interés compuesto54545
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Interés compuesto
A lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés
Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer
periodo, lo sumamos al total, y despuéscalculamos el interés
del siguiente periodo, y sigue... así:
Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10:
AñoPréstam
o inicialInterés
Préstamo
final
0 (Ahora) $1,000.00($1,000.00 × 10%
= ) $100.00$1,100.00
1 $1,100.00 ($1,100.00 × 10%= ) $110.00
$1,210.00
2 $1,210.00($1,210.00 × 10%
= ) $121.00$1,331.00
3 $1,331.00($1,331.00 × 10%
= ) $133.10$1,464.10
4 $1,464.10($1,464.10 × 10%
= ) $146.41$1,610.51
5 $1,610.51
!omo "es, es #ácil calcular si "as paso a paso.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.html
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• !alcula el interés $% &préstamo inicial& ' tasa de interés(
• )uma el interés al &préstamo inicial& para calcular el
&préstamo #inal& del año
• *l &préstamo #inal& del año es el &préstamo inicial& del
año siguiente
+na tarea simple, con mucos cálculos. Pero hay maneras
más rápidas, siendo listos con las matemáticas.
Hagamos una fórmula
-amos a acer una #rmula para lo de arri/a... empeamos
mirando el primer año:
1,000.00 2 $1,000.00 ' 10( % $1,100.00
3o podemos reescri/ir
así:
Así que sumar el 10 de interés es comomultiplicar por 1.10
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Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal
dividiendo entre 1: 10% = 10/100 = 0.10 ,
leePorcentajes para sa!er más.
Así que ahora es todo en un paso:
• Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de
interés para calcular el "préstamo !inal"
"#Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés
en decimal$ .1, no 1%&
!on un simple cálculo "emos que el resultado es el mismo:
1,000 2 $1,000 4 10( % 1,000 2
100 % $1,100
es lo mismo
que:
1,000 ' 1.10
% $1,100
Aora "iene la magia...
... la misma #rmula "ale todos los años6
7 Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 1.10 #
$1,10
7 8 seguimos otro año más: $1,10 1.10 # $1,%%1
7 etc...
Así es como #unciona:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.html
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9e eco podemos ir directamente desde elprincipio asta el año 5, multiplicando & 'eces:
1,000 ' 1.10 ' 1.10 ' 1.10 ' 1.10 ' 1.10
% $1,10.&1
Pero es más #ácil escri/ir las multiplicaciones
usando e4ponentes $o potencias( así:
La fórmula
emos usado un e;emplo real, pero podemos acerlo en
general con letras en 'e) de n*meros, así:
$- % 1,?10.51(
'sta es la (órmula !ásica para el interéscompuesto.
Apréndetela, es muy )til.
*;emplos
http://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.html
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)a/emos que si multiplicamos un "alor presente $P-(
por $12r(n nos da el "alor #uturo $>-(, así que podemos"ol"er atrás di'idiendo:
Así que la #rmula es:
P- % >- E $12r(n
8 podemos calcular la respuesta del pro/lema:
P- % ,000 E $120.10(5 % ,000 E 1.?1051 % $1,/1./
F sea, 1,G1.BG crecerán asta ,000 si los in"ertimos al
10 durante 5 años.
tro e2emplo:
dan 10,000
Periodos de interés compuesto
*l interés compuesto no se calcula siempre por año, puede
ser al mes, al día, etc. 45ero si no es anual de6erían
decirlo7
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*;emplo: tomas prestados 1,000 durante 1 meses y
dicen &18 al mes&,
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*n este anuncio parece que es ?.5, pero en realidad es
.%%&8
Aquí ay más e;emplos:
*;emplo 1: &18 al mes& en realidad es 9A
1.%8 $si no ay costes(.
8:
*;emplo : &8 de interés compuesto
mensualmente& en realidad es 9A .18 $si no
ay costes(.
)i estás /uscando acer negocios, pregunta por el DA*.
¡n respiro!asta aora emos usado $12r(n para ir de un "alorpresente $P-( a un "alor #uturo $>-( y al re"és, además
emos "isto algunos de los trucos que te puedes encontrar en
un préstamo.
Aora tmate un descanso antes de seguir con los dos temas
siguientes:
• !mo calcular la tasa de interés si conoces el P-, el >-
y el nCmero de periodos
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• !mo calcular el n*mero de periodos si conocemos el
P-, el >- y la tasa de interés
Calcular la tasa de interés
Puedes calcular la tasa de interés si sa/es el "alor presente, el
"alor #uturo y cuántos periodos son.
