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Ley de Propagación del Error
Carrera de Ingeniería Eléctrica – Ingeniería Electromecánica
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata
Mediciones Eléctricas I (3D1) - 2021 - Departamento de Ingeniería Eléctrica – FI UNMDP - Clase 3Prohibida la reproducción total o parcial de esta presentación en cualquier formato o medio sin la correspondiente autorización del autor
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Planteo del problema
E I
A
Ejemplo de Medición Directa Ejemplo de Medición Indirecta
E I
A
VR
R
¿Cual será el error máximo en la medida de R?
I I Em limA= ±
I I Em limA= ±
U U Em limV= ±
• Se quiere saber I y se la mide con un
amperímetro:
𝑅 =𝑈𝑚
𝐼𝑚
• Se quiere saber R y para ello se miden U e I de forma
directa y con ellos se saca R:
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Ley de propagación del error
La deducción de la ley de propagación del error está basada en la serie de Taylor.
Ejemplo: Serie de Taylor para una función f(x) entorno a un punto “a”
(Permite estimar el error de una medida indirecta)
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto “x”
en términos del valor de la función en otro punto “a” cercano a “x”, y sus derivadas en ese punto “a”.
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥 𝑎
𝑥 − 𝑎 +1
2 𝑑𝑓2 𝑥
𝑑𝑥2 𝑎
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +1
𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑥
𝑑𝑥𝑛 𝑎
(𝑥 − 𝑎)𝑛
Ley de propagación del error
Donde :
n! = factorial de n
= enésima derivada de f en el punto a. 𝑑𝑓𝑛 𝑥
𝑑𝑥𝑛 𝑎
Función exponencial
Ejemplo:
Valores de la serie de Taylor para valores de “X” entorno al punto a=0, con n=3
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Ley de propagación del error
(Permite estimar el error de una medida indirecta)
Ley de propagación del error
Supóngase que se tiene una función w = f(u). Considere que la variable “u” se mide y se obtiene un
valor medido “um” que es una aproximación del verdadero valor de u (“uv”) que no se puede conocer.
Por lo tanto, como um y uv son valores próximos se podría aplicar la serie de Taylor, entonces:
𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 +1
2 𝑑𝑓2 𝑢
𝑑𝑢2 𝑢𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + ⋯ +1
𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑢
𝑑𝑢𝑛 𝑢𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )𝑛
Luego, si es pequeño, entonces
Si se desprecian los términos de 2do orden y superior por ser muy pequeños se tendría:
𝑓 𝑢𝑚 − 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑚 − 𝑢𝑣
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑤 = 𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 2
𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 +𝑑𝑓 𝑢
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚
Expresión general de la
ley de propagación del error
para una función de una variable
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 es aún más pequeño.
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Ley de propagación del error
(Permite estimar el error de una medida indirecta)
Ley de propagación del error
w f u v ( , )
De manera similar, si W es función de dos variables:
𝑓 𝑢𝑣 , 𝑣𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 , 𝑣𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑣 𝑣𝑚
𝑣𝑣 − 𝑣𝑚
+1
2 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢2 𝑢𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢 𝑢𝑚
𝑑𝑓 𝑢, 𝑣
𝑑𝑣 𝑣𝑚
(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 ) + 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣
𝑑𝑣2 𝑢𝑚
(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 )2 + ⋯
La serie de Taylor sería:
Y despreciando los términos de segundo orden y superior se tiene:
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊
𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊
𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣
Expresión general de la ley de propagación del error para funciones de dos variables
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Ley de propagación del error
Si se aplica para propagar errores donde se conozca el signo de cada uno de ellos, tanto los
errores como las derivadas parciales se escriben con el signo correspondiente. (Tal cual la expresión
general de la transparencia anterior)
Si se aplica para propagar errores donde no se conozca su signo (por ejemplo para propagar
errores límite de instrumentos), se puede adoptar un criterio pesimista usando las derivadas y los
errores en módulo, quedando la expresión de la siguiente forma:
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊
𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊
𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣
±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = ± 𝜕𝑊
𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊
𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣
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Ley de propagación del error
Ejemplo 1:
Se quiere medir la superficie “S” de una placa calefactora cuyas dimensiones verdaderas son 200 mm
de ancho y 100 mm de largo.
