ganitha chandrikaganitha chandrika vol : 16, issue : 1 ,y:201 papers and articles for publication...
Post on 07-Aug-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1 ,Y:201
Papers and Articles for publication are to be sent to
Dr.P.SATYANARAYANA SARMA, Chief Editor, Ganitha Chandrika,
Sri Surya Bhavan, D.No.42-2/1-46, D.R.W.A - 92, Devinagar, 1st line, Vijayawada-3 e-mail : prakhyasns@gmail.com,
ganithachandrika@gmail.com Ph:9290130568
Teachers, Students and all lovers of mathematics are welcome to join the Association.
The membership details are as follows: Life:Rs.500/- (Individual) Rs.600/- (Institutions)
All Members of A.I.M.Ed., are entitled to receive a free copy of the Quarterly Magazine
GANITHA CHANDRIKA All Cheques, Drafts and M.O.s are to be drawn in favour of
“Treasurer. A.I.M.Ed.” and send to Treasurer. A.I.M.Ed., 30-22/1-16,
Murthy Veedhi, Back side of Vijaya Talkies, Vijayawada
�.500/- (వ���గతం�) �.600/- (సంస� పరం�) పం�న �� ��త
స��� అ���. ��� �ఠ�ల� స���� �ర�ం�. A.I.M
��త స��� ���క ప�క గ�త చం�క� ఉ�తం� �ందగల�.
రచనల�, సం��ల� ప�� సం�ద�ల� పంపం�. సభ�త� చం��
��, ���, మ��ర�� �పం� “Treasurer. A.I.M.Ed.” ��
��వ ����� పంపగల�.
“Treasurer” అ���ష� ఫ� ఇం��ం� అ� ��� ఎ���ష�,
D.No.30-22/1-16, ��� ��, �జయ ��� ��క ���,
�జయ�డ -520002. Ph : 9246416781
32
�ఠ�ల� �జ���
,Y:2015 Ganitha Chandrika
Teachers, Students and all lovers of mathematics are welcome
All Members of A.I.M.Ed., are entitled to receive a free copy
All Cheques, Drafts and M.O.s are to be drawn in favour of
ide of Vijaya Talkies, Vijayawada-2
పం�న �� ��త
M.Ed,
. తమ
సభ�త� చం��
���
GANITHA CHANDRIKAe-mail : ganithachandrika@gmail.com
Volume 16 Issue : 1 ( Jan
�షయ��క
1. ��గ�త ����త� మన �.�.
2. ��త�� - గ�త�
3. గ�త�ం� ��
4. అం�� – సంఖ��
5. సర�ం గ�త మయం
6. గ�తం� ఆట – �ట
7. సభ� – స����
8. M.SET 2014 – బ�మ� ���త�వం
1
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
GANITHA CHANDRIKA ganithachandrika@gmail.com
– Mar ) Year : 2015
�షయ��క
… 2
… 4
… 9
… 10
… 17
… 18
… 19
బ�మ� ���త�వం … 30
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
�ఖ �� కధనం:
��గ�త ����త� మన �.�.
���� జగ��హన�� (�.�) కృ�� ��� �ప��� �మం�
�.05-07-1933 న జ��ం��. �జయ�డ య�.ఆ�.ఆ�.క��ల� ��
��� �� ఎ�ఐ� ఉ��గం� ���. ��� �� � �రం�ం�
�ప�ం�ం� � పద� �రమణ ���. మ�� �ం� వ�� ‘����
ప�క, ఆం����, �భ �ర ప�కల� క�త�, ����, ���
ర�ం���. ��శ�� �� ��� ��త� రచన� ���. �మం�
గ�త అధ�యనం, గ�త రచనల �� ఆక���ల���.
�ల�ం �ం� �స��� చ�� అల�� �� ��� ఆం�
ల�� క��ల, ఉ���� ��వ���, ఆం� ��వ�����
గ�త �ం��, ప�కల అధ�య��� �� ��ం�. అవ�శం ఉన�
�స��ల� స�తం� �� చ����. ��� 60 సంవత��ల ��
��న ఈ వ�వ�యం ఆయన ఇం�� ఒక �ం�లయం�, సందర��య
స�లం� ���ం�. ��� 8ల�ల ���ల ���న �ం� �ల�
�ం�న �ం�ల� �సంపన�ం ఆయన ��సం.
గ�త చం�క, �మచం��రం �ం� ��వ� గ�త ���
ప�కల� సం�దక �ధ�త� �ర���ం��. ఎ�� గ�త సద��ల�
������. మన ��ం� �జయ�డ �థ��క� ���, అ���ష�
ఫ� ఇం�� �ం� ఆ� ��� ఎ���ష�, ���జ� �థ����
అ�డ� సంస�ల� ���లకం� ప� ���. ఎ�� గ��ం��
�ఖ�ం� సం���దం, సంఖ�ల ధ��ల � ��ష�న కృ� �� అ�క
సంస�ల�, సంద��ల� �రవ ఉప����, ���ల� చర�� ���
జర��� � ��ద� రచ�తల ���� ��తం� ప���ం� ��� ఏ��
��� ���� ఆ అం�ల ��ం� ��� సం��ం�� జ��
��ల� సవ�ంప ����. �� సం�దకత�ం ��న ప�కల� �
2
Y:2015 Ganitha Chandrika
��� �ప��� �మం�
�ల� ��
��� �� � �రం�ం�
����’
���
�మం�
�� అల�� �� ��� ఆం�
� అ�క
న����
త��ల ��
సందర��య
ల�ల ���ల ���న �ం� �ల�
�మచం��రం �ం� ��వ� గ�త ���
ఎ�� గ�త సద��ల�
అ���ష�
����
ఎ�� గ��ం��
సంఖ�ల ధ��ల � ��ష�న కృ� �� అ�క
���ల� చర�� ���.
జర��� � ��ద� రచ�తల ���� ��తం� ప���ం� ��� ఏ��
��� ���� ఆ అం�ల ��ం� ��� సం��ం�� జ�� ఆ
��
��ం�న�� ప� మం� �ం� అత�� అ�నం���
ప��దల � మ�ంత �ం�� �గ���డ���
�మ� �� శ�ంతల (Ex M
President) �M.S.R.�� ��� ప��ల ఆవశ�కత ��� �వ�ం��
��త�న �����ల� అ�నందన� ��య ���
ఈ సంవత�రం �ం� సంస� ���కం� �క�ం�న �
��� ��రక అ���ల� గ�తం� ��ష కృ� స��న
అ�వృ��� �రంతరం ��ప��న�
�Ch.V.నర�ం���, �P.��శ�ర శర�
��� ఘనం� స���ం��.