*;emplo: tienes 1,000, y quieres tener ,000 en 5años, - E P- (1En J 1
Nota: el pequeño "1/n" es un exponente fraccionario ,
primero calcula 1/n y luego úsalo como exponente en la
calculadora.
Por ejemplo !. lo calcularamos as: 2, "x^y", 0, ., 2, =
Aora &metemos& los "alores para tener el resultado:
r % $ ,000 E 1,000 (1E5 J 1 % $ (0. J 1 % 1.1GBK J 1
% 0.1/;
8 0.1GBK en porcenta;e es 1/.;8,
Así que te aría #alta una tasa de interés del 1G.BK para que
1,000 se con"irtieran en ,000 en 5 años.
tro e2emplo:
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8 0.0BB en porcenta;e es .%8. Así que un B.B
con"ertirá tus 1,000 en 5,000 en 0 años.
Calcular el nmero de periodos
Puedes calcular cuántos periodos son si sa/es el "alor
presente, el "alor #uturo y la tasa de interés.
*;emplo: quieres sa/er cuántos periodos necesitas para
que tus 1,000 se con"iertan en ,000 al 10 de
interés.*sta es la #rmula $nota: usa el logaritmo natural ln(:
n % ln$>- E P-( E ln$1 2 r(
#a funci$n " ln" de%era de estar en tu calculadora si es de
las %uenas.
&am%i'n (ay log , no las confundas.
*n #in, "amos a &meter& los "alores:n % ln$ ,000 E 1,000 ( E ln$ 1 2 0.10 ( %
ln$(Eln$1.10( % 0.?H15E0.0H51 % ;.;
Lagia6 9entro de ;.; aos tus 1,000 serán ,000 al
10 de interés.
tro e2emplo:
n % ln$ 10,000 E 1,000 ( E ln$ 1 2 0.05 ( %
ln$10(Eln$1.05( % .0?E0.0GBKH % /;.13
GK años6 Pero es que estamos a/lando de multiplicar
el dinero por 10, slo al 5 de interés.
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Calculadora
e eco una !alculadora de interés compuesto que usa
estas #rmulas, por si te interesa.
#esumen
3a #rmula /ásica para el interés compuesto es:
>- % P- $12r(n Para calcular el 'alor !uturo,
donde:
• >- % "alor #uturo,
• P- % "alor presente,
• r % tasa de interés $en
decimal(, y
• n % nCmero de periodos
8 manipulando la #rmula "lee erivación de la (órmula delinterés compuesto & podemos calcular cualquier "alor sisa/emos los otros tres:
P- % >- E $12r(n
!alcular el 'alor presente si
sa/emos el "alor #uturo, la
tasa de interés y el nCmero deperiodos.
r % $ >- E P- ( !alcular la tasa de interés sisa/emos el "alor presente, el
http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto-calculadora.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto-calculadora.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/compuesto-interes-derivacion.html
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1En J 1"alor #uturo y el nCmero de
periodos.
n % ln$>- E
P-( E ln$1 2 r(
!alcular el n*mero deperiodos si sa/emos el "alor
presente, el "alor #uturo y la
tasa de interés.
Anualidades
asta aora emos a/lado de lo que pasa con una cantidadcuando el tiempo "a pasando...
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Veamos si podemos generalizarlo con un eemplo!
"agamos c#lculos para saber el monto final de un depósito inicial de $
%.&&&.&&&, a ' años plazo con un interés compuesto de %& ( )como no se
especifica, se subentiende que es %& ( anual*.
Año Depósito
inicialInterés Saldo final
0 (inicio)$1.000.00
0
($1.000.000 x 10%
= ) $100.000$1.100.000
1$1.100.00
0
($1.100.000 × 10%
= ) $110.000$1.210.000
2$1.210.00
0
($1.210.000× 10%
= ) $121.000$1.331.000
3$1.331.00
0
($1.331.000 × 10%
= ) $133.100$1.464.100
4$1.464.10
0
($1.464.100 × 10%
= ) $146.410$1.610.510
5$1.610.51
0
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Paso a paso resulta f#cil calcular el interés sobre el depósito inicial +
sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el
segundo año, + así sucesivamente asta llegar al monto final.
