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Bloque III. Estadística y probabilidad 1
Página 282
1 La gráfica es el polígono de porcentajes acumulados correspondiente a la dis-tribución de las edades, en meses, de los niños de una guardería (repartidosen 7 intervalos de 3 en 3 meses).
a) Trabajando sobre el gráfico, asigna, aproximadamente, los valores de Q1,Me, Q3, p20, p95.
b) ¿Qué percentil tiene un bebé de 8 meses? ¿Y uno de 18?
Resolución
a)
Q1 = 13 meses
Me = 16 meses
Q3 = 20 meses
p20 = 12 meses
p95 = 24,5 meses
b)
El percentil de un bebé de 8 me-ses es p5.
El percentil de un bebé de 18meses es p65.
5 10 15 20 25
50%
100%95%
65%
5%
8 meses 18 meses
5 10p20 Me
Q1Q3 p95
15 20 25
50%
100%95%
75%
25%20%
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADIII
2 Considera la siguiente tabla de frecuencias:
a) Halla: –x, q, y C.V.
b)Halla: p90, p15 y Me.
Resolución
a) S fi = 100
S fi xi = 1 322
S fi xi2 = 18 612
–x = = = 13,22
q = =
= = 3,37
C.V. = = 0,255 = 25,5%
b) Para el cálculo de las medidas de posición, es necesario obtener las frecuencias (oporcentajes) acumuladas.
Como hay 100 individuos (n = 100), los porcentajes acumulados coinciden conlas frecuencias acumuladas.
6 – 8
VALORES
8
8 – 10 10
10 – 12 17
12 – 14 25
14 – 16 18
16 – 18 12
18 – 20 10
8
18
35
60
78
90
100
FRECUENCIAS FREC. ACUMULADAS
q–x
(6, 8]
INTERVALOS
7
(8, 10] 9
(10, 12] 11
(12, 14] 13
(14, 16] 15
(16, 18] 17
(18, 20] 19
8
10
17
25
18
12
10
100
MARCA DE CLASExi
FRECUENCIA
fi
18612√— – 13,222
100
S fi xi2
√— – 13,222
100
1 322100
S fi xi
S fi
INTERVALOS
FRECUENCIAS
(6, 8]
8
(8, 10]
10
(10, 12]
17
(12, 14]
25
(14, 16]
18
(16, 18]
12
(18, 20]
10
Bloque III. Estadística y probabilidad2
La obtención gráfica de las medidas de posición es solo aproximada:
p90 = 18
p15 ≈ 9,4
Me ≈ 13,2
Obtención numérica:
• p90 = 18 es exacto, pues se alcanza el 90% en el extremo superior del intervalo(16, 18].
• p15
= 8 x = 1,4
p15 = 8 + 1,4 = 9,4
• Me
= 8 x = 1,2
Me = 12 + 1,2 = 13,2
3 Observa estas dos distribuciones bidimensionales:
I II
225
x15
210
x7
6 8 10 12 14 16 18 20
50%
100%
90%
15%
Bloque III. Estadística y probabilidad 3
IIIBLOQUE
2
1015 – 8
8
x
10
12 14
25
50 – 35
x2
Asigna a cada una un coeficiente de correlación tomándolo de entre los si-guientes valores:
0,11; – 0,11; 0,46; – 0,46; 0,92; – 0,92; 1; –1
Responde razonadamente (observa que no se te pide que hagas operaciones,sino que razones a partir de las nubes de puntos).
Resolución
La correlación de I es fuerte y negativa. El único valor razonable de los que se mues-tran es –0,92 (–0,46 es demasiado débil y –1 solo sería si todos los puntos estuvieranalineados).
La correlación de II es positiva pero débil. Su valor es 0,46.
4 A 10 alumnos de una clase se les toman las siguientes medidas:
x = número de faltas de asistencia a clase en 1 mes.
y = nota en matemáticas.
a) Representa la distribución mediante una nube de puntos y calcula: –x, –y, qx,qy, qxy.
b)Halla el coeficiente de correlación.
c) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
d)Otro alumno de la misma clase que haya faltado 1 vez, ¿qué nota en mate-máticas estimas que tendrá? ¿Crees que es una buena estimación?
Resolución
a) x– = 4,4, y– = 5,2
qx = 2,46, qy = 2,82, qxy = –4,68
b) r = = –0,68
c) myx = = –0,77
Recta de regresión de Y sobre X :
y = 5,2 – 0,77 (x – 4,4) 8 y = –0,77x + 8,59
d) y^(1) = –0,77 · 1 + 8,61 = 7,82
Se estima una nota de 7 u 8 puntos. Pero la estimación es mala, porque la correla-ción es demasiado baja como para hacer estimaciones muy fiables.
–4,682,462
–4,682,46 · 2,82
x
y
0
9
2
6
3
4
3
9
4
6
5
1
5
8
6
3
7
5
9
1
Bloque III. Estadística y probabilidad4
5 10
5
10
NOTA
FALTAS
5 A B
Si en el dado sale 1, sacamos bola de B. Si sale otra puntuación, la sacamos deA. Calcula:
P [ /1] P [ y 1] P [ /1] P [ y 1]
Resolución
Las probabilidades P [ /1] y P [ /1] son, ambas, suponiendo que sale un 1. Portanto, se calculan en la urna B:
• P [ /1] es la probabilidad de obtener rojo en la urna B.
