josé luis gómez muñoz. cuando yo tenía dieciséis años, mi profesor rubén andonegui solía...

José Luis Gómez Muñoz

Cuando yo tenía dieciséis años, mi profesor Rubén Andonegui solía preguntarnos: “¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres?”

¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres?

¿Cuándo te has encontrado un cinco tirado en la calle? ¿O un tres? Seguramente nunca, porque un cinco no es un objeto real, es una abstracción mental, una idea.

Aprendiendo a contar Esto se hace más evidente cuando

convivimos con una niña muy pequeña que apenas está aprendiendo a contar. La mamá, o el hermano mayor, o la tía, repite una y otra vez con la niña “uno, dos, tres…” contando pelotas, o piezas de un rompecabezas, o las teclas de un pianito.

El significado del juego

Quizás al principio, para la niña sólo será un juego, una cancioncita que se repite en orden al mismo tiempo que se señalan objetos; tendrá que pasar algún tiempo antes de que pueda abstraer la idea de cantidad

El cinco como abstracción Por ejemplo, si a cinco manzanas le

quitamos dos manzanas quedan tres manzanas

El cinco como abstracción Por ejemplo, si a cinco manzanas le

quitamos dos manzanas quedan tres manzanas. Si a cinco pasteles le quitamos dos pasteles quedan tres pasteles.

El cinco como abstracción Como esto sigue siendo cierto para

cualquier tipo de objeto que contemos, podemos decir que si a cinco le quitamos dos, quedan tres. ¿Cinco qué? ¿Cinco manzanas? ¿Cinco pasteles? ¿Cinco juguetes? No importa, si a cinco le quitas dos, quedan tres

Un cinco no es un objeto

Pero un cinco no es un objeto, jamás encontrarás un cinco tirado en la calle.

Un cinco no es un objeto

Pero un cinco no es un objeto, jamás encontrarás un cinco tirado en la calle.

Lo que si podrías encontrar tirado es un papel donde estuviera escrito el símbolo que utilizamos para representar la idea abstracta de cinco, es decir, un papel que tuviera escrito “5”.

Otro paso en la abstracción Y eso nos lleva a otro paso más en la

abstracción que la niña tendrá que dar; cuando llegue a la escuela, ya ni siquiera dirá la frase con palabras: “si a cinco le quitas dos, quedan tres”, en lugar de eso utilizará símbolos: 5-2=3

¿Porqué sufrir con las abstracciones? Ya ni siquiera dirá la frase con palabras:

“si a cinco le quitas dos, quedan tres”, en lugar de eso utilizará símbolos:

5-2=3.

¿Por qué debe esforzarse la niña en aprender estas abstracciones y simbología?

Porque esas abstracciones son útiles para la vida diaria.

Hasta para comprar refrescos son útiles las abstracciones

Cuando la niña sea más grande y vaya a comprar cinco refrescos de a ocho pesos cada uno, y pague con un billete de cien pesos, tendrá que trabajar con esas abstracciones para saber si le dieron el cambio correcto.

¿Qué pasa con los niños que no aprenden a manejar esas abstracciones?

Si ella no aprendiera a manejar los números, entonces durante su vida sería víctima fácil de los estafadores.

Jorge Luis Borges

“Si uno dijera que en un planeta lejano hay caballos azules, podríamos creerlo. Pero si nos dicen que tres [mas] cuatro caballos forman noventa y siete caballos, sabríamos que es imposible”

Ernesto Sábato

“Es la diferencia entre probable y posible. Es probable que haya caballos azules, pero es imposible que tres caballos azules mas cuatro caballos azules formen noventa y siete caballos azules. Esa suma es universal, y vale para siempre, en cualquiera de los mundos reales o imaginarios”

Las Matemáticas según un gran Matemático

Bertrand Russell, un gran Matemático del siglo XX, alguna vez definió las Matemáticas como el área de estudio donde “…nunca sabemos de que estamos hablando…”

Las Matemáticas según un gran Matemático

Bertrand Russell, un gran Matemático del siglo XX, alguna vez definió las Matemáticas como el área de estudio donde “…nunca sabemos de que estamos hablando…”

Esta frase no se refiere al pobre estudiante que sufre con los exámenes y que no tiene ni… idea de lo que está calculando. No, Bertrand Russell no se refería a eso

Las Matemáticas según un gran Matemático

Una de las ventajas de las Matemáticas es que no tenemos necesidad de saber de que estamos hablando

Por eso las Matemáticas son el área de estudio donde “…nunca sabemos de que estamos hablando…”

Dos problemas distintos con el mismo método de solución

Eric Temple Bell

La abstracción, a veces manejada como un reproche a las Matemáticas, es de hecho su mayor gloria y su más segura [ventaja] en las aplicaciones prácticas

Entonces, ¿Porqué que le reprochamos a las Matemáticas que sean abstractas?

Para la mayoría de los seres humanos, es más sencillo el razonamiento concreto que el abstracto, es decir, es más sencillo cuando sabemos de que estamos hablando.

Pero incluso la abstracción no es suficiente para un profesionista

Muchos estudiantes sí logran manejar las abstracciones (por ejemplo, resolver exitosamente ecuaciones), pero eso, que de por sí ya es difícil, no es suficiente para un profesionista.

Un profesionista debe poder “modelar” la realidad

Un profesionista debe transformar las situaciones de la vida real en abstracciones, lo suficientemente “sencillas” para poder trabajar con ellas, pero lo suficientemente “elaboradas” para que reflejen adecuadamente la realidad, al menos la parte de la realidad que le interesa.

