la recta, parte 1.pptx
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LA RECTAPendiente / inclinación de la recta
s
I.- La rectaEn nuestra vida diaria nos encontramos continuamente con líneas: trazos y perfiles rectos que identificamos sin ninguna duda, si nos topamos con una tabla de madera sabemos que es recta porque su espesor, longitud o anchura son constantes a lo largo de la misma, contornos que conforman líneas bien definidas. De ahí surge preguntarnos:
¿Qué es constante en una línea? Antes de contestar esta pregunta revisemos algunas cosas que en estudios previos hemos manejado.
La rectaHemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales, de 2 variables, como el ejemplo que a continuación se muestra
2 x + 3 y = 45 x - 2 y = -9
donde cada ecuación, su representación geométrica o espacial, conforma una línea recta y cuya solución de “x” y “y” establecen las coordenadas del punto de cruce de las mismas.
La recta
La línea A está representada por la ecuación
2x +3y=4, mientras que la línea B es la representación gráfica de
5x -2y=-9y el punto de inter-sección Q(-1,2) es la solución al sistema
La rectaEsta forma constituye una de las tantas que conoceremos en esta unidad, a esta particular forma de ecuación de la línea recta se le conoce como forma canónica (pasando todos los términos al lado izquierdo e igualándola a cero después del despeje, la primera ecuación quedaría como 2x+3y-4=0).
Forma canónicaA x + B y + C
= 0
La recta (características)Analicemos ahora varias líneas cualesquiera para observar sus características.
X
Y
1.- Se extienden indefinidamente.
La recta (características)Analicemos ahora varias líneas cualesquiera para observar sus características.
X
Y
2.- Tiene una inclinación (pendiente), las líneas A y C perpendiculares entre sí y paralelas una y otra a los ejes.
F b
Línea C con ángulo cero
La recta (características)Analicemos ahora varias líneas cualesquiera para observar sus características.
X
Y
3.- Cruzan a los ejes en al menos un punto.
Cruza al eje Y y al
eje X
Cruza al eje X
Cruza al eje Y
La recta (resumen de características) a)Se extienden
indefinidamente.
b)Tiene una inclinación (pendiente), las líneas A y C son paralelas una y otra a los ejes, siendo perpendiculares entre sí.
c)Cruzan a los ejes en al menos un punto.
X
Y
La recta (resumen de características)Tomando los axiomas de Euclides.
a)Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une (véase la recta A que une a P y Q).
b)Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada (igual puede decirse de una recta perpendicular). Véase las rectas B, C y D.
X
Y
D
La pendiente de la recta
La pendiente de la recta.La pendiente m (se le designa de este modo comúnmente) de una recta es la tangente del ángulo que forma la misma con respecto al eje X (inclinación). Tangente F
=
Cat. Opuesto_________Cat. Adyacente
Cat. Opuesto= y2-y1Cat. Adyacente= x2-x1
Tangente F = m =
_________Y2 - Y1X2 - X1
Hipot
enus
a
Cateto adyacente
x1 x2
y2
y1
Q(x2,y2)
M(x1,y1)S(x2,y1)
y2-y
1
x2-x1
Cate
to o
puest
o
F
La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 1.- Determinar la pendiente de la recta conociendo los puntos A(2,3) y B(4,7) que pertenecen a ella. 1.- Primero anotemos la
fórmula de la pendiente de la recta, utilizando siempre ya la notación de m.
12
12
xxyy
m
2.- Establezcamos arbitrariamente el punto A con las coordenadas (x1,y1) y el punto B con (x2,y2).
(x1,y1)
(x2,y2)
La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 1.- Determinar la pendiente de la recta conociendo los puntos A(2,3) y B(4,7) que pertenecen a ella. 3.- Sustituyamos los
valores de cada variable
24
2437
m
(x1,y1)
(x2,y2)
2mLa pendiente de esta recta, que cruza los puntos A(2,3) y B(4,7), es m=2.
12
12
xxyy
m
La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 2.- Determinar la pendiente de la recta conociendo otro punto de la misma recta, punto C(1,1).1.- Repitiendo el proceso establecemos, como antes, los pares coordenados de la fórmula y sustituimos.
224
2437
m
(x1,y1)
(x2,y2)
2.- Cambiemos los pares coordenados y calculemos de nueva cuenta.
(x2,y2)
212
2131
m
No debe sorprender que ambos cálculos de la pendiente, para cualquier par de puntos de la misma recta, son IGUALES.
12
12
xxyy
m
La pendiente de la recta (ej.).Ejercicio 3.- Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(-2,3), determina adicionalmente el ángulo que subtiende.1.- Sustituyamos los
valores de cada variable en la fórmula sgte.:
21
42
2213
m
B(2,1)
A(-2,3)
21m
2.- Para el ángulo utilizamos el arco tangente de -1/2.
