iv. prÁcticas de modelizaciÓn diseÑadas y …
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IV. PRÁCTICAS DE MODELIZACIÓN DISEÑADAS
Y EXPERIMENTADAS
“La modelización es el arte de aplicar las matemáticas a la vida real”
Morgen Niss
Las prácticas de modelización y el consiguiente análisis y evolución del proceso de
aprendizaje se han desarrollado desde el curso 1998-99 hasta la actualidad.
Mostraré algunas prácticas que se han experimentado estos últimos años en las aulas,
incluyendo como se desenvolvían los alumnos en su resolución. Posteriormente, y en
próximo capítulo, presento la validación y eficacia de la metodología avalada por los
comentarios de los estudiantes y por los instrumentos de evaluación utilizados.
4.1. Modelización de un sistema de resortes Este primer ejemplo corresponde a una unidad didáctica. Inicialmente, el objetivo
principal consiste en que, a partir de situaciones reguladas por la ley de Hooke, con un
único resorte y una masa, el estudiante descubre la mencionada ley como una relación
lineal entre la fuerza y el desplazamiento. En una segunda actividad se añaden más
resortes y más masas. El objetivo a medio plazo es conseguir que el alumno modelice la
ley de Hooke en varias variables como un modelo lineal análogo al anterior. De esta
manera descubre el concepto de matriz y sus operaciones y propiedades más relevantes
como modelos necesarios para estudiar movimientos del sistema de resortes.
En una tercera fase se presenta un problema usual del área de mecánica técnica con el
objetivo de ser estudiado y posteriormente interpretar el comportamiento físico de la
situación. A continuación muestro el esquema presentado:
41
El objetivo final es que reconozcan y que interpreten situaciones diferentes a las
estudiadas pero que compartan el mismo modelo. De entre ellas destacan las
aplicaciones en circuitos eléctricos. Detallo el esquema:
Existe un paralelismo entre la Ley de Hooke la Ley de Ohm. Ambas son expresiones del tipo: A B C= ⋅ en el caso que
A V C I Ley de OhmA F C x Ley de Hooke
= = ⇒= = ⇒
⎧⎨⎩
Veamos loes siguientes esquemas paralelos:
circuito:
Si planteamos las ecuaciones:
( )( )
V R R I R I
R I R R R I
= + ⋅ − ⋅
= − ⋅ + + + ⋅1 2 1 2 2
2 1 2 3 4 20
Matricialmente: V R R R
R R R RII0
1 2 2
2 2 3 4
1
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
+ −− + +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
sistema de resortes:
Si planteamos las ecuaciones: ( )
( )f K x K x x
f K x x K x1 1 1 12 2 1
2 12 2 1 2 2
= − ⋅ + ⋅ −
= − ⋅ − − ⋅
Matricialmente: ( )
( )ff
K K KK K K
xx
1
2
1 12 12
12 12 2
1
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
− +− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Observemos la semejanza entre los dos problemas en que situaciones distintas
comparten el mismo modelo.
La practica finaliza sugiriendo situaciones de economía, redes de circulación vial y
problemas geométricos.
Los estudiantes aprenden de una forma dirigida y entretenida la necesidad del cálculo
matricial como herramienta para resolver problemas de su entorno y, al mismo tiempo,
adquieren un cierto grado de motivación para sus aplicaciones.
Es necesario destacar que esta unidad (que fue la primera en ser diseñada) se ha
mejorado realizando diferentes versiones y se ha experimentado - con las
modificaciones adecuadas -hasta la actualidad. Como hecho relevante la unidad se está
desarrollando actualmente en soporte multimedia –todavía en construcción-, tal como
muestra la imagen, para que los estudiantes fijen ellos mismos las unidades de medida.
42
4.2. El mundo de las ecuaciones diferenciales El principal objetivo es que los estudiantes aprendan por descubrimiento (partiendo de
la idea de hacerles sentir la necesidad del aprendizaje), mostrando situaciones donde
aparezcan ecuaciones diferenciales lineales.
El objetivo final es, como en el caso anterior, que reconozcan diversas situaciones
diferentes extraídas de la realidad y que compartan el mismo modelo matemático. Se
pretende que de una forma dirigida y atractiva construyan las ecuaciones diferenciales
involucradas y, al mismo tiempo, las resuelvan. Por eso se incluye, también, en la
unidad, una interpretación geométrica de las situaciones mediante el campo de
pendientes.
En el diseño de la unidad didáctica se presenta la actividad a partir de un artículo,
extraido de la prensa, que hace referencia al proyecto “Columbia”. En dicho artículo se
comenta la experiencia del astronauta Miguel López Alegría en su estancia de 16 días
en el espacio. En una primera fase, en esta presentación, se pretende motivar al
estudiante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.
43
Como presentación, veamos el detalle de la versión original de esta unidad didáctica:
ACTIVIDAD 0: INTRODUCCIÓN
Miguel López Alegría ha sido el primer astronauta
español que ha viajado espacio. Dentro del
trasbordador espacial “Columbia” estuvo 16 días
dando botas a nuestro planeta (una cada 90
minutos) en una órbita fuera de la atmósfera de la
tierra.
La NASA fue fundada en 1958 y sólo 11 años
después consiguió con éxito su primer objetivo: el
21 de julio de 1979, de acuerdo con la fecha
prevista por Kennedy, los astronautas Armstrong
y Aldrin , tripulantes del módulo lunar “Apolo 11”
consiguieron alunizar y volver sanos y salvos a la
tierra.
Pero los últimos objetivos de la NASA han sido
situar en el espacio numerosos satélites artificiales
(principalmente de comunicaciones) y realizar
ciertos experimentos utilizando el Columbia. El
trabajo que tiene que realizar Miguel López
Alegría, además del de piloto, consiste en el
estudio del movimiento de los cuerpos en
condiciones de gravedad y densidad atmosférica
diferentes a los existentes en la tierra.
