guía de la primera derivada
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAPrimer Semestre 2015.
MAT 210E ∗ GUIA N◦15La primera derivada.
1. Determine todos los valores de a ∈ R para los cuales la funcion f(x) = x3 + ax2 + 3x− 1 ,
es siempre creciente en R.
2. Determine a , b ∈ R, de modo que la funcion f(x) =√a + bx + cx2 , alcance un maximo
en el punto (1, 2).
3. Demuestre que f(x) = x +1
x, tiene un maximo relativo y un mınimo relativo, pero que
el maximo relativo es menor que el mınimo relativo. Grafique.
4. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion
f(x) = 5 x2/3 − 2x5/3
5. Sea f(x) = (x− 1)n (x− 2) , con n ∈ N , n ≥ 2.
a) Demuestre que x = 1 es un punto crıtico de f .
b) ¿Para que valores de n , x = 1 es un maximo relativo, un mınimo relativo, o
ninguno de estos?
6. En cada caso, determine los valores extremos absolutos de la funcion dada en el intervaloindicado.
a) f(x) = −2x3 + 3x2 , en
[−1
2, 2
].
b) f(x) = x2/3 , en [−1 , 2 ].
c) f(x) = x3 − 3x + 1 , en
[−3
2, 3
].
d) f(x) =x
1 + x2, en [−1 , 4 ].
e) f(x) = |3x− 2| , en [−1 , 4 ].
7. Demuestre que ∀ a ∈ R, la funcion f(x) = x2 +a
xtiene un mınimo pero no tiene maximo.
8. Suponga que la funcion f(x) es tal que f ′(x) = 2 x para todo x ∈ R, determine f(2) si
f(0) = 0.
9. Determine los valores extremos de la funcion f(x) = 3x2 e−4x. Grafique.
10. Determine a , b ∈ R de modo que f(x) =ax + b
x2 − 1, tenga un extremo local en x = 3 y
clasifıquelo.
11. Si la derivada de la funcion f esta dada por: f ′(x) = (x− 1)2 (x− 2) determine en
que puntos tiene f un maximo local y un mınimo local.
12. Demuestre que f(x) = sen2(x)− 3x es siempre decreciente.
13. Determine los valores extremos y la monotonıa de la funcion:
f(x) =
x2 + 2x + 1 , x < −1
2x + 2 , −1 ≤ x ≤ 2
−x2 + 6x− 2 , 2 < x
14. Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento y valores extremos de la funcion f , sigrafico de f ′ en R+ es:
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