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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
GUIacuteA DE ESTUDIO MODULAR
CALCULO II
TERCER NIVEL
TECNOLOGIacuteA EN
INFORMAacuteTICA MENCIOacuteN
ANAacuteLISIS DE SISTEMAS
AUTOR PABLO SILVA
Correccioacuten Comisioacuten de Redaccioacuten
Aprobado Vicerrectorado Acadeacutemico
Edicioacuten Instituto Superior Tecnoloacutegico ldquoDavid Ausubelrdquo
Periodo Abril 2016 ndash Octubre 2016
QUITO - ECUADOR
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE
NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MAacuteS EL
ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO Y USTED
DEPENDE EL ENGRANDECERSE
El Instituto Tecnoloacutegico Superior ldquoDavid Ausubelrdquo da la bienvenida a este
su moacutedulo de CALCULO II y espera que el desarrollo del mismo aporte
para su vida profesional
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NOTA
EN ESTE TEXTO GUIacuteA SE ENCUENTRAN DESARROLLADOS LOS
TEMAS QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE
USTED DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED
LLEGARAacute A DOMINAR EL CONOCIMIENTO
1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN
NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO
COMPRENDAN MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL DOCENTE YA
SEA DE MANERA PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO
ELECTROacuteNICO Y LA PLATAFORMA
2 LAS TAREAS SERAacuteN ENVIADAS POR EL TUTOR PREVIA SU
EXPLICACIOacuteN ES OBLIGACIOacuteN DEL ESTUDIANTE ASISTIR A
CADA UNA DE LAS TUTORIAS PRESENCIALES PROGRAMAS EN
EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES
3 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO
CUANTITATIVAMENTE
4 AL FINAL EL DOCENTE EVALUARAacute EL MOacuteDULO EN SU
TOTALIDAD
5 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACIOacuteN DIRIGIRSE AL CORREO
DEL DOCENTE O DEL VICERRECTORADO ACADEacuteMICO Y SERAacute
ATENDIDO INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA
Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec
Gracias por su confianza
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1 PERFIL DE INFORMAacuteTICA MENCIOacuteN ANAacuteLISIS DE SISTEMAS
a) OBJETIVO DE FORMACIOacuteN INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Demostrar en el desempentildeo profesional de la informaacutetica un comportamiento eacutetico que
se evidencie en el intereacutes por la investigacioacuten e innovacioacuten tecnoloacutegica con
responsabilidad social espiacuteritu empresarial y compromiso con el desarrollo sostenido y
sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN INFORMAacuteTICA
Es un profesional capaz de usar herramientas y teacutecnicas para recolectar datos
analizar disentildear desarrollar e implementar nuevos sistemas que permitan automatizar
los procedimientos de las empresas con fundamentos cientiacuteficos tecnoloacutegicos
humaniacutesticos y de gestioacuten demostrando soacutelidos valores eacutetico-morales
c) COMPETENCIAS PRINCIPALES POR DESARROLLAR
Conducir el ciclo de vida de un sistema de informacioacuten que permita automatizar
el manejo de los datos mediante un sistema de computadora utilizando para
ello las diferentes herramientas informaacuteticas existentes en el medio actual
Fundamentar cambios en la estructura organizacional procedimientos poliacuteticas
y funciones de una entidad que permitan optimizar el flujo de datos e
informacioacuten aumentando con ello la productividad y competitividad y
disminuyendo los costos operativos
Administrar las acciones para realizar un correcto anaacutelisis disentildeo desarrollo y
documentacioacuten de los sistemas informaacuteticos de un centro de coacutemputo que
cubran las expectativas de la institucioacuten y del medio en que se desenvuelve
Evaluar y seleccionar hardware y software fundamentado en cuadros
comparativos teacutecnicos que permitan satisfacer los requerimientos de las
empresas y organizaciones en general
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Analizar de manera independiente e imparcial las bondades o defectos de un
sistema de informacioacuten mediante la valoracioacuten de todos los procesos que
intervienen tomando en cuenta las necesidades y el presupuesto econoacutemico
Apoyar la toma de decisiones de la gerencia utilizando meacutetodos matemaacuteticos
estadiacutesticos modelos de transporte y de investigacioacuten de operaciones
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS POR NIVELES
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Instalar operar y administrar programas utilitarios conociendo todos los
principios de la informaacutetica
Programar en lenguajes de tercera generacioacuten aplicando teacutecnicas
especializadas y con pleno conocimiento de sistemas matemaacuteticos y contables
Conocer las acciones requeridas hacia la automatizacioacuten de las empresas
mediante el anaacutelisis disentildeo desarrollo documentacioacuten e implementacioacuten de
los sistemas
Disentildear y administrar Bases de datos dominando la programacioacuten en
herramientas de cuarta generacioacuten y la programacioacuten orientada a objetos
Participar en el disentildeo de sistemas informaacuteticos interactuando con plataformas
de internet y con pleno conocimiento de la administracioacuten de las redes y sus
sistemas operativos
Administrar las actividades de un departamento de coacutemputo con la aplicacioacuten
de herramientas informaacuteticas y gerenciales incluyendo la creacioacuten de su propia
