lineas de transmision unidad iii
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TEORIA ELECTROMAGNÉTICA
UNIDAD III
LINEAS DE TRANSMISIÓN
Ing. Jorge A. Gallegos de la Cruz Diciembre
2011
8/3/2019 lineas de transmision Unidad III
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DEFINICIÓN Las líneas de transmisión son
interconexiones que se utilizan paratransmitir energía eléctrica y señales de unpunto a otro; específicamente desde una
fuente a una carga. Por ejemplo: laconexión entre un transmisor y una antena,las conexiones entre computadoras en unared, la conexión entre un proveedor de
servicios de cable y un televisor, etc. Otrosejemplos menos comunes son lasconexiones entre dispositivos en una
tablilla de circuito impreso, diseñada para
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En los ejemplos anteriores los dispositivospor conectar están separados entre sí por
distancias del orden de una longitud deonda o más. Cuando las distancias sonbastante grandes entre la fuente y el
receptor, los efectos de retardo de tiemposon considerables, lo que resulta en laexistencia de diferencias de fase inducidaspor dicho retardo. Esto se conoce como el“fenómeno ondulatorio” de las líneas detransmisión, del mismo modo que lapropagación de energía punto a punto en el
espacio libre o en dieléctricos perfectos.
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ACTIVIDAD 1 (Preguntas)1. ¿Qué diferencia hay entre un cable de
potencia y una línea de transmisión?2. ¿Qué es el número de longitudes de onda
WLs y como se obtiene?
3. Compare el WLs para: a)240m de cable depotencia de 60Hz, b)240m de una línea detransmisión de para UHF de 500MHz.Suponga en ambos casos una velocidad de
3x108m/s4. Explique cada una de las siguientes pérdidas
que ocurren en una línea de transmisión:a)en el cobre, b)en el dieléctrico, c)porradiación.
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PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DETRANSMISIÓN
Desde el punto de vista de circuitos la líneade transmisión tiene dos terminales en lasque la energía se alimenta y dos terminales
donde se recibe la energía. Enconsecuencia la línea de transmisión sepuede considerar como una red de cuatroterminales.
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R.- Resistencia en Serie de la línea porunidad de longitud, incluyendo ambos
conductores. Ohms/metro. L.- Inductancia en Serie de la línea porunidad de longitud, incluyendo lainductancia debida al flujo magnéticointerno y externo a los conductores de lalínea. Henrios/metro.
G.- Conductancia en paralelo de la líneapor unidad de longitud. Representapérdidas que son proporcionales al
cuadrado del voltaje entre los conductoreso al cuadrado del campo eléctrico en elmedio. Generalmente G representa unapérdida interna molecular de los materiales
aislantes dieléctricos. Siemens/metro.
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C.- Capacidad en paralelo de la línea porunidad de longitud. Farads/metro.
Los parámetros R, L, G y C no sondiscretos ni globales, sino distribuidos a lolargo de toda la línea.
Los conductores de la línea se caracterizanpor c, c y c=o, en tanto el dieléctricohomogéneo que los separa se caracterizapor , y .
En cada línea se cumple que:
LC
C
G
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Para una línea sin pérdidas R=G=0 y elcambio en el voltaje dV (o el cambio en la
corriente dI) en una distancia dx está dadopor:
(1) (2)
Derivando la primera respecto a x y lasegunda respecto a t, se obtiene:
Ecuación de onda de unalínea de transmisiónSe observa que
)( 1 Vmdt
dI L
dx
dV )( 1 Am
dt
dV C
dx
dI
2
2
2
2 1
dx
V d
LC dt
V d
)(1 1 msvvelocidad LC
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Dada la siguiente figura:Para una
variaciónsenoidal de V e I y
con
R y G 0, se tieneel
caso más general
deuna impedancia en serie:
y una entrada en derivación:
)( 1 m jX R L j R Z L
)( 1 Sm jBGC jGY C
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De esta manera la ecuaciones 1 y 2 seconvierten en:
(3) (4)Diferenciando estas ecuaciones respecto a x
para una línea uniforme con Z e Y
constantes se obtiene:
La raíz cuadrada de ZY es la constante depropagación que es un número complejo:
IZ dxdV VY
dxdI
0
0
2
2
2
2
ZYI dx
I d
ZYV dx
V d
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Es decir:=constante de atenuación y =constante de
fase y están dadas por:
donde = longitud de onda (m)Así una solución general para el voltaje de
línea es:
)( 1 radm j
)(Re1 Npm ZY
)(Im2 1
radm ZY
)()(
2
)(
1V eeV eeV V
xt j x xt j x
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Y para la corriente de línea es:
Los primeros términos de las dos ecuacionesanteriores representan la propagación en la
dirección x negativa y los segundostérminos, la energía de propagación en ladirección x positiva.