Un operario usa una regla y obtiene un valor medido para el ancho de 201 mm y para el largo de 99
mm. ¿Cuál sería el error en la medida de la superficie?
S
Ancho (a)
Largo (l)
Solución usando la definición de error absoluto𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚
𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚
𝑆𝑣 = 𝑎𝑣 . 𝑙𝑣 = 20000 𝑚𝑚2
𝑆𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑙𝑚 = 19899 𝑚𝑚2
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝑆𝑚 − 𝑆𝑣 = −101 𝑚𝑚2
Veamos si llegamos a este mismo resultado aplicando la ley de propagación del error
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Ley de propagación del error
Ejemplo 1:
S
Ancho (a)
Largo (l)
Solución usando la ley de propagación del error𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚
𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚
Comentario:
En lugar de dar -101mm2 dio -102mm2.
La diferencia se debe a que en la deducción de la ley de
propagación del error se despreciaron términos de la serie de
Taylor.
Esta diferencia es mínima por lo que no invalida su uso.
𝑆 = 𝑎 . 𝑙
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 𝑙𝑚 . 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝑎𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 99𝑚𝑚 . +1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . (−1𝑚𝑚)
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = −102 𝑚𝑚2
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝜕𝑆
𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆
𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙
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Ley de propagación del error
Ejemplo 2:
Se quiere medir la misma superficie “S” de una placa calefactora pero ahora los datos son:
Ancho medido 201 mm ± 1 mm
Largo medido 99 mm ± 1 mm
¿Cuál sería la superficie y el error en la medida de la superficie?
S
Ancho (a)
Largo (l) 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = (99 ± 1) 𝑚𝑚
𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = (201 ± 1)𝑚𝑚
Solución usando la ley de propagación del error𝑆 = 𝑎 . 𝑙
±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ± 99𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ±300 𝑚𝑚2
𝑆 = (19899 ± 300) 𝑚𝑚2
±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = ± 𝜕𝑆
𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆
𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙
Clasificación de los Errores
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Clasificación de errores
Groseros Sistemáticos Accidentales o fortuitos
Clasificación de los errores
Errores Groseros:
Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la
medición.
Errores Sistemáticos:
Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de mediciones equivalentes
(en igualdad de condiciones). Se pueden desafectar del resultado, bajo ciertas condiciones.
Errores Accidentales:
Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo sino que siguen
leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se pueden desafectar del resultado.
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Clasificación de errores
Groseros Sistemáticos Accidentales o fortuitos
Clasificación de los errores
Se deben detectar y eliminar.
De ser posible se deben determinar y desafectar
de la medida usando alguna corrección.
De no ser posible desafectarlos contribuirán a la
incertidumbre.
Se deben estimar y
considerar en la
incertidumbre.
Entonces una medición tendrá esta forma general:
Valor medido + Corrección ± Incertidumbre
(por errores sistemáticos)(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos
por falta de alguna información)
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Clasificación de errores
Ejemplos:
Groseros
Método
Instrumento
Tendencia del Operador
Condiciones ambientales
Sistemáticos
Paralaje
Apreciación
Accidentales o fortuitos
Clasificación de los errores
•Transposición de cifras: 21.5 25.1
•Leer en escalas incorrectas
•Utilizar fórmula inapropiada
•No efectuar el ajuste del cero mecánico o infinito previo a la medición
Inserción
Poder separador del ojo
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Error de inserción
Error sistemático de inserción
E=300V
R1=2000 R1
R2
Veamos un ejemplo: Se quiere medir la caída de tensión en R2
R2=2000
𝑉2 = 𝐼 𝑅2 =𝐸
(𝑅1 + 𝑅2)𝑅2 = 150 𝑉
Podríamos decir que V2 es el valor verdadero de la
magnitud que queremos medir.