Es indispensable, pero, prever los resultados de
estos experimentos para no correr riesgos
innecesarios. Las condiciones de diferente
gravedad y densidad atmosférica se pueden
modelizar matemáticamente, y así obtener una
resultados óptimos, previos a los experimentos que
posteriormente llevarán a cabo los astronautas.
Trasbordador espacial Columbia
44
A partir del artículo, los alumnos notan que las condiciones de gravedad en la tierra y en
el espacio son evidentemente diferentes. A continuación, y a raíz de las leyes físicas,
descubren la ecuación diferencial lineal asociada al movimiento. Es decir: a partir de
una situación real, descubren las herramientas matemáticas para resolverla y, por tanto,
ven la necesidad de aprender matemáticas y su utilidad. En la unidad se presentan los
métodos de resolución de diversos tipos de ecuaciones diferenciales (separación de
variables, homogéneas y lineales). La práctica acaba introduciendo la ecuación
diferencial de segundo orden con coeficientes constantes partiendo de dos situaciones
normales en el currículum del futuro ingeniero:
La ecuación que describe la carga que se almacena en las placas de un condensador de
capacidad C cuando lo colocamos en serie con una resistencia R y una bobina de
coeficiente de autoinducción L es:
C L
L d Qdt
R dQdt
QC
2
2 0+ + =
Los alumnos descubren la equivalencia entre el oscilador mecánico M x y el circuito mostrado LRC, esquematizado por el cuadro: Oscilador mecánico Circuito LCR
Posición X
Carga del condensador Q
Masa M
Autoindución bobina L
Factor de amortiguación B
Resistencia R
Cnt. Recuperadora K
Inverso de la capacidad 1/C
45
En general, resuelven una adecuación del tipo ′′ + ′ + =y y yα β 0 como
modelo compartido de las oscilaciones mecánicas y eléctricas.
4.3. Modelizando un Electrocardiograma
El objetivo del proyecto es construir un modelo matemático que nos facilite
información sobre la salud del corazón. Para ello se recogen muestras reales de
electrocardiogramas de diversas topologías (corazón sano, corazón enfermo, pruebas
realizadas en adultos, en niños,…). El trabajo lleva explicito la simulación y
aproximación por ordenador de las gráficas que nos muestra el aparato; de esta forma
aparecen necesariamente las series de Fourier. Mediante la simulación en MapleVII
se obtienen que los valores de los coeficientes de Fourier no son los mismos si se
trata de un corazón sano o enfermo, ni necesariamente los mismos si el rango de
edad del paciente es distinto.
La gráfica del electrocardiograma se presenta en papel milimetrado que mide
verticalmente el voltaje y horizontalmente el tiempo, determinado por el
desplazamiento del papel.
Así pues, mediante el análisis visual de un gran número de electrocardiogramas, es
posible generalizar que con algo tan simple como fijarnos en el valor de amplitud de
onda del electrocardiograma podemos conjeturar si este pertenece a un corazón sano
o enfermo. Con el trabajo se puede establecer la conclusión de que comprobando
únicamente que esos valores se encuentren entre 0’15mvolt y 0’08mvotls, el
electrocardiograma correspondiente pertenece a una persona sana y que en el
Los datos a tener en cuenta son: - Velocidad del electrocardiograma igual a 25mm/seg. - 1mm = 0’04 seg. - 5mm = 0’20 seg.
- 1mm vertical = 0’01 mvolt.
46
momento en que los valores de amplitud no se encuentren incluidos en el intervalo
indicado a estos sabremos que ese corazón posee algún tipo de anomalía.
Ilustraremos el estudio de un electrocardiograma normal correspondiente al corazón de
un varón de 40 años y nos fijaremos en la denominada derivación DII . Electrocardiograma real de una persona sana de 40 años Con la ayuda de Maple7 podemos simular analíticamente y visualizar la función como:
⎧
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
− .2 ( )sin + 5.714285714 π t .2702702703 π .1 and ≤ −t 0 < t .08− + 2.5 t .25 and ≤ − .08 t 0 < t .1
0 and ≤ − .1 t 0 < t .14− + 3 t .42 and ≤ − .14 t 0 < t .15
− 27.6 t 4.17 and ≤ − .15 t 0 < t .2− + 35 t 8.35 and ≤ − .2 t 0 < t .23
− + 27.5 t 6.625 and ≤ − .023 t 0 < t .24 − .55 t .108 and ≤ − .24 t 0 < t .33 − 2.91 t .8850 and ≤ − .33 t 0 < t .39
+ .2 ( )sin + 9.280742459 π t .6493506494 π .1 and ≤ − .39 t 0 < t .44 + 2 ( )sin + 1.428571429 π t .7369196758 π 2.075 and ≤ − .44 t 0 < t .53
− .35 t .114 and ≤ − .53 t 0 < t .6− + .25 t .25 and ≤ − .6 t 0 < t .8
47
Notemos que la gráfica simulada está definida en el intervalo (0,0.8) siendo la
aproximación al electrocardiograma esta función extendida periódicamente con un
período de 0.8 segundos. Por este motivo se usan las series de Fourier que nos
permitirán calcular los coeficientes y a su vez comparar diversos electrocardiogramas.