Para la energía de propagación en unadirección:
)(2)(1 xt j x xt j xee
Y Z
V ee
Y Z
V I
)(
C jG
L j R
Y
Z
I
V Z linea
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Esta es la impedancia característica de lalínea.
Para una línea sin pérdidas R=G=0 tenemos:Resistencia característica dela línea.
La velocidad de la energía, o velocidad conque la energía se propaga es:
Donde:Si R=G=0 tenemos:
C
L Z linea
)(Im
1 ms
ZY v
))(( C jG L j R ZY
LC j ZY
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Y la velocidad de onda en línea:
EJEMPLO:
Una línea de transmisión uniforme tiene comoconstantes R=12m /m, G=1.4S/m,L=1.5H/m, y C=1.4nF/m. A f=7KHz.
Encuentre:a) Impedancia característicab) Atenuación en dB/km
)(
1 1
ms LC LC v
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SOLUCIÓN:
)104.1)(7000)(2()104.1(
)105.1)(7000)(2()1012()
96
63
x j x
x j x
C jG
L j R Z a
7.881062
801067
101575.6104.1
06597.0012.06
3
56 x
x
j x x
j Z
48633.32864.10803967.1501283.1070 j Z
)3.278.32( j Z
))((Re)C jG L j Rb
))104.1)(70002(104.1(())105.1)(70002()1012((Re9663 x j x x x j x
)101575.6104.1)(06597.0012.0(Re 56 j x x j
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Entonces:
De la relación:
1Np=20log(e)=8.686dB
3881.168101298.4Re)103125.8100453.4(Re 676 x j x x
)100215.2100555.2Re()194.8410032.2Re( 343 j x x x
Km
dB
Km
m x
Np
dB x
m
Np x 78.1
1
1000
1
686.8100555.2 4
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ACTIVIDAD 2 (Problema)
1. Calcular las constantes de propagación yde atenuación, la velocidad de onda y laimpedancia característica a f=10 MHz de
una línea con los siguientes parámetros:a) L = 1.2 μH/m, C = 30 pF/m, b) L = 1.2 μH/m, C = 30 pF/m, R = 0.1 Ω/m,
c) L = 1.2 μH/m, C = 30 pF/m, R = 0.1 Ω/m,G = 1x10-6 S/m.
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PRINCIPALES TIPOS1. Línea de 2 conductores: Tipo de línea
donde la distancia entre dos conductoresparalelos es mantenida constante graciasa un material dieléctrico, el cual también
sirve de vaina.
Su impedancia característica depende deldieléctrico, del diámetro de los conductores yde la distancia entre ellos. La impedancia esmayor cuanto más aumenta la distancia entre
conductores. Valor típico es de 300
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2. Cable coaxial: Consiste de un conductorcentral rodeado por un conductor exterior
concéntrico (distancia uniforme delcentro). A frecuencias de operaciónrelativamente altas, el conductor coaxialexterno proporciona una excelenteprotección contra la interferencia externa.Sin embargo, a frecuencias de operaciónmás bajas, el uso de la protección no es
costeable.Impedancia característica
75
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3. Líneas de cinta: Se utilizan mucho enaplicaciones electrónicas, por ejemplo, en
circuitos integrados y para crearcomponentes de circuitos como filtros,acopladores, resonadores, antenas y otros.