31
GANITHA CHANDRIKA EDITORIAL BOARD
Honorary Editors
Prof. P.V.Arunachalam,
Prof. Bh.Satyanarayana
Editorial Board
R.Sridhar
B.B.Rama Sarma
Dr. K. Rama Krishna
K.Venkata Suryanarayana
Kumari P.Sri Vidya
Chief Editor
Dr.P.Satyanarayana Sarma
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
మం� �ం� అత�� అ�నం���, ఇం� ఎ��వ
ప��దల � మ�ంత �ం�� �గ���డ���.
Mayor), �K.��క�, (Former
�� ��� ప��ల ఆవశ�కత ��� �వ�ం��.
��త�న �����ల� అ�నందన� ��య ���.
సంస� ���కం� �క�ం�న � M.V.S.��
��� ��రక అ���ల� గ�తం� ��ష కృ� స��న, A.I.M.Ed సంస�
అ�వృ��� �రంతరం ��ప��న� �K.��క�, �P.S.N.��,
��శ�ర శర�, �M.S.R.��ల� ��నం
GANITHA CHANDRIKA EDITORIAL BOARD
Honorary Editors
Prof. P.V.Arunachalam, Prof. R.C.Gupta
Prof. Bh.Satyanarayana Dr.D.S.N.Sastry
ial Board
K.Venkata Suryanarayana
Chief Editor
Sarma Cell: 9290130568
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015 Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
M.SET 2014 – బ�మ� ���త�వం
Association for Improvement of Maths Education
ఆధ�ర�ం� �ర��ం�న గ�త ��� ప�� M.SET.2014 ��తల�
బ�మ� ���త�వం �.01-03-2015 ఆ��రం �జయ�డ,
�ం�నగ� S.K.P.V.V.H. ��� �ంగణం� ఉదయం 10గం.ల�
�ర��ం��. సభ� సంస� అధ��� �M.S.R.�� అధ��త వ�ం��.
సంస� ��క�� �Ch.V.నర�ం��� ����� తమ ���
M.V.S.����� ����� �రం�ం�న A.I.M.Ed.సంస� అ�వృ�� �ం�న
�ధం �వ�ం��. �G.��శ�రం తమ క��న� ���క� ఈ సంవత�రం
13410 మం� ������ 10 ���ల �ం� ప��� �జ��ర�, అం�
������ �ధమ ��నం 8మం�, ���య ��నం 13 మం�, తృ�య
��నం 20 మం� ��ం�ర� ����. �����ల� ���ం��
��య���. ప�� �ర�హణ� తన� సహక�ం�న �రంద��
కృతజ�త� ��య ���.
�P.��శ�ర శర� (Former General Secretary) త� 13
సంవత��� �ర�ద��� ప� ��న �లం� సంస�� ప� ����
���న�, గ�త ప�� తన హ���� �రం�ం�న�, ఈ�� ఇంత
అ�వృ�� �ం�నం�� తన� �ల సం�షం� �ంద� అ���. గ�తం
� త� ��న కృ� �వ�ం��.
�M.��� ��� (Life Skills Trainer) మనం �� �� ప��
���క �ం�ల�, అ��� �జయం ��ంచగలమ� �����ల� ప�
�చన����.
Dr.అ�ధ� R.K.(Psychiatrist) ����� ������ తమ
����� ఒక ����� ����ం���ల�, �� �ధన� ప��దల� కృ�
��న��� మం� ఫ���� �ందగ���ర� అ���. ����� �జయం
30
రచనల �షయం� �� ప��� ��. స�యం� 9 గ�త �ం�ల�
ర�ం��.
జగ��హన�� ��� అ�� ��ల ��� ����
సహక�ం�న �� సహధర���� �మ� �ల ��ం�� వ�� గ�త
��ల� �దరం� ����. ���� �మకృష�, రమణ ��, ర�
��� � �� తం� �ం�ల��� అ�వృ�� ప�� ఆ�చన� ఉ���.
ఆయన ఎం� ����� ��ం���న� ‘అమ�’ ��ల సం��
��ణ ���� �క �ం� ‘అమ�’ వద�� �� �.11-01-2015న
������. �� ���� � ���.
�.20-02-2015న A.I.M.Ed. ����� జగ��హన�� సంస�రణ
సభ �ర��ం�ం�. ఈ సందర�ం� �� ��� అ�బం���, ఆయన
గ�త కృ�� స��� ���������. �� �����న ���
అ����:
. ఆయన� �క�� ఆ��ణం. చ���� ��� ఆ��కం� స�యం
����. వ���ల �ద వ���గత �మ ����. ��ద� సం���త�
�.ఆ�.క�క� �� ఇం�� ��� ��� బస���.
. గ�తం �ర� ���న మ��. ఆత� తృ�� �ర� రచన ����.
. గ�త� ��స�, ��స���ం�న ఒక అ��ప ���. ఆయనక�
వృ�� ��, �వృ��. మన మధ�� ఉన� ‘���’ వం���. మం� సం��ర
���. అంద� ఆద�ంచద�న� గ�తం అ� ���ం�న ‘�� గ�త
���త�’. ఆద��� పం� అ��ప వ���� ����ం.
3
ఉ����� ���� �స��� చ���� తమ వృ��� ��యం
�యగ����. �ఠ��ంథం �� �ఠం ���నంత ��న ఉత�మ
ఉ����� ���. �న� ���� �ష��� �����ల� అంద���.
- ���� జగ��హన ��
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
��త�� - గ�త�
(గ�తం - క�త�ం అ� అంశం� �ం���� మ�� ��� ఆ� ఎ���ష�
�ర��ం�న �సంగసద��� సమ��ం�న ప� సం�హం
- �క�� ��� �ంబ�వ��
����, �����గం
ఆం� ��� క��ల, �జయ�డ
�� : 9849265025
�డ��� �ం� ��న�ం�, ఒక��� మ�క� �సగ�
ప����� క��ం� అం�� గ�తం, క�త�ం. ఈ �ం��� సమన�యం
ఏ�ట�� ��రణం� చర�� �� అంశం. అర�ం �� అంశం ��
ఇం� ����� ఇదం� ����� ��పన అ����ం�. ఎం�కం�
��రణ అర�ం� ���ం� ��త�ం �� క�త�ం అ�� �ష�
సంబం�ం�న అంశం. ��� ఊహ�, �స�వ సంఘటన�, కల�న�
��ప�క� రచన / క�త�ం ���ం�. గ�తం �ష����� ఏ�
��� అం��, సంఖ��, ���ం��, ��పణ�, ����� క�����
ఇదం� �హ� ప��లన. ఈ �ణం� ఈ �ం� ���ల� లం� ఏ�
ఉండద� అ����ం�. ��, ���� అంత: ప��లన �� ��� ఈ �ం�
���� ఒక��� మ�క� �స�ష��న అంతర�త సంబంధం క��
ఉ��య�� ����ం�. ��న పద� ��త�ం �ం� �� ���
��� వం� వచన క�� ��త�ం వర� అ�క ��య�� ఈ �షయం
స�ష�మ��ం�.
