graf presentasi
Post on 16-Apr-2017
198 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Pewarnaan Titik(simpul)
TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Rukmono Budi Utomo30115301
March 7, 2016
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Pewarnaan Graf
1 Pewarnaan Titik(simpul)
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Definisi 1Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Definisi 1Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Definisi 1Pewarnaan Titik
Misalkan G graf tanpa lup dan sisi ganda dan memiliki k titik.Pewarnaan titik pada graf G adalah memberikan warna berbedakepada titik-titik di graf G tersebut dengan tujuan setiap dua titikyang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Secara mudah, graf G dengan k titik dapat diwarnai sajadengan k warna yang berbeda
Figure: Graf G dengan 4 titik di atas diwarnai dengan 4 warna berbeda
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yangdiperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?
Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai denganhanya 2 warna berbeda saja
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Persoalannya adalah berapa banyak warna minimal yangdiperlukan untuk mewarnai sebuah graf sederhana?
Figure: Graf G 4 titik seperti contoh di awal dapat diwarnai denganhanya 2 warna berbeda saja
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titikpada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dandinotasikan dengan χ(G )
Contoh 1
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bilangan Kromatik
Jumlah warna minimum yang digunakan untuk mewarnai titik-titikpada suatu graf G disebut bilangan kromatik dari graf G dandinotasikan dengan χ(G )
Contoh 1
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 2
Figure: Bilangan kromatik graf G di atas χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema1
Jika ada sebuah pewarnaan k pada graf G , maka χ(G ) ≤ k
Bukti
Jika terdapat pewarnaan k pada graf G , maka semua titikpada graf G tersebut dapat diwarnai dengan k warna
Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknyawarna yang digunakan untuk mewarnai semua titik pada grafG , sedemikian sehingga syarat pewarnaan titik terpenuhi,maka terbukti χ(G ) ≤ k
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 3
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = 3 < 7 = k
Contoh 4
Figure: Bilangan kromatik graf G , χ(G ) = k = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )
Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 2
Jika H merupakan graf bagian dari graf G , maka χ(H) ≤ χ(G )
Bukti
Misalkan H merupakn graf bagian dari graf G , makaV (H) ⊆ V (G ) dan E (H) ⊆ E (G )Karena setiap pewarnaan titik di graf H dapat diperluas kesebuah pewarnaan titik di graf G, maka χ(H) ≤ χ(G )
Contoh 5
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G denganχ(H) = 2 ≤ χ(G ) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 6
Figure: Graf H adalah graf bagian dari graf G dengan χ(H) = χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 3
Jika G1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G , maka
χ (G ) = max {χ (Gi ) |1 ≤ i ≤ k }
Bukti
Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k ditulis denganG1,G2, ...,Gk adalah komponen-komponen graf G yangmemiliki bilangan kromatik maksimum, katakan t
Berdasarkan hal tersebut t warna yang digunakan untukmewarnai semua titik di Gi , dapat digunakan untuk mewarnaisemua titik di G pada komponen selain Gi , dengan demikiandiperoleh sebuah pewarnaan t pada G
karena χ(G ) ≤ t, dan karena Gi adalah graf bagian dari Gserta χ(Gi ) = t, maka χ(G ) ≥ χ(Gi ) = t
Dengan mengingat bahwa χ(G ) ≤ t, maka χ(G ) = t
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 7
Figure: Graf G dengan komponen-komponennya G1,G2 dan G3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n
BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n
BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.
contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 4
Jika G adalah graf komplit dengan n titik, maka χ(G ) = n
BuktiKarena pada graf komplit setiap dua titik berhubungan langsung,sesuai dengan definisi pewarnaan titik maka semua titik harusdiwarnai dengan warna yang berbeda.contoh 8
Figure: Graf komplit G dengan 4 titik memiliki bilangan kromatikχ(G ) = 4
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1
BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1
BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.
Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 5
Jika G adalah graf kosong, maka χ(G ) = 1
BuktiKarena graf kosong hanya terdiri dari titik-titik dan tidak ada sisiyang menghubungkan dua titik, dengan demikian setiap titik dapatmemiliki warna yang sama.Contoh9
Figure: Graf kosong G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 6
Diberikan graf tak kosong G . Graf G bipartisi jika dan hanya jikaχ(G ) = 2
Bukti→ Jika G graf bipartisi, maka χ(G ) = 2
karena G graf bipartisi maka G dapat dibagi menjadi duahimpunan, katakan X dan Y
Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X . Hal inidiperbolehkan karena tiap titik di X tidak saling berhubungan.