Hay diversas variantes de las líneas decinta, de las que las más usadas son lalínea de cinta propiamente dicha (stripline) yla línea de microcinta (microstrip).
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a) Stripline: Están formadas por dos cintasconductoras paralelas de tierra, y una
cinta conductora interna de señal entreellas. El ancho w de la cinta de señal espequeño frente al ancho de las cintas de
tierra, de manera que éstas puedenconsiderarse planos infinitos. El espesorde la cinta de señal es t y la separaciónentre las cintas de tierra, llena con un
dieléctrico de permitividad ε, es b.
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b) Microstrip: Está constituida por una cintaconductora muy ancha que funciona como
plano de tierra y sobre ella se coloca unsustrato dieléctrico de permitividad ε y espesor
b. Sobre el sustrato hay una cinta de señal deespesor t y ancho w. Se usan para
interconectar circuitos lógicos de altavelocidad en computadoras digitales.
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4. Líneas de par trenzado: Consiste encables formados por hilos de cobrerecubiertos de plata y rodeados por unaislador. Los cables se trenzan por parespara disminuir la interferencia, y cada parforma un circuito que puede transmitirdatos. La línea consiste en un grupo de uno
o más pares. Existe una línea que seconoce como UTP (unshielded twistedpair) y es usada en redes decomputadoras. Para mayor rechazo a
interferencia se rodean los pares con unaislador. Esta línea se conoce como STP(shielded twisted pair). Tanto UTPs comoSTPs se usan en instrumentaciónelectrónica, aviones y otras aplicacionescríticas de transmisión de datos.
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ACTIVIDAD 3 (Investigación)
1. Para cada tipo de línea de transmisióndel apartado anterior, investigue unaaplicación y la frecuencia que semaneja en cada caso.
2. Investigue ¿porqué los cables coaxialesmás comunes tienen impedancias entre
50 y 75?
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Fórmulas de impedancias de laslíneas de transmisión
La impedancia Z de la línea de transmisiónestá dada por:
Para una línea coaxial:
Donde:
Como ya sabemos:Integrando se obtiene:
lC l
L
C
L Z linea
V V
lQ
l
C l
b
a
r dr E V
r
E lr
2
a
bV l ln
2
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En consecuencia:
Del mismo modo:
Donde:
Entonces:
Por consiguiente:
a
bV l
C l
ln
2
I
dr Bl
L
b
a
r
r
I B
r
2
a
b
l
Lln
2
ab
lC
l L
Z r
r ln21
0
0
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Para r=1, se tiene que:Línea coaxial
En forma similar:Línea de dos
conductoresConductor
sobre plano terreno
Fórmula aproximadapara microcinta
a
b Z
r
log138
0
a
D Z
r
log276
0
a
h Z
r
2log
1380
]2) / [(
377
bw Zo
r
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EJEMPLO:Dada una línea de transmisión de dos
conductores con un espaciamiento de 2 cmy una Zo=300. ¿Cuál es el diámetro delalambre? Suponga r=2.1 (teflón)
SOLUCIÓNDada la fórmula:
Exponenciando:
a
D Zo
a
D Zo
r
r
log276
log276
aa
D 02.0log5751.1log
276
1.2300
mmaa
532.06.37
02.002.010 5751.1
mmadiámetro 064.12
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EJEMPLO:Una línea de un solo conductor de 10cm de
radio sobre el plano terreno, tiene unaimpedancia de 75. Encuentre la altura h,si r=3.
