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Introducción a la mecánica cuántica

Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM

Enero de 2017

Intro cuántica/JHT 2 / 59

Contenido:

IntroducciónÁlgebra de operadoresPostulados y teoremas de la mecánica cuántica

Introducción

Química cuántica

Mecánica estadística Cinética

Termodinámica

Definiciones:

Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y laenergía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículaselementales)

Definiciones:

Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y laenergía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículaselementales)

Química cuántica. Aplicación de la mecánica cuántica al estudio dela estructura atómica, molecular y la espectroscopía.

La química cuántica proporciona información sobre:

Propiedades moleculares (momentos dipola-res, etc)Geometrías molecularesProps. espectroscópicas(espectros UV, RMN, etc.)

Estados de transiciónEnergías de reacciónBarreras energéticasMecanismos de reacción

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

La mecánica cuántica es una teoría microscópica.

Asume, además del carácter de partícula, un comportamientoondulatorio (ondas materiales).

No es posible asignar un modelo en términos de la experienciacotidiana.

Existe una función de onda. (Ψ(x, t) en una dimensión) querepresenta el estado del sistema.

Se postula que Ψ(x, t) satisface la ecuación de Schrödingerdependiente de t:

− hi

∂Ψ(x, t)

∂t= − h

∂2Ψ(x, t)

∂x2+ V (x, t)Ψ(x, t) , (1)

donde: → h = h/2π; h = 6.626 × 10−34 J s: constante de Planck.

→m: masa de la partícula, → i =√−1

→ V (x, t): función de la energía potencial.

h es una constante fundamental

Radiación del cuerpo negro: La energía de la radiaciónelectromagnética con frecuencia ν está cuantizada:

En = nhν, n = 0, 1, 2, . . . .

Efecto fotoeléctrico: La radiación electromagnética está compuesto defotones con energía discreta E = hν.

Mediante la conexión relativista entre energía y momento, p, para unfotón:

pc = E = hc

λ; p =

Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X porelectrones libres:

λ′ − λ = hmec

(1− cos θγ)

Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics

λ′ − λ = hmec

(1− cos θγ)

El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:

L = nh, n = 1, 2, 3, . . .

λ′ − λ = hmec

(1− cos θγ)

El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:

L = nh, n = 1, 2, 3, . . .

Longitud de onda de de Broglie: la materia (ej. electrones) satisface:

λdB =h

Principio de incertidumbre

No es posible conocer con exactitud la posición, x, y el

momento, p = mv, de una partícula de manera simul-

tánea y en cualquier instante.

El producto de las incertidumbres, σx y σp:

σxσp ≥h

2. (2)

→ No es posible conocer la trayectoria de una partícula.

Gráficamente:

Tomado de: Pilar, Elementary Quantum Chemistry

Interpretación estadística de la función de onda (Born):

Ψ(x, t) ↔ |Ψ(x, t)|2dx = Ψ(x, t)⋆Ψ(x, t)dx︸︷︷︸

probabilidad de encontrar a la partícula entrex y x+ dx

x x+dx

|Ψ(x,t))|2

|Ψ(x,t)|2dx → |Ψ(x, t)|2:

densidad de probabilidad

Estadística:

Propiedad x:Valores {xi|i = 1, . . . , n} y probabilidades {P (xi), i = 1, . . . , n}

El valor promedio es

x ≡ 〈x〉 =n∑

xi P (xi), P (xi) : distribución discreta.

Estadística:

Propiedad x:Valores {xi|i = 1, . . . , n} y probabilidades {P (xi), i = 1, . . . , n}

El valor promedio es

x ≡ 〈x〉 =n∑

xi P (xi), P (xi) : distribución discreta.