12
12
xxyy
m
(x2,y2)
(x1,y1)
o56.26)21
(tan 1
Observe que -26.56º es igual a 153.04º
La pendiente es igual para cualquier par de puntos de la recta.
Los triángulos conformados por las proyecciones de las coordenadas de los tres puntos SON PROPOCIONALES. Por lo que las pendientes
m y m1, que es una constante de proporción de dos de sus lados (recuérdese que la tangente es igual a cateto opuesto/cateto adyacente) son iguales, es decir que:
a
a’= k a
b
b’= k bc
c’=
k c
a’b’m = a
bm1 =
m = m1
y
La inclinación de la recta En el ejercicio 3 obtuvimos que el valor del ángulo de inclinación de esta recta es de -26.56º (equivalentes a 153.04º) el cual se muestra en la siguiente figura.
B(2,1)
A(-2,3)
Conviene tener en mente que aunque comúnmente se utilizan como sinónimos inclinación y pendiente, no debemos perder la noción de que el primer concepto es un ángulo y el segundo es la tangente de ese ángulo. La inclinación está dado en grados o radianes y la pendiente no tienen unidades.
-26.56º
153.04º
Valor de la pendiente en los diferentes cuadrantes
El valor de la pendiente en los cuadrantes
La pendiente en el cuadrante I es positiva ya que y1 y x1 son positivas.
Cuadrante I
X
Y
y1
x1
m = y1 positivo x1 positivo
+
+
Cuadrante I
El valor de la pendiente en los cuadrantes
La pendiente en el cuadrante II es negativa ya que x1 es negativa y y1 es positiva.
Cuadrante II
X
Y
y1
x1
m = y1 positivax1 negativa
+
+
Cuadrante II
El valor de la pendiente en los cuadrantes
Cuadrante III
X
Y
y1
x1
+
+ La pendiente en el cuadrante III es positiva ya que y1 y x1 son negativas.
m = y1 negativax1 negativa
Cuadrante III
El valor de la pendiente en los cuadrantes
Cuadrante IV
X
Y
y1
x1
+
+ La pendiente en el cuadrante II es negativa ya que y1
es negativa y es x1
positiva. m =
y1 negativax1 positiva
Cuadrante IV
Apunte de trigonometría
Apunte de trigonometríaEl ángulo de inclinación es el ángulo subtendido por una recta con respecto al eje X, considerándose positivo si el giro corre en sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo si corre en sentido contrario.
+ -
Apunte de trigonometría
BA
B
90º < D A < 180º Los ángulos A y B son suplementarios por lo que se cumple que:DA + D B = 180º DB= 180º - D A Dado que el ángulo b es negativo (giro en el mismo sentido que las manecillas del reloj)
Tangente( D A )= -Tangente(D B)Tangente( D A )= -Tangente(180º - D A) Para un ángulo > 270º basta restar directamente restar 360º y determinar la tangente.
Ejemplo.Tan 135º = -Tan(180º - 135º ) = -Tan(45º)
Para el ángulo de inclinación se cumple que:
Apunte de trigonometría
BB
180º < D A < 270º DA - D B = 180º DB = D A - 180ºDado que el ángulo b es positivo (giro en sentido contrario al de las manecillas del reloj)
Tangente( D A )= Tangente(D B)Tangente( D A )= Tangente( D A -180º)
Ejemplo.Tan 200º = Tan(200º - 180º ) = Tan(20º)
A
Para el ángulo de inclinación se cumple que:
ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS
DE LA MISMA
Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella.
Para encontrar la ecuación de la recta cuando conocemos dos puntos de la misma, haremos uso de un ejercicio anterior solo que reemplazaremos algunos valores por variables.Recordemos primero que las pendientes m y m1 son iguales.
m1
m
Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella.
Ahora sustituyamos las coor-denadas de los puntos A y B por las coordenadas cuales-quiera que ya conocemos, en este caso A(x1,y1) para el punto A y B(X2,y2) para el punto B. En el caso del punto C ahora lo establecemos como un punto arbitrario P con coordenadas P(x,y) . No olvidemos que las pendientes son iguales.
B(x2,y2)
A(x1,y1)
P(x
,y)
x x1 x2
y
y1
y2
m1
m
Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella.
B(x2,y2)
A(x1,y1)
P(x
,y)
x x1 x2
y
y1
y2
m1
m
Tenemos que:
1mm
Igualamos términos
12
12
1
1
xxyy
xxyy
12
12
xxyy
m
xxyy
m
1
11
xxxxyy
yy 1
12
121
Fórmula para cálculo de m
Luego para m1
Despejamos
El término x1 - x______ x1 - x
pasó multiplicando
Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella.