గ�తం� �ష� ��న�త ఉండద� �దన అ����� అత�ంత
��రణం� �����ం�. �ఠ�ల �ం� �శ����లయ ��� వర�
4
Y:2015 Ganitha Chandrika
ఎ���ష�
�ర��ం�న �సంగసద��� సమ��ం�న ప� సం�హం)
��,
�����గం,
�జయ�డ
9849265025
ఒక��� మ�క� �సగ�
ఈ �ం��� సమన�యం
అర�ం �� అంశం ��.
ఎం�కం�
��రణ అర�ం� ���ం� ��త�ం �� క�త�ం అ�� �ష�
కల�న�
��� ఏ�
����� క�����.
ఈ �ణం� ఈ �ం� ���ల� లం� ఏ�
ప��లన �� ��� ఈ �ం�
త సంబంధం క��
��న పద� ��త�ం �ం� �� ���,
��� వం� వచన క�� ��త�ం వర� అ�క ��య�� ఈ �షయం
గ�తం� �ష� ��న�త ఉండద� �దన అ����� అత�ంత
శ����లయ ��� వర�
• 01-03-2015 న ���క �� ��� మం�రం �ఠ�ల� సంస�ృత
�ర� ��� కృ�� జనపద సంస�ృత స��ళన� జ��ం�
��వ� ��� క�� ������� ��న �ర�య గ�తం
�ష�� అం�� �ర��ం��. �ర�య సంఖ��
ఆర�భట� గ�తం, ���స ���జ�,
�హ�, ����న ��� �����, �చ�ం
న��� �ద��ం��. �మ� �ం���
ఆ�శ��, �జయ�డ; � �న����ల �మ�ం�శ�ర ��
���య రచయత �దర�న� �రం�ం��
ఆ�ంతం ���. �ర�య గ�త అం�ల పట� ��హలం ���
�����ల కృ�� అ�నం�ం��.
* J.M.J. College for women, Tenali
Department of Mathematics of the college organized a national seminar on ‘Ancient Indian Mathematicians and their works’ on 19-02-2015 in association with Andhra Pradesh Society for Mathematical Sciences. Prof.N.Bhaskara Reddy, Retd. S.V.University delivered a power point presentation on the life and works of Srinivasa Ramanujan. Dr.Prakhya Satyanarayana Sarma, explained the works of Bhaskaracharya with special reference to Leelavathi. Dr.Maheswari, Padmavathi Mahila University and Dr.Bhavanaari Satyanarayana, Acharya Nagarjuna University attended the conference on behalf of APSMS. Staff of the college specially honored Dr. Maheswari on the eve of the occasion.
29 Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
న ���క �� ��� మం�రం �ఠ�ల� సంస�ృత
�ర� ��� కృ�� జనపద సంస�ృత స��ళన� జ��ం�. అం��
��వ� ��� క�� ������� ��న �ర�య గ�తం–సంస�ృత
�ర�య సంఖ��, �ళ����,
, �ర���, ��న��, టవ� ఆ�
�చ�ం, న�� ఏ� ���క �ద�న
�ం��� కృష� ���, ��ష� ��క��,
� �న����ల �మ�ం�శ�ర ��, ��ఖ
�రం�ం��. ��� 500 మం� �దర�న
�ర�య గ�త అం�ల పట� ��హలం ���.
lege for women, Tenali
of the college organized a national
Prof.N.Bhaskara Reddy, Retd. S.V.University delivered a power point presentation on the life and works of Srinivasa Ramanujan. Dr.Prakhya Satyanarayana Sarma, explained the works of Bhaskaracharya with special reference to Leelavathi.
wari, Padmavathi Mahila University and Dr.Bhavanaari Satyanarayana, Acharya Nagarjuna University attended the conference on behalf of APSMS. Staff of the college specially honored Dr. Maheswari on the eve of the
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
క��ం�ల� ���ం� ���జ�, �స������ ��త ���ల�
����. గ�త �ంస�ృ�క ��వ� �గం� �.D.S.N.�� రచన
“������” ��క� ������� �ద��ం��. ��� � ���ం�న
��� ��ం�ల� బ�క�ం��.
• 02-1-2015 న �ం���� B.Ed.క��ల� “గ�తం–��త�ం
అ� అంశం� సద�� జ��ం�.
�ర����� క��ల �����
�.�.పద��ల� అధ��త వ�ం��.
�ఖ�అ��� ����న ��ఖ ���త�
ఆం� ల�� క��ల ��� ����ప� �.��� �ంబ�వ��
పద� రచన� గ�తం �క� ��ఖ�త� �వ��� ��న �సంగం
ఆ��ల� అల�ం�ం�. �ఖ�వక�� �.�.�మకృష� S.R.S.V.
క��ల ��� అ��ప�� పవ� ��ం� ��ం�ష� ��� �తన
�ద��� ఆ�� వర� క�ల రచనల� ఊతం� ���న గ����
�స���ర�, ���� మల�న� �ం� ��తరం ��� సత���యణ
శర� వర� �� గ�త రచనల� �రణ� ���న ������ �వ���
����� అ���, అం�� �ం� ��� అ� ��ం��.
�ర��మం� క��ల అ��ప��, ��ధ క��లల అ��ప��
������� ������.
• 20-02-2015 న నగర ��ప�ం� ప� �ఠ�ల� 8 మ�� 9 తరగ�
�����ల� గ�తం మ�� ��� ���ం�ల� ��� � ��వ� ���
క�� �ర��ం�ం�. య�.�.య�.నగ�, సత���యణ �రం, �ండప��
�మవర���, పటమట, ���ధర�రం, కృష�లంక, వ� �� � �ం�న
�ఠ�లల ������ 96 మం� ������. ��కం� �ర��ం�న ఈ
��� � ���ం�న 20 మం�� �.ఎ�. ������� బ�మ��
అంద���.