SOLUCIÓNa
h Z
a
h Z
r
r
2log
138
2log138 0
0
a
h
a
h 2
log9413.0
2
log138
375
hh
2
8735.0
1.0
2109413.0
.436.436.0 mmmh
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ACTIVIDAD 4 (Problemas)1. Determine la separación requerida para
líneas de transmisión de dos conductores,si el diámetro del alambre es 0.01cm y laimpedancia característica es: a)600,
b)150. Suponga εr=12. Dado un cable coaxial con diámetrointerior 0.03cm y un diámetro exterior 1cmcon r=2. Calcule la impedancia
característica3. Hallar la impedancia característica de una
línea microstrip de parámetros: b=1mm,
w = 2mm, εr = 2.5
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LINEA CARGADAHasta el momento se ha analizado el modelo
de líneas de transmisión y la propagaciónde ondas en líneas de longitud infinita. Enla práctica la línea termina en una
impedancia de carga y tiene generador/esconectados. Por tanto analizaremos lainfluencia de la carga sobre la distribuciónde tensión y corriente a lo largo de una
línea de impedancia característica Zo cuando se conecta a una carga ZL. En lafigura, la carga está en x=0 y la distancia
positiva se mide a lo largo de la línea a la
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El voltaje y corriente total se expresan comola resultante de dos ondas viajeras
moviéndose en direcciones opuestas comoen una línea de transmisión infinita.
Vo e Io: voltaje y corriente debido a la ondaincidente; V1 e I1: voltaje y corriente debidoa la onda reflejada de la carga. V=Vo+V1 eI=Io+I1
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Se cumple que:=corrimiento de fase
en la cargaEn la carga x=0 se tiene Vo=Vo y V1=V1e j
de tal forma que en la carga la razón del
voltaje reflejado e incidente está dado por:
Donde v es el coeficiente de reflexión para elvoltaje. Se concluye que:
j x
x
eV V
eVoVo
11
vVo
V
Vo
V
11
x
v
x eeVoV
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Para las corrientes:
=diferencia de fase I yV
La razón entre la corriente reflejada eincidente esta dada por:
i es el coeficiente de reflexión para lacorriente. De donde resulta:
)(11
j x
j x
e I I
e Io Io
i Io
I
Io
I 11
x
i
x jeee Io I
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Además v y i se pueden expresar entérminos de la impedancia característica Zo
y de la impedancia de carga ZL. Así, encualquier punto de la línea:
En la carga (x=0)
Y así de la expresiones anteriores se tiene:
1
1
1
1
I
V
I
V
Io
Vo
Io
Vo Zo
I
V Z L
Zo
V Vo
Zo
V
Zo
Vo
Z
V
L
11
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Considerando que V=Vo+V1 se tiene que:
Despejando V1 /Vo:Coeficiente de reflexiónpara el voltaje
Para impedancias de carga reales ZL variando de 0 a , v varía de -1 a 1.
Se observa que si ZL=Zo, v=0
Similarmente se puede demostrar que:Coeficiente de reflexiónpara la corriente
Zo
V Vo
Z
V Vo
L
11
v
L
L
Zo Z
Zo Z
Vo
V
1
v
L
Li
Zo Z
Zo Z
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La razón V/I en cualquier punto x en la líneada la impedancia Zx en el punto viendo en
dirección a la carga:
Considerando la expresión de v y aplicandoidentidad al exponencial, esta última
expresión se puede escribir como:Impedancia a unadistancia
x de la carga
)(
)( x
i
x j
xv
x
eee Io
eeVo
I
V Zx
x
v
x
x
v
x
ee
ee
Io
Vo Zx
x Z Zo
x Zo Z Zo Zx
L
L
tanh
tanh
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Si la línea está en circuito abierto ZL= y laecuación se reduce a:
Si la línea está en corto circuito ZL=0 se tiene:
Como =+j. Se tiene que:
Reduciendo términos:
x Zo x
Zo Zx
cothtanh
x Zo Zx tanh
x xsen jsenh x x
x xsen j x xsenh x
coscosh
coshcostanh
x x j
x j x x
tantanh1
tantanhtanh
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El producto de la impedancia de la líneacuando es cortocircuito y circuito abierto es
igual al cuadrado de la impedanciacaracterística Zo:
Donde Zca=Zx para una línea en circuitoabierto y Zcc=Zx para una línea encortocircuito.