B(x2,y2)
A(x1,y1)
P(x
,y)
x x1 x2
y
y1
y2m
1
m
Multiplicando por -1 ambos tér-minos para que quede en función de y y que esta sea positiva.
Finalmente tenemos que
)1())(1( 112
121
xxxxyy
yy
112
121)( xx
xxyy
yy
Que es la ecuación de la recta conociendo dos puntos de la misma. Obtengamos la ecuación de la recta del ejercicio 1 de la sección de la recta, ejercicio 4 ahora.
Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella.
Esta es la ecuación que buscamos
)2)(2437
(3 xy
(x1,y1)
(x2,y2)
112
121)( xx
xxyy
yy
423 xy
)2)(24(3 xy
)2(23 xy
342 xy
12 xy
Hacemos las dos restasHacemos la división 4/2Multiplicamos por 2 a (x-2)Pasamos -3 a la derechaHacemos -4+3=-1
Ejercicio 4.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(4,7).
Observa que la pendiente es el factor de la variable
independiente X
m=
2 2
Ecuación de la recta conociendo un punto y su
pendiente (Forma punto-pendiente)
Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente)
Partiremos de la ecuación anterior donde teníamos dos puntos de la recta.
y –y1 =
y2 –y1
x2 –x1
(x –x1)_____
Si observamos detenidamente el primer término del la expresión algebraica del lado derecho corresponde al valor de la pendiente, por lo que si reemplazamos ésta por m, la ecuación queda como:
y –y1 =
m ( x –x1)
Que es la ecuación buscada
Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente)
Gráficamente queda representada como:
y –y1 =
m ( x –x1)
m = tangente (b)
b
(x1,y1
)
Y
X
Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente).
Ejercicio 5. Determina la ecuación de la recta que cruza el punto A(1,2) y que tiene un ángulo de inclinación de 120º.
y –y1 =
m ( x –x1)
a) Cálculo de la pendiente.
)60()120( oo TanTanm
732.1m
Ecuación de la recta teniendo un punto y conociendo su pendiente (punto-pendiente).
Ejercicio 1. Determina la ecuación de la recta conociendo que cruza el punto A(1,2) y que tiene un ángulo de inclinación de 120º.
1732.1)2( xy
732.1732.12 xy
2732.1732.1 xy
b) Sustitución de m y del punto A(x1=1, y1=2).
y = - 1.732 x + 3.732
Ecuación de la recta, forma pendiente- ordenada al
origen
Ecuación de la recta, forma pendiente ordenada al origen.
Partiremos, de nueva cuenta, de la ecuación de la recta, no paralela a cualquiera de los ejes, conociendo dos puntos.
y –y1 =
y2 –y1
x2 –x1
(x –x1)_____
Ahora consideremos que conocemos el punto de cruce con el eje Y, es decir aquel punto donde y1=b y
x1=0, condición ésta última que ocurre, como dijimos, al cruzar por el eje Y. Sustituyendo en la anterior ecuación, esta queda como:
y –b =
m ( x –0)
Ecuación de la recta, forma pendiente ordenada al origen.
Ésta última es la ecuación buscada.
y –b = m
x – m 0 .
y –b = m
x
y = m
x + b
Ecuación de la recta, forma pendiente ordenada al origen.
Gráficamente queda representada como:
y =
m x +bQ(0,b)
Y
Xb
m = tangente (b)
Ecuación de la recta, forma pendiente ordenada al origen.
Solución. Consideremos que el eje Y colocamos los grados Fahrenheit, mientras que en el eje de las X lo hacemos con los Celsius. Ya establecido de ese modo la ordenada al origen es el punto A(0,32), es decir que 0 oC corresponden 32 oF, y que la pendiente es 9/5. Véase el gráfico siguiente.
32 oF corresponden a 0 oC
oF
oC
m=9/5
Ejercicio 6.- Obtén la fórmula de conversión de grados Celsius a Fahrenheit (ecuación de la recta que las relaciona), si se sabe que a 0 oC corresponden 32 oF, y que además la relación de cambio es de 9/5, es decir que a cada 5 grados Celsius corresponden 9 Fahrenheit.
Ecuación de la recta, forma pendiente ordenada al origen.