Función de distribución continua:

〈x〉 =∫xρ(x)dx

Ejemplo:Distribución normal (Gaussiana)

ρ(x) =1

σ√2πe−(x−µ)2/(2σ2)

tal que∫ ∞

−∞ρ(x)dx = 1 y σ2 =

∫ ∞

−∞(x− µ)2ρ(x)dx =

⟨x2⟩− 〈x〉 → (varianza)

Ejemplo:Distribución normal (Gaussiana)

ρ(x) =1

σ√2πe−(x−µ)2/(2σ2)

tal que∫ ∞

−∞ρ(x)dx = 1 y σ2 =

∫ ∞

−∞(x− µ)2ρ(x)dx =

⟨x2⟩− 〈x〉 → (varianza)

−2 −1 0 1 2 3 4

ρ(x) ρ(x)

µ = 1

σ = 0.45 σ = 0.90

En mecánica cuántica:

ρ(x, t) ≡ |Ψ(x, t)|2

Valor promedio de la posición de una partícula:

〈x〉 =∫ b

ax|Ψ(x, t)|2 dx . (3)

x ∈ (−∞,∞).

La mecánica cuántica es de natura-leza estadística

Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:

Caso particular:

Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)

Substituir en (1)

− hi

∂Ψ(x, t)

∂t= − h

∂2Ψ(x, t)

∂x2+ V (x)Ψ(x, t) (4)

Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:

Caso particular:

Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)

Substituir en (1)

− hi

∂Ψ(x, t)

∂t= − h

∂2Ψ(x, t)

∂x2+ V (x)Ψ(x, t) (4)

Ejercicio:Mediante el procedimiento de separación de variables,obtén la ecuación de Schrödinger independiente deltiempo.

Para ello, substituye

Ψ(x, t) = f(t)ψ(x) (5)

en (4) y obtén

− h2

d2ψ(x)

dx2+ V (x)ψ(x) = Eψ(x) (6)

→ ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Ψ(x, t) = e−Eit/hψ(x) (7)

Postulado:

E es la energía de la partícula

En un problema particular, hay que definir:

condiciones a la frontera

Postulado:

E es la energía de la partícula

En un problema particular, hay que definir:

condiciones a la frontera

Además:

→ (6) es un postulado de la teoría.

→ Incógnitas: ψ(x) y E

A partir de (7):

|Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)⋆Ψ(x, t)

=[e+Eit/hψ(x)⋆

][e−Eit/hψ(x)] = ψ(x)⋆ψ(x)

Es decir

|Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2 (8)

Soluciones de la forma (7): estados estacionarios

Operadores

En mecánicacuántica:

Cantidad física↔ operador.

Operadores

Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos

de dos espacios vectoriales.

Ejemplos:

y = f(x) = 2/(1 + x)2.f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0)

2 ∈ ℜ.

Operadores

Ejemplos:

2 ∈ ℜ.

y = det(A), donde A ∈ Mn×n.(det actúa sobre matrices cuadradas).

Operadores

Ejemplos:

2 ∈ ℜ.

Df = df/dx.(D actúa sobre funciones).

Operadores

Ejemplos:

2 ∈ ℜ.

Df = df/dx.(D actúa sobre funciones).

y = I[f(x)] =∫ ba f(x)dx.

(I actúa sobre funciones)

suma y la diferencia de operadores(A+ B

)f = Af + Bf (9)

(A − B

)f = Af − Bf (10)

Producto (composición) de operadores(AB

)f ≡ A

La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−

)f = Af + Bf (9)

(A − B

)f = Af − Bf (10)

)f ≡ A

La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−Notación: A2 ≡ AA

)f = Af + Bf (9)

(A − B

)f = Af − Bf (10)

)f ≡ A

La acción de AB sobre f es de derecha a izquierda: (AB) f←−Notación: A2 ≡ AA

Ejemplo:

El operador segunda derivada es el producto de dos operadores:

Definición 2: (operador lineal) A es lineal si y sólo si, ∀k1, k2 ∈ C, secumple

A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)

→ Los operadores de la mecánica

cuántica son lineales.

A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)

Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal

dx[k1f(x) + k2g(x)] = k1

dx+ k2

A (k1f1 + k2f2) = k1Af1 + k2Af2 (12)

Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal

dx[k1f(x) + k2g(x)] = k1

dx+ k2

Ejercicio: Determina si el operador L2 = −d2/d x2 + x2 es lineal.

En general:

AB 6= BA

En general:

AB 6= BA

Definición 3: (Conmutador) El conmutador de A y B] Se define como[A, B

]= AB − BA (13)

]= 0 ↔ A y B conmutan.