28
Y:2015 Ganitha Chandrika
�స������ ��త ���ల�
���ం�న
��త�ం”
��� �ంబ�వ��
పద� రచన� గ�తం �క� ��ఖ�త� �వ��� ��న �సంగం
. B.Ed.
క��ల ��� అ��ప�� పవ� ��ం� ��ం�ష� ��� �తన
�ద��� ఆ�� వర� క�ల రచనల� ఊతం� ���న గ����
���� మల�న� �ం� ��తరం ��� సత���యణ
� ���న ������ �వ���,
. ఈ
��ధ క��లల అ��ప��
తరగ�
గ�తం మ�� ��� ���ం�ల� ��� � ��వ� ���
�ండప��,
వ� �� � �ం�న
��కం� �ర��ం�న ఈ
������� బ�మ��
తరగ��� ఎవ�న గ�త అ��ప�� �ష ��ం� �����
�క��� ����న� ����� ప����� �� ������
�ం��� ఏం� �� ?' అం� స��
�షయప���నం ���� ���� �ట
�ష అవసరం �ద��ం� మన �క�ల �స���� ఉన� సమస�ల�� అర�ం
��� అ���. ఆ��క ��� ��నం �����ల ���� అ��ణ�న
�ష ��ల� ���ం�. ఈ ��రం ��� సర���రణం� అంద�
కష�ం� ��ం� గ���� అ� ���న �ష� ������ అర�మ�� �ష
ఉప��ం� �ధన ���. �బ��, గ���� �ష అవసరం తప�� స�
అ� �ధప��ం�.
�ం� అంశం� గ�తం� వ�� �ం��క ప�� ���
���ం�ం. ఆవర�న�, ప�వర�న�,
��ల��. ఇ� ఏ �ం��క ప��� ����� అం�� గ��ంశం
క�� ��ంశం �క� ��న�త ఎ��వ� క����ం�
అన� �ట లంబ�, �ణ� అ� ప�� ��ం� �� ప�� ���
అర��పం వ��ం�. 90 ��� అ� అర�ం ��లం� లంబం అ� పదం
�డక తప��. �� ��� ఉ��� �బ�� ��జ� అ���
��జ� అ� పదం ��ం� మ�క� ఊ�ంచగల�
�� �షయం అ��ం�. �బ��, �ం��క ప�ల �షయం� అ�
గ�త�� �ష ఆ�రం �క�� అ�వృ�� ��ంచ�
��న గ�త ���త�ల రచన� ప��లన ��� గ����
ఉన� అంతర�త సంబంధం అత�ంత స�ష�ం� క����ం�
�స������, ఆర�భట� త�త�లంద� తమ గ�త�� ప��ధన��
5
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
తరగ��� ఎవ�న గ�త అ��ప�� �ష ��ం� �����, ���న�
�క��� ����న� ����� ప����� �� ������ ��� �
స��� ���� �����. ఇ�
�షయప���నం ���� ���� �ట. ఎం�� ���ం. గ����
మన �క�ల �స���� ఉన� సమస�ల�� అర�ం
ఆ��క ��� ��నం �����ల ���� అ��ణ�న
�రం ��� సర���రణం� అంద�
కష�ం� ��ం� గ���� అ� ���న �ష� ������ అర�మ�� �ష
గ���� �ష అవసరం తప�� స�
�ం� అంశం� గ�తం� వ�� �ం��క ప�� ���
, లంబ �ణ�, ��జ�, ప��,
ఇ� ఏ �ం��క ప��� ����� అం�� గ��ంశం
క�� ��ంశం �క� ��న�త ఎ��వ� క����ం�. లంబ�ణ�
�ణ� అ� ప�� ��ం� �� ప�� ���
అర�ం ��లం� లంబం అ� పదం
�� ��� ఉ��� �బ�� ��జ� అ���. ఇక�డ
��జ� అ� పదం ��ం� మ�క� ఊ�ంచగల�? అ�ధ�ం.. అర�ం
�ం��క ప�ల �షయం� అ�
గ�త�� �ష ఆ�రం �క�� అ�వృ�� ��ంచ�ద�� �స�ష�ం.
��న గ�త ���త�ల రచన� ప��లన ��� గ����, �ష�
ఉన� అంతర�త సంబంధం అత�ంత స�ష�ం� క����ం�. ������
ఆర�భట� త�త�లంద� తమ గ�త�� ప��ధన��
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015 Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
సంస�ృత�ష ఉప��ం�, �ంథస�ం ���. �ష ��ం� ����
గ��త�కం� �� తమ ప��ధ�ం�ల� �వ�ం� ఉం� ఈ ����
�� రచన� ����త��� ������. �వలం సంస�ృతమ� ��..
�చ�, ���త� �షల�� గ���� ���ద��� ఉం��. మ��� ఓ
��� పద�ం ���ం.
�ధతల�న �హ�ం� సప��ంశ / మష��లం� శయన
గృ�ంతర�న / జనగ �బ� ��ం� �లక�ల / గృహ క�త
గణ��ంత మ�త ���!
ఆం� ��వ��� ఈ పద�ం �డం�. �త�ం ����� ఏ�
వం� �డ �ద ఉ��యట. అష��లం అం� ఎ�� �� పడక గ��
ఉ��యట. ���న 56 ���� వల� ������యట. అ�� �త�ం
���� ఎ�� అ�� సమస�. ��� గ��త�కం� ఓ స�కరణం�
�యడం క�� ఇం�� ���� ఉ���, పడకగ�� ���
ఉ��యం� �ప�డం వల� ������ �క� ��ల� ఉ��హం
క���ం�. ���లం� �ల�ల� ఆస��. ���� ������ ఇ��,
పడకగ�, వల... అ�� మన ��� ఉన� �ష�� క�. ఇం�� కష�ం
ఏ�ంద� �వం �ల���� క���ం�. ��క� �క� �����. అం�
������ గ�తం అం� ఏ� కష��న �షయం అ� భయం కలగ�ం� మన
��� ఉన��.. .మన� ���న� అ� �వం క��ం� ��� గ�త
సమస�ల �ధన పట� ఉ����ల� �యడం� �ష ��న�న ��
����ం�.