microempresa
e) ESCENARIOS DE ACTUACIOacuteN
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse en todo tipo de empresa puacuteblica o
Privada donde se requiera tratar de una manera especial a los datos y la informacioacuten
que
Se generan dentro de la entidad sea por procesos o por transacciones
middotInstituciones Bancarias
Entidades Financieras
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Empresas Comerciales
Empresas del estado
Entes de servicio a la comunidad
Instituciones de capacitacioacuten a nivel profesional universitario o intermedio
Empresas de Asesoriacutea Informaacutetica
f) OCUPACIONES PROFESIONALES
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse como
Gerente de Sistemas
Programador de computadoras
Director de grupos de trabajo
Administrador de Centros de Coacutemputo
Asistente de gerencia
Administrador de Bases de Datos
Instructor de personal en el aacuterea informaacutetica
Asesor organizacional de las empresas
Asesor en el aacuterea informaacutetica
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INTRODUCCIOacuteN
El Caacutelculo Integral es una rama de la Matemaacutetica utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
PARA USTED APRECIADO ESTUDIANTE
NO OLVIDE QUE EL ESFUERZO Y LA PERSEVERANCIA MAacuteS EL
ESTUDIAR Y TRABAJAR ENGRANDECE AL SER HUMANO Y USTED
DEPENDE EL ENGRANDECERSE
El Instituto Tecnoloacutegico Superior ldquoDavid Ausubelrdquo da la bienvenida a este
su moacutedulo de CALCULO II y espera que el desarrollo del mismo aporte
para su vida profesional
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NOTA
EN ESTE TEXTO GUIacuteA SE ENCUENTRAN DESARROLLADOS LOS
TEMAS QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE
USTED DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED
LLEGARAacute A DOMINAR EL CONOCIMIENTO
1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN
NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO
COMPRENDAN MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL DOCENTE YA
SEA DE MANERA PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO
ELECTROacuteNICO Y LA PLATAFORMA
2 LAS TAREAS SERAacuteN ENVIADAS POR EL TUTOR PREVIA SU
EXPLICACIOacuteN ES OBLIGACIOacuteN DEL ESTUDIANTE ASISTIR A
CADA UNA DE LAS TUTORIAS PRESENCIALES PROGRAMAS EN
EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES
3 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO
CUANTITATIVAMENTE
4 AL FINAL EL DOCENTE EVALUARAacute EL MOacuteDULO EN SU
TOTALIDAD
5 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACIOacuteN DIRIGIRSE AL CORREO
DEL DOCENTE O DEL VICERRECTORADO ACADEacuteMICO Y SERAacute
ATENDIDO INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA
Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec
Gracias por su confianza
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1 PERFIL DE INFORMAacuteTICA MENCIOacuteN ANAacuteLISIS DE SISTEMAS
a) OBJETIVO DE FORMACIOacuteN INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Demostrar en el desempentildeo profesional de la informaacutetica un comportamiento eacutetico que
se evidencie en el intereacutes por la investigacioacuten e innovacioacuten tecnoloacutegica con
responsabilidad social espiacuteritu empresarial y compromiso con el desarrollo sostenido y
sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN INFORMAacuteTICA
Es un profesional capaz de usar herramientas y teacutecnicas para recolectar datos
analizar disentildear desarrollar e implementar nuevos sistemas que permitan automatizar
los procedimientos de las empresas con fundamentos cientiacuteficos tecnoloacutegicos
humaniacutesticos y de gestioacuten demostrando soacutelidos valores eacutetico-morales
c) COMPETENCIAS PRINCIPALES POR DESARROLLAR
Conducir el ciclo de vida de un sistema de informacioacuten que permita automatizar
el manejo de los datos mediante un sistema de computadora utilizando para
ello las diferentes herramientas informaacuteticas existentes en el medio actual
Fundamentar cambios en la estructura organizacional procedimientos poliacuteticas
y funciones de una entidad que permitan optimizar el flujo de datos e
informacioacuten aumentando con ello la productividad y competitividad y
disminuyendo los costos operativos
Administrar las acciones para realizar un correcto anaacutelisis disentildeo desarrollo y
documentacioacuten de los sistemas informaacuteticos de un centro de coacutemputo que
cubran las expectativas de la institucioacuten y del medio en que se desenvuelve
Evaluar y seleccionar hardware y software fundamentado en cuadros
comparativos teacutecnicos que permitan satisfacer los requerimientos de las
empresas y organizaciones en general
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Analizar de manera independiente e imparcial las bondades o defectos de un
sistema de informacioacuten mediante la valoracioacuten de todos los procesos que
intervienen tomando en cuenta las necesidades y el presupuesto econoacutemico
Apoyar la toma de decisiones de la gerencia utilizando meacutetodos matemaacuteticos
estadiacutesticos modelos de transporte y de investigacioacuten de operaciones
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS POR NIVELES
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Instalar operar y administrar programas utilitarios conociendo todos los
principios de la informaacutetica
Programar en lenguajes de tercera generacioacuten aplicando teacutecnicas
especializadas y con pleno conocimiento de sistemas matemaacuteticos y contables
