002)].

Paso previo: Estudio de breathers móviles en cadenas rectas deADN con interacción dipolar. [Cuevas et al; Phys. D (2002)].

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.30/56

Breathers móviles

Oscilación localizada que se desplaza por la red.

Mecanismo de transferencia de energía.

No son soluciones exactas de las ecuaciones dinámicas←Emisión de radiación fonónica.

No existen en sistemas continuos salvo con potencialessine–Gordon.

Conceptos útiles:

Masa efectiva: medida de la inercia del breather 12m∗v2 = K.

Centro de energía: medida de la posición del breatherXE =

∑n nEn/E.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.31/56

Puesta en movimiento

Condiciones para producir breathers móviles:

Sistema cercano a un cambio de estabilidad.

Existencia de modo localizado tal que una perturbación en sudirección produzca el movimiento→ modo de pinning (Chen,Aubry, Tsironis; 1996).

Breather Modo de pinning

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.32/56

Ejemplo de breather móvil

H =∑

n

(12u2

n + 12(e−un − 1)2 + C(un − un−1)2

)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.33/56

Breathers móviles e impurezas

Hamiltoniano:

H =∑

n

(12mnu2

n + Vn(un) +14Cn[(un − un−1)2 + (un − un−1)2]

)

Vn(un) = Dn(e−u − 1)2

Dn = D(1 + αδn,0)

Cn = C(1 + βδn,0)

mn = m(1 + γδn,0)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.34/56

Regímenes

Ref

lexi

ónE

xcita

ción

Atr

apam

ient

o

Poz

o

Bar

rera

Ref

lexi

ón

α=0Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.35/56

Barrera

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Cen

tro

de E

nerg

ía

Periodos−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

2

4

6

8

10

12

14

x 10−3

Eb

X

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.36/56

Excitación de impureza

0 50 100 150 200 250

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

Des

plaz

amie

nto

Periodos

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.37/56

Atrapamiento

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

Des

plaz

amie

nto

Periodos

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.38/56

Modos de impureza

Ecuaciones dinámicas linealizadas:

mnun + ω2nun + [Cn(2un − uu+1 − uu−1) + (Cn+1 + Cn−1)un −

− Cn+1un+1 − Cn−1un−1] = 0.

Modos lineales de impureza: se introduce la solución de pruebaun(t) = uoe

iωLtrn.

Solución de prueba con inhomogeneidad en acoplo: u1(t) = λuoe

jωLt

un(t) = u1rnejωLt

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.39/56

Soluciones estacionarias

MLI: ω2L = ω2

o + 2C + sgn(α)√

α2ω4o + 4C2

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

αres

ωb

q=0

q=π

0 BI

1 MLI

N−1 MLE

1 BI

0 MLI

N−1 MLE

1 BI

1 MLI

N−2 MLE

ωph

α (∆ D)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.40/56

Hipótesis de atrapamiento

Condición necesaria para la existencia deatrapamiento:

1. Debe existir un breather de impureza conlos mismos parámetros del breather móvil.

2. No puede existir un modo lineal deimpureza con un patrón de vibracióndiferente al del breather de impureza.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.41/56

Inhomogeneidad en la masa

MLI: ω2L = ω2

o−sgn(γ)√

(γ)2ω2o(ω2

o+4C)+4C2

m(1−(γ)2)

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

γres

ωb

q=0

q=π

1 BI

1 MLI

N−2 MLE

1 BI

0 MLI

N−1 MLE

0 BI

1 MLI

N−1 MLE

ωph

γ (∆ m)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.42/56

Inhomogeneidad en el acoplo

MLI: ω2L =

ω2o para β < 0

β + 24β

C(√

9β2 + 20β + 4 − 2 + 3β) para β > 0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

ωb

q=π

1 BI

0 MLI

N−1 MLE

1 BI

1 MLI

N−2 MLE

ωph

β (∆ C)

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.43/56

Impurezas en sistemas disipativos

un + γun + 12π

sin(2πun) + C(2un − un−1 − un+1) = F sin(ωbt)

Des

apar

ició

nA

trap

amie

nto

cuas

i−pe

riódi

co

Atr

apam

ient

o pe

riódi

co

Cru

ce

Ref

lexi

ón

α=0

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.44/56

Desaparición

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

Des

plaz

amie

nto

Periodos

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.45/56

BM en ADN con interacción dipolar

Modelo de Peyrard–Bishop.