Algunas propiedades:[A, B + C

[kA, B

[A, kB

[A, BC

]C + B

[kA, B

[A, kB

[A, BC

]C + B

Ejercicios:

Demuestra que[A, B

]= −

[kA, B

[A, kB

[A, BC

]C + B

Ejercicios:

Demuestra que[A, B

]= −

Tarea: Demuestra la propiedad (16)

[kA, B

[A, kB

[A, BC

]C + B

Ejercicios:

Demuestra que[A, B

]= −

Sean A = −d/dx y B = xd/dx

1. Encuentra (A+ 2B)x2

[kA, B

[A, kB

[A, BC

]C + B

Ejercicios:

Demuestra que[A, B

]= −

2. Obtén [A, B]x3

[kA, B

[A, kB

[A, BC

]C + B

Ejercicios:

Demuestra que[A, B

]= −

2. Obtén [A, B]x3

Evalúa el conmutador [A, B], donde A = d/dx+ 2x2 yB = d/dx− x.

Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo:

[− h

dx2+ V (x)

]ψ(x) = Eψ(x)

Operador Hamiltoniano:

H = − h2

dx2+ V (x) (17)

Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo:

[− h

dx2+ V (x)

]ψ(x) = Eψ(x)

Operador Hamiltoniano:

H = − h2

dx2+ V (x) (17)

Por lo tanto:

Hψ(x) = Eψ(x) (18)

H es un operador lineal

El problema de valores propios

La ecuación (18) es de la forma

Aφ(x) = aφ(x) (19)

El problema de valores propios

La ecuación (18) es de la forma

Aφ(x) = aφ(x) (19)

Definición 2: (Problema de valores propios)

Dado el operador A, encontrar φ(x) y la constante a que satisfagan laecuación de valores propios, (19). La función φ(x) se llama la función

propia (eigenfunción) de A y la constante a el valor propio (eigenvalor)de φ(x).

Ejercicio:

Determina si f(x) = e−x2/2 es función propia de L2 = −D2 + x2. Si loes, encuentra el correspondiente valor propio.

Ejercicio:

Ejercicios:

Verifica que las siguientes son funciones propias del operadorcorrespondiente y encuentra el valor propio.

g(x) = eikx, p = −D.

Ejercicio:

Ejercicios:

f(x, y, z) = sen(αx) sen(βy), O = −(1/2)∇2

Ejercicio:

Ejercicios:

f(x, y, z) = sen(αx) sen(βy), O = −(1/2)∇2

Tarea:

Encuentra las funciones y los valores propios de D2

Degeneración

Cuando el conjunto de funciones propias

{ϕi, i = 1, . . . ,m}

del operador A tiene el mismo valor propio a, se dice que el conjunto esdegenerado

Teorema 1. Una combinación lineal de funciones propias degeneradas

con valor propio a tiene el mismo valor propio a.

Ejercicio:

Demuestra este teorema.

Operadores de la mecánica cuántica

propiedad física A ⇔ A

Ejemplo: energía ⇔ H

ψ(x) es función propia de H con valor propio E:

Hψ(x) = Eψ(x)

Ejemplo: energía ⇔ H

ψ(x) es función propia de H con valor propio E:

Hψ(x) = Eψ(x)

Además:

Posible espectro discreto (condiciones a la frontera)Algunas mediciones experimentales producen valores discretos paraciertas propiedades.

H es de la forma: H = Tx + V (20)

donde: Tx ⇔ energía cinéticaV ⇔ energía potencial

El operador Tx = − h2

dx2(21)

se relaciona con el de momento lineal.

dx2(21)

En mecánica clásica: p2 = 2mEc

dx2(21)

En mecánica cuántica : p2x = 2mTx = 2m

(− h

dx2(21)

(− h

Es decir, p2x = −h2 d2

dx2(22)

dx2(21)

(− h

dx2(22)

Además, p2x ≡ pxpx.

dx2(21)

(− h

dx2(22)

Además, p2x ≡ pxpx.

Por lo tanto: px = −ih ddx

Valor esperado (promedio)

En el caso de la posición:x ⇔ x

→ x es un operador multiplicativo.

