las matrices homogeneas
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7/24/2019 Las Matrices Homogeneas
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Fundamentos de RobticaHerramientas Matemticas para la Localizacin Espacial
Matrices de Transformacin Homogneas
Ricardo-Franco Mendoza-Garciarmendozag@uta.cl
Escuela Universitaria de Ingeniera MecnicaUniversidad de Tarapac
Arica, Chile
May 12, 2014
R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 1 / 26
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Outline
Outline
1 Coordenadas y matrices homogneas
Coordenadas homogneas
Matriz de transformacin homognea
2 Aplicacin de matrices homogneas
Traslacin
Rotacin
Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin
Traslacin seguida de rotacin
3 Composicin de matrices homogneas
Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil
4 Grficos de transformacin
5 Referencias
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Coordenadas y matrices homogneas Coordenadas homogneas
Coordenadas homogneas
Permiten la representacin conjunta de traslacin y rotacin.
Un vectorp(x, y, z)ser representado porp(wx, wy, wz, w).
wes un valor arbitrario; factor escala.
As, el vector 2i+3j+4kpuede ser representado en coordenadashomogneas como: [2, 3, 4, 1]T, o tambin como[4, 6, 8, 2]T,[6,9,12,3]T, etc.
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Coordenadas y matrices homogneas Matriz de transformacin homognea
Matriz de transformacin homognea
Matriz de dimensin 4x4 que representa la transformacin de unvector de coordenadas homogneas de un sistema de
coordenadas a otro.
Se puede considerar que una matriz homognea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:
R3x3, matriz de rotacin; p3x1, vector de traslacin; f1x3, transformacin de perspectiva; y w1x1, escalado global.
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C d d i h M i d f i h
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Coordenadas y matrices homogneas Matriz de transformacin homognea
Matriz de transformacin homognea
Matriz de dimensin 4x4 que representa la transformacin de unvector de coordenadas homogneas de un sistema de
coordenadas a otro.
Se puede considerar que una matriz homognea se hayacompuesta por 4 sub-matrices:
R3x3, matriz de rotacin; p3x1, vector de traslacin; f1x3, transformacin de perspectiva; y w1x1, escalado global.
R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 5 / 26
A li i d t i h
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Aplicacin de matrices homogneas
Outline
1 Coordenadas y matrices homogneas
Coordenadas homogneas
Matriz de transformacin homognea
2 Aplicacin de matrices homogneas
Traslacin
Rotacin
Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin
Traslacin seguida de rotacin
3 Composicin de matrices homogneas
Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil
4 Grficos de transformacin
5 Referencias
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Aplicacin de matrices homogneas
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Aplicacin de matrices homogneas
Aplicacin de matrices homognea
Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escalado
global unitario:
As, una matriz de transformacin puede representar: posicin y orientacin de un sistemaOUVWgirado y trasladado
con respecto aOXYZ;
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Aplicacin de matrices homogneas
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Aplicacin de matrices homogneas
Aplicacin de matrices homognea
Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:
As, una matriz de transformacin puede representar: transformacin de las coordenadas de un vectorrdesde sus
coordenadas enOUVWa sus coordenadas en OXYZ; o
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Aplicacin de matrices homogneas
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Aplicacin de matrices homogneas
Aplicacin de matrices homognea
Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escaladoglobal unitario:
As, una matriz de transformacin puede representar: rotacin (R) y traslacin (p) de un vectorrcon respecto a un
sistema de referencia fijoOXYZpara transformarlo enr.
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Aplicacin de matrices homogneas
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Aplicacin de matrices homogneas
Aplicacin de matrices homognea
Considerando la transformacin de perspectiva nula y el escalado
global unitario:
As, una matriz de transformacin puede representar:
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin
Traslacin
matriz de traslacin
un vectorruvw descritocomorxyz
un vectorrxyzdesplazado segnT
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin
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p g
Ejemplo de traslacin
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Aplicacin de matrices homogneas Rotacin
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p g
Rotacin
matrices homogneas bsicas
de rotacin
descrito en OXYZ rotado en OXYZ
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Aplicacin de matrices homogneas Rotacin
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Ejemplo de rotacin
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin junto con rotacin
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Traslacin junto con rotacin
Cmo ejecutamos una traslacinpjunto a una rotacin de 180o
alrededor del ejeOZ?