Conocer las acciones requeridas hacia la automatizacioacuten de las empresas
mediante el anaacutelisis disentildeo desarrollo documentacioacuten e implementacioacuten de
los sistemas
Disentildear y administrar Bases de datos dominando la programacioacuten en
herramientas de cuarta generacioacuten y la programacioacuten orientada a objetos
Participar en el disentildeo de sistemas informaacuteticos interactuando con plataformas
de internet y con pleno conocimiento de la administracioacuten de las redes y sus
sistemas operativos
Administrar las actividades de un departamento de coacutemputo con la aplicacioacuten
de herramientas informaacuteticas y gerenciales incluyendo la creacioacuten de su propia
microempresa
e) ESCENARIOS DE ACTUACIOacuteN
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse en todo tipo de empresa puacuteblica o
Privada donde se requiera tratar de una manera especial a los datos y la informacioacuten
que
Se generan dentro de la entidad sea por procesos o por transacciones
middotInstituciones Bancarias
Entidades Financieras
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Empresas Comerciales
Empresas del estado
Entes de servicio a la comunidad
Instituciones de capacitacioacuten a nivel profesional universitario o intermedio
Empresas de Asesoriacutea Informaacutetica
f) OCUPACIONES PROFESIONALES
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse como
Gerente de Sistemas
Programador de computadoras
Director de grupos de trabajo
Administrador de Centros de Coacutemputo
Asistente de gerencia
Administrador de Bases de Datos
Instructor de personal en el aacuterea informaacutetica
Asesor organizacional de las empresas
Asesor en el aacuterea informaacutetica
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INTRODUCCIOacuteN
El Caacutelculo Integral es una rama de la Matemaacutetica utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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NOTA
EN ESTE TEXTO GUIacuteA SE ENCUENTRAN DESARROLLADOS LOS
TEMAS QUE CORRESPONDEN A ESTE MOacuteDULO Y LAS TAREAS QUE
USTED DEBE DESARROLLAR CON LA AYUDA DEL TUTOR USTED
LLEGARAacute A DOMINAR EL CONOCIMIENTO
1 EL ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN
NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO
COMPRENDAN MEDIANTE LA EXPLICACIOacuteN DEL DOCENTE YA
SEA DE MANERA PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO
ELECTROacuteNICO Y LA PLATAFORMA
2 LAS TAREAS SERAacuteN ENVIADAS POR EL TUTOR PREVIA SU
EXPLICACIOacuteN ES OBLIGACIOacuteN DEL ESTUDIANTE ASISTIR A
CADA UNA DE LAS TUTORIAS PRESENCIALES PROGRAMAS EN
EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES
3 TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERAacute EVALUADO
CUANTITATIVAMENTE
4 AL FINAL EL DOCENTE EVALUARAacute EL MOacuteDULO EN SU
TOTALIDAD
5 DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACIOacuteN DIRIGIRSE AL CORREO
DEL DOCENTE O DEL VICERRECTORADO ACADEacuteMICO Y SERAacute
ATENDIDO INMEDIATAMENTE EN SU CONSULTA
Vicerrectoradoacademicodavidausubeleduec
Gracias por su confianza
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
1 PERFIL DE INFORMAacuteTICA MENCIOacuteN ANAacuteLISIS DE SISTEMAS
a) OBJETIVO DE FORMACIOacuteN INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Demostrar en el desempentildeo profesional de la informaacutetica un comportamiento eacutetico que
se evidencie en el intereacutes por la investigacioacuten e innovacioacuten tecnoloacutegica con
responsabilidad social espiacuteritu empresarial y compromiso con el desarrollo sostenido y
sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN INFORMAacuteTICA
Es un profesional capaz de usar herramientas y teacutecnicas para recolectar datos
analizar disentildear desarrollar e implementar nuevos sistemas que permitan automatizar
los procedimientos de las empresas con fundamentos cientiacuteficos tecnoloacutegicos
humaniacutesticos y de gestioacuten demostrando soacutelidos valores eacutetico-morales
c) COMPETENCIAS PRINCIPALES POR DESARROLLAR
Conducir el ciclo de vida de un sistema de informacioacuten que permita automatizar
el manejo de los datos mediante un sistema de computadora utilizando para
ello las diferentes herramientas informaacuteticas existentes en el medio actual
Fundamentar cambios en la estructura organizacional procedimientos poliacuteticas
y funciones de una entidad que permitan optimizar el flujo de datos e
informacioacuten aumentando con ello la productividad y competitividad y
disminuyendo los costos operativos
Administrar las acciones para realizar un correcto anaacutelisis disentildeo desarrollo y
documentacioacuten de los sistemas informaacuteticos de un centro de coacutemputo que
cubran las expectativas de la institucioacuten y del medio en que se desenvuelve
Evaluar y seleccionar hardware y software fundamentado en cuadros
comparativos teacutecnicos que permitan satisfacer los requerimientos de las
empresas y organizaciones en general
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Analizar de manera independiente e imparcial las bondades o defectos de un
sistema de informacioacuten mediante la valoracioacuten de todos los procesos que
intervienen tomando en cuenta las necesidades y el presupuesto econoacutemico
Apoyar la toma de decisiones de la gerencia utilizando meacutetodos matemaacuteticos
estadiacutesticos modelos de transporte y de investigacioacuten de operaciones
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS POR NIVELES