ఇక, ��� ������ మ��య�న�న అవ�నరంగం�
గ�త�� ��వం ఎ� ఉన�� ప�����ం. అవ�నం అన�� ఏ�
6
* S.P.M.H.College of Education, Machilipatnam
Mathematics methodology students of the college conducted Maths day celebrations on 22nd Dec. The program was organized under the guidance of maths lecturer Smt K.Anuradha. Principal Dr.V.V.Sailaja and Chief Guest Dr.D.S.N.Sastry gave valuable messages on the importance of the day. Students actively participated and won prizes in the competitions Maths Quiz and Word Puzzle. Further they gave short communications on famous personalities in the field of maths, rendered songs of mathematical importance.
* �ల �ల గ�త ���ల - ��వ� ��� క��
�ం���� �.ఇ� క��ల�� ��వ� ��� క�� ఆధ�ర�ం�
�రం�ం�న ‘�ల �ల గ�త ���ల’ �ర��మం� �గం�
• 22-12-2014 న ���జ� జన��న ��కల� �ర��ం��. ఈ
�ర��మం� �గం� “���జ� మ�� �స���ర� ��త చ��,
గ�త �స� ం� �� కృ�” అ� అంశం� �ం���� �ంగణం�� Inter,
Degree, B.Ed., P.G �����ల� ��� �ర��ం��. ���న� ���
�ద� ��� ����� ���న ��� �న�� � ���న�, �.ఇ�.�
�ం�న Ch.�ర�, G.ఉ��� �ద� ��నం, �� �ద� సంవత����
�ం�న A.�� �జ, Ch.��మ �ండవ ��నం� ����.
U.�త����గత నృత�ం� , గ�త సంబంధ�న �ర�� �తం�
స� �ర����� �రం�ం��. �స���ర�, ���జ� ��తం-కృ�
అం�ల� ������� �.��త, �.ల� �సన�, �.����, ఎ�.���
ల� �సం�� ���. �ర����� అధ��త వ�ం�న యం.ద���
గ�తం ��తం� �గమ�, అ�� ���ల� గ�తం� అ�బంధం ఉంద�
����. అ��ప�� �.అజ� ���, �.య�.�ష�, �.ర�, �.�ఖ�
సత���యణ శర� �����ల� గ�తం పట� మ��వ� ఉ�����
27
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015 Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
ప�త�ం�న ���జ� ����� �� తరం ఆదర�ం� ����ల���.
అనంతరం ������ ���� ���� , న��! ఏ� � ��క వం�
అం�� ����ం��. క��ల అ��ప�� �క�� �.�మకృష� '��వ�
గ�తం' అ� అంశం� పవ� ��ం� ��ం�ష� �య�, �.�.ఎ� .
నర�ం��� ���జ� �వన ����, �� �ం� ������
అం�����న ����� �వ�ం��. క��ల గ�త అ��ప��� ఆ�ళ�
�ర�కనక�ర� �ర����� సమన�యప���.
* ���స ���జ� ��హం ఆ�ష�రణ, ���ళం ���:
��య గ�త ��త���� �రస��ం��� ���ళం ���,
క�� మండలం ��� ప�ష� ఉన�త �ఠ�ల� �.22-12-2014న
���జ� జయం� ఉత��� ఘనం� జ���. ఈ �ర��మం�
�గం� గ�త అవ�� M.��ప��� �ఠ�ల �ంగణం�
���జ� ����� ఆ�ష��ం��. ఈ ����� B.���మ ���,
��ంత �� ఆ��ప�� బ�క�ం��. ఆ సభ� ప��� వక��
���స ���జ� ��తం. గ�తం � �సం�ం��. ���స
���జ� �����పన ఉ������, �ఫ���� �శం�ం��.
* సం�ం� సంబరం – ఉ���య స��రం
��త�ం �ర��ం�న సం�ం� సంబ��� �గం� ��జక
వర� ��� ఉత�మ ఉ���య అ���� ���ళం కం�� మండ���
�ం�న M.��ప��� అం�����. ఆ అ���� మండల ���� �ంట�
��క� �.13-01-15న ఇ���రం ��జక వర� �సన స��� �ం�లం
అ�� బ�క�ం��. ��ప� �� గ�త అ��ప��� ����ం� గ�త
అ��వ�న ��య� అవ��� ��న �వల� ప��� �����.
MPDO, MRO, MEO, MPP, ���ం�, ZPTC స��� �జర���.
26
ప���, �రణ�... అం� ��త� ����� అ����ం�. ��,
అవ��� గ�త�� ప���నం తప��స�. ��ం� ����� పడక తప��.
అస� ఛంద�� ���� గ�తమయం. ��స�స�ర ��� ఆ �ష���
ఇక�డ స�వరం� ����ంచడం ��. ��� దత�ప��, సమస�ల
�షయం� పృచ��� అవ��� ఇబ�ం����ల� సంకల�ం� ���
గ��త�క�న సమస�� ఇ��న సంద��� ఉ���. ��� మ��� ఒక
సమస� ���ం.
సమస�: ����� ఒక� �య �య�� ప��. ��� అవ�� ఇ��న
�రణ ఆయన గ�త�జ�� �క���ం�.
ఆ �రణ ఏ�టం�..
అ�� �క�� ���ద
��� పల� బలప� ��త వ���
ఇ��గ �మ�నం�ల�
����� ఒక� �య �య�� ప��
ఎంత� మ�జ��న �ర� ఇ�. అవ��� �మ� అం��,
�ం� సం���నం ��యక�� ఈ �రణ ఎ� అ����ం� ఈ
పద�ం చ��క. ఇ�ం�� మ� దత�ప�. ఆ�, ��, ఏ�, వంద అ�
ప�ల� �ర�ర�ం ����.
������� వర�� బడ���
�ర� �రవ�న� ���ంక
ఏ��� �� �ప� ఎస��ంక
వంద��� కృ��ం� �రతం�న
7
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
ఇ�, ప��ల� ��. ఆ��క ��త���య�న ���
��� �� గ��త�కం� ����. �� �ద���ణ ��న�
గ��త�కం� ఉం�ం�.
�ష గ���� ��� అ� �స�ం�హం� �ప�వ��. �ష ���
గ�త �� అ�వృ�� �ం�ప��. �వలం గ�తమ� ��.. ఏ ����
���న�� ���� అ�వృ��� �ష ఎం� అవసరం. ఎంత� ���త�
అ�� �� క��న� ���ం�ల�, ఆ�ష�రణల� స����
అం�ం�లం� అత�� తప��స�� �� �మర��ం ఉం� ���. �దం�
�� క��న� �ష�ల� తన మన��� స�� ����న ప����
ఏర���ం�.