Realizando cálculos para la expresión:
( ) ( )( )0
1( ) cos sin
2 n nn
aSf t a nwt b nwt
∞
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑
con: 0.8T = 2 20.8T
π πω ⋅ ⋅= = y tomando 8 armónicos se obtiene:
Número de harmónicos na nb 1 -.5230250413e-1 .1059917121 2 -.8281549430e-1 .1245159130e-1 3 -.3890921965e-1 -.1318989813 4 .1500208739 .8406404878e-2 5 -.592152690e-3 .1104847957 6 -.9749486749e-1 .2571338526e-1 7 -.2349814604e-1 -.8634910127e-1 8 .7172464113e-1 -.1194905614e-1
Sobreponiendo dichos armónicos se obtiene: La suma de los mismos se aproxima a la función inicial pero utilizando Maple nos
permite obtener una información más precisa, para ello consideramos 50 armónicos y
mostraremos la visualización gráfica representada en tres intervalos consecutivos de
período 0.8 segundos: Observemos que hemos conseguido un mejor modelo del electrocardiograma:
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠plot , , +
.31958168192
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟∑
= n 1
50⎛⎝⎜⎜
⎞⎠⎟⎟ + ⎛
⎝⎜⎜
⎞⎠⎟⎟cos
n 2 π t.8 an
⎛⎝⎜⎜
⎞⎠⎟⎟sin
n 2 π t.8 bn = t .. 0 2.4 = colour red
48
Actualmente se esta desarrollando el proyecto para establecer conjeturas sobre qué
valores de los armónicos nos permiten clasificar el estado de salud de un corazón. Destaco un comentario de un alumno: “A parte de adquirir conocimientos totalmente
ajenos sobre especialidades médicas, descubrimos que realmente para realizar el
análisis clínico de un ECG es necesario el conocimiento de las series de Fourier,
dándonos así cuenta que, para realizar cualquier actividad son necesarias las
matemáticas.” “También, y como aprendizaje complementario hemos aprendido a
buscar información de aquellas materias ajenas a nuestros conocimientos, como la
medicina.”
4.4. Estudio de la presa del pantano de Oliana El objetivo era encontrar el diseño óptimo de la presa.
Adjunto un detalle del proyecto realizado por los alumnos.
Datos del embalse:
Capacidad total: 101.1 Hm3
Datos de la presa:
Altura sobre cimientos: 102 metros
Longitud de coronación: 230 metros
Tipología: gravedad
Anchura de la base: 88 metros
Presa de Oliana (Lleida - Río Segre)
49
Para calcular el área y el volumen se escogió la sección de la presa y se buscó una
función f(x) que modelice la sección en cuestión.
El embalse de Oliana fue construido por las fuerzas hidroeléctricas del Segre
aprovechando el grado de Oliana, por encima del castillo, donde el Segre, después de
pasar por Coll de Nargó, aporta un caudal medio de 30 m3/s. El salto, con una potencia
instalada de 52.500 KW, tiene la finalidad de regular los caudales de río evitando las
inundaciones y asegurando los riegos en la comarca de Urgell. Por lo que se refiere a la
presa se acabó de construir en el año 1959 con una capacidad total de 101.10 Hm3. La
aportación media actual de agua es de 1013 Hm3 y ocupa una superficie inundada de
443 hectáreas.
Aparte de la sección de la presa se midió la altura sobre los cimientos, que es de 102
metros y su anchura, que es de 88 metros de base. La cota de coronación se encuentra a
519 metros y es una presa de tipo de gravedad (que por su propio peso puede aguantar
el agua). También tiene un desguace por la parte superior, por si el agua rebosara, de
2000 m3/s. y, en el fondo, un desguace de 125.000 m3/s.
A continuación se calculó cuál es la superficie de la sección de la presa: o sea, el área.
Sección de la presa de Oliana
Cuyo modelo aproximado es la función:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−≥≥+•
>>
≥≥+•+•
=
86.1010284.54
02.6102
2.614.8677.10425.2012.0
)(
2
xx
x
xxx
xf
Secció presa de Oliana
-1,86
0 6,2
6,2
39,97
86,140
34
68
102
-2 18 38 58 78
distancia de la base en metres
alça
da e
n m
etre
s
50
Mediante la función f(x) definida a trozos, y, para calcular el área, integramos la
función en cada intervalo y sumamos los resultados. Se obtiene: 3353.92 m2.
A raíz del proyecto surgieron preguntas:
¿Cuánto ocuparán los materiales que se utilizaron para construir la presa - por ejemplo
hormigón armado-? (Cálculo de un volumen!). Los alumnos comentaron:
“Para encontrar el volumen cogemos el área ya calculada y sólo tenemos que
multiplicarlo por la longitud de coronación. L = 268m. y tenemos V = 898850. 75 m3.”
Si se desea saber también la fuerza que ejerce el agua contra la pared de la presa, sólo es
necesario resolver un problema elemental de dinámica. Los mismos alumnos
concluyeron:
“ Sabemos que la fuerza depende de la presión del agua, y ésta no es la misma en la
parte de arriba que en el fondo, ya que la presión depende de la densidad del agua, la
gravedad y la altura. Y, por otro lado, de F= P*S, por tanto también tenemos que saber
cuánto vale S, que es la longitud de coronación por el diferencial de H (altura).
Como no podemos calcular la fuerza de manera directa, haciendo F=P*S, porque, tal y
como hemos dicho la presión no es la misma en todos los puntos, cogeremos láminas de
agua y calcularemos la fuerza de cada una de ellas. O sea, no es nada más que hacer
una integral definida en función de la altura. La F será integral de dF para h=0 hasta
h=74 metros. El resultado de la de los cálculos es de: 7191083200 N.”
Conclusión (obtenida por los alumnos): dado que la fuerza actúa sobre una capa
elemental de agua y la presa es proporcional a la profundidad del agua, se tiene que
diseñar de tal forma que sea más ancha en el fondo.
4.5. Modelización de un cruce regulado por semáforos Mostraré dos proyectos de esta tipologia, estos proyectos también se han realizado
en colaboración con la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) y desarrollados
con alumnos del Dr. Lluís Miquel García Rafi de la UPV; por este motivo muestro
con más detalle los contenidos y he intentado respetar el contenido realizado por los
alumnos.