〈x〉 =∫ b

ax|Ψ(x, t)|2 dx =

axΨ⋆(x)Ψ(x, t) dx

〈x〉 =∫ b

ax|Ψ(x, t)|2 dx =

〈x〉 =∫ b

aΨ⋆(x, t)xΨ(x, t) dx (24)

donde xΨ(x, t) = xΨ(x, t).

〈x〉 =∫ b

ax|Ψ(x, t)|2 dx =

〈x〉 =∫ b

aΨ⋆(x, t)xΨ(x, t) dx (24)

donde xΨ(x, t) = xΨ(x, t).

Dado que |Ψ(x, t)|2 es una función de distribución de probabilidad:∫ b

a|Ψ(x, t)|2dx = 1 ⇒ función de onda normalizada (25)

Operador no multiplicativo: f(x)px 6= pxf(x)

Postulado:

〈A〉 =∫ b

aΨ⋆(x, t)AΨ(x, t) dx (26)

Operador no multiplicativo: f(x)px 6= pxf(x)

Postulado:

〈A〉 =∫ b

aΨ⋆(x, t)AΨ(x, t) dx (26)

Para una función de onda φ(x, t) cuadrático integrable no normalizada:

〈A〉 =∫ ba φ

⋆(x, t)Aφ(x, t) dx∫ ba |φ(x, t)|2dx

Teorema:

Sea φ(x, t) solución del problema de valores propios

Aφ(x, t) = aφ(x, t) ,

donde A es un operador lineal.

Sea k 6= 0. Entonces:

φ′(x, t) = k φ(x, t)

también es solución del problema de valores propios y tiene el valorpropio a.

Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.

Sea Ψ(x, t) = Nφ(x, t) (28)

N es tal que

a|Ψ(x, t)|2dx =

a|Nφ(x, t)|2dx = N2

a|φ(x, t)|2dx

= N2α = 1

Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.

Sea Ψ(x, t) = Nφ(x, t) (28)

N es tal que

a|Ψ(x, t)|2dx =

a|Nφ(x, t)|2dx = N2

a|φ(x, t)|2dx

= N2α = 1

Por lo tanto

∫ ba |φ(x, t)|2dx

α(29)

Ejercicio:

Una partícula se describe por la función de onda no normalizadaΨ(r, θ, φ) = Ne−ar2

, donde a > 0 y r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, π] yφ ∈ [0, 2π] son las coordenadas esféricas. Encuentra la constante denormalización.

→ Recuerda que dτ = r2 sen θdrdθdφ.

→ Utiliza

∫ ∞

0r2me−αr2

dr =(2m)!π1/2

22m+1m!αm+1/2.

Ortogonalidad

Funciones ortogonales.

Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si∫f⋆g dτ =

∫g⋆f dτ = 0 . (30)

Ortogonalidad

∫g⋆f dτ = 0 . (30)

Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones sonortonormales.

Ortogonalidad

∫g⋆f dτ = 0 . (30)

Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones sonortonormales.

Ejemplo:

Determina si las funciones f(x) = x2 − 1 y g(x) = x son ortogonalesen el intervalo x ∈ [−

√2,√2].

Solución:∫ √

−√

2f(x)g(x)dx =

∫ √2

−√

2(x2 − 1)xdx =

∫ √2

−√

2(x3 − x)dx = 0

Gráficamente:

El área bajo la curva de la

función f(x) g(x) se anula

para x ∈ [−√2,√2]

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

f(x) g(x)

f(x)g(x)

Operadores Hermitianos

Sea A un operador lineal que representa a la propiedad física A:

〈A〉 =∫

Ψ⋆AΨdτ ≡∫

Ψ⋆[AΨ

Dado que 〈A〉 debe ser un número real:

〈A〉 = 〈A〉⋆

Operadores Hermitianos

Sea A un operador lineal que representa a la propiedad física A:

〈A〉 =∫

Ψ⋆AΨdτ ≡∫

Ψ⋆[AΨ

Dado que 〈A〉 debe ser un número real:

〈A〉 = 〈A〉⋆

Es decir,

∫Ψ⋆AΨdτ =

[∫Ψ⋆AΨdτ

]⋆=∫Ψ(AΨ

)⋆dτ

A es operador Hermitiano

Ejemplo:

Sea ψ(x), x ∈ (−∞,∞):

Con primeras derivadas continuasCuadrático integrableψ(x) satisface las condiciones a la frontera:

ψ(−∞) = ψ(∞) = 0 (31)

El promedio de px:

〈px〉 =∫ ∞

−∞ψ⋆(x)

[−ihdψ(x)

Ejercicio:

Prueba que px es Hermitiano.