Dengan alasan yang sama, kita dapat mewarnai semua titik diY dengan warna 2
Dengan demikian hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnaigraf bipartit tersebut G, sehingga terbukti χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 10
Figure: Graf bipartisi G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Bukti← Jika graf G memiliki bilangan kromatik χ(G ) = 2 maka graftersebut adalah bipartisi
Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna 1 diletakkandalam himpunan X dan semua titik yang diwarnai denganwarna 2 diletakkan dalam himpunan Y .
Hal ini menandakan titik-titik yang terletak dalam himpunanX tidak mungkin saling berhubungan (karena memiliki warnasama), begitu juga untuk titik- titik yang terletak dalamhimpunan Y
Titik-titik yang terletak dalam himpunan X dan titik-titikyang teletak dalam himpunan Y pastilah berhubungan agarterbentuk suatu graf, dengan demikian graf yang terbentukadalah bipartisi.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 11
Figure: Suatu graf dengan bilangan kromatik χ(G ) = 2 dan graf tersebutbipartisi
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 7
Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka
χ (Cn) =
{2, n = genap3, n = ganjil
Bukti
Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik, maka panjang sikelCn adalah n.
Jika n genap, maka Cn adalah graf bipartisi. Berdasarkanteorema 6 bilangan kromatik Cn adalah 2.
Jika n ganjil maka Cn bukan graf bipartisi, dengan demikianCn bukan graph kosong dan χ(Cn) ≥ 3
misalkan titik-titik dari graf Cn dituliskan sebagai v1, v2, ..., vn
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n − 2, warnai titik vi denganwarna 1.
Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n − 1, warnai titik vi denganwarna 2, dan terakhir warnai titik vn dengan warna 3.
Dengan demikian diperoleh sebuah pewarnaan 3 pada graf Cn,sehingga berdasarkan definisi bilangan kromatik, χ(Cn) ≤ 3
Karena χ(Cn) ≥ 3 danχ(Cn) ≤ 3, maka χ(Cn) = 3
Dengan demikian untuk Cn adalah sikel dengan n titik makauntuk n genap χ(Cn) = 2 dan untuk n ganjil , χ(Cn) = 3
Terbukti
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Contoh 12
Figure: graf C6 memiliki χ(C6) = 2 dan graf C5 memiliki χ(C5) = 3
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
Teorema 8
Jika G graf sederhana dengan derajat maksimum ∆(G ), makaχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
Bukti Bukti akan dilakukan dengan Induksi
Misalkan G graph sederhana dengan n titik, maka |V (G )| = n
Untuk |V (G )| = 1 maka G = K1 atau graf kosong, sehinggaχ(G ) = 1 dan ∆(G ) = 0. Akibatnyaχ(G ) = 1 ≤ 0 + 1 = ∆(G ) + 1. Dengan demikian pernyataanbenar untuk n = 1
Diasumsikan pernyataan benar untuk graf G dengan|V (G )| = n − 1, untuk n > 1 dan misalkan dalampembahasan ini G graf sederhana dengan |V (G )| = n
Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v tersebutsehingga terbentuk graph baru yakni Gv dengan n − 1 titik.
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1yang memberi arti bahwa semua titik di graph G − v dapatdiwarnai dengan ∆(G − v) + 1 warna.
Karena titik v dihapus pada graf G maka∆(G − v) ≤ ∆(G )
Dari ∆(G − v) ≤ ∆(G )) terdapat 2 kasus,yaitu :
1 ∆(G − v) = ∆(G )
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 , menandakan semua titik diG − v dapat diwarnai dengan ∆(G ) + 1 warna sedemikianhingga syarat pewarnaan terpenuhi
Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnaiNG(v di G − v sebanyak banyaknya ∆(G ), padahalpewarnaan ∆(G ) + 1 di graf G − v , maka terdapat palingsedikit satu warna di G − v yang tidak muncul pada NG(v diG , sehingga warna tersebut dapat digunakan untuk mewarnaititik v di G . diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
Pewarnaan Titik(simpul)
lanjutan
Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperolehχ(G ) ≤ ∆(G ) + 1
1 ∆(G − v) < ∆(G )
Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G − v) + 1
Karena χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 dan χ(G − v) < ∆(G ), makaχ(G − v) < ∆(G ) + 1 atau χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1 (karenabilangan kromatik dari graph G − v adalah bilangan bulat).Artinya ada pewarnaan ∆(G ) pada graph G − v
Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warnayang muncul di graf G − v sehingga diperoleh pewarnaan∆(G ) + 1 pada graf G .
Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G − v) ≤ ∆(G ) + 1
Rukmono Budi Utomo30115301 TEORI GRAFPEWARNAAN GRAF
top related