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ESTATICA

Edgar Orlando TolozaII-2015

ESTATICA

• La estática es una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que este se encuentre en equilibrio.

• Equilibrio.- Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración.

ESTATICA

• Equilibrio Estático.- Cuando un cuerpo no se mueve

• Equilibrio Cinético.- Cuando un cuerpo se mueve en línea recta a velocidad constante

MAGNITUDES FISICAS

• Escalares: definidos por un númeroEj.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,…

• Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido

Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo eléctrico, campo magnético, …

VECTORES

• Un vector V, se representa como un segmento dirigido con origen o punto de aplicación en A y extremo o punto terminal en B. Se representa por AB, siendo los extremos A y B

• Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.

• Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina

A (origen) B

(extremo)

B (origen)

A (extremo)

AB

BA

VECTORES

Las características de un vector son cuatro:

• MAGNITUD, MÓDULO O NORMA

• DIRECCIÓN

• SENTIDO

• PUNTO DE APLICACIÓN

VECTORES

MAGNITUD O MODULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo está determinado por un vector unidad u.

VECTORES

DIRECCION

La DIRECCIÓN es la recta que lo contiene. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

- 100º = 260º

120º

- 30º = 330º

VECTORES

SENTIDOEl SENTIDO indica hacia dónde va dirigido el vector. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

VECTORES

VECTORES

REPRESENTACION DE UN VECTOR1. Forma Polar2. Por sus componentes respecto a un sistema de

coordenadas

VECTORES

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

ө

A

Ax

Ay

Sen ө = Ay

A

Cos ө = Ax A

Ay

VECTORES

EJEMPLO

VECTORES

EJERCICIOS 1. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección

30º respecto al semieje positivo de las x.2. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes

fuerzas: F1= 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

3. Un vector desplazamiento de modulo 10 m, tiene componentes rectangulares que están en relación 1:2, Calcule el valor de las dos componentes

VECTORES

OPERACIONES CON VECTORES

A = (ax , ay) y B = (bx , by)

SUMA A + B = (ax + bx , (ay + by) = C

RESTA A - B = (ax - bx , (ay - by) = D

VECTORES

OPERACIONES CON VECTORES

A = (8, 5) y B = (-6 , 6)

SUMA A + B = (8 + -6) , (5 + 6) = (2 , 11)

RESTA A - B = (8 - (-6)) , (5 - 6) = (14 , -1)

VECTORES

SUMA METODO PARALELOGRAMO

AB

A +

B

VECTORES

SUMA METODO PARALELOGRAMO

VECTORES

EJERCICIO

Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas pro los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine: a) la tensión en cada una de las cuerdas sabiendo que α = 45°, y b) el valor de α tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima.

VECTORES

EJERCICIO

VECTORES

MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

• Sea v = (v1; v2) un vector , k un escalar. El producto escalar entre v y k es un nuevo vector k v definido asi:

K v = k(v1; v2) = (kv1; kv2).

• Gráficamente la representación del producto escalar es el cambio de “escala” o tamaño del vector. Además si k > 0, el vector k v tiene el mismo sentido que v ; y si k < 0 el vector k v y v tienen sentidos opuestos.

VECTORES

EJERCICIOS • Hallar el correspondiente producto escalar dados los siguientes vectores y

escalares.• a) k = 2 y v = (− ½ , 2)• b) k = −2 y v = (−1;−1)• c) k = ½ y v = (4; 3)

VECTORES

Vector Unitario

VECTORES

Componentes rectangulares y Cosenos directores

VECTORES

Componentes rectangulares y Cosenos directores

El vector unitario será

VECTORES

Componentes rectangulares y Cosenos directores

VECTORES

Componentes rectangulares y Cosenos directores

VECTORES

Ejemplo

VECTORES

Ejemplo

De acuerdo a la figura, determine la representación rectangular de la poción del vector A; y los ángulos entre A y cada una de las coordenadas de los ejes positivos.

