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LA FUNCION INVERSA

Funciones Uno-a-Uno

• Una función f con dominio D y co-dominio o rango R es una función uno-a-uno si satisfaceal menos una de las siguientes condicionesequivalentes.

1) Siempre que a ≠ b en D , f(a) ≠ f(b) en R .

2) Siempre que f(a) = f(b) en R, a = b en D .

Ejemplo:

• f(x) = x2 NO es uno-a-uno,

ya que f(2) = f(-2) = 4 , pero 2 ≠ -2 .

Prueba de la línea horizontal

• Esta prueba dice que una función f es uno-a-

uno si cada línea horizontal interseca la

gráfica de f en no más de un punto.

Aquí f NO

uno-a-uno.

Existen líneas horizontals

que intersecan la gráfica

en más de un punto.

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para

determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:

Observemos la gráfica …

La prueba de la línea

horizontal muestra que

f es uno-a-uno.

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para

determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.

Observemos la gráfica …

La prueba de la línea

horizontal muestra que

g NO es uno-a-uno.

Funciones crecientes/decrecientes• Observaciones:

– Una función que es creciente en todo su dominio

es uno-a-uno;

– Una función que es decreciente en todo su

dominio es uno-a-uno;

• Las gráficas de estos tipos de funciones

siempre pasarán la prueba de la línea

horizontal.

Definición formal

• Sea f una función uno-a-uno con dominio D

y rango R .

• Una función g con dominio R y rango D es

la función inversa de f si para cada x en D y

cada y en R :

y = f(x) si y solo si x = g(y) .x entra a f y la salida es y,

si y solo si, cuando y entra a g, la salida es x.)

Teorema sobre funciones inversas

• Sea f una función uno-a-uno con dominio D

y rango R .

• Si g es una función con dominio R y rango

D , entonces g es la función inversa de f si y

solo si se cumple lo siguiente :

– g(f(x)) = x para todo x en D

– f(g(y)) = x para todo y en R

Notación

• Si una función f tiene una función inversa g ,

entonces escribimos g = f -1 .

• Advertencia

– ¡ El -1 NO representa un exponente!

– f -1(y) NO es igual [f(y)]-1 .

(La función inversa no es equivalente a la función

del recíproco.

Domain and Range of f -1

• La definición de f -1 nos lleva a lo siguientes

hechos:

– El dominio de f -1 es el rango de f ;

– El rango de f -1 es el dominio de f .

• Dado esto, también es cierto que

– f -1(f(x)) = x para cada x en el dominio de f ;

– f (f -1(x)) = x para cada x en el dominio de f -1 .

Hallar e interpretar la función inversarepresentada en forma tabular

• En la tabla de f (t) siguiente se muestra la distancia en millas que un automóvil ha recorrido en tminutos. Encontrar e interpretar f −1 (70).

Cómo determinar f -1 algebraicamente

• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :

1. Esta es una función linear. Su pendiente es positiva. Por lo tanto, f es creciente en todo su dominio y

es una funcion uno-a-uno.2. Resolvemos la ecuación y = f(x) para x:

y = 3x - 5y + 5 = 3x𝑦+5

3= 𝑥

3. Intercambiar variables: 𝑦 =𝑥+5

3o 𝑓−1(𝑥) =

𝑥+5

3

Ejemplo (cont)4. Verificaciones usando composición:

Por lo tanto, las funciones son inversas.

𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 5

3f(x) = 3x - 5

Ejemplo: Dado que f es una función uno-a-uno, hallar f -1 (x). Indicar su domino y campo de valores.

• Solución:

Ejemplo: Determine, si f y g son inversas.

𝑓 𝑥 =2

𝑥3 + 1g 𝑥 =

3 2−𝑥

𝑥

Graficas de f -1

• Como una funcion y su inversa intercambian

su dominio y rango,

– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo

si…

– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .

Ejemplo: Trace las gráficas def(x) = 3x - 5

x f(x)-3 -14-2 -11-1 -80 -51 -22 13 4

𝑓−1(𝑥) =𝑥 + 5

3

x f-1 (x)-14 -3-11 -2-8 -1-5 0-2 11 24 3

Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe

para f(x) = 𝑥 + 3

Ejemplo (cont.)

• En general, las gráficas

de f y f -1 son

simétricas con respecto

a la línea y = x .

• Aquí se presentan

f(x) = x3 y su inversa

f -1(x) = x1/3 .

Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.

Dominio:

Rango:

Dominio:[-7,9]

Rango: [-1, 3]

X Y

-7

0

1

2

9

X Y

-7 3

0 2

1 1

2 0

9 -1

FIN