lic.mat. patricia isabel aguilar incio ¿qué es la lógica? la lógica es la ciencia que expone las...

Lic.Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO

LÓGICAPROPOSICIONAL

¿Qué es la lógica?La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

¿Qué aporte le hace la Lógica a la Matemática?De acuerdo a la respuesta anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-

¿Qué es una proposición?

Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.

Por ejemplo:

Hoy es lunes

Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:

p, q, r, s, t, u

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

V

F

LOS CONECTIVOS LÓGICOS

Ó -: NO

: “Y”

: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA : SI Y SOLO SI : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE

Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular.

PROPOSICIÓN

SIMPLE: p

COMPUESTA: p q

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

TABLA DE VALORES DE VERDAD¿Qué es una tabla de valores de verdad?Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.-

¿Cuántos valores de verdad debe llevar una tabla?

O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:

3225 valoresnº

sproposionen

nesproposicionAvaloresn º2

º 2'º

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Operaciones proposicionales

LA NEGACIÓN

La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

p ~ p

V

F

F

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

La disyunción o suma lógicaLa disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

La conjunción o producto lógico

La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

El condicional o la implicaciónEl condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Condiciones necesarias y suficientes

p condición SUFICIENTE para q (q si p)

q condición NECESARIA para p (p sólo si q)

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

El bicondicional o la doble implicación

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

La diferencia simétricaLa diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p v q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

TautologíaDefinición

Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-

Por ejemplo: p q (pq) [(pq) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

1 1 23

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

ContradicciónDefinición

Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen

Por ejemplo: p q (p q) - [(p q) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

F

V

V

F

4

F

F

F

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Contingencia

Definición

Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componenPor ejemplo:

p q (p q) v [(p q) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

V

F

F

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

LEYES LÓGICAS

Una ley lógica es una proposición verdadera.-

1º) Involución

La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición

p -(-p) p

V

F

F

V

1

V

F

2

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

2º) Idempotencia de la conjunción

La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-

p (p p) p

V

F

V

F

1

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

3º) Idempotencia de la disyunción

La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-

p (p p) p

V

F

V

F

1

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

4º) Conmutatividad de la conjunción

La conjunción es conmutativa

p q (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

1

V

F

F

F

1

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

5º) Conmutatividad de la disyunción

La disyunción es conmutativa

p q (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

1

V

V

V

F

1

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

6º) Asociatividad de la conjunciónLa conjunción es asociativa

p q r (p q) r p (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

1

V

F

F

F

F

F

F

F

2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

1

V

F

F

F

F

F

F

F

2

V

V

V

V

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

7º) Asociatividad de la disyunciónLa disyunción es asociativa

p q r (p q) r p (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

1

V

V

V

V

V

V

V

F

2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

1

V

V

V

V

V

V

V

F

2

V

V

V

V

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.-

p q -(p q) -p -q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

1

F

V

V

V

3

V

V

V

V

F

V

V

V

2

F

F

V

V

1

F

V

F

V

2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.-

p q -(p q) -p -q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

1

F

F

F

V

3

V

V

V

V

F

F

F

V

2

F

F

V

V

1

F

V

F

V

2

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunciónLa conjunción es distributiva con respecto a la

disyunciónp q r (p q) r (p r) (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

1

V

F

V

F

V

F

F

F

2

V

F

V

F

F

F

F

F

1

V

F

F

F

V

F

F

F

2

V

F

V

F

V

F

F

F

3

V

V

V

V

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunciónLa disyunción es distributiva con respecto a la

conjunciónp q r (p q) r (p r) (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

1

V

V

V

F

V

F

V

F

2

V

V

V

V

V

F

V

F

1

V

V

V

F

V

V

V

F

2

V

V

V

F

V

F

V

F

3

V

V

V

V

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

10º) Las implicaciones asociadas p q Directa q p Recíproca

-p -q Contraria -q -p Contra - recíproca

p q q pRecíprocas

-p -q -q -pRecíprocas

Con

trari

as

Con

trari

as

Contra

- re

cípro

casContra - recíprocas

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Propiedad

Las implicaciones contrarecíprocas son equivalentes.O sea que:

p q p q -q -p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

1

F

V

F

V

1

F

F

V

V

2

V

F

V

V

3

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

11º) Negación de una implicación

La siguiente proposición es una tautología, o sea:

p q (p q) -(p -q)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

1

F

V

F

V

1

F

V

F

F

2

V

F

V

V

3

V

V

V

V

-(pq) -[-(p -q) -(-p q)

-(pq) -[-(p -q) p -q Ahora:

Pero:

(pq) -(p -q) -p qAhora:

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

12º) La doble implicación y la implicación

La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca.

p q (p q) [(pq) (qp)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

13º) La diferencia simétrica y la doble implicación

La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación.

p q (p q) - (p q)

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

1

V

F

F

V

1

F

V

V

F

2

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

CIRCUITOS LÓGICOS

p q

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

p

q

EN SERIE EN PARALELO

p q p q

Circuito en serie

p(V) q(V)

Vp(V) q(F)

Fp(F) q(V)

Fp(F) q(F)

F

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Circuito en paralelo

p(V)

q(V) V

p(V)

q(F) V

p(F)

q(V) V

p(F)

q(F) F

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

¿Cómo se trabaja para hacer un circuito lógico de proposiciones que no son conjunciones, disyunciones o negaciones?