గ���� �ష ��� అవసరం. �క�� గ�తం ప��ర�
���నం� అవత�ం� అవ�శం �ద� �స�ం�హం� �ప�వ��. ���న
ఫ��� అంద�� అం�లం� �ష ఎం� అవసరం. �బ��,
���న���� చ��� అం�� ప��ర�త ��ం�లం� ��
ప���నం� �� ���� అ�� ���రత అవసరం. ������
��� ఉ����� ఈ �ష��� తప��స�� ���ం��. ����ం�
ఉ���య ��ణ �ం��న� �రంద� �ష �షయం� మ��ంత
�ద� ���ం� ఉత�మ గ�త ఉ������ ��ంచ��� �ల��ం�
8
�.�. రచన�: ��� ���; గ�త �����- కధ�, �ధ�;
Master Book of Mathematics Quiz; Mathematics Quiz Master; Dictionary of Mathematical Numbers; Fascinating Triangular Numbers–Their History & Mystery; Numbers – Personalities, Patterns, Properties; Sensations in Mathematics- Believe it or Not; Rare, Simple & Recreational mathematical Formulae.
.
Y:2015 Ganitha Chandrika
య�న ���,
�� �ద���ణ ��న�
�ష ���
ఏ ����,
ఎంత� ���త�
ఆ�ష�రణల� స����
�దం�
�� క��న� �ష�ల� తన మన��� స�� ����న ప����
ప��ర�
���న
, ఎ��
���న���� చ��� అం�� ప��ర�త ��ం�లం� ��
������,
����ం�
ష �షయం� మ��ంత
�ద� ���ం� ఉత�మ గ�త ఉ������ ��ంచ��� �ల��ం�.
* � ���మ��శ�ర ���ర� మ�� క��ల
���ర� మ�� క��ల � ��ంబ�
ఆధ�ర�ం� ���జ� జయం� ఘనం�
�.ఎ�. �శ����లయం గ�త ఆ���� �
ఆ�ష��ం�న ���� ����, ��� ��� ���ం�� �వ�ం��
అ�� �. ��� సత���యణశర� ����� ���జ� ��న
�స���, ���ం�ల� ���జ� ఇ�����
��వ���ల� ��� ప��ధన జ���ంద���
��న సంఖ�� 4 x 4 ���� చదరం గళ�� �ం� ����� నృత�
�పకం� �ద��ం��. ���జ� ��తం�� ��ధ ���ల�
������ ఒక ��క � �ద��ం��.
* ఎ� .ఆ� .ఎ� .� �ఈ� క��ల,
��య గ�త�� ��త�వం
సందర�ం�
�ం�నగ�
�ఈ� క��ల� �ర����
�ర��ం��
�ం� గం�ధ�
����� �.ఎ.���స���, �ఈ� క��ల �����
�.�� .�ంబ�వ�� ���జ� ��ప��� �ల�ల� ��
���ల��ం��. అనంతరం గం�ధ�
��శ��� ���జ� ���ప�కం వం� �డ� �����
అవ���, త�నంత ���జ� ఉన�ప��� �� తరం ���
అం�����వడం� �ఫలం అ����ర� ఆ�దన �ం��
�క��� �� అంద� ప������� గ�త�� ప��ధనల �సం
25
&
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
� ���మ��శ�ర ���ర� మ�� క��ల : �జయ�డ
���ర� మ�� క��ల � ��ంబ� 22న గ�త �� ��గం
ఆధ�ర�ం� ���జ� జయం� ఘనం� �ర��ం��. �ఖ� అ��
�శ����లయం గ�త ఆ���� �.వసం� ��� ���జ�
��� ���ం�� �వ�ం��. �రవ
��� సత���యణశర� ����� ���జ� ��న
జ� ఇ������, అ����� ఇ����
��� ప��ధన జ���ంద���. అనంతరం ������
���� చదరం గళ�� �ం� ����� నృత�
���జ� ��తం�� ��ధ ���ల�
, �జయ�డ
��య గ�త�� ��త�వం
సందర�ం� 22.12.2014 న
�ం�నగ� �� ఎ� .ఆ� .ఎ� .�
�ఈ� క��ల� �ర����
�ర��ం��. క��ల �ర�ద��
�ం� గం�ధ� , �ఈ� క��ల
�ఈ� క��ల �����
��ప��� �ల�ల� ��
����� �ర�య ���ల
���ప�కం వం� �డ� �����.
�జ� ఉన�ప��� �� తరం ���
అం�����వడం� �ఫలం అ����ర� ఆ�దన �ం��. క�స
�క��� �� అంద� ప������� గ�త�� ప��ధనల �సం
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
* NMAT- 3వ ��య గ�త సద��, నం��ల:
నం��ల గ�త ఉ���య సంఘం ఆ�� ఆ��� మ�� �
క��ల� ��ంబ� 20,21,22న 3వ ��య గ�త సద���
�ర��ం�ం�. సద��� మ����� �� గ�త ప��ధక �ఖ
అధ��� � ��క� అ�ర��, �ద��� �ం�య �శ����లయ గ�త
ఆ���� ��స� �.కణ��, ��డ �శ����లయ �ధమ ఉప�లప�
��.�.అ��చలం, ��ంక�శ�ర �శ����లయ గ�త ఆ����
��స�ర ���� ���� గ�త చ��, ప��ధన�, ��ఖ�తల�
��ం� �����ల� ����.
సద��� ��� 20మం� ఉ����� మ�� ������
ప� సమర�ణ ���. అనంతరం A.M.T.I ��ం� ��� ���హ�� �
సం�నం ఆధ�ర�ం� గ�త ��� �ర��ంపబ�ం�. ��తల� �శం�
ప��ల� �� గ�త ���క� అంద���.
IMO ���� త�� �యబ�, న�నత సృజ�త�క� �
��య స���ల� ఉత�మ�న� ఎం�క �� M.R.Govinda Reddi
Gold Medal Contest� ��త �ల� ఇం��� ��యం �ఠ�ల
క��� ����� � �గ హ�� (10వ తరగ�) 3��ల బం�� ప����
���ం��.
22న ���స ���జ� జన��నం సందర�ం� నం��
క��� యం� 6 �ం� 10 తరగ�ల �����ల� �ర��ం�న ���
��ల� ���ం�న ��� బ�మ�� అంద���.
