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Hiperespacios como imagenes continuas delcono sobre el conjunto de Cantor

Jose Luis Sosa Carcamo

Benemerita Universidad Autonoma de PueblaPuebla, Puebla

5 de octubre de 2016

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Preliminares

Conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor es el subespacio C de [0, 1]

C =∞⋂

i=1

Ci

donde C1 = [0, 1]− (13 ,

23) y, asumiendo que hemos definido de

forma inductiva Ci , Ci+1 es definido por la supresion en Ci delintervalo abierto tercio medio de cada componente de Ci .

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Preliminares

ConoEl cono sobre Y , que denotamos por Cone(Y ), es el espaciocociente obtenido de Y × [0, 1] por la contraccion Y × {1} a unpunto; en otras palabras, Cone(Y ) es el espacio cocienteY × [0, 1]/∼, donde ∼ es la relacion de equivalencia en Y × [0, 1]dada por (y1, t1) ∼ (y2, t2) si y solo si (y1, t1) = (y2, t2) o t1 = 1 = t2.El punto Y × {1} de Cone(Y ) es llamado el vertice de Cone(Y ).El subconjutno Y × [0, 1] de Cone(Y ) es llamado la base deCone(Y ).

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Preliminares

Cono de Cantor

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Preliminares

Funcion de Whitney

Una funcion de Whitney es una funcion continua µ : 2X → [0,∞]que satisface las siguientes condiciones:

I) µ({p}) = 0 para cada p ∈ X

II) µ(A) < µ(B) siempre que A ( B

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Preliminares

Continuo

Un continuo es un espacio metrico no vacıo, compacto yconexo.

Hiperespacio

Un hiperespacio de X , es una familia de subconjuntos delconjunto potencia de X que cumple ciertas propiedades.

2X = {A ⊂ X : A es un subconjunto cerrado y no vacıo}C(X) = {A ∈ 2X : A es conexo}

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Historia

Mazurkiewicz, muestra que 2X es una imagen continua delcono sobre el conjunto de Cantor.

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Historia

Kelley, 1942, el resultado de Mazurkiewicz es extendidomostrando que no solo 2X sino tambien C(X) es una imagencontinua del abanico de Cantor.

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2X

2X es una imagen continua del cono sobre el conjunto deCantorDenotamos por M al conjunto de Cantor y tomamos ω unafuncion de Whitney fija para 2X .

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2X

Tomamos SX (ω) = {σ ∈ S(ω) : σ(1) = X}SX (ω) es un subconjunto cerrado de S(ω)

SX (ω) es un espacio metrico compacto.

Existe g : M sobre−−−→ SX (ω)

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2X

Definimos f : M × [0, 1]→ 2X como

f (z, t) = [g(z)](t) para cada (z, t) ∈ M × [0, 1]

La convergencia de SX (ω) es convergencia uniforme.g es continua.f es continua.

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2X

Tomamos A ∈ 2X . Ası existe σ ∈ SX (w) tal que σ(0) = Adonde g : M → SX (ω).Entonces existe z0 ∈ M tal que g(z0) = σ. Ası

f (z0) = [g(z0)](0) = σ(0) = A

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2X

f envıa M × [0, 1] sobre 2X

g(z) ∈ SX (ω), para cada z ∈ MUsando la definicion de f :

f (z, 1) = X para cada (z, 1) ∈ M × [0, 1]

Tomamos υ : M × [0, 1] sobre−−−→ Cone(M) y ψ : Cone(M)→ 2X

dada por ψ(p) = f [υ−1(p)] para cada p ∈ Cone(M)

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Referencias

Alejandro Illanes (2004). Hiperespacios de continuos. Mexico:Sociedad Matematica Mexicana.

Raul Escobedo, Sergio Macıas y Hector Mendez (2006).Invitacion a la teorıa de los continuos y sus hiperespacios.Mexico: Sociedad Matematica Mexicana.

Sam B. Nadler Jr. (1992). Continuum theory: an introduction.New York: M. Dekker.

Sam B. Nadler Jr. (2006). Hyperspaces of sets. A text withresearch questions. Mexico, D.F: Sociedad MatematicaMexicana.

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Gracias

92.luissosa@gmail.com

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