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Instalar operar y administrar programas utilitarios conociendo todos los
principios de la informaacutetica
Programar en lenguajes de tercera generacioacuten aplicando teacutecnicas
especializadas y con pleno conocimiento de sistemas matemaacuteticos y contables
Conocer las acciones requeridas hacia la automatizacioacuten de las empresas
mediante el anaacutelisis disentildeo desarrollo documentacioacuten e implementacioacuten de
los sistemas
Disentildear y administrar Bases de datos dominando la programacioacuten en
herramientas de cuarta generacioacuten y la programacioacuten orientada a objetos
Participar en el disentildeo de sistemas informaacuteticos interactuando con plataformas
de internet y con pleno conocimiento de la administracioacuten de las redes y sus
sistemas operativos
Administrar las actividades de un departamento de coacutemputo con la aplicacioacuten
de herramientas informaacuteticas y gerenciales incluyendo la creacioacuten de su propia
microempresa
e) ESCENARIOS DE ACTUACIOacuteN
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse en todo tipo de empresa puacuteblica o
Privada donde se requiera tratar de una manera especial a los datos y la informacioacuten
que
Se generan dentro de la entidad sea por procesos o por transacciones
middotInstituciones Bancarias
Entidades Financieras
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Empresas Comerciales
Empresas del estado
Entes de servicio a la comunidad
Instituciones de capacitacioacuten a nivel profesional universitario o intermedio
Empresas de Asesoriacutea Informaacutetica
f) OCUPACIONES PROFESIONALES
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse como
Gerente de Sistemas
Programador de computadoras
Director de grupos de trabajo
Administrador de Centros de Coacutemputo
Asistente de gerencia
Administrador de Bases de Datos
Instructor de personal en el aacuterea informaacutetica
Asesor organizacional de las empresas
Asesor en el aacuterea informaacutetica
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INTRODUCCIOacuteN
El Caacutelculo Integral es una rama de la Matemaacutetica utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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1 PERFIL DE INFORMAacuteTICA MENCIOacuteN ANAacuteLISIS DE SISTEMAS
a) OBJETIVO DE FORMACIOacuteN INTEGRAL DEL PROFESIONAL
Demostrar en el desempentildeo profesional de la informaacutetica un comportamiento eacutetico que
se evidencie en el intereacutes por la investigacioacuten e innovacioacuten tecnoloacutegica con
responsabilidad social espiacuteritu empresarial y compromiso con el desarrollo sostenido y
sustentable del paiacutes
b) PERFIL DEL TECNOacuteLOGO EN INFORMAacuteTICA
Es un profesional capaz de usar herramientas y teacutecnicas para recolectar datos
analizar disentildear desarrollar e implementar nuevos sistemas que permitan automatizar
los procedimientos de las empresas con fundamentos cientiacuteficos tecnoloacutegicos
humaniacutesticos y de gestioacuten demostrando soacutelidos valores eacutetico-morales
c) COMPETENCIAS PRINCIPALES POR DESARROLLAR
Conducir el ciclo de vida de un sistema de informacioacuten que permita automatizar
el manejo de los datos mediante un sistema de computadora utilizando para
ello las diferentes herramientas informaacuteticas existentes en el medio actual
Fundamentar cambios en la estructura organizacional procedimientos poliacuteticas
y funciones de una entidad que permitan optimizar el flujo de datos e
informacioacuten aumentando con ello la productividad y competitividad y
disminuyendo los costos operativos
Administrar las acciones para realizar un correcto anaacutelisis disentildeo desarrollo y
documentacioacuten de los sistemas informaacuteticos de un centro de coacutemputo que
cubran las expectativas de la institucioacuten y del medio en que se desenvuelve
Evaluar y seleccionar hardware y software fundamentado en cuadros
comparativos teacutecnicos que permitan satisfacer los requerimientos de las
empresas y organizaciones en general
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Analizar de manera independiente e imparcial las bondades o defectos de un
sistema de informacioacuten mediante la valoracioacuten de todos los procesos que
intervienen tomando en cuenta las necesidades y el presupuesto econoacutemico
Apoyar la toma de decisiones de la gerencia utilizando meacutetodos matemaacuteticos
estadiacutesticos modelos de transporte y de investigacioacuten de operaciones
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS POR NIVELES
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
Instalar operar y administrar programas utilitarios conociendo todos los
principios de la informaacutetica
Programar en lenguajes de tercera generacioacuten aplicando teacutecnicas
especializadas y con pleno conocimiento de sistemas matemaacuteticos y contables
Conocer las acciones requeridas hacia la automatizacioacuten de las empresas
mediante el anaacutelisis disentildeo desarrollo documentacioacuten e implementacioacuten de
los sistemas
Disentildear y administrar Bases de datos dominando la programacioacuten en
herramientas de cuarta generacioacuten y la programacioacuten orientada a objetos
Participar en el disentildeo de sistemas informaacuteticos interactuando con plataformas
de internet y con pleno conocimiento de la administracioacuten de las redes y sus
sistemas operativos
Administrar las actividades de un departamento de coacutemputo con la aplicacioacuten