• Análogamente, P [ /1].
La probabilidad P [ y 1] exige las dos cosas: que salga 1 y que se obtenga bola ro-ja. Es una probabilidad compuesta:
• P [1 y ] = P [1] · P [ /1] = · =
Análogamente, P [1 y ] = P [1] · P [ /1] = · = =
6 En una distribución N(0, 1) calcula:
a) P [0,25 < z < 1,45] b) P [–0,25 < z Ì 1,45]
c) Calcula k para que: P [–k < z < k ] = 0,90
Resolución
z es N (0, 1).
a) P [0,25 < z < 1,45] = P [z < 1,45] – P [z < 0,25] = f (1,45) – f (0,25) =
= 0,9265 – 0,5987 = 0,3278
b) P [–0,25 < z Ì 1,45] = f (1,45) – [1 – f (0,25)] = 0,9265 + 0,5987 – 1 = 0,5252
–0,25 1,45
215
430
45
16
1630
15
16
(1)
(2, 3, 4, 5, 6)5—6
1—6
1P [ /1] = — 5
1 1 1P [ y 1] = — · — = — 6 5 30
4P [ /1] = — 5
A
B 1 4 4 2P [ y 1] = — · — = — = — 6 5 30 15
Bloque III. Estadística y probabilidad 5
IIIBLOQUE
c) P [–k < z < k ] = 2 · P [0 < z < k ] = 2 · [P [z < k ] – 0,5] = 2[f (k ) – 0,5] = 2f (k) – 1
2f (k) – 1 = 0,90 8 f (k ) = = 0,95 8 k ≈ 1,64
7 En una distribución N(20, 4) calcula:
a) P [x = 21]
b) P [x < 21]
c) P [19 Ì x Ì 21]
Resolución
x es N (20, 4) 8 z = es N (0, 1)
a) P [x = 21] = 0, ya que las probabilidades puntuales son cero en las distribucionesde variable continua.
b) P [x < 21] = P z < = P [z < 0,25] = f (0,25) = 0,5987
c) P [19 Ì x Ì 21] = P Ì z Ì = P [–0,25 Ì z Ì 0,25] =
= f (0,25) – (1 – f (0,25)) =
= 2f (0,25) – 1 = 2 · 0,5987 – 1 = 0,1974
8 En una distribución B(10; 0,4) calcula:
a) P [x = 0], P [x = 1], P [x > 1]
b) Los parámetros μ y q.
Resolución
B (10; 0,4) 8 n = 10; p = 0,4; q = 0,6
a) P [x = 0] = 0,40 · 0,610 = 0,610 = 0,0060
P [x = 1] = 0,41 · 0,69 = 10 · 0,4 · 0,69 = 0,0403
b) μ = np = 10 · 0,4 = 4
q = = = = 1,55√2,4√10 · 0,4 · 0,6√npq
)10
1()10
0(
]21 – 204
19 – 204[
]21 – 204[
x – 204
k–k
0,90 + 12
Bloque III. Estadística y probabilidad6
°§§¢§§£
8 P [x = 0 ó x = 1] =
= 0,0463
8 P [x > 1] = 1 – 0,0463 =
= 0,9537
9 La proporción de personas nacidas un 29 de febrero es 1/1 461. Justifica porqué. ¿Cuál es la probabilidad de que en una localidad de 20 000 habitantes ha-ya menos de 8 personas nacidas un 29 de febrero?
Resolución
• “29 de febrero” hay uno cada cuatro años. ¿Cuántos días son?:
365 · 3 + 366 = 1 461
Así, P [29 de febrero] = .
• Es una distribución binomial con n = 20 000 y p = .
En una B 20000, , µ = 20 000 · = 13,69
q = = 3,70
Podemos calcular las probabilidades a partir de la normal N (13,69; 3,70).
x es B 20000, 8 x' es N (13,69; 3,70) 8
8 z es N (0, 1) con z =
P [x < 8] = P [x Ì 7] = P [x' Ì 7,5] = P z Ì = P [z Ì –1,67] =
= 1 – f (1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475
Es poco probable que haya menos de 8 personas nacidas un día tan singular.
10 a) Calcula k para que la siguientetabla corresponda a una distribu-ción de probabilidad:
b)Halla P [13 Ì xi Ì 15]. c) Calcula los parámetros μ y q.
Resolución
a) 0,15 + 0,10 + 0,12 + 0,17 + k + k = 1 8 0,54 + 2k = 1 8 k = 0,23
b) P [13 Ì xi Ì 15] = P [13] + P [14] + P [15] = 0,12 + 0,17 + 0,23 = 0,52
c) μ = Spi xi = 13,92; q = = 1,73√Spi xi2 – μ2
xi
pi
11 12 13 14
0,15 0,1 0,12 0,17
15
0,23
16
0,23
xi
pi
11 12 13 14
0,15 0,1 0,12 0,17
15
k
16
k
]7,5 – 13,693,70[
x' – 13,693,70
)11461(
1 1460√ 20000 · — · —1461 1461
11461)1
1461(
11461
11461
Bloque III. Estadística y probabilidad 7
IIIBLOQUE
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