Modelo de ADN con interacción dipolar encadenas rectas.

Modelo de ADN con curvatura.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.46/56

Modelos de ADN

Modelo de Peyrard–Bishop (1989):

Cadena plana.

Puentes de hidrógeno: Potencial de Morse.

Fuerzas de apilamiento o stacking: Potencial armónico.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.47/56

Breathers en ADN

Sólo movimientos transversales→ un: estiramientos respectoposición de equilibrio.

Sistema equivalente a cadena de osciladores con potencialon–site de Morse.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.48/56

Valores de los parámetros

Hamiltoniano: H =∑

n

(12mu2

n + V (un) + 12k(un − un−1)2

).

m: Masa de los nucleótidos (m=300 uma)

Potencial de Morse: V (u) = D(exp(−bu)− 1)2.

D: Energía de disociación de los puentes de H. (D=0.04 eV).

b: Longitud de enlace (b=4.45 Å−1).

k: Constante elástica de stacking (k=0.01–10 eV/Å2).

Breathers móviles: k>0.14 eV/Å2.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.49/56

Interacción dipolar en ADN

Introducción de término de largo alcance: H = HPB + HD

HD =12

∑n

∑m�=n

J

|m|3 un+mun

Debido al momento dipolar finito de los puentes de hidrógeno.

La geometría afecta a la interacción.

Constante dipolar: J =q2

4πεod3. d=3.4 Å. Distancia entre

pares de bases.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.50/56

Existencia de breathers móviles

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

ωb=0.8

k

J

Límite superior: resonancia con fonones: kmax = ω2b − ω2

o4

+ 38ζ(3)J .

Límite inferior: Bifurcaciones de estabilidad.

Límite derecho: Bifurcaciones de extinción coinciden con estabilidad: Límite demovilidad de breathers: ML = Aωr

b.

Parámetros del ADN: k>0.11 eV/Å2; J<0.30 eV/Å2.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.51/56

Resultados de simulaciones

Reducción del rango de existencia.

La movilidad disminuye con J .

El movimiento se hace más abrupto cuando aumenta J .

0 10 20 30 40 507.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

Periodos

Cen

tro

de e

nerg

ía

J=0 J=0.05J=0.07

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.52/56

Breathers en ADN curvado

0 10 20 30 40 50 600.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Fre

cuen

cias

de

los

mod

os li

neal

es

κ

No existe atrapamiento de breathers móviles. Existeun modo de impureza con patrón de vibracióndiferente.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.53/56

Breathers móviles en ADN curvado

No se ajusta a una gaussiana.

Deformación de la barrera con la curvatura.

κ = 2 κ = 6

−1 −0.5 0 0.5 1

6

7

8

9

10

11

12

x 10−3

Eb

XE

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Eb

XE

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.54/56

Breathers móviles en hélices α

Resultados análogos a ADN curvado. [Archilla,Gaididei, Christiansen, Cuevas; J. Phys. A (2002)].

8 6 4 2 0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

10

12

x

y

κ=0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

µ

ωi

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.55/56

Conclusiones

1. Métodos de cálculo de breathers en el espacio de Fourier (Transformada deFourier Discreta).

2. Recopilación de resultados sobre estabilidad. Teorema de Estabilidad deMultibreathers.

3. Estabilidad de dark breathers.

4. Conexión breathers–modos Anderson.

5. Interacción breathers móviles–impurezas. Hipótesis de atrapamiento.

6. Modelo de ADN con interacción dipolar.

7. Breathers estacionarios y móviles en modelo dipolar. La interacción dipolardificulta la transmisión de energía.

8. Breathers móviles en ADN curvado. Breather móvil equivalente a partícula enbarrera de potencial.

Localizacion y Transferencia de Energıa en Redes Anarmonicas No Homogeneas – p.56/56