leyes
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UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA
Participante:
Soto Reny
C.I: 22.186.095
Sección: SAIA A
Cátedra: Estructura Discreta
Prof. Méndez Domingo
Barquisimeto, noviembre del 2016
Leyes de la Álgebra
La algebra es una generalización de la aritmética. En ella, se
utilizan símbolos para representar números. La generalización es una
manera de maneja expresiones que contienen cantidades desconocidas o
incógnitas, es un rasgo característico del algebra. Los símbolos son
números y se combinan por medio de operaciones básicas de la
aritmética. Su uso puede facilitar la transparencia. Ahora bien, las leyes
de algebra se define como las equivalencias lógicas que nos permiten
reducir representaciones complejas y expresarlos en forma más sencilla.
Por otra parte, son llamadas leyes lógicas, y representan formas
proposicionales en la que si se sustituyen sus variables por los
enunciados correspondiente el resultado será una proposición
lógicamente verdadera.
Es de suma importancia la comprensión de las leyes básicas ya
que son parte fundamental de una buena comprensión de cómo utilizar el
álgebra. Frecuentemente se cometen el error de simplemente aprender
cómo resolver problemas algebraicos sin ningún pensamiento acerca de
cómo las reglas algebraicas y las leyes se derivan. Los números
obedecen a varias leyes fundamentales que, pese a la familiaridad de sus
resultados, ponen de manifiesto aspectos básicos de las operaciones
algebraicas más comunes.
Ley 1: A U B * B U A. La demostración de que ambos miembros de
luna ecuación conducen a resultados idénticos es una técnica frecuente
empleada en todas las ramas de la matemática. Esta ley es conocida
como Ley Conmutativa establece que el orden en que se suman dos
números no influye en el resultado de la suma.
Ejemplo:
B
A
A
B
Ley 2: (A U B) * C = A * (B U C). Ambos miembros, pues, son
iguales. Esta ley se conoce como Ley Asociativa establece que el modo
de agrupar los números que suman no influye en el resultado. Como la ley
conmutativa, la asociativa son válidas tanto para la adición como para la
multiplicación. Análogamente, la ley asociativa no se cumple en la
sustracción y la división. Aso en lo general
A – (B - C) ≠ (A – B) – C
A / (B / C) ≠ (A / B) / C
Por ejemplo, sean A = 7, B = 6, C = 8. El miembro de la izquierda
es (7 + 6) + 8 = 21. El miembro de la derecha es igual 7 + (6 + 8) = 21.
Como en el caso de la multiplicación, pues, el miembro de la izquierda es
igual al de la derecha.
Ley 3: A U (B U C) = (A U B) U (A U C). Esta ley puede
demostrarse por medio del área de un rectángulo. Es conocida como Ley
Distributiva, esta establece que cuando se multiplican un numero por la
suma de otros dos, el resultado es igual a la suma de dos términos: el
producto del primero por el segundo y el producto del primero por el
tercero. En esta ley se basa la supresión de paréntesis.
Ejemplo:
A
B C
El área total del rectángulo se puede obtener multiplicando a por la
suma de b y c o sumando el producto de a y b con el producto de a y c. la
suma de cuadrados es la misma en ambos casos.
Mientras que basa un solo contraejemplo para refutar un
enunciado, la comprobación de la verdad de un enunciado mediante
ejemplos no constituye una prueba de él. Dado que las leyes 1 a 3 sobre
operaciones numéricas valen para todos los enteros positivos y negativos,
estas leyes no pueden demostrarse enumerando todos los posibles
ejemplos, ya que hay un número infinito de ellos.
Existen otras leyes como lo son ley de identidad enunciado que
afirma la igualdad entre dos expresiones matemáticas para todos los
valores de sus variaciones. Es similar a una ecuación, pero con la
salvedad de utilizar el símbolo ≡ en vez de = es decir, P U F ° P, P U F °
F, P U V ° V Y P U V ° P. las identidades suelen escribirse con el símbolo
= a menos que haya alguna especial para destacar su carácter.
Ley idempotentes
P U P ° P.
Ley complementación
p u ~ p ° v (tercio excluido)
p u ~ p ° f (contradicción)
~~ p ° p (doble negación)
~ v ° f ~ f ° v
Ley De Morgan
~ {p u q} ° ~ p u ~ q
~ {p u q } ° ~ p u ~ q
Equivalencia Notables
a. p® q º ~ p ú q (ley del condicional)
b. p« q º (p® q) ù (q® p) (ley del bicondicional)
c. p ú q º ( p ù ~ q ) ú ( q ù ~ p ) (ley de disyunción exclusiva)
d. p® q º ~ q® ~ p (ley del contrarrecíproco)
e. p ù q º ~ ( ~ p ú ~ q )
f. ( (p ú q ) ® r ) º ( p ® r ) ù (q ® r ) (ley de demostración por casos)
g. (p® q) º (p ù ~ q ® f) (ley de reducción al absurdo)
Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros pueden
ser probadas. Para esto, sólo se tiene que verificar que el bicondicional
correspondiente es una tautología. Para muestra, vamos a probar dos de
estas leyes, dejando el resto como ejercicio para el lector.
Un ejemplo utilizando todas estas leyes es el siguiente:
(P ^ r) -> q ≡ (q -> ¬r) -> (p -> ¬r)
(q ->¬r) -> (p->¬r)
≡ ¬ (¬q ⱽ ¬r) (¬p ¬r) Ley del condicionalⱽ ⱽ≡ (¬(¬q) ^ ¬(¬r)) (¬p ¬r) Ley de Morganⱽ ⱽ≡ (q ^ r) (¬p ¬r) Doble Negaciónⱽ ⱽ≡ (q (¬p ¬r)) ^ (r (¬p ¬r)) Ley Distributivaⱽ ⱽ ⱽ≡ (q (¬p ¬r)) ^ ((r ¬r) ¬p) Ley Asociativa yⱽ ⱽ ⱽ ⱽ
Conmutativa
≡ (q (¬p ¬r)) ^ (ᶷ v ¬p) Ley de tercio excluidoⱽ ⱽ
≡ (q (¬p ¬r)) ^ ⱽ ⱽ ᶷ Ley de Identidad
≡ q (¬p ¬r) Ley de Idemⱽ ⱽ≡ ¬p ¬r q Ley Conmutativaⱽ ⱽ≡¬ (p ^ r) q Ley de Morganⱽ≡ p ^ r -> q
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