Habr que tener en cuentra si primero se realiza la
rotacin y despus la traslacin, o viceversa.
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Aplicacin de matrices homogneas Rotacin seguida de traslacin
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Rotacin seguida de traslacin
rotacin(phi) sobre ejeOX
seguida de traslacinpxyz
rotacin (theta) sobre eje
OYseguida de traslacinpxyz
rotacin (psi) sobre ejeOZseguida de traslacinpxyz
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin
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Traslacin seguida de rotacin
traslacinpxyzseguida
de rotacin(phi) sobre
ejeOX
traslacinpxyzseguidade rotacin(theta)
sobre ejeOY
traslacinpxyzseguida
de rotacin (psi) sobreejeOZ
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin
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IMPORTANTE
Ntese que las transformaciones se definen con respecto al
sistema fijo. De definirse con respecto al sistema mvil se
deberanintercambiar los resultados!Las matrices que representan traslacin seguida de rotacin
representaran rotacin seguida de traslacin, y viceversa.
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Aplicacin de matrices homogneas Traslacin seguida de rotacin
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Ejemplo de rotacin seguida de traslacin
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Composicin de matrices homogneas
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Outline
1 Coordenadas y matrices homogneas
Coordenadas homogneas
Matriz de transformacin homognea
2 Aplicacin de matrices homogneas
Traslacin
Rotacin
Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin
Traslacin seguida de rotacin
3 Composicin de matrices homogneas
Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil
4 Grficos de transformacin
5 Referencias
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Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema fijo
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Considerando que XYZ es el sistemafijo, una
rotacinsobre eje OX; seguida de una
rotacinsobre eje OY; y seguida de una
rotacin sobre eje OZ,
se representa por:
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Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema fijo
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Lo cual difiere de una
rotacin sobre eje OZ, seguida de una
rotacinsobre eje OY; y seguida de unarotacinsobre eje OX,
que se representa por:
La multiplicacin de matrices no es conmutativa!
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Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema fijo
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Ejemplo
Ejercicio
Comprobar el resultado de manera grfica en Sage.
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Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema mvil
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Considerando que UVW es el sistemamvil, una
rotacinsobre eje OX (o OU); seguida de una
rotacinsobre eje OU; y seguida de una
rotacin sobre eje OW, se representa por:
Es decir, para componer rotaciones bsicas sobre el sistemafijo sepre-multiplican las matrices, y para componer sobre el
sistema mvil sepost-multiplican.
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Composicin de matrices homogneas Rotaciones sobre sistema mvil
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Ejemplo
Ejercicio (no es fcil)Comprobar el resultado de manera grfica en Sage
aplicando la matriz a un vector en particular.
R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 22 / 26
Grficos de transformacin
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Sistemas alrededor de robot
R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 23 / 26
Grficos de transformacin
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Sistemas alrededor de robot
R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 24 / 26
Referencias
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Outline
1 Coordenadas y matrices homogneas
Coordenadas homogneas
Matriz de transformacin homognea
2 Aplicacin de matrices homogneas
Traslacin
Rotacin
Traslacin junto con rotacinRotacin seguida de traslacin
Traslacin seguida de rotacin
3 Composicin de matrices homogneas
Rotaciones sobre sistema fijoRotaciones sobre sistema mvil
4 Grficos de transformacin
5 Referencias
R. F. Mendoza-Garcia (Mecnica, UTA) Matrices de Transformacin Homogneas May 12, 2014 25 / 26
Referencias
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Bibliografa
Barrientos, A., Pen, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007,
Fundamentos de Robtica, 2nd edition, McGraw-Hill.
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