Ejercicio 6.- Obtén la fórmula de conversión de grados Celsius a Fahrenheit (ecuación de la recta que las relaciona), si se sabe que a 0 oC corresponden 32 oF, y que además la relación de cambio es de 9/5, es decir que a cada 5 grados Celsius corresponden 9 Fahrenheit.En este caso dado que tenemos la ordenada al origen y la pendiente de la recta, solo bastaría reemplazar estos valores en la forma pendiente-ordenada al origen.
y = m x + bm = 9/5
donde
b = 32 sustituyendo queda
y = x + 329___5
o expresado en términos de grados Celsius y Fahrenheit
oF = oC + 329___5
Ecuación de la recta,forma simétrica
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Partiremos, de nueva cuenta, de la ecuación de la recta, no paralela a cualquiera de los ejes, conociendo dos puntos:
y –y1 =
y2 –y1
x2 –x1
(x –x1)_____
Q(a,0)
R(0,b)
X
Y
(x1,y1)
(x2,y2)
))(00
(0 axa
by
)( axab
y
)( axbya
Considerando primero a R(0,b) como (x2,y2) y a Q(a,0) como (x1,y1), sustituimos en la fórmula:
Hacemos las restasPasamos a “a”
multiplicando al lado izquierdo, observa que m=-b/a
Realizamos el producto de –b por (x-a)
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Partiremos, de nueva cuenta, de la ecuación de la recta, no paralela a cualquiera de los ejes, conociendo dos puntos.
Q(a,0)
R(0,b)
X
Y
(x1,y1)
(x2,y2)
abxbya
abbxya
baba
baxb
baya
1ax
by
Pasamos al término –bx al lado izquierdo
Dividimos toda la expresión entre ab
Reducimos expresiones
Y ésta es la ecuación de la recta, en su forma simétrica.
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Veámosla gráficamente:
Q(a,0)
R(0,b)
X
Y 1by
ax
Con a, b ¹ 0
Y la pendiente siendo igual a:
ab
m
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0.Este ejercicio lo podemos realizar de dos formas; la primera es reflejar la ecuación de forma simétrica ya que en su formulación
a y b representan, no olvidemos ese hecho, los puntos de cruce de la recta. Para ello bastará realizar las operaciones algebraicas necesarias, las cuales haremos a continuación:
1by
ax
0623 yx
623 yxPasamos la literal (-6) al lado derecho, cambiando su signo
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).
66
62
63 yx
Ahora dividimos todos los términos entre 6 para que quede la unidad
623 yx
Efectuamos la división
131
21 yx
Por último, la ponemos en la forma simétrica (subiendo los términos x y y multiplicando por 1)
132 yx Que es la formulación buscada, mientras que 2 es la
abscisa al origen y -3 la ordenada al origen, es decir que los puntos (2,0) y (0,-3) son los puntos de cruce.
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).
132 yx
3x-2y-6=0 y la anterior formulación representan la recta ilustrada en nuestra gráfica.
Gráficamente ubiquemos los puntos (2,0) y (0,-3) y trazamos la recta que los unes y esa es la recta buscada
Indicamos que habían dos formas de obtener los puntos de cruce que nos sirven para graficar la recta. Veamos como realizarla de otro modo.
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).Para obtener los puntos de cruce (rectas x=0 y y=0), basta hacer, alternativamente x=0 que nos da la ordenada al origen, y luego y=0, punto de cruce con x, con lo que obtenemos la abscisa al origen. Este método se puede aplicar a cualquier ecuación de una recta. Hagamos primero x=0, punto de cruce con el eje y (ordenada al origen)-
62)0(3 y
62 y
326
y
0xEntonces x=0 y y=-3 nos representa el punto de cruce (0,-3), punto B en la gráfica anterior.
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 7.- Determina los puntos, sobre los ejes, que cruza la recta 3x-2y-6=0 (continuación).Ahora hagamos primero y=0, punto de cruce con el eje x (abscisa al origen)
6)0(23 x
63 x
236 x
0y Entonces x=2 y y=0 nos representa el punto de cruce (2,0), punto A en la gráfica anterior.
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 8.- Elabora la gráfica de la recta 5 x + 8 y = -6Determinemos los puntos de cruce, ordenada y abscisa al origen, haciendo alternativamente x=0 y y=0.
6)0(85 x65 x
2.156 x
0y
Entonces y=0 y x=-1.2 nos representa el punto de cruce A(-1.2,0).
Para
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 8.- Elabora la gráfica de la recta 5 x + 8 y = -6
68)0(5 y
65 y
75.043
86 y
0x
Entonces x=0 y y=-0.75 nos representa el punto de cruce A(0,-0.75).
Para
Ecuación de la recta, forma simétrica.
Ejercicio 8.- Elabora la gráfica de la recta 5 x + 8 y = -6Finalmente unimos los puntos A y B, trazando con ellos la gráfica buscada.
Ecuación de los ejes, rectas paralela y perpendiculares
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