Por ejemplo, sea

p q -(p q) -[(pq) (qp)] -(pq) -(qp)

(p -q) (q -p)p -q

q -p

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

qpi ,

Un razonamiento es deductivo sí y sólo sí, las premisas son la evidencia de la verdad de la conclusión.-

ip Premisas

q Conclusión

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

(p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 ... pn) q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

VERDADERASVERDADERA

(p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 ... pn) q

VERDADERAUn razonamiento deductivo se

dice que es VÁLIDO, si no es posible que de premisas VERDADERAS se obtenga una conclusión FALSA

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

p1

p2

p3

p4

::::::q

V

V

Por ejemplo

p q

-r -q

-(-p -t)

t s

-r

s

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Reglas de inferenciasLlamamos reglas de inferencias a todo esquema válido de razonamiento.

Algunas de ellas son:

Ley de Modus Ponensp (pq) q

p

pq

q

p q p (pq) q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Ley de Modus Tolens-q (pq) -p

-q

pq

-p

p q -q (pq) -p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Ley del silogismo hipotético (pq) (qr) (pr)

pq

qr

pr

p q r (pq) (q r) (p r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

Ley del silogismo disyuntivo-q (pq) p

-q

p q

p

p q -q (p q) p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

p q

-r -q

-(-p -t)

t s

-r

s

Por ejemplo:

1)

2)

3)

4)

5)

1) p q

2) q r de 2 ICR

3) p t de 3 LDM e INV

4) t s

5) -r

s

1) pr de 1)2) LSH

2) p t

3) ts

4) -r

s

1) -p de 1)4) LMT

2) p t

3) ts

s

1) t de 1)2) LSD

2) t s

s

t(V)

s(V)

(V)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL

Una función proposicional en una variable x es toda oración en la que figura la variable como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.-

Por ejemplo:

P(x): x es impar

P(-4): -4 es impar (F)

P(5): 5 es impar (V)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

P(x,y):x es divisor de y

P(-2,6):-2 es divisor de 6 (V)

P(10,2):10 es divisor de 2 (F)

CUANTIFICADORES

UNIVERSAL: x:P(x)

EXISTENCIAL: x/P(x)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Todos los números enteros son impares

x:x es imparNegando el cuatificador queda:

x:P(x)

-x:x es impar -x:P(x)

No Todos los números enteros son imparesExisten números enteros que no son imparesx/x no es impar x/-P(x)

-x:P(x)x/-P(x)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Existen números enteros que son impares

x/x es imparNegando el cuatificador queda:

x/P(x)

-x/x es impar -x/P(x)

No existen los números enteros que son imparesTodos los números enteros no son

imparesx:x no es impar x:-P(x)

-x/P(x)x:-P(x)

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

La negación de un cuantificador, es equivalente al otro cuantificador con la negación de la función proposicionalPor ejemplo:

Cualquiera que sea entero, existe otro que sumado a él de cero

P(x,y): x+y=0

x,y/x+y=0

Su negación es:

-x,y/x+y=0 x/y:x+y0

x/-(y/x+y=0) -x,y/x+y=0 x/y:x+y≠0

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Un razonamiento inductivo es aquel que partiendo de casos particulares, podemos generalizar, y demostrar de esta forma una propiedad.-

Por ejemplo, demostrar la propiedad conmutativa de la adición en los números naturales

1+5 = 5+17+10 = 10+7

100+32=32+100

Si a y b a+b=b+a

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

TEOREMA

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

H) Sea cba

T) Rcba 2

a

b

c

A

D)

a’ c’

Rcba 2''

acA Cortadas por cbab

'aa

'cc Rcba 2

Un teorema es un esquema válido de razonamiento donde el conjunto de premisas se denomina HIPÓTESES y la conclusión TÉSIS

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

REDUCCIÓN AL ABSURDO

H T -T -H

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

H) Sea cba

T) Rcba 2

a

b

c

A

D)

a’ c’

Rcba 2

acA Cortadas por cbab

'aa

'cc

Rcba 2''

¡ABSURSDO!

0180

cbacba

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

IDEA Y REALIZACIÓN

Lic. Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO

Departamento de Formación General

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

2013