de herramientas informaacuteticas y gerenciales incluyendo la creacioacuten de su propia
microempresa
e) ESCENARIOS DE ACTUACIOacuteN
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse en todo tipo de empresa puacuteblica o
Privada donde se requiera tratar de una manera especial a los datos y la informacioacuten
que
Se generan dentro de la entidad sea por procesos o por transacciones
middotInstituciones Bancarias
Entidades Financieras
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
Empresas Comerciales
Empresas del estado
Entes de servicio a la comunidad
Instituciones de capacitacioacuten a nivel profesional universitario o intermedio
Empresas de Asesoriacutea Informaacutetica
f) OCUPACIONES PROFESIONALES
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse como
Gerente de Sistemas
Programador de computadoras
Director de grupos de trabajo
Administrador de Centros de Coacutemputo
Asistente de gerencia
Administrador de Bases de Datos
Instructor de personal en el aacuterea informaacutetica
Asesor organizacional de las empresas
Asesor en el aacuterea informaacutetica
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INTRODUCCIOacuteN
El Caacutelculo Integral es una rama de la Matemaacutetica utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Analizar de manera independiente e imparcial las bondades o defectos de un
sistema de informacioacuten mediante la valoracioacuten de todos los procesos que
intervienen tomando en cuenta las necesidades y el presupuesto econoacutemico
Apoyar la toma de decisiones de la gerencia utilizando meacutetodos matemaacuteticos
estadiacutesticos modelos de transporte y de investigacioacuten de operaciones
SISTEMATIZACIOacuteN DE LAS COMPETENCIAS POR NIVELES
d) NIVEL COMPETENCIA PRINCIPAL
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principios de la informaacutetica
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sistemas operativos
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e) ESCENARIOS DE ACTUACIOacuteN
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Privada donde se requiera tratar de una manera especial a los datos y la informacioacuten
que
Se generan dentro de la entidad sea por procesos o por transacciones
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resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Empresas Comerciales
Empresas del estado
Entes de servicio a la comunidad
Instituciones de capacitacioacuten a nivel profesional universitario o intermedio
Empresas de Asesoriacutea Informaacutetica
f) OCUPACIONES PROFESIONALES
El Tecnoacutelogo en Informaacutetica podraacute desempentildearse como
Gerente de Sistemas
Programador de computadoras
Director de grupos de trabajo
Administrador de Centros de Coacutemputo
Asistente de gerencia
Administrador de Bases de Datos
Instructor de personal en el aacuterea informaacutetica
Asesor organizacional de las empresas
Asesor en el aacuterea informaacutetica
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INTRODUCCIOacuteN
El Caacutelculo Integral es una rama de la Matemaacutetica utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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INTRODUCCIOacuteN
El Caacutelculo Integral es una rama de la Matemaacutetica utilizada para la
resolucioacuten de problemas praacutecticos que se presentan con frecuencia en la
industria comercio e inclusive en la vida cotidiana Es la parte fundamental
en el anaacutelisis matemaacutetico los interesados en incursionar en este estudio
deben tener nociones fundamentales del caacutelculo diferencial Por otro lado
es necesario que el alumno este familiarizado con el manejo de los nuacutemeros
reales
Si usted como estudiante desea aprender esta asignatura es fundamental
que le dedique el tiempo necesario todos los diacuteas para que exista una
asimilacioacuten correcta de los contenidos
La guiacutea estaacute estructurada en tres capiacutetulos que permitiraacuten una mejor
compresioacuten de los conceptos necesarios para dominar la asignatura
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Comprender y aplicar los procesos correspondientes en la
determinacioacuten de la integracioacuten de funciones
Utilizar y aplicar la integracioacuten de una funcioacuten en la resolucioacuten de
problemas praacutecticos
Entregar las herramientas necesarias de las ciencias exactas para
permitir que el estudiante llegue a un dominio en cuanto al
conocimiento de las matemaacuteticas
OBJETIVOS POR UNIDADES
Determinar la integracioacuten de funciones baacutesicas
Resolver problemas relativos al caacutelculo de aacutereas sobre o bajo
curvas
Aplicar los teoremas de la integracioacuten en la resolucioacuten de ejercicios
Integrar funciones por diferentes meacutetodos
Desarrollar habilidades de interpretar y desarrollo de los procesos
matemaacuteticos
Lograr en el alumno el desarrollo de capacidades para el manejo de
las matemaacuteticas
Abalizar en el estudiante el principio de aprendizaje su capacidad
para receptar y practicar problemas
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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ORIENTACIONES DE ESTUDIO
El triunfo o fracaso de una clase no depende solo del maestro figura
principal en el aula por lo que a usted le conviene tener presente meacutetodos
procedimientos recursos la evaluacioacuten etc elementos que nos permiten
mantener el equilibrio necesario en el proceso ensentildeanza ndash aprendizaje
evitando la rutina monotoniacutea y el cansancio de los alumnos pero de esto