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

a. Producto punto (escalar)

Dado que el producto punto es un escalar, también se denomina producto escalar. Observe que el producto punto es positivo si θ < 90°, negativo si θ > 90° y cero si θ = 90°

Propiedades:

1. El producto punto es conmutativo: A ⋅ B = B ⋅ A2. El producto punto es distributivo: A (⋅ B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

a. Producto punto (escalar)

De la definición del producto punto, también observe que los vectores base de un sistema coordenado rectangular satisfacen las identidades siguientes:

i ⋅ i = j ⋅ j=k ⋅ k=1i ⋅ j = j ⋅ k=k ⋅ i=0

Cuando A y B se expresan en forma rectangular, su producto punto adopta laForma

A ⋅ B=(Ax i + Ay j + Azk) (⋅ Bx i + By j + Bzk)

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

a. Producto punto (escalar)

De la definición del producto punto, también observe que los vectores base de un sistema coordenado rectangular satisfacen las identidades siguientes:

i ⋅ i = j ⋅ j=k ⋅ k=1i ⋅ j = j ⋅ k=k ⋅ i=0

Cuando A y B se expresan en forma rectangular, su producto punto adopta laForma:

A ⋅ B=(Ax i + Ay j + Azk) (⋅ Bx i + By j + Bzk)

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

a. Producto punto (escalar)

Determinación del ángulo entre dos vectores:

Si λA = A/A y λB = B/B son los vectores unitarios que tienen las mismas direcciones que A, entonces:

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

a. Producto punto (escalar)

Determinación de la componente ortogonal de un vector en una dirección dada:

Si se proyecta B sobre A como en la figura, la longitud proyectada B cos θ se denomina componente ortogonal de B en la dirección de A. Dado que θ es el ángulo entre A y B, la definición del producto punto, A B = AB cos θ, da⋅

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

a. Producto punto (escalar)

Determinación de la componente ortogonal de un vector en una dirección dada:

Si se proyecta B sobre A como en la figura, la longitud proyectada B cos θ se denomina componente ortogonal de B en la dirección de A. Dado que θ es el ángulo entre A y B, la definición del producto punto, A B = AB cos θ, da⋅

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

b. Producto Cruz (vectorial)

El producto cruz C de dos vectores A y B, denotado por:

C=A × B

Tiene las características siguientes• La magnitud de C es C = AB sen θ donde θ (0 ≤ θ ≤ 180°)

es el ángulo entre las direcciones positivas de A y B.• C es perpendicular a A y B.• El sentido de C se determina por la regla de la mano

derecha

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

b. Producto Cruz (vectorial)

El producto cruz de dos vectores también se denomina producto vectorial

El producto cruz es distributivo; es decir, A × (B +C)=(A × B) +(A × C)

El producto cruz no es asociativo ni conmutativo.

A × (B × C) ≠ (A × B) × CA × B ≠ B × A

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

b. Producto Cruz (vectorial)

De la definición del producto cruz C = A × B, se observa que: 1. si A y B son perpendiculares (θ = 90°), entonces C = AB y 2. si A y B son paralelos (θ = 0° o 180°), entonces C = 0.

De las propiedades del producto cruz, se deduce que los vectores base de un sistema coordenado rectangular satisfacen las identidades siguientes:

i × i =0 j× j=0 k× k=0i × j =k j× k=i k× i=j

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

b. Producto Cruz (vectorial)

Cuando A y B se expresan en forma rectangular, su producto cruz es:

A × B=(Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)

Utilizando la propiedad distributiva del producto cruz esta ecuación se vuelve;

A × B = (Ay Bz − Az By )i −(Ax Bz − Az Bx )j +(Ax By − Ay Bx )k

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

c. Triple Producto Escalar

De los productos vectoriales que comprenden tres o más vectores, el que es más útil en estática es el triple producto escalar. El triple producto escalar se origina cuando el producto cruz de dos vectores se multiplica escalarmente con un tercer vector, por ejemplo, A × B ⋅ C.

En forma Rectangular: A × B⋅C = [(Ay Bz − Az By ) i −(Ax Bz − Az Bx )j + (Ax By − Ay Bx )k ] (⋅ Cx i +Cy j +Czk)

En Forma de determinante

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

c. Triple Producto Escalar

De los productos vectoriales que comprenden tres o más vectores, el que es más útil en estática es el triple producto escalar. El triple producto escalar se origina cuando el producto cruz de dos vectores se multiplica escalarmente con un tercer vector, por ejemplo, A × B ⋅ C.

En forma Rectangular: A × B⋅C = [(Ay Bz − Az By ) i −(Ax Bz − Az Bx )j + (Ax By − Ay Bx )k ] (⋅ Cx i +Cy j +Czk)

En Forma de determinante

VECTORES

MULTIPICACION DE VECTORES

EJEMPLO

Dados los vectores:

A = 8i +4j −2k lbB = 2j +6k piesC = 3i −2j +4k pies

calcule lo siguiente: 1. A ⋅ B; 2. la componente ortogonal de B en la dirección de C; 3. el ángulo entre A y C; 4. A × B; 5. un vector unitario λ que es perpendicular a A y B, y 6. A × B ⋅ C.