La abstracción no es exclusiva de las Matemáticas

Arte AbstractoArte Concreto

Entonces la abstracción, tan útil y tan poderosa, tiene como desagradable efecto secundario que las Matemáticas sean difíciles

Pero hay más razones por las cuales se nos dificultan las Matemáticas

¿Porqué los contratos son tan difíciles de leer?

Usualmente es muy tedioso y aburrido leer los contratos

http://www.esunaganga.com/mis.contratos/contrato_cv_vehiculos.doc

¿Porqué son tan difíciles de leer?

Un contrato debe ser muy específico, debe tratar de explicar que pasará en cualquier caso posible

Un contrato debe ser muy específico, debe tratar de explicar que pasará en cualquier caso posible

En caso de que haya un conflicto entre las firmantes de un contrato bien redactado, idealmente cualquier juez llegaría al mismo veredicto acerca de quien es el culpable

Ese nivel de certidumbre jurídica, que ante un conflicto, cualquier juez llegue a la misma conclusión, no se logra en la vida real

Ese nivel de certidumbre jurídica, que ante un conflicto, cualquier juez llegue a la misma conclusión, no se logra en la vida real

Pero los contratos y las leyes deben ser redactadas de tal manera que se acerquen lo más posible a ese ideal de justicia

Desafortunadamente, una redacción de un contrato que implique una única interpretación en cada posible caso, tiene que ser tan específica y técnica que se vuelve difícil de leer, incluso aburrida

Intenten leer sin aburrirse todas las cláusulas del contrato para que el banco les de una tarjeta de crédito

Las Matemáticas aspiran también a ese nivel de certidumbre

Para que una definición Matemática signifique exactamente lo mismo para cualquier matemático, ingeniero o científico, debe ser muy específica

Las Matemáticas aspiran también a ese nivel de certidumbre

Para que una definición Matemática signifique exactamente lo mismo para cualquier matemático, ingeniero o científico, debe ser muy específica

Tan específica, que se vuelve difícil de leer, incluso aburrida

Ejemplo de definición Matemática

http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/polinomio.html

Entonces las Matemáticas son abstractas y precisas

Ambas características dan a las Matemáticas su poder en las aplicaciones prácticas

Pero ambas características también contribuyen a que las Matemáticas sean difíciles

Pero todavía hay más razones que contribuyen a que las Matemáticas sean difíciles

Las Matemáticas son también un lenguaje humano, y todos los lenguajes humanos contienen sinónimos, homónimos, excepciones, etc.

Homónimos en Español: Tres significados distintos de la palabra llama

Llama a la llama para que no le queme la llama

¿Cómo sabes que significa “llama”?

Llama a la llama para que no le queme la llama

¿Cómo sabes cuándo “llama” significa fuego, cuándo “llama” significa llamar, y cuándo “llama” es un animal sudamericano?

Homónimos en Matemáticas: Tres significados distintos del signo =

“A cada número que te den, multiplícalo por veinte y súmale cuatro”

“¿Cuál es el numero cuyo cuadrado mas veinticinco veces el número mas cuarenta y uno da cero?”

“El cuadrado del coseno de un ángulo mas el cuadrado del seno del mismo ángulo siempre da uno”..

Reglas, preguntas y afirmaciones

Esta es una regla:“A cada número que te den, multiplícalo por veinte y súmale cuatro”

Esta es una pregunta:“¿Cuál es el numero cuyo cuadrado mas veinticinco veces el número mas cuarenta y uno da cero?”

Esta es una afirmación:“El cuadrado del coseno de un ángulo mas el cuadrado del seno del mismo ángulo siempre da uno”..

Funciones, ecuaciones e identidades son tres cosas distintas

En Matemáticas, a las reglas se les llama FUNCIONES

En Matemáticas, a las preguntas se les llama ECUACIONES

En Matemáticas, a las afirmaciones se les llama IDENTIDADES

¿Cómo distinguir entre funciones, ecuaciones e identidades?

¿Cómo saber cuando el signo = representa una Función, cuando representa una Ecuación y cuando representa una Identidad?

De la misma forma que distingues homónimos en Español

¿Cómo saber cuando el signo = representa una Función, cuando representa una Ecuación y cuando representa una Identidad?

De la misma forma como sabes cuando “llama” significa fuego y cuando “llama” significa llamar

Más homónimos en Matemáticas: Dos significados distintos del superíndice -1

Escrito de esta manera, el superíndice indica un exponente negativo.

Escrito de esta manera, el superíndice NO indica un exponente

Fallas en la inducción en Español Todo niño pequeño, en algún momento

de su vida, dice “escribido”. Inmediatamente sus parientes le corrigen: “escrito”

Fallas en la inducción en Español Si el niño jamás escuchó a nadie decir

“escribido”, ¿Porqué lo dice? ¿Cómo se le ocurrió?

Fallas en la inducción en Matemáticas Todo alumno de Ingeniería, en algún

momento de su carrera, escribe en algún procedimiento:

Inmediatamente sus profesores le corrigen:

Fallas en la inducción en Matemáticas

Si el estudiante de ingeniería jamás vio en libros de Matemáticas la siguiente identidad errónea,

¿Porqué la escribe? ¿Cómo se le ocurrió?

¿Por qué son poderosas las Matemáticas?Las Matemáticas son poderosas porque:

Son abstractas

Son precisas

Son un lenguaje humano

¿Por qué son difíciles las Matemáticas?Las Matemáticas son difíciles porque:

Son abstractas

Son precisas

Son un lenguaje humano