𝑉𝑣 = 𝑉2 = 150 𝑉
I
Es el error que se produce al incorporar un instrumento en un circuito, producto de su resistencia
interna (o impedancia), que modifica el circuito original que se quiso medir.
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Error de inserción
E=300V
R1=2000
R2=2000
Supongamos que usamos un voltímetro cuya resistencia
interna (Rv) es 2000 Ω. Entonces (si el instrumento fuera
exacto) la tensión medida será:I
V Rv=2000
1000 1003000
med
EV V
VVVVVE vmedinserciónabs 50150100
33,0150
50
V
V
V
Ee
V
inserciónabs%33100.
V
inserciónabs
V
Ee
Cuanto más resistencia interna tenga el voltímetro menos error de inserción.
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Error de inserción
E=300V
R=100
Veamos otro ejemplo: Se quiere medir la corriente en el siguiente circuito:
Podríamos decir que el valor verdadero de la magnitud
que queremos medir es 3A.
I
𝐼 =𝐸
𝑅=
300𝑉
100Ω= 3𝐴
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Error de inserción
Supongamos que usamos un amperímetro cuya resistencia
interna (RA) es 0,5 Ω. Entonces (si el instrumento fuera
exacto) la corriente medida será:
𝐼 =𝐸
𝑅 + 𝑅𝐴=
300𝑉
100Ω + 0,5Ω= 2,985𝐴
AAAIIE vmedabs 0149,03985,2
0049,03
0149,0
A
A
I
Ee
V
inserciónabs%49,0100.
V
inserciónabs
I
Ee
Cuanto menos resistencia interna tenga el amperímetro menos error de inserción.
E=300V
R=100
I
A
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Error de inserción
¿Cómo determinar las resistencias internas de los instrumentos a partir de los consumos
específicos?
AA
A
2
AA
A
AA IR
I
IR
I
Pp
V
A
v
v
v U
R
pVS
1
V
V
2
VV
2
V
V
VV
R
U
RU
U
U
Pp
Alcance
Potenciap
Consumo específico
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Error de inserción
Existen técnicas de medición que permiten “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION
La técnica de oposición permite construir, por ejemplo un voltímetro, de resistencia interna “infinita”
• Se varía la resistencia variable hasta
lograr que el galvanómetro indique cero.
• Cuando eso ocurra el potencial del punto
A es igual al potencial del punto B.
•Entonces, el voltímetro indica la tensión en
R2 pero sin tomar corriente del circuito que
se quiere medir sino de la fuente auxiliar,
midiéndose la caída de tensión en R2 sin
cometer error de inserción.
Ig = 0
-V
+
GE=300V
I
R variable
Iaux
Fuente
auxiliar
+
-
R1=2000
R2=2000
AB
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Error de inserción
Existen técnicas de medición que permiten “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION
La técnica de oposición permite construir, por ejemplo un amperímetro, de resistencia interna “cero”
Fuente auxiliar
RA
Ig = 0
E=300VR=100
I
+
G
-
A
RP
R variable
III
Iaux
A B
• Se varía la resistencia variable hasta lograr que el
galvanómetro indique cero.
• Cuando eso ocurra, el punto A está al mismo potencial
que B (como si no se hubiese conectado ningún
amperímetro allí). Entonces:
• Esto quiere decir que la caída de tensión en el
amperímetro (I x RA) se igualó a una subida de tensión en
Rp producto de la presencia de Iaux.
• Entonces la corriente I se mide en el amperímetro sin
cometer error de inserción.
𝐼 𝑅𝐴 + 𝐼𝑅𝑝 − 𝐼𝑎𝑢𝑥 𝑅𝑝 = 0𝑉
AAAIIE vmedabs 0149,03985,2
0049,03
0149,0
A
A
V
Ee
V
inserciónabs%49,0100.