ఈ �ర���ల� క��ల వ�వ��పక �ర�� ���� �ష�ప�,
కర��ం�ం� � ���నం ���, క��ల ������� ��.��క�
NAMT క��న� � M.R.��ంద���, �P.J.����, �P.�ంకట �బ�య�
�నర�ం��, �షఫ��ల�, � �మ��� మ�� ఇతర స���,
ఉ����� ������.
24 Y:2015 Ganitha Chandrika
నం��ల గ�త ఉ���య సంఘం ఆ�� ఆ��� మ�� ���
వ ��య గ�త సద���
�� గ�త ప��ధక �ఖ
�ద��� �ం�య �శ����లయ గ�త
�డ �శ����లయ �ధమ ఉప�లప�
��ంక�శ�ర �శ����లయ గ�త ఆ����
��ఖ�తల�
� ఉ����� మ�� ������
��ం� ��� ���హ�� �
��తల� �శం�
న�నత సృజ�త�క� ��
Govinda Reddi
� ��త �ల� ఇం��� ��యం �ఠ�ల,
��ల బం�� ప����
న ���స ���జ� జన��నం సందర�ం� నం��ల,
��ల� �ర��ం�న ���
,
��క�,
�ంకట �బ�య�,
గ�త�ం� ��
�ద� ������ �����
గ�త �స� ం ��� ఆ�� ప��
గ�తం ��� ఏ�� ఉం�� ����
క��న�వ� క��� �� ���
అం�� గ�త మం� భ��� పక�న ���
అ� � �ద�� ప�� ���
��� ���� ���న క�క��
గ�తం � వశమ��ట��.
అ�� రం���� ఆదర���,
అంద� మన�� �ల����
ఎ�� పత�ల� ప��,
మన గ�త�స� ం ���లంద� అన���
అ��ం��� ఉం� �� ఇ����ం�
అం�� గ�త �స� � అంత ��
9
�.�.� �.�.�మశర� సమ��ం�న పద� ��మం
గ�త� �� �పంచ�
మ� గ�తం� �� �త�మం� �����
గ�త� �� ��స
మ� గ�తం� ���� ��స� �జ�
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
�ం� ��
K.Lakshmi Tulasi,
B.Ed(Maths) Student
KGPR.A.N.R. B.Ed College,
Gudiwada.
��� ఆ�� ప��
గ�తం ��� ఏ�� ఉం�� ����?
క��న�వ� క��� �� ���.
అం�� గ�త మం� భ��� పక�న ���
���� ���న క�క��
���లంద� అన���
అ��ం��� ఉం� �� ఇ����ం�
� అంత ��
�మశర� సమ��ం�న పద� ��మం
�� �పంచ�
మ� గ�తం� �� �త�మం� �����
మ� గ�తం� ���� ��స� �జ�.
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
అం�� – సంఖ��
�క�� �. �మకృష�
�క�ర�, ఎ�.ఆ�.ఎ�.�. ��� అ� ఎ���ష�
�ం�నగ�, �జయ�డ
��: 9032044115
��న �� �నయ�� ఆ� ‘అ�� స��� ఏ�� ��డ��
అ� అ��� ��ం�� స�న స��న� �వ��. ��, ���జ�
ఏ�� ��డం� -ఒక� ��� కథ� �న��ం� – ����� ఎవ��
స� అ�న స��నం �ప���.
���జ� అం�ల� ��న అ�క�న �ర�ల� ఒక ���
న���� అర�ం అ� ��� �ప���� �య�����. �ంద���
9, 16, 25 36, �ద�న సంఖ�ల� కథ �ద� �డ��. ఏ ఉన�త
�ఠ�ల ����� అ�� స� ఈ సంఖ�ల� ��� ఇ�� ప�గట� గల�
��� వర� సంఖ�� (square numbers) అం�ం. ఎం�కం� ఇ� 1, 2, 3,
4,5,6, �ద�న సంఖ�ల� వ��క�ంచ� (అం�, ఒక సంఖ�� �� ��
��ంచటం) వ��న సంఖ�� క�క. ��� ��� సంద��ల� చదర�
సంఖ�� అ� �� అనటం క��. ఈ వర� సంఖ�ల� ఉన� ���కత ఏ��
�న� ఉ�హరణ ��� �వ����. �� ��న �ర� సంఖ� (integer)
���ం�. ఈ �ర� సంఖ�� ��� వర� సంఖ�ల �త�ం� ����
ఉ�: 10 = 1 + 1 + 4 + 4. మ�క ఉ�: 30 = 1 + 4 + 9 + 16.
�.శ.1770 � ��� �శ� గ�త ���త� ��� ��
ల�ం� ఒక ���ం������ ���: �� ధన �ర� సంఖ� (positive
integer) తనంత ��� ఒక వర� సంఖ� అ�� అ� ఉం��,
�ం� ��, �� ��, ��� �� వర� సంఖ�ల �త�మ�� అ�
ఉం��. ఎ�� ప����ల�� ��� వ��ల �త�ం 2 2 2 2x y z t
�ం� అవసరం ఉండ�.
10 Y:2015 Ganitha Chandrika
�మకృష�,
��� అ� ఎ���ష�,
�జయ�డ-3.
9032044115
స��� ఏ�� ��డ��?’
���జ�
����� ఎవ��
���
�ంద��� 1, 4,
ఏ ఉన�త
�ఠ�ల ����� అ�� స� ఈ సంఖ�ల� ��� ఇ�� ప�గట� గల�.
1, 2, 3,
ఒక సంఖ�� �� ��
��� ��� సంద��ల� చదర�
ఈ వర� సంఖ�ల� ఉన� ���కత ఏ��
integer) �
ఈ �ర� సంఖ�� ��� వర� సంఖ�ల �త�ం� ����.
� ��� �శ� గ�త ���త� ��� ��
positive
, ��
��� �� వర� సంఖ�ల �త�మ�� అ� 2 2 2 2x y z t
* K.G.P.R- ANR College of Education
Mathematics club of K.G.P.Rorganized “Ganitha Varotsavalu” on the eve of centenary of Bhaskaracharya and 127Srinivasa Ramanujan. As a part of torganized on 19th Dec 2014. In the morning session a
“Bhaskaracharya’s Leelavathi” was given by the chief guest
Dr.P.Satyanarayana Sarma, Lecture
Guests of honor Dr.D.S.N.Sastry –
of Education and Sri T.S.V.S.Suryanaraya
Asst. of maths, Mukteswaram addressed the students on the
contributions of Mathematicians.