se puede hablar en una clase presencial pero hablar de Usted sentildeor
estudiante el proceso es diferente se trata de una conversacioacuten didaacutectica
guiada la conversacioacuten entre Usted y Yo por lo tanto se trata de una
educacioacuten individualizada donde el protagonista principal es Usted que
tomoacute la decisioacuten de estudiar en este sistema y donde debe tener presente
las caracteriacutesticas de su decisioacuten que son
La accioacuten es importante porque tiene implicaciones para el futuro
Las acciones que tome son importantes porque tienen efectos sobre las
personas que le rodean
La decisioacuten que tomoacute por estudiar y por continuar tiene un valor elevado
para Usted aunque para otros puede ser nulo pero por satisfaccioacuten
personal estudie y cumpla con las sugerencias que se le da
Pero si generalmente deberaacute organizar su tiempo para estudiar y
presentarse a las tutoriacuteas y evaluaciones a fin de que pueda compartir la
responsabilidad de su trabajo en caso de tenerlo actualmente y el de
estudiar
Sentildeor estudiante es muy importante que comprenda que las jornadas de
tutoriacutea sirven para despejar dudas acerca de lo que usted ya ha estudiado
con la anticipacioacuten necesaria no espere que durante dichas jornadas se
ensentildee toda la materia que abarca el moacutedulo Es su responsabilidad el
llegar preparado a las tutoriacuteas
La primera evaluacioacuten semi presencial deberaacute ser entregada al final de la
segunda jornada de tutoriacutea y la segunda evaluacioacuten semi presencial al final
de la tercera jornada de tutoriacutea
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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INDICE
CAPITULO I
1 INTEGRAL INDEFINIDA
11 Definiciones y teorema
12 Integral Indefinida
13 Propiedades para integrar funciones elementales
14 Tabla de propiedades fundamentales e integrales baacutesicas
CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN
21 Integracioacuten por sustitucioacuten
22 Integracioacuten por partes
23 Integracioacuten de funciones trigonomeacutetricas
24 Autoevaluacioacuten para Capiacutetulos 1y 2
CAPITULO III
3 INTEGRAL DEFINIDA
31 Definicioacuten
32 Aacuterea
33 Aacuterea entre Curvas
34 Propiedades de la Integral Definida
35 Aacuterea de una Regioacuten en el Plano
36 Integracioacuten Directa
BIBLIOGRAFIacuteA
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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DESARROLLO DEL CONTENIDO
CAPITULO I 1 INTEGRAL INDEFINIDA 11 DEFINICIOacuteN Y TEOREMA Sea la funcioacuten f(x) la derivada de la funcioacuten F(x) entonces F(x) es la funcioacuten primitiva de f(x) Si y solamente si se cumple que
intf(x) dx = F(x)
Donde int es el siacutembolo de la operacioacuten integracioacuten se le denomina ldquointegralrdquo f(x) funcioacuten integrando d(x) ldquodiferencial de xrdquo nos indica la variable de integracioacuten F(x) funcioacuten Primitiva resultado de la operacioacuten El caacutelculo de una primitiva (integracioacuten de funciones) a partir de su derivada se lo hace a traveacutes del proceso inverso a la derivacioacuten Teorema 1 Regla de la potencia Si n es cualquier nuacutemero racional excepto -1 entonces
Kn
xdxx
nn
1
1
12 INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida es un operador lineal que nos da como resultado la obtencioacuten de una funcioacuten primitiva Siempre al final de este proceso sumamos una constante indeterminada K ya que es imposible obtener con exactitud una determinada funcioacuten primitiva Lo que se determina es una ldquofamilia de funcionesrdquo diferentes una a la otra tan solo por el valor de la constante K 13 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Sean f y g integrales indefinidas y sea c una constante Entonces
A dxxfcdxxcf )()(
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
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Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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b dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
c dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
13 TABLA DE PROPIEDADES FUNDAMENTALES E INTEGRALES BAacuteSICAS
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
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23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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CAPITULO II
2 MEacuteTODOS DE INTEGRACIOacuteN 21 INTEGRACIOacuteN POR SUSTITUCIOacuteN Meacutetodo 1 de Sustitucioacuten Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una anti derivada de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
22 INTEGRACIOacuteN POR PARTES Meacutetodo 2 de Integracioacuten por partes
dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()(
23 INTEGRACIOacuteN DE FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS Meacutetodo 3 Integraciones trigonomeacutetricas
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos Determinar las integrales de las funciones indicadas aplicando el meacutetodo correspondiente en cada caso
S o l u c i o n e s 1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
7 Solucioacuten
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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24 AUTOEVALUACIOacuteN PARA CAPIacuteTULOS 1 Y 2 Realice las integrales indicadas
dxx
xf
x
xxe
dtt
d
dxxxc
dxxxb
dxxa
2
2
2
5
5
cos
tan)
1
23)
12
5)
1)
5)
5)
dxxk
dtt
tj
dxxxi
dxxeh
dxxxg
x
2
5
csc)
ln)
1)
)
cos)
Utiliza la tabla de integrales para resolver los siguientes ejercicios