V
inserciónabs
V
Ee
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Error de método
a) Método Corto
b) Método Largo
Ejemplo: Se quiere medir la resistencia Rx con un voltímetro y un amperímetro. Existen dos alternativas:
Es el error que se produce de acuerdo a donde se conecten los instrumentos que se usen.
Error sistemático de método
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Error de método
a) Método Corto
E R
mA
VI I Im v r
R Rm
Es el valor verdadero
Es el valor
medido
Ir
Iv
Im
𝑅 =𝑈𝑟
𝐼𝑟
𝑈𝑚 = 𝑈𝑟
𝑅𝑚 =𝑈𝑚
𝐼𝑚=
𝑈𝑟
𝐼𝑟 + 𝐼𝑣
Ur
El método corto mide de menos
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Error de método
a) Método Largo
E R
mA
V
Ir
Iv
Im
Ur
Es el valor verdadero
Es el valor
medido
I Im r
R Rm
𝑅 =𝑈𝑟
𝐼𝑟
𝑅𝑚 =𝑈𝑚
𝐼𝑚=
𝑈𝑟 + 𝑈𝑎
𝐼𝑟
U U I R m r a m
El método largo mide de más
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Error de método
E R
mA
V IrIv
Im
a) Método Corto
vr
r
m
m
mII
U
I
UR
r
r
I
UR
m
v
mr
vr
vrr
vrrrrr
r
r
vr
rmcortométodoabs
I
IR
II
IU
III
IUIUUI
I
U
II
URRE
)(
m
v
m
vcortométodoabs
I
I
R
R
I
I
R
Ee
v
m
r
r
m
vcortométodoabs
R
R
U
U
I
I
R
Ee
v
mmcortométodoabs
m
cortométodoabs
R
RReE
R
Ee
2
O bien: Rv = Resistencia del voltímetro
rm UU
rVm III
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Error de método
a) Método Largo
Im
E R
mA
V IrIvarm UUU
rm II a
r
arm RR
I
UUR
𝑒 =𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜
𝑅=
𝑅𝑎
𝑅𝑚 − 𝑅𝑎=
1
𝑅𝑚
𝑅𝑎− 1
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 𝑅 + 𝑅𝑎 − 𝑅 = 𝑅𝑎
RRE mlargométodoabs
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Error de método
¿Que método conviene si no realizáramos corrección de método?
RmRo
v
m
R
R
sce
1R
R
1e
a
msl
R R Ro a v
e
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Error del instrumento
Condiciones:
• Temperatura ambiente constante, llamada decalibración (20 a 25ºC)
• Reducción de campos magnéticos externos
• Posición normal de trabajo
• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según corresponda.
• Permanencia de las lecturas
• Constancia del cero
• Relación de exactitud (RE) > entre 3 y 10 a 1 (ejemplo RE = 3/1)
Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada de calibración” que
surge de un ensayo en el cual se comparan las lecturas de ese instrumento con otro que actúa como
elemento patrón.Circuito para estimar el error
de un amperímetro:
AcAp
RU
𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑐
𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑝
Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).
Error propio del instrumento
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Error del instrumento
Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada de calibración” que surge de
un ensayo en el cual se comparan las lecturas de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.
Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).
Error propio del instrumento
Condiciones:
• Temperatura ambiente constante, llamada decalibración (20 a 25ºC).
• Reducción de campos magnéticos externos.
• Posición normal de trabajo.
• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según corresponda.