Ejemplo:

Sea ψ(x), x ∈ (−∞,∞):

Con primeras derivadas continuasCuadrático integrableψ(x) satisface las condiciones a la frontera:

ψ(−∞) = ψ(∞) = 0 (32)

El promedio de px:

〈px〉 =∫ ∞

−∞ψ⋆(x)

[−ihdψ(x)

Ejercicio:

Prueba que px es Hermitiano.

Definición general:

Definición 1 (Operador Hermitiano). Sea A un operador lineal. A es

Hermitiano si satisface:∫f⋆ A gdτ =

∫g(Af

)⋆dτ (33)

Un operador Hermitiano también es llamado operador autoadjunto

En mecánica cuántica, una propiedad física A es representada

por un operador lineal Hermitiano, A

Sean {φi} y {ai} funciones y valores propios del operador A:

Aφi = aiφi (34)

Teorema: Los valores propios de un operador Hermitiano son númerosreales:

ai = a⋆i (35)

Teorema: Las funciones propias de un operador Hermitiano son o puedenescogerse ortogonales.

caso 1 ai 6= aj Ausencia de degeneración.∫φ⋆iφj dτ = 0 (36)

→ las funciones propias de A son ortogonales

caso 2 ai = aj (degeneración)

∫φ⋆iφj dτ no es cero necesariamente

Aunque φi y φj pueden escogerse ortogonales (ortogonalizaciónde Gram–Schmidt)

Además, las funciones {φi}, pueden escogerse normalizadas:∫φ⋆iφjdτ =

∫φ⋆jφidτ = δij (37)

δij =

{1 : i = j0 : i 6= j

es la delta de Kronecker.

Teorema: Completitud. Las funciones propias de un operadorHermitiano forman un conjunto completo.

f =∞∑

ki φi (39)

Cuando el conjunto {φi} es ortonormal:

∫φ⋆j (x)f(x)dx (40)

→ kj en (40) es la proyección de f sobre φj

→ Obtén este resultado

Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos conmutan, entonces esposible seleccionar un conjunto completo de funciones propias común.

Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos comparten un conjuntocompleto de funciones propias entonces conmutan.

Postulados de la mecánica cuántica

Postulado 1. Función de onda.

Existe una función Ψ de las coordenadas y del tiempo que contienetoda la información que puede ser determinada sobre un sistema.

Esta función es univaluada, continua, cuadrático–integrable y conprimeras derivadas continuas por secciones.

¿Cuál de las siguientes funciones es aceptable?

función exponencial

Postulado 2. Operadores.

A cada propiedad física medible le corresponde un operador linealHermitiano.

Para encontrar el operador

se escribe la expresión del observable en términos de coorde-nadas cartesianas y de las componentes del momento linealSe sustituye la coordenada x por el operador x y la compo-nente px del momento lineal por el operador px = −ih∂/∂ x

Ejemplos:

propiedad símbolo operador símbolo

posición x multiplicar por x xr multiplicar por r r

m. lineal px −ih∂/∂ x pxp −ih∇ p

e. cinética Tx −(h2/2m)∂2/∂ x2 TxT −(h2/2m)∇2 T

e. potencial V (x) mult. por V (x) V (x)

V (x, y, z) mult. por V (x, y, z) V (x, y, z)

e. total E −(h2/2m)∇2 + V (x, y, z) H

Postulado 3. Valores medibles.

Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición de unapropiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación devalores propios Aφi = aiφi, donde A es el operador lineal Hermitianocorrespondiente a la propiedad A.