Si la línea es sin pérdidas (=0), lasrelaciones anteriores se reducen a losiguiente:
ZcaZcc Zo
ZcaZcc Zo
2
x jZ Zo
x jZo Z Zo Zx
L
L
tan
tan
x jZo
x j
Zo Zx
cot
tan
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CortocircuitoSe observa que la impedancia para una línea
sin pérdidas de circuito abierto o decortocircuito es una reactancia pura.
EJEMPLOS:1. ¿Cuál es la impedancia de la línea Zo para
acoplar una carga ZL a un valor deseado Zx
utilizando una sección de acoplamientox= /4?
x jZo Zx tan
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SOLUCIÓN:
2. ¿Cuál es la impedancia Zo de la línea detransmisión que se requiere para acoplar
una carga ZL=100 a una línea de 50?SOLUCIÓN:
x jZ Zo
x jZo Z Zo Zx
L
L
tan
tan
4
2tan
4
2
tan
4
2tan
4
2
tan
jZL
jZo Zo
jZL Zo
jZo ZL Zo Zx
ZxZL Zo ZL
Zo Zo Zx 2
L ZxZ Zo
)50)(100( Zo 71.70 Zo
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3. Un tipo común de línea de transmisión paramicroondas, la RG59U, tiene una impedancia
de circuito abierto 15025 y una impedanciade corto circuito de 37.5-35. ¿Cuál es laimpedancia característica?
SOLUCIÓN:
)355.37)(25150( ZcaZcc Zo
575105625 Zo
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4. Encuentre la impedancia de una línea detransmisión en una distancia de /8 de una
carga de 400.SOLUCIÓN:
82tan40050
8
2tan50400
50
tan
tan
j
j
x jZL Zo
x jZo ZL Zo Zx
875.821128.403
125.71128.40350
40050
5040050
j
j Zo
75.7550 Zo
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RAZON DE VOLTAJE DE ONDAESTACIONARIA (VSWR)
En una línea sin pérdidas, esta razón estádada por:
Se infiere que:
Y de esta forma:
Imin
Imax
Vmin
VmaxVSWR
VoV Vo
V
V VoV VoVSWR
11
1
111
v
Vo
V
1
1
1
1
1
VSWR
VSWRVSWR v
v
v
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VECTOR DE POYNTIG YPOTENCIA
La potencia transmitida por una línea detransmisión, en notación de circuitos es:
P=VI (W)
En forma más general si V e I varían enforma senoidal con respecto al tiempo y noestán en la misma fase, la potenciapromedio es:
P=½V0I0 cos En notación de campo, la densidad de
potencia S está dada por el vector de
Poynting. Es decir
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S = E X H (W m-2)El resultado de esta expresión es el vector de
Poynting instantáneo. El vector de Poyntingpromedio se obtiene integrando el vector dePoynting instantáneo sobre un período ydividiendo entre un período. En notacióncompleja se obtiene mediante:
Donde:
Sprom = Sax = promedio del vector dePoynting
= Angulo de fase entre Ey y Hz en rad o
grados
)(cos2
1)Re(
2
1 2*
Wm Hz Ey x prom axHES
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Puesto que la impedancia intrínseca delmedio es:
La magnitud del vector de Poynting promediose puede escribir como:
O:
Además:
Cuando =90, Sprom = 0
00 Z H
E
H
E Z
)Re(2
1)Re(
2
10
2
0
* Z H Z H H S z z z prom
)1
Re(2
1)Re(
2
1
0
2
0
*
Z E
Z
E E S y
y y
prom
cos
2
1cos
2
1
0
2
0
2
Z
E Z H S
z
z prom
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Similarmente para V e I, la potenciapromedio está dada por:
Otras expresiones para Pprom de acuerdo a
lo expuesto anteriormente son:
cos21cos
21
0
2
000
Z V Z I P prom
coscos0
)(2
0)(2
Z
E Z H S
rms yrms z prom
coscos0
)(2
0)(2
Z
V Z I S
rmsrms prom
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EJEMPLOS:1. Encuentre la potencia promedio de una
linea de transmisión para la cualV=180sen(260t) Volts, e I=600sen(260t +24) mAmpers.