• Permanencia de las lecturas
• Constancia del cero
• Relación de exactitud (RE) > 3:1
Circuito para estimar el error de un voltímetro:
Vp
U
R
Vc
𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑐
𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑝
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Error del instrumento
Construcción de la quebrada de calibración. Se toman valores de Vp y Vc y se los compara:
Vc [V]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Vp [V]
9,98
20,05
31,02
39,50
51,80
59,00
69,70
81,10
89,50
99,60
110,95
119,95
129,20
140,80
148,75
Eabs inst [V]
0,02
-0,05
-1,02
0,50
-1,80
1,00
0,30
-1,10
0,50
0,40
-0,95
0,05
0,80
-0,80
1,25
Cr [V]
-0,02
0,05
1,02
-0,50
1,80
-1,00
-0,30
1,10
-0,50
-0,40
0,95
-0,05
-0,80
0,80
-1,25
Ejemplo:
Vc es un IPBM de alcance 150V
𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝
𝐶𝑟 = − 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡
corrección
Se obtiene así una
corrección que se puede
aplicar a cada valor
medido
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30
Error del instrumento
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Valor Medido
Co
rrecció
n
V145
-0.25
Graficando la corrección en función de Vc se obtiene la Quebrada de CalibraciónVc [V]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Cr [V]
-0,02
0,05
1,02
-0,50
1,80
-1,00
-0,30
1,10
-0,50
-0,40
0,95
-0,05
-0,80
0,80
-1,25
VVV 75,14425,0145 Ejemplo:
si con Vc mido 145V lo corrijo a:
El objetivo de una quebrada de calibración sería poder saber que error se comete
en cada punto de la escala, para poder así hacer una corrección por instrumento
a un valor medido cualquiera:
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31
Error del instrumento
La quebrada de calibración también sirve para
detectar el error máximo cometido por Vc y con él la clase de Vc.
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Valor Medido
Co
rrecció
n
145 V-0.25
Vc [V]
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Cr [V]
-0,02
0,05
1,02
-0,50
1,80
-1,00
-0,30
1,10
-0,50
-0,40
0,95
-0,05
-0,80
0,80
-1,25
100.)(
Alcance
VVclase
máximopm
Para el ejemplo:
Vc era un IPBM de alcance 150V
%2,1100.150
8.1
V
V
5,1clase
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Error del instrumento
1. Sin embargo, hay algunas consideraciones sobre todo lo anterior que convendría aclarar ahora…
Se consideró que el instrumento patrón indica el valor verdadero (y eso sabemos que no es
cierto).
Tampoco se consideró ningún error de lectura, en ningún instrumento si alguno es analógico.
No sabemos que si al repetir la experiencia obtendríamos los mismos valores.
Todo ello hace que tengamos que considerar también otros aspectos como veremos más
adelante, para mejorar nuestras conclusiones respecto del error del instrumento y su clase.
2. Si el ensayo realizado que determinó la quebrada de calibración tuvo por objetivo calcular la clase
del instrumento, entonces el ensayo se llama de “calibración” o de “contraste”.
En cambio, si tuvo por objetivo determinar si el error máximo del instrumento está dentro del margen
especificado por la clase que declaró un fabricante por ejemplo, se denomina ensayo de
“verificación”.
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33
Error del instrumento
3. No siempre para calcular la clase se usa el alcance. En realidad, la clase se calcula como:
100.FiduciarioValor
Eclase máximo
donde:
Valor fiduciario: es el valor que por convención se toma en un instrumento para especificar su exactitud.
Ejemplos de valores fiduciarios:
• El límite superior del campo de medida (el alcance), en aparatos con „0‟ en un extremo no fuera de
escala.
• La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con „0‟ dentro de la escala.
• 90° eléctricos para cofímetros y fasímetros.
• La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída
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Error del instrumento
Valor fiduciario: 1 A y 100 V
respectivamente
Valor fiduciario: 240V
0 +35-15
mV
Valor fiduciario: 50mV Valor fiduciario: 53Hz
Ejemplos de valores fiduciarios:
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Otros errores sistemáticos
Error por tendencia del observador
Se refiere a la técnica experimental que posee el operador que se repite siempre con la misma
intensidad y signo.
Error por efectos circundantes
Se refiere a los errores que se repiten en magnitud y signo al repetirse las mismas condiciones
experimentales ajenas al instrumento.