32)
1
32)
53)
169)
23)
2
2
22
2
tt
dte
dxx
xxd
dxxxc
x
dxb
dxxxa
CAPITULO III 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 DEFINICIOacuteN
Definicioacuten Sea f una funcioacuten que estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces
i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Teorema 1 Integralidad
Sea f acotada en ba y si f es continua excepto en un nuacutemero finito de puntos
entonces f es integrable en ba En particular si f es continua en todo el intervalo
ba es integrable en ba
Teorema 2 Propiedad aditiva de intervalos Si f es integrable en un intervalo que contenga los puntos a b y c entonces
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a )()()(
Teorema 3 Primer teorema fundamental del caacutelculo
Sea f continua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto (variable) en (ab)
Entonces
x
a
xfdttfdx
d)()(
Teorema 4 Linealidad de la integral definida
dxxfkdxxkfb
a
b
a )()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Teorema 5 Segundo teorema fundamental del caacutelculo
)()()( aFbFdxxfb
a
Teorema 6 Teorema del valor medio para integrales
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Si f es continua en ba existe un nuacutemero c entre a y b tal que
))(()( abcfdttfb
a
32 AacuteREA
Como se veraacute maacutes adelante para definir el aacuterea de una regioacuten en el plano cartesiano acotada por una curva el eje x y las rectas x = a y x = b se requiere hallar la suma de muchos teacuterminos para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria Sumatoria
Propiedades de la sumatoria
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AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
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Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
AacuteREA Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del aacuterea de un rectaacutengulo (producto de la base por la altura) de aquiacute se deduce que el aacuterea de un triaacutengulo rectaacutengulo es igual a un medio del producto de los catetos La trigonometriacutea facilita una foacutermula para hallar la medida de cualquier clase de triaacutengulo el aacuterea de un triaacutengulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del aacutengulo que forman dichos lados Debido a que un poliacutegono se puede descomponer en triaacutengulos la obtencioacuten de su aacuterea se consigue mediante la suma de las aacutereas de los triaacutengulos en que se ha dividido Este procedimiento de medir aacutereas soacutelo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas Para medir el aacuterea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro meacutetodo que es el que vamos a estudiar a continuacioacuten AacuteREA ARRIBA DEL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano sobre el eje x b
a
dxxfRA )()(
AacuteREA BAJO EL EJE X
Si f(x) es una curva en el plano bajo el eje x
b
a
dxxfRA )()(
33 AacuteREA ENTRE CURVAS
Considere las curvas y = f(x) y y = g(x) determinan una regioacuten entre los puntos a y b el aacuterea de la regioacuten viene dada por
b
a
dxxgxfRA )()()(
34 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
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B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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S o l u c i o n e s
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
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1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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S o l u c i o n e s
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
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Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14 evaluacutee la integral definida En los ejercicios 15 a 21 calcule la derivada Nota para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas teacutecnicas de integracioacuten por el momento soacutelo es indispensable aprender la integracioacuten directa y la integracioacuten por sustitucioacuten
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En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
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Meacutexico
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
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d xdx3ln
e senxdxx2
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demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
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31)
2)
1332)
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2
2
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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
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Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
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7
37
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d xdx3ln
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
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2
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En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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Pearson Prentice Hall Ecuador
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Meacutexico
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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SEMIPRESENCIAL
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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35 AacuteREA DE UNA REGIOacuteN EN EL PLANO