51
a) Estudio en Mollerusa (Lleida) El proyecto consistió en estudiar un cruce regulado por semáforos ubicado en la ciudad
de Mollerusa (Lleida) con el objetivo de evaluar de una manera óptima el flujo de
vehículos. Los principales objetivos del proyecto fueron:
1. Explicación del mecanismo de una intersección regulada por semáforos.
2. Recogida de datos experimentales.
3. Razonamiento del funcionamiento a partir de los datos experimentales.
4. Deducción de ecuaciones matemáticas que modelen el funcionamiento.
5. Explicación del funcionamiento de la intersección.
Los ítems del trabajo fueron:
a) Escoger una intersección real regulada por semáforos para estudiar la evolución
del tránsito. En este caso de la ciudad de Mollerusa (Lleida).
b) Analizar la densidad de tráfico realizando mediciones experimentales del flujo
de vehículos. Construcción de una maqueta física y simulación en Flash del
tránsito de vehículos.
c) Establecer la analogía entre los elementos clásicos de la teoría de circuitos y las
características del tráfico que circula por el cruce. Trabajar las leyes de Kirchoff.
d) Mostrar resultados como una primera aproximación a problemas de la gestión
del tráfico. Se ha trabajado con datos reales extraídos de las medidas realizadas
en el cruce.
La intersección está ubicada en la N-II a su paso por Mollerusa (Lleida). Las calles son
Ferrer i Busquets, Avinguda Catalunya, y por último la calle Abat Oliva. Foto
correspondiente a la intersección:
52
De la experimentación in situ se puede obtener una estimación de los coches que pasan
cada hora. Los alumnos realizaron las siguientes mediciones:
Media Coches N Coches C
Hora punta 326 163
Hora media 103 67
Hora baja 63 34
Media =..º__cotº
hrsfrnajesnhorariafranjaxesn∑
Representación gráfica del número de coches que pasan cada hora tanto por la calle
principal (N) como por la calle secundaria ( C ).
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6h a7h
7h a8h
8h a9h
9h a10h
10ha
11h
11ha
12h
12ha
13h
13ha
14h
14ha
15h
15ha
16h
16ha
17h
17ha
18h
18ha
19h
19ha
20h
20ha
21h
21ha
22h
22ha
23h
23ha
24h
Cotxes hora N Cotxes hora C
53
Expondré un extracto del trabajo realizado por los alumnos:
Cálculo del tiempo que están en ámbar los semáforos de la calle N:
Suponiendo un vo = 50 km/h (ya que es la velocidad máxima dentro de la población),
un tiempo de reacción de 0,5 segundos, una desaceleración de – 0,5 G. y una amplitud
de la intersección de 14 metros tenemos que el tiempo en ámbar de N es de:
Y el tiempo en ámbar de los semáforos situados en la calle C, que tiene una amplitud de
11 metros:
Cálculo del número máximo de coches.
51.11
4
1max =
+⋅
−=
vl
avt
Nr
= 0.662coches/s = 2383’2coches/hr
Tengamos en cuenta que el resultado de estos cálculos es totalmente empírico, ya que,
en la realidad, es imposible que circulen tantos vehículos por estas vías; es un ejemplo
de interpretación que no se ajusta realmente a la realidad pero se consiguió que los
estudiantes adquirieran interés por la resolución de problemas reales. A continuación
detallo las explicaciones que los estudiantes hicieron el día de la presentación en video
transcritas literalmente:
“Con este proyecto hemos podido entender de una forma muy clara el funcionamiento
de una intersección regulada por semáforos sin tener que entender fórmulas muy
complicadas. Sólo con una parte de lógica se pueden llegar a deducir. Hemos
conseguido encontrar tiempos de semáforo y decir que son unos tiempos bastante
aproximados a la que es la realidad de los mismos. Por otra parte nos hemos
introducido en dos mundos que, sin formar parte de las matemáticas, hemos utilizado
sssm
msm
smsTambar 3925.2/89.13
14/)8.95.0(2
/89.135.0 2 ≈=+⋅−
−=
sssm
msm
smsTambar 3709.2/89.13
11/)8.95.0(2
/89.135.0 2 ≈=+⋅−
−=
54
para poder desarrollar nuestro proyecto. Uno de ellos es el mundo del Flash. Lo hemos
utilizado para entender y para hacer una explicación más aclaratoria del
funcionamiento de un cruce, ya que visualmente todo parece mucho más sencillo. El
otro forma parte de la electrónica programable, en definitiva, el mundo de los micro
controladores. Ahora todo se basa en los ordenadores y éste es un buen inicio para
entender su funcionamiento. Ha sido un proyecto muy útil para poder entender unos
conceptos que teníamos aprendidos a medias pero que nunca habíamos llevado a
término”.
b) Estudio en Barcelona ANÁLISIS DE UNA RED VIARIA UTILIZANDO REDES DE KIRCHHOFF
El proyecto que se presenta a continuación fue desarrollado individualmente por Julio
César López Virú en el segundo cuatrimestre de la titulación de ingeniería técnica
industrial del año 2002, especialidad en electrónica industrial, para la asignatura de
Análisis Vectorial y de Fourier.
El objetivo de este proyecto es averiguar que vía de circulación en Barcelona soporta un
mayor índice de congestión de tránsito para poder desarrollar, en un futuro, un plan de
actuación medioambiental contra la alta densidad de tráfico en dicha vía.
De esta manera de presenta un problema real que debe afrontar un futuro ingeniero
electrónico, una aplicación inmediata en el mundo real de los conocimientos adquiridos
hasta el momento en esta carrera, en particular la implicación de la enseñanza
matemática.
Existe cierta analogía entre el análisis que se realizará para una red viaria y el análisis
para el caso de un circuito eléctrico, por ello se hace uso de relaciones eléctricas
particulares en provecho del objetivo deseado.
De esta forma, se hace el análisis de algunas de las principales vías de circulación de
Barcelona debido a la incapacidad de analizarlas todas.
Análisis
En concreto se analizan las siguientes vías de circulación [figura 1]:
55
FIGURA 1.(Situación Real) Esta es la
red escogida para el análisis. Las vías de
circulación están enlazadas entre si
mediante nudos numerados (puntos en
verde), en particular a uno de ellos se le
llamó Referencia. Se ha de tener
presente que cada vía de circulación
puede tener varios tramos, o ramas,
definidos entre dos nudos.
FIGURA 2. (Se toma como modelo) Se
incluyen las resistencias en cada rama
del circuito de modo que todos los
nodos sean diferentes entre ellos. Cada
resistencia recibe su nombre de aquellos
nodos entre los que se define, pero si el
nodo es Referencia este no se pone.