SOLUCIÓN:
2. Considere una línea de transmisión de dos
conductores con un espaciamiento centro acentro de 1m y opera con una diferencia depotencial de 4160V(rms). La razón delespaciamiento centro a centro al diámetro
del conductor es de 3 a 1.
W xP prom 3.49)24cos(6.01802
1
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Encuentre la potencia transmitida.Considere r=1
SOLUCIÓN:Diámetro de conductor = 2a = (1/3)mRadio del conductor = a = (1/6)m
Con esto la impedancia característica es:
Entonces la potencia transmitida es:
2156log1
276log
2760
a
D Z
r
KW Zo
V P
rms
prom 5.80215
)4160( 22
Actividad 5 (Preguntas y
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Actividad 5 (Preguntas yProblemas)
1. ¿Cuándo se dice que una línea detransmisión es plana y cuando se dice quees resonante?
2. ¿Cuál es el resultado de terminar unalínea de transmisión en una reactanciapura?
3. ¿Cuál es el resultado de terminar unalínea de transmisión en una resistenciapura cuyo valor sea igual a la Zo de la
línea?
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1. Una línea de transmisión sin pérdidas de100 tiene una impedancia terminal de
50+j75. Encuentre: a)v; b)VSWR2. Una línea de transmisión sin pérdidas de
50 está terminada en 35+j65.
Encuentre: a)v; b)VSWR; c)Zx a 0.35 de la carga; d)longitud de onda más cortadonde Zx es resistiva; e)¿cuál es el valorde esta resistencia?
3. Para las líneas de transmisión de losproblemas 2 y 3 de la actividad 3,encuentre la potencia transmitida por la
línea si operan con una diferencia de
CARTA DE SMITH
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CARTA DE SMITHConsiste en una representación gráfica, en el
plano del coeficiente de reflexión, de laresistencia y la reactancia normalizadas.
Esta herramienta gráfica permite la obtenciónde diversos parámetros de las líneas detransmisión y la resolución de problemas deadaptación de impedancias, evitando lasoperaciones con números complejos quesuelen implicar estos cálculos.
Hacia el Generador
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Resistenciasonductancias)constantes
Hacia la Carga
Circuitoabierto (Z=)
CortoCircuito (Z=0 )
Círculounitario
(r=1/g=1)
Reactancias(suceptancias)
constantes
Círculo r=0
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El problema inicial es localizar cualquiercarga especificada sobre la carta. La
impedancia de carga o admitancia de cargaespecífica no se lee directamente de lacarta, ya que lo que está ubicado sobre ellaes una impedancia de carga normalizada
que es la razón entre la impedancia decarga ZL y la impedancia característica Zo:
Siempre que ZL y Zo sean iguales el puntoaparecerá sobre el círculo unitario, el cualtambién incluye el centro de la carta.
Zo
Z Zn
L
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Los círculos a la derecha del centro sonmayores que la unidad y los que están a la
izquierda son menores que la unidad. Elcírculo más exterior o perímetro representael valor 0 (carga en cortocircuito). Elextremo derecho de la línea central
representa el círculo de valor , el cual sereduce a un simple punto.
La carta de Smith también acomoda
admitancias de carga, donde la parteresistiva se grafica como conductancia (G)
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El otro parámetro de la impedancia decarga es el elemento reactivo
representado por una serie de arcos queemanan del lado derecho del círculo.La línea central representa el valor de
reactancia o susceptancia 0, que es elcaso de carga resistiva pura.Cualquier impedancia o admitancia de
carga normalizada puede localizarse enla intersección de circulo y de arcos
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