-esulta simple, pero a+ mucos c#lculos; para evitarlos usaremos unafórmula de tipo general!
En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf ), que se obtiene a
partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t),
est# dado por la fórmula!
-ecordemos que i se epresa en forma decimal +a que corresponde a
.
/ donde t corresponde al n0mero de años durante los cuales se mantiene el
depósito o se paga una deuda.
Como corolario a esta fórmula:
1 partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia
entre el capital final + el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i)!
2acamos factor com0n 3!
4ambién podemos calcular la tasa de interés despeando en la fórmula de
3f !
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En los problemas de interés compuesto i + t deben epresarse en la misma
unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas
variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.
Periodos de interés compuesto
El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral,
trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse
1sí, si la fórmula del interés compuesto se a deducido para una tasa de
interés anual durante t años, todo sigue siendo v#lido si los periodos de
conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo a+ que convertir
éstos a años.
Por eemplo, si i se epresa en tasa anual + su aplicación como interés
compuesto se !alida en forma mensual, en ese caso i debe
dividirse por %5 . En seguida, la
potencia t )el n0mero de años* debe multiplicarse por %5 para mantener launidad mensual de tiempo )%5 meses por el n0mero de años*.
2i los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 5 +a que el
año tiene dos semestres )lo cual significa que los años los emos convertido
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a semestres*, por lo mismo, luego abr# que multiplicar la potencia t )el
n0mero de años* por 5 )el n0mero de semestres de un año*!
2uponiendo una tasa anual de %&(, acemos del siguiente modo!
ser# igual a
2i los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 6 +a que el
año tiene 6 trimestres )lo cual significa que los años los emos convertido a
trimestres* por lo mismo, luego abr# que multiplicar la potencia t )el
n0mero de años* por 6 )el n0mero de trimestres que a+ en un año*.
7el siguiente modo!
ser# igual a
En general, en todos los casos donde a+a que convertir a semestres,trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o
días el %&& de la fórmula que es igual a . 8a
potencia t )en n0mero de años* se debe multiplicar por el mismo valor de n,
en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de %&(!
ser# igual a
"er: P#$: %atemática& Pre'unta *+,-,
http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2035_2010.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2035_2010.html
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Ejercicios de práctica
/ercicio 01 -
1veriguar en qué se convierte un capital de %.5&&.&&& pesos al cabo de 'años, + a una tasa de interés compuesto anual del 9 (.
2esolución:
1plicando la fórmula
-eemplazamos con los valores conocidos!
En tasa de interés compuesto
3apital inicial
4iempo en años (t) =
2espuesta:
El capital final es de %.:n cierto capital invertido durante : años a una tasa de interés compuesto
anual del %& ( se a convertido en %.'9
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1plicando la fórmula
-eemplazamos con los valores conocidos!
3apital final (Cf) = -.3.45
En tasa de interés compuesto
4iempo en años (t) = 6
7espeando 3!
2espuesta:
-edondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 9&&.&&& pesos.
/ercicio 01
3alcular la tasa de interés compuesto anual que se a aplicado a un capital
de %.'&&.&&& pesos para que al cabo de 6 años se a+a convertido en
5.
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3apital final (Cf) = +.7,.+64
4iempo en años (t) = 5
-eemplazamos con los valores conocidos!
7espeamos (- 8 i)5
-edondeamos a &,%5 + multiplicamos por %&& )recuerda que i siempre se
epresa como
,&-+ 9 -,, = -+
2espuesta:
8a tasa de interés compuesto anual a sido de %5 (.
/ercicio 01 5
7igamos que pretendemos tener $5.&&&.&&& dentro de ' años. 2i el banco
paga una tasa de %&( anual ?cu#nto necesitamos como capital inicial@
1plicando la fórmula
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-eemplazamos con los valores conocidos!
3apital final (Cf) = +.,,,.,,,
4asa de interés compuesto
4iempo en años (t) =
-eemplazamos con los valores conocidos!
2espuesta:
>n capital inicial de $ %.56%.965,6 crecer# asta $ 5.&&&.&&& si lo
invertimos al %&( durante ' años.
;tro e/emplo
En general, si conocemos el capital final o valor futuro +
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-eemplazamos por los valores conocidos
2espuesta:
Entonces, 5.7-.434 invertidos al 9( durante %& años dan $%&.&&&.&&&
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