Para la existencia del circuito eléctrico los nodos (o nudos) deben ser diferentes, de esta
manera asumimos que, “dos nodos son diferentes si entre ellos existe un elemento
simple de un circuito”.
Por tanto, se incluyen resistencias en cada rama del circuito [figura 2] y se procede a la
obtención de sus valores, mediante los siguientes pasos:
1. Obtención del coeficiente de resistividad, sabiendo que es una propiedad de los
materiales, mediante la siguiente relación:
avenida unaen carriles nº carril de anchura
longitud unidadpor semaf. nº rojoen semaforo tiempo×
×=ρ
Donde: tiempo de semáforo en rojo es equivalente a 39,97s. Este dato se obtuvo
haciendo la media, del tiempo estimado en rojo de tres semáforos distintos
pertenecientes a cualquiera de las vías de circulación que se analizan.
El número de semáforos por unidad de longitud es equivalente a m
semáforos104,94 -3⋅ y se
obtuvo de información proporcionada por la dirección General de Tráfico de Barcelona.
56
La anchura de carril para las avenidas es de 3 metros y la información fue facilitada por
la Guardia Urbana de Barcelona. El número de carriles que se uso para este análisis fue
de 6 para todas las vías de circulación que se analizan. Esta información se obtuvo
observando las imágenes de estas vías [imagen 1] en el Web del Servei Català de
Trànsit .
IMAGEN 1. Ronda De Dalt – Sant
Gervasi. Este es un tramo de una de las
vías de circulación donde se puede
observar que el número de carriles es de
seis y aunque este tramo es de doble
sentido de circulación, se considerará de
un solo sentido para el circuito definido.
De manera que se obtiene un coeficiente de resistividad igual a:
m1010,97 63
104,9439,97 3--3
⋅Ω⋅=⋅
⋅⋅=ρ
2. Mediante la relación: A
R lρ=
Siendo: l ≡ longitud de cada una de las ramas del circuito, se obtiene de un mapa de
volúmenes de tránsito que fue facilitado por el Centre de Control de trànsit urbà i de les
rondes (estudio de enero de 2002 perteneciente al Àrea de Mobilitat Transport i
Circulació del Ajuntament de Barcelona). A ≡ sección transversal del conductor. Para
este caso se asocia la sección que atraviesa una cantidad de carga con el número de
carriles que atraviesa una cantidad de vehículos, de forma que definido el número de
carriles como seis, se sabe que 6 vehículos los atraviesan, A ≡ 6.
De forma que se obtienen los valores de
las resistencias como se muestra a
continuación:
58
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
Ω=⋅⋅=
4,94 6
27001010,97 R
18,28 6
100001010,97 R
6,03 6
33001010,97 R
5,48 6
30001010,97 R
8,78 6
48001010,97 R
13 6
72001010,97 R
11,15 6
61001010,97 R
6,4 6
35001010,97 R
3-4
3-14
3-3
3-34
3-2
3-23
3-1
-312
FIGURA 3. Reorganizando el circuito de la figura
2, indicando los valores y los sentidos de las
corrientes conocidas, declarando el nombre de las
corrientes cuyos valores se desconocen e
incluyendo fuentes de tensión en cada rama,
queda de la siguiente manera el circuito.
Para la obtención de algunas corrientes del circuito se recurrió de nuevo al mapa de
volúmenes de tránsito, de manera que fuera la cantidad de vehículos por unidad de
tiempo, (vehículos / segundo), una de dichas corrientes [figura 3].
De forma que para obtener las
corrientes restantes se hizo un análisis
de nodos para poder aplicar la Ley de
Corrientes de Kirchhoff .
ANALISIS DE NODOS (3) [ver figura
3]
Nodo 1: 0,69 + I12 = 0,70 I12 = 0,01A
Nodo 2: 0,49 = I12 + I23 I23 = 0,48A
Nodo 4: I34 + 0,68 = 0,69 I34 = 0,01A
Nodo 3: I23 = I3 + I34 I3 = 0,47A
FIGURA 4. Reorganizando el circuito de análisis
de mallas, queda de la siguiente forma el circuito.
57
Finalmente se calcularon los valores de las fuentes de tensión que son, en este caso, los
valores de las fuerzas electromotrices necesarias en cada rama para la circulación de
corriente.
Se llego a la conclusión que la razón por la cual los vehículos circulan por cada uno de
los tramos de las vías de circulación es la misma razón por la cual la carga se mueve por
cada una de las ramas del circuito. Es una analogía a la fuerza electromotriz (4).
Las corrientes determinan las polaridades en los elementos de un circuito. Por
convenio:
- La corriente debe salir siempre de la parte, designada como, positiva de la fuente.
- La parte por donde entra la corriente en una resistencia, de designará como la parte
positiva de la tensión en la resistencia. De forma que se hace un análisis de
mallas en el circuito eléctrico [figura 4]
aplicando la Ley de Voltajes de
Kirchhoff (7).
ANALISIS DE MALLAS (Ver figura
4)
6,14- 0,684,94 - 0,015,48 47,06,03- Vg - Ve - Vb 4I4R - 34I34R 3I3R - Ve - Vb Vg - :IV Malla
13,45 0,476,03 0,4813,16 49,08,78 Vg Ve Vb 3I3R 23I23R 2I2R Vg Vb Ve :III Malla
12,17 0,498,78 0,016,4 7,011,15 Ve2 Vb 2I2R - 12I12R - 1I1R - Ve - Vb -Ve - :II Malla
18,92 0,4813,16 0,015,48 0,6918,28 01,06,4- Vb Va 23I23R - 34I34R - 14I14R - 12I12R Vb - Vb - Va - Vb:I Malla
=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=+
=⋅+⋅+⋅=++
⋅+⋅+⋅=++
=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅=
=⋅+⋅+⋅+⋅=+
⋅⋅⋅⋅=
Donde se usó DERIVE 5 para obtener
definitivamente los resultados de las
fuerzas electromotrices del análisis de
mallas.