Ejemplos:
Modificación de una resistencia interna de un instrumento al cambiar la temperatura.
Modificación de una impedancia interna de un instrumento al cambiar la frecuencia.
Presencia de vibraciones, presión, humedad, campos magnéticos externos, etc.
Formas de onda de tensión o corriente distintas a la de diseño.
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Error del instrumento
Groseros Sistemáticos Accidentales o fortuitos
Clasificación de los errores
Errores Groseros:
Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la
medición.
Errores Sistemáticos:
Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de mediciones equivalentes
(en igualdad de condiciones). Se pueden desafectar del resultado, bajo ciertas condiciones.
Errores Accidentales:
Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo sino que siguen
leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se pueden desafectar del resultado.
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Errores accidentales
Errores accidentales o fortuitos
Se refiere a los errores que inevitablemente están presentes, pero que siguen las leyes del azar. No se
los puede eliminar por eso se los llama “residuales”.
Estos errores no se repiten ni en magnitud ni en signo aunque se repitan las condiciones experimentales,
entonces solo un estudio estadístico puede caracterizarlos. No se pueden corregir.
Si se tiene información sobre mediciones repetidas se podrá conocer la distribución de frecuencia de
ocurrencia de esas mediciones. En general, dentro de las mediciones eléctricas hay tres distribuciones
que se usan comúnmente:
La distribución de Gauss La distribución rectangular
o uniforme
La distribución
triangular
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Al no repetirse en magnitud y signo no se puede hacer ninguna corrección, pero sí, gracias a la teoría
estadística, se puede encontrar algún índice de dispersión, que con alguna probabilidad, (también
llamado nivel de confianza), defina un intervalo dentro del cual se encuentre el valor verdadero de la
medición, y usar ese índice de dispersión para calcular una incertidumbre como veremos más adelante.
Valor verdadero
Índice de dispersión (con bajo nivel de confianza)
Índice de dispersión
(con alto nivel de confianza)
Índice de dispersión
(con medio nivel de confianza)
Errores accidentales
Errores accidentales o fortuitos
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Resumiendo lo visto…
Groseros Sistemáticos Accidentales o fortuitos
Clasificación de los errores
Se deben detectar y eliminar.
De ser posible se deben determinar y desafectar
de la medida usando
alguna corrección.
De no ser posible desafectarlos contribuirán a la
incertidumbre.
Se deben estimar y
considerar en la
incertidumbre.
Entonces una medición tendrá esta forma general:
Valor medido + Corrección ± Incertidumbre
(por errores sistemáticos) (por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos
por falta de alguna información)
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Ejemplo integrador
Ejemplo:
Se mide una resistencia por el método corto con voltímetro y amperímetro.
El voltímetro indica 22,3 V es de clase 0,5 y alcance 25 V.
El amperímetro indica 145,5 mA es de clase 0,2 y alcance 150mA.
La resistencia interna del voltímetro es 100 kΩ con un error límite de 0,5 kΩ.
Suponga además que no se comete error de lectura en ningún instrumento.
Determine el valor de la resistencia y su error límite.
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Ejemplo integrador
Solución: En este caso tendremos las siguientes fuentes de error relevantes:
1. El método empleado (error sistemático). Se puede aplicar una corrección.
2. Inexactitud en la medida de V (error del instrumento + lectura)
(como tenemos su signo porque no tenemos la quebrada de calibración no lo podemos corregir )
3. Inexactitud en la medida de I (error del instrumento + lectura)
(como tenemos su signo porque no tenemos la quebrada de calibración no lo podemos corregir )
CmRLímmétodoasistemáticm ECRR
En este caso debemos llegar a:
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Ejemplo integrador
Solución:
1. Ya vimos que para este caso:
I I Im v r 𝑈𝑚 = 𝑈𝑟
3. Necesitamos calcular la corrección por método para aplicarla al valor medido.
Podemos usar la expresión del error sistemático de método deducida en la diapositiva 24 o deducirla
nuevamente usando esta vez la ley de propagación del error. En ese caso sería:
m
mm
I
UR
𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚= 𝑈𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝑈𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝑈𝑚 − 𝑈𝑟 = 𝑈𝑟 − 𝑈𝑟 = 0
𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐼𝑚 − 𝐼𝑟 = (𝐼𝑣 + 𝐼𝑟 ) − 𝐼𝑟 = 𝐼𝑣
Aplicamos la ley
de propagación:
(con signo en este caso)
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚
+ 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚
R Rm Por ende
2. Vimos que se comete un error sistemático de método ya que:
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Ejemplo integrador
Solución:
Calcularíamos las derivadas parciales de
Entonces:
m
mm
I
UR
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚=
1
𝐼𝑚
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚= −
𝑈𝑚
𝐼𝑚2
(expresión que ya habíamos obtenido en la
diapositiva 24 por otro camino, lo que muestra
que la ley funciona…)
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 1
𝐼𝑚 0 + −
𝑈𝑚
𝐼𝑚2 𝐼v
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = −𝑈𝑚
𝐼𝑚2
𝑈𝑚
𝑅𝑣= −
𝑅𝑚2
𝑅𝑣
𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚
+ 𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚
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Ejemplo integrador
Solución:
Entonces la resistencia medida y corregida por el error sistemático de método sería:
métodoasistemátic
m
m CI
UR
2366,05,145
3,22
mA
VR
5012,153R
2366,0
100
5,145
3,2222
2
métodoasistemátic
V
m
m
métodoasistemátic
V
m
cortométodoabsmétodoasistemátic
C
K
mA
V
R
I
U
C
R
REC
2366,02646,153R
(Nota: Una corrección es el error cambiado de signo)
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Ejemplo integrador
4. Nos queda por considerar los errores propios del voltímetro y del amperímetro.
• Como no tenemos sus quebradas de calibración como para corregir los valores medidos, por lo
que calculamos el error límite de cada medida (un valor ±).• Al ser ± los trataremos como errores accidentales aunque no lo son.
• Usando la ley de propagación del error nuevamente podemos determinar ahora como influyen
los errores límite de cada uno de los instrumentos en el resultado, calculando el error límite de
Rm
Aplicamos la ley de propagación:
(sin signo definido en este caso) ±𝐸𝑙í𝑚 𝑅𝑚= ±
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 +
𝜕𝑅𝑚
𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚
VVAlcanceClase
E VV
Ulím m125,0
100
255,0
100
mAmAAlcanceClase
E AAIlím m
3,0100
1502,0
100
CmRLímmétodoasistemáticm ECRR
Solución:
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Ejemplo integrador
v
m
m
m
m
v
m
m
m
R
I
U
I
U
R
R
I
UR
2
2
vmmCm Rlím
v
Ilím
m
Ulím
m
Rlím ER
RE
I
RE
U
RE
Donde:
v
m
m
m
m
R
I
U
I
UR
2
ARI
U
IU
R
vm
m
mm
1...8939,6
212
23
2
2...5938,1056
2
A
V
RI
U
I
U
I
R
vm
m
m
m
m
6
2
2
10349,21
vm
m
v RI
U
R
R
Solución:
Mediciones Eléctricas I (3D1) - 2021 - Departamento de Ingeniería Eléctrica – FI UNMDP - Clase 3Prohibida la reproducción total o parcial de esta presentación en cualquier formato o medio sin la correspondiente autorización del autor
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Ejemplo integrador
Solución:
179889,1236692,05,145
3,22
mA
VR
vmmCm Rlím
v
Ilím
m
Ulím
m
Rlím ER
RE
I
RE
U
RE
50010349,23,059,1056125,0
18939,6 6
2mA
A
VV
AE
CmRlím
179889,1CmRlímE
Finalmente:
𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω
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