Postulado 3. Valores medibles.

Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición de unapropiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación devalores propios Aφi = aiφi, donde A es el operador lineal Hermitianocorrespondiente a la propiedad A.

Postulado 4. Completitud.

Las funciones propias de todo operador A que represente unobservable físico forman un conjunto completo.

Este postulado permite expresar una función de onda para cualquierestado como superposición de funciones propias ortonormales {gi} decualquier operador mecánico cuántico:

Ψ =∑

ci gi .

Postulado 5. Valores promedio.

El valor promedio de la propiedad A de un sistema en un estadodescrito por la función de onda normalizada Ψ es

〈A〉 =∫

Ψ∗AΨdτ

Interpretación estadística de Ψ:

|Ψ|2 dτ es la probabilidad de encontraral sistema entre τ y τ + dτ .

Ejemplos:

〈x〉 =

∫Ψ⋆ xΨdx =

∫Ψ⋆ xΨdx

〈r〉 =

∫Ψ⋆ rΨdτ =

∫Ψ⋆ rΨdτ

〈px〉 = −ih∫

Ψ⋆ dΨ

〈p〉 = −ih∫

Ψ⋆∇Ψdτ

〈E〉 =

∫Ψ⋆

[− h

2m∇2 + V (r)

]Ψdτ

Postulado 6. Ecuación de Schrödinger.

La función de onda de un sistema evoluciona en el tiempo de acuerdocon la ecuación de Schrödinger:

HΨ = ih∂Ψ

∂ t,

donde H es el operador Hamiltoniano del sistema.

Superposición de estados

Sea A un operador asociado a la propiedad A con valores propios {ai} yfunciones propias {gi}:

Agi = aigi(q1, q2, . . . , qN)

donde {qi} son las coordenadas de las N partículas.

Dado que el conjunto {gi} es completo:

Ψ =∑

ci(t)gi(q1, q2, . . . , qn)

Si Ψ es una función de distribución de probabilidad:∫

Ψ⋆Ψdτ = 1

Dado que A es Hermitiano, el conjunto {gi} es ortonormal:∫g⋆i gjdτ = δij

Por lo tanto:∑

|ci|2 = 1

〈A〉 =∑

|ci|2ai

Como 〈A〉 = ∑i Pi ai, entonces

|ci(t)|2 es la probabilidad de que en la medición de

la propiedad A se obtenga el valor propio ai

Los coeficientes se obtienen mediante:

∫g⋆iΨdτ

Amplitud de probabilidad

Algunas consecuencias:

Si un sistema se encuentra en un estado gi que es función propia deA, al medir A con certeza se obtiene el valor ai

Si un sistema se encuentra en un estado que no es función propia deA, al medir A el sistema evoluciona a un estado gi y se obtiene aicon una probabilidad dada por |ci|2

Medición simultánea de propiedades

Las cantidades físicas A1 y A2 que corresponden a operadores queconmutan pueden ser medidas simultáneamente a cualquier precisión.En general:

σA1σA2≥ 1

∣∣∣∣∫

Ψ∗[A1, A2

]Ψdτ

∣∣∣∣

√⟨A2

⟩− 〈A1〉2

√⟨A2

⟩− 〈A2〉2

Posteriormente se revisarán los

postulados correspondientes al espín

Ejemplo:

Obtén la relación de incertidumbre para x y px.

Ejemplo:

Obtén la relación de incertidumbre para x y px.

Sea Ψ una función de onda normalizada.

Dado que [x, px] = hi:

σxσpx≥ 1

∣∣∣∣∫

Ψ⋆ [x, px] Ψ dx

∣∣∣∣ =1

∣∣∣∣∫

Ψ⋆ (hi)Ψ dx

∣∣∣∣

∣∣∣∣∫

Ψ⋆Ψ dx

∣∣∣∣ =1

Además:

|hi|2 = (hi) (hi)⋆ = (hi) (−hi) = −h2i2 = −h2(−1) = h2

Por lo tanto:

|hi| = h

Sustituir en la relación de incertidumbre:

σxσpx≥ h

→ Principio de incertidumbre de

Heissenberg

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