Se indica el resultado para cada una de
las fuerzas electromotrices con la letra
minúscula que les fue asignada.
57
Destaca, notablemente, el valor de Va = 15,265V para una corriente I14 = 0,69A, “es
necesaria una fuerza electromotriz de 15,265V para la circulación de una intensidad de
0,69A en el tramo que une el nodo 1 con el nodo 2”.
Si, se vuelve al análisis real, se puede ver que el tramo, que une el nudo 1 con el nudo 2,
es la vía de circulación correspondiente a la Ronda Litoral.
Por tanto, se propone, para el futuro, un plan de acción para evitar la degradación del
entorno de Barcelona, debida a esta vía, basándonos en los datos ofrecidos en este
análisis.
La conclusión a la que se llega es que gracias a los estudios que se realizan sobre el
comportamiento y la evolución del tránsito en las ciudades, se puede llegar a prever las
grandes aglomeraciones o “embotellamientos” en las vías de circulación. Por otra parte,
se muestran los conocimientos adquiridos por el autor durante la carrera y su aplicación
en un problema real.
Este proyecto muestra una visión diferente de la enseñanza las matemáticas que
considero bastante relevante: explicar no quiere decir enseñar. Los estudiantes han
aprendido las implicaciones de las matemáticas en el mundo cotidiano. La motivación y
el grado de animación que mostraron los estudiantes que han llevado a cabo este
proyecto son muy enriquecedores.
58
4.6.Método de la Solera
El denominado “método de la solera” consiste en la elaboración del vino de jerez. Es
una situación que nos remite a métodos matemáticos de resolución. El vino más viejo
está situado en la fila interior de barricas y el más nuevo en la fila superior. Cada año, la
mitad del contenido de los barriles de la parte inferior se pone en botellas como vino de
jerez y se rellenan las barricas con vino de la fila inmediatamente superior. El proceso
se completa añadiendo vino joven a los barriles de la fila superior. El problema es la
búsqueda de un modelo matemático que nos determine la cantidad de vino de N años
que se extrae de K filas de barriles (Larson,2003. Cálculo I). La solución es:
nkn
knf21·),( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= con nk ≤
Expondré literalmente la resolución del problema propuesta por el grupo de alumnos
que realizó el proyecto:
Desarrollo de los cálculos matemáticos, obtención del modelo y comprobación.
A continuación presentamos todos los cálculos realizados para encontrar un modelo matemático que nos relacione el número de filas que componen la solera “k”, la añada del vino (nº de años de solera) “n” y la cantidad de litros extraída.
Todos los cálculos se basan en la hipótesis de que año tras año, el trasiego de vino entre las filas de la solera es de la mitad de la barrica, es decir cada año se traspasa la mitad de la fila superior a la seguidamente inferior de la solera hasta llegar a la fila que se encuentra en el suelo que será de la que se extraiga el vino para embotellar.
Para finalizar nuestros cálculos y comprobar que la fórmula deducida es correcta, hemos realizado una tabla para comprobar los cálculos y verificar la validez de esta.
59
1w = 021·
00
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∃ No
∃ No
∃ No
∃ No
∃ No
INICIO SOLERA
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
21
w = 121·
01
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
21
w = 121·
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∃ No
∃ No
∃ No
∃ No
AÑO 1
AÑO 2
Año 3 Año 4 Año 5
41
w = 221·
02
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
41
+41
=21
w = 221·
12
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
41
w = 221·
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∃ No
∃ No
∃ No
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
60
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
161
w = 421·
04
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
161
+163
=41
w = 421·
14
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
163
+163
=83
w = 421·
24
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
163
+161
=41
w = 421·
34
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
161
w = 421·
44
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∃ No
81
w = 321·
03
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
81
+41
=83
w 321·
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
41
+81
=83
w 321·
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
81
w = 321·
33
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∃ No
∃ No
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
321
w = 521·
05
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
321
+81
=325
w= 521·
15
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
81
+163
=165
w= 521·
25
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
163
+ 81
=165
w= 521·
35
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
81
+321
=325
w= 521·
45
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
321
w = 521·
55
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Año 6
641
w = 621·
06
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
641
+645
=646
w = 621·
16
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
645
+325
=6415
w = 621·
26
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
325
+325
=165
w = 621·
36
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
325
+645
=6415
w = 621·
46
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
641
+645
=323
w = 621·
56
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
128
1w = 72
1·07
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
128
1+
643
=128
7w = 72
1·17
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
643
+12815
=12821
w = 721·
27
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
12815
+325
=12835
w = 721·
37
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
325
+12815
=12835
w = 721·
47
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
12815
+643
=12821
w = 721·
57
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Año 7
61
………………………………………………………………………………………………………………..
Para finalizar, presentamos la tabla a partir de la cual deduciremos nuestro modelo matemático.