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14 encuentre el aacuterea de la regioacuten limitada por las curvas dadas En cada problema haga lo siguiente (a) trace una figura que muestre la regioacuten asiacute como un elemento rectangular de aacuterea (b) exprese el aacuterea de la regioacuten como el liacutemite de una suma de Riemann (c) determine el liacutemite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del caacutelculo
S o l u c i o n e s
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De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
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c dxex x2
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e senxdxx2
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
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b
dx
x
x
23
4
7
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Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
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2
2
3
2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
36 INTEGRACIOacuteN DIRECTA
De cada regla de derivacioacuten se puede deducir una regla correspondiente de
integracioacuten La integracioacuten directa es aplicable cuando identificamos la funcioacuten primitiva de forma inmediata esto es cuando conocemos la regla de derivacioacuten que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcioacuten primitiva Ejemplo
TABLA DE INTEGRALES
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
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B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
Pearson Prentice Hall Ecuador
GRANVILLE SMITH LONGLEY 1974 Caacutelculo Diferencial e Integral Uteha
Meacutexico
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
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B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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BIBLIOBRAFIacuteA
PURCELL VARBERG RIGDON 2003 Caacutelculo Diferencial e Integral
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La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 1 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde a los capiacutetulos uno y dos
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A Cualquier funcioacuten puede ser integrada sea o no continua ( )
B Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si Dx F(x) =
f(x) en I esto es si Facute(x) = f(x) para todo x en I ( )
C
Sea g una funcioacuten derivable y suponga que F es una antiderivada
de f Entonces u = g(x)
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(
( )
D Integracioacuten por partes dxxuxvxvxuxvxu )()()()()()( ( )
E La integracioacuten es igual que la diferenciacioacuten ( )
F La integracioacuten nos sirve para estimar el aacuterea de figuras
curvas ( )
2 Responda marcando con una X sobre el literal de la respuesta
correcta
A La integral de 3x2
( ) x3
( ) 2x+1
( ) 2x
B La integral de ex es
( ) ex
( ) -ex
( ) 1
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
d xdx3ln
e senxdxx2
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SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
C La funcioacuten 14)( 3 xxxf es
( ) continua en todo su dominio
( ) Poco continua
( ) Casi continua
D La funcioacuten 4
3)(
x
xxf es continua en todo su dominio excepto
( ) -4
( ) x
( ) 4v
3 Resuelva los siguientes ejercicios
A Determinar la integral de las siguientes funciones
a dxxxx )42( 3
b
dx
x
x
14
32
c dxx3
d
dx
x
x
)9(
)9(2
e
dx
xx
x
56
122
B Integrar las siguientes funciones
a xdxx ln( 3
b
dx
x
x
23
4
7
37
c dxex x2
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La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR ldquoDAVID AUSUBELrdquo
SEMIPRESENCIAL
VICERRECTORADO ACADEacuteMICO
nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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EVALUACIOacuteN SEMI PRESENCIAL 2 RECOMENDACIONES
La evaluacioacuten corresponde al capiacutetulo tres
Lea detenidamente las preguntas antes de contestarlas
Si no recuerda la respuesta de una pregunta saacuteltela y conteste las
demaacutes preguntas no pierda el tiempo en una sola pregunta
1 Escriba la letra V o F dentro del pareacutentesis seguacuten sean verdaderos
o falsos los siguientes enunciados
A
Sea f una funcioacuten que no estaacute definida en el intervalo cerrado ba
Entonces i
b
a
i
n
iPxxfdxxf
)(lim)(10
( )
B
Sea f discontinua en el intervalo cerrado ba y sea x un punto
(variable) en (ab) Entonces x
a
xfdttfdx
d)()(
( )
C Las aacutereas que se encuentran sobre el eje x siempre son negativas ( )
D En la integral definida es necesario que la funcioacuten sea
continua entre los liacutemites de integracioacuten ( )
E El teorema del valor medio dice que Si f es continua en ba existe un ( )
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
2
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SEMIPRESENCIAL
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nuacutemero c entre a y b tal que ))(()( abcfdttfb
a
F El aacuterea entre curvas siempre es positiva ( )
G Para encontrar el aacuterea entre curvas es necesario encontrar los
puntos donde las curvas se cortan
( )
H La principal aplicacioacuten de la integral definida es el caacutelculo de aacutereas y
voluacutemenes de cuadrilaacuteteros
( )
2 Calcule el aacuterea bajo sobre o entre las siguientes curvas
xyxye
xyxyd
xxxxyc
xxxxyb
xxxxya
31)
2)
1332)
212)
211)
2
2
3
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