n= Años k= Barriles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 021·
00
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
121·
01
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
221·
02
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
321·
03
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
1·04
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
521·
05
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
621·
06
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛72
1·07
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
821·
08
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
921·
09
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1021·
010
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1121·
011
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1
∃ No 12
1·11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
1·12
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
321·
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
1·14
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
521·
15
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
621·
16
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
721·
17
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
821·
18
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
921·
19
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1021·
110
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1121·
111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
∃ No
∃ No 22
1·22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
321·
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
1·24
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
521·
25
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
621·
26
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
721·
27
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
821·
28
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
921·
29
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1021·
210
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1121·
211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3
∃ No
∃ No
∃ No 32
1·33
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
1·34
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
521·
35
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
621·
36
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
721·
37
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
821·
38
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
921·
39
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1021·
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1121·
311
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4
∃ No
∃ No
∃ No
∃ No 42
1·44
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛52
1·45
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛62
1·46
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛72
1·47
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛82
1·48
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛92
1·49
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1021·
410
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1121·
411
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5
20481
w = 1121·
011
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
20481
+1024
5=
204811
w = 1121·
111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
10245
+204845
=204855
w = 1121·
211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
204845
+25615
=2048165
w = 1121·
311
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
25615
+1024105
=1024165
w = 1121·
411
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1024105
+51263
=1024231
w = 1121·
511
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
10241
w = 1021·
010
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
10241
+1024
9=
5125
w = 1021·
110
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
10249
+2569
=1024
45w = 102
1·210
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2569
+25621
=12815
w = 1021·
310
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
25621
+51263
=512105
w = 1021·
410
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
51263
+51263
=25663
w = 1021·
510
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Año 10 Año 11
62
5
∃ No
∃ No
∃ No
∃ No
∃ No 52
1·55
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
621·
56
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
721·
57
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
821·
58
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
921·
59
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1021·
510
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
1121·
511
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
El significado de ∃ No se deduce de que no existe la Binomial de un número negativo, es decir no es posible que en el año 2 tengamos vino en la tercera criadera, ya que este aun no se ha traspasado. De esta manera imponemos a nuestro modelo matemático que el valor de nk ≤ . Después de todos los cálculos hemos deducido un modelo matemático que nos relaciona el número de filas y la antigüedad del vino de la solera. En función de la añada y la fila en la que nos encontremos tenemos una u otra concentración de vino que
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= que corresponde con la Binomial siguiente:
nkn
knf21·),( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= para nk ≤
Tabla de comprobación:
n= Años k= Barriles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
1
21
41
81
161
321
641
1281
2561
5121
1024
12048
14096
1
8192
1
163841
327681
1
0
21
21
83
41
325
323
128
7321
5129
512
5
204811
10243
819213
8192
7
3276815
2
0
0
41
83
83
165
6415
12821
647
1289
1024
45204855
204833
409639
16384
9132768105
3
0
0
0
81
41
165
165
12835
327
12821
12815
2048165
102455
16384
1434096
91
32768455
4
0
0
0
0
161
325
6415
12835
12835
25663
512105
1024165
4096495
8192715
163841001
327681365
5
0
0
0
0
0
321
323
12821
327
25663
25663
1024231
51299
81921287
81921001
327683003
Criadera 0 (La más elevada en la solera): • n=0
63
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= ( ) n2
1·!0!·00
!0−
= = 1
* n=1
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= ( ) 12
1·!0!·01
!1−
= = 21
* n=2
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 22
1·!0!·02
!2−
= 41
* n=3
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 32
1·!0!·03
!3−
= 81
…………………………………………………………………..
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 142
1·!0!·014
!14−
= 16384
1
* n=15
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 152
1·!0!·015
!15−
= 32768
1
…………………………………………………………………………………………………………… Criadera 5: • n=0
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= ( ) 02
1·!5!·50
!0−
= = ∃ No el binomial de un número negativo.
* n=1
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= ( ) 12
1·!5!·51
!1−
= = ∃ No el binomial de un número negativo.
* n=2
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 12
1·!5!·52
!2−
= ∃ No el binomial de un número negativo.
……………………………………………………………………………………………………
* n=14
64
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 142
1·!5!·514
!14−
= ( ) 1421·
2·3·4·5·2·3·4·5·6·7·8·92·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14
= 81921001
* n=15
( ) nkknnknf
21·
!!·!),(
−= = ( ) 152
1·!5!·515
!15−
= ( ) 1521·
2·3·4·5·2·3·4·5·6·7·8·9·102·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15
=327683003
Cálculos realizados con Excel:
Fila barricas 0 Fila barricas 1 Fila barricas 2 Fila barricas 3 Fila barricas 4 Fila barricas 5 Año Inicial 1 0 0 0 0 0
Añada 1 1/2 1/2 0 0 0 0 Añada 2 1/4 1/2 1/4 0 0 0 Añada 3 1/8 3/8 3/8 1/8 0 0 Añada 4 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 0 Añada 5 1/32 5/32 5/16 5/16 5/32 1/32 Añada 6 1/64 3/32 15/64 5/16 15/64 3/32 Añada 7 1/128 7/128 21/128 35/128 35/128 21/128 Añada 8 … … … … … Añada 9 … … … … … …
Añada 10 … … … … … … Añada 11 … … … … … …
Los alumnos dedujeron que la expresión que determina la cantidad de vino de N años
que se extrae de K filas de barriles es: nkn
knf21),( ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= para k<n
Éste es otro ejemplo de modelización que nos permite presentar los temas de
matemáticas de manera diferente a la tradicional y que muestra el componente
epistemológico de las mismas.
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4.7. Otras breves ideas de propuestas 4.7.1. Fourier y los sonidos. Se puede proponer un trabajo donde se analiza porqué una misma palabra pronunciada
por dos alumnos diferentes tiene tonalidades diferentes. Los estudiantes descubren, de
esta manera, el papel de los armónicos de Fourier. En la experiencia, los alumnos
asistieron a clase con micrófonos, cintas de cassete, e incluso, uno de ellos, con un
ordenador.
El departamento de teoría de la señal nos proporcionó diversos aparatos para analizar
frecuencias, hecho que demuestra el carácter interdisciplinario de los temas tratados ya
que involucra diversas áreas de conocimiento.
Superposición de dos sonidos
4.7.2. Midamos el museo Desde la ventana del aula se ve el museo municipal Víctor Balaguer de Vilanova. Un
grupo de estudiantes consideró oportuno proponer el cálculo del volumen del museo.
Yo acepté y a continuación los alumnos fueron al Ayuntamiento a buscar las medidas.
Ellos mismos buscaron funciones (con el ordenador) que modelizaran la estructura para
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poder calcular, mediante integrales dobles, el volumen del museo. Este hecho
proporcionó a los alumnos la adquisición de conocimientos arquitectónicos y
matemáticos, y al mismo tiempo, el aprendizaje de programas de cálculo simbólico (en
este caso el Mathematica).
Detalle de la cúpula del museo
4.7.3. Estudio encefalográfico En el diseño del proyecto se partió de la recogida de diversos encefalogramas. Mediante
éste se muestra la necesidad de las matemáticas para entender y estudiar los
electroencefalogramas, no necesariamente aparecen funciones periódicas y por
consiguiente no siempre es posible realizar un análisis y interpretación mediante las
series de Fourier.
A pesar de ello, se propició un enriquecedor debate en las aulas que concluyó con el
aprendizaje de las series de Fourier. También aprendieron no sólo conceptos de
medicina, sino también de electrónica y de matemáticas. A partir del estudio y la
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interpretación de las gráficas se descubre el estado y la influencia de éstos a la hora de
determinar - conjuntamente con elementos de electrónica - el estado de salud de un
paciente y, a la vez, interpretar el tipo de gráficas que allí aparecen. De esta manera se
observa que la modelización es una forma de aprendizaje eficiente.
4.7.4. Michael Schumacher y el cálculo diferencial Este trabajo constituyó una unidad didáctica para aproximarnos al concepto de derivada,
se realizó en cursos introductorios. La idea surgió a partir de un artículo publicado en
“La Vanguardia” en el que se presentaba una carrera en el circuito de Montmeló.
A partir de aquí se establece como objetivo el estudiar el artículo e investigar
situaciones reales con la finalidad de descubrir qué tipo de matemáticas hay en la
técnica. La situación nace al preguntarse en qué momento el coche de Fórmula 1 tiene
que desacelerar para poder girar la curva a la máxima velocidad posible, con la finalidad
de hacer el recorrido del circuito en el mínimo tiempo posible.
El trabajo consistió inicialmente en construir una tabla de velocidades - extraída de unas
vueltas de reconocimiento-. Con esta tabla se observa que la velocidad no es constante.
También se observa que Michael comienza recorrido avanzado 10 metros respecto al
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punto de salida inicial. De esta manera se deducen relaciones entre espacio - tiempo,
que son anotadas en una segunda tabla. Comparando las dos tablas se construye una
tercera donde aparecen los resultados anteriores de manera que la relación la podemos
expresar mediante derivadas e integrales. Los alumnos que realizaron el proyecto
destacan:
“... hasta hoy desconocíamos las aplicaciones de las matemáticas en un contexto real;
hemos aprendido multitud de aplicaciones de la derivada y la integral...”
Este trabajo fue muy motivador y animador para introducir los temas de derivadas y, al
mismo tiempo, fue de mucha utilidad para los estudiantes, que tenían por primera vez
un contacto con estos conceptos.
4.7.5. La torre Eiffel y su perfil
Es otro ejemplo de unidad didáctica para el estudio de funciones, en este caso para
aproximar la exponencial. Los estudiantes descubren el perfil de la torre Eiffel
trabajando con un saco de arena y modelizando la ecuación diferencial del mismo perfil.
Este trabajo se dirige a alumnos de nuevo ingreso. Veamos un detalle de la práctica con
algunos fragmentos de la unidad:
Una torre como la del señor Eiffel no se puede construir deprisa y corriendo. Es
necesario, en primer lugar, experimentar mucho. ¡EXPERIMENTEMOS pues!
Para resolver esta actividad utiliza tanto como puedas la imaginación. Aquí tienes el
material que necesitas para hacer las pruebas:
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Al rellenar el tubo con arena se va construyendo el perfil y los alumnos descubren de
una forma muy intuitiva el perfil que va obteniendo el tubo.
4.7.6. Estudio de un crédito hipotecario La idea del trabajo nació de un pequeño paseo que efectué el primer día de clase por los
pasillos de la escuela. Observé que en los tablones de anuncios aparecía un pequeño
cartel que ofrecía créditos a las estudiantes para ayudar a pagar las matrículas.
La pregunta fue:
El tubo está hecho de goma elástica: esto
quiere decir que se puede ensanchar.
El experimento consiste en lo siguiente:
1. Llena el tubo de arena hasta arriba,
pero sin presionarla, dejándola caer
por su propio peso.
Dibuja el tubo resultante:
Abierto
Cerrado
Arena
Tubo
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¿Los estudiantes entienden los conceptos involucrados en el anuncio? ¿Saben
suficientes matemáticas como para interpretar y calcular las cuotas de la oferta?
A partir de este hecho entregué a todos los estudiantes de nuevo ingreso una copia del
anuncio, y otros anuncios de diversas entidades bancarias (extraídos de la prensa) que
también ofrecían préstamos. Es necesario destacar que para calcular las cuotas es
necesario el conocimiento de lo que se denomina progresiones geométricas. Mi sorpresa
fue que muy pocos alumnos sabían lo que significaba la palabra TAE ni cómo se
calculaban las cuotas en función de la temporalización. Quiero destacar que quedé
sorprendido. Todos los estudiantes habían recibido, en alguna etapa de secundaria,
enseñanzas sobre conceptos de progresiones geométricas. Noté que había alguna cosa
que fallaba: ¡¡¡ quizás los profesores sólo preparaban a los alumnos para que pudieran
aprobar exámenes y no los preparaban para ser ciudadanos!!!
Con todo este bagaje se realizó un trabajo, por cierto muy útil y enriquecedor, en el que
los estudiantes que lo llevaron a cabo aprendieron a calcular las cuotas, los conceptos
involucrados e incluso a utilizar el programa Excel para aplicarlo a los casos expuestos
y, de esta manera, poder decidir qué oferta bancaria era la más útil. Para finalizar, el
trabajo fue expuesto en clase para compartir los descubrimientos hechos con los otros
compañeros.
4.7.7. Un modelo de examen
Para terminar este capítulo, reproduzco literalmente el original de un modelo de examen
en el cual se comprueba la topología de pregunta relacionada directamente con los
temas tratados de modelización. En el mismo el alumno tiene que justificar el porqué las
ecuaciones del circuito eléctrico mostrado son las propuestas, conduciendo a un
problema de valores propios en el cual se les pide la intensidad del circuito en cualquier
instante. Veamos pues la muestra del examen:
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