ANR College of edn delivered a speech on ‘The Importance of
Mathematics’. Dr. Shakila Jetty, Principal invited the guests on
to the dias and briefed the program. In the afternoon session, as
a part of ‘Ganitha Sowrabham’ Ganitha Avadhani Sri TSVS
Suryanarayana Murthy performed Ganitha Astavadhanam.
Students and Staff got inspiration from that ‘Prakriya’. A
mathematics quiz was conducted for the teams con
both B.Ed and D.Ed students. Prizes were given to the winn
R.Rakesh team won the 1st Prize and K.Lakshmi
received the 2nd Prize. The program was concluded with the
vote of thanks by K.Lakshmi Tulasi
23 Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
College of Education, Gudiwada
K.G.P.R-ANR college of education organized “Ganitha Varotsavalu” on the eve of 9th Birth centenary of Bhaskaracharya and 127th Birth Anniversary of Srinivasa Ramanujan. As a part of this, ‘Ganithotsav’ was
powerpoint presentation on
“Bhaskaracharya’s Leelavathi” was given by the chief guest
Dr.P.Satyanarayana Sarma, Lecturer, M.M.College of edn.
– Rtd Principal, A.J.College
of Education and Sri T.S.V.S.Suryanarayana Murthy, School
aram addressed the students on the
Sri K.S.Apparao, Treasurer,
delivered a speech on ‘The Importance of
Principal invited the guests on
to the dias and briefed the program. In the afternoon session, as
a part of ‘Ganitha Sowrabham’ Ganitha Avadhani Sri TSVS
rmed Ganitha Astavadhanam.
Students and Staff got inspiration from that ‘Prakriya’. A
uiz was conducted for the teams consisting of
both B.Ed and D.Ed students. Prizes were given to the winners.
Prize and K.Lakshmi Tulasi team
Prize. The program was concluded with the
vote of thanks by K.Lakshmi Tulasi, student representative.
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015 Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
Prof P.V.Arunachalam, Former Vice-Chancellor Dravidian University, Kuppam delivered a key note address. He said that any university can achieve either national or international reputation through its qualitative research only. This inaugural session was presided over by the esteemed Vice-Chancellor of the University, Prof K.E.Devanathan. He told that Vedas are treasury of sciences and the University puts a constant effort in extracting various sciences from Vedas. A documentary film on Srinivasa Ramanujan was shown. The following nine resource persons enlightened the participants with their valuable and informative talks. 1. Prof.RamaSubramanyam, IIT Mumbai “Bhaskara Works” 2. Prof.K.T.V.Ayyangar, Retd., NIT Warangal - “Indian
Mathematical Heritage and Contributions of Bhaskara” 3. Prof.P.V.Arunachalam, Former V.C - “Jyottpatti of
Bhaskara” 4. Prof.K.Srinivasa Rao, senior professor, National Institute of
Ramanujan-“Bhaskaracharya Diophantine Equation” 5. Prof.B.Satya Narayana, ANU, “Bijaganita of Bhaskara” 6. Dr.P.Satyanarayana Sarma, Montessori college of
Education, “Understanding Lilavati-An attempt” 7. Dr.Sadasiva Murthy, Associate Professor, R.S.V.P-
“Glossary of Goladhyaya of Siddhanta Siromani” 8. Dr.Rajagopala Rao, the chief ONGC - “Zero and Infinity in
Bhaskaracharya works” 9. Dr.C.Ranganathan, Associate Professor, R.S.V.P.- “Poetic
style in Lilavati of Bhaskara” Prof.R.K.Thakur, Dept of Jyotish, Dean academic affairs, R.S.Vidyapeeth was the chief guest of the valedictory function. He gave a brief treatise on Siddhanta Siromani. Dr.C.V.Sulochana, convener read out the conference report. The conference was concluded with vote of thanks by Dr M Rama Krishnanjaneyulu, Asst Registrar, Academic affairs of S.V.Vedic University, Tirupati.
22
ల�ం� ��� ��న ��ం � ఉన� 2 2 2 2x y z t వం� గ�త
���� వర� �పం (quadratic form) అం��. ఈ వర� ��ల
స��వం అర�ం అ�న �ంబ�, ధన �ర� సంఖ�ల� అ�వ��ంచ���
ఇ�వం� వర� �పం ఇ�క��� �క ఇం� ఉ��� అ� అ��నం
�� వ��ం�. �వటం అం� వ��ం� �� ఈ సమస�� ప���రం ఉం�
�� ఒక�న�ర శ���ల వర� ఎవ��� ��య��.
ఇంత�, 1916 �, ���స ���జ� “ఇ�క�� ��.
ఇ�వం� వర� ��� �త�ం 53 ఉ���” అ� �� ��� ��
ఇ����! ఉ�హరణ� �� సంఖ�� ఒక వర�, �ం�ంతల వర�, ��ంతల
వర�, ���ంతల వ��ల �త�ం 2 2 2 21. 2. 3. 4.x y z t � �యవచ����
ఆయన. ��హలం� �త�త �� ��ల� ఈ 53 ��� ఈ
��వ ప��క� ��డ��. ఈ ప��క� ��న ��ం 2 2 2 2. . . .a x b y c z d t అ��ం� ఇం�� a, b, c, d ల ��వ� ఎ�
ఉం�� వ�స� ��ం��.
[1,1,1,2], [1,1,1,3], [1,1,1,4], [1,1,1,5], [1,1,1,6], [1,1,1,7],
[1,1,2,3], [1,1,2,3], [1,1,2,4], [1,1,2,5], [1,1,2,6], [1,1,2,7],
[1,1,2,8], [1,1,2,9], [1,1,2,10], [1,1,2,11], [1,1,2,12], [1,1,2,13],
[1,1,2,14], [1,1,3,3], [1,1,3,4], [1,1,3,5], [1,1,3,6], [1,2,2,2],
[1,2,2,3], [1,2,2,4], [1,2,2,5], [1,2,2,6], [1,2,2,7], [1,2,3,3],
[1,2,3,4], [1,2,3,5], [1,2,3,6], [1,2,3,7], [1,2,3,8], [1,2,3,9],
[1,2,3,10], [1,2,4,4], [1,2,4,5], [1,2,4,6], [1,2,4,7], [1,2,4,8],
[1,2,4,9], [1,2,4,10], [1,2,4,11], [1,2,4,12], [1,2,4,13],
[1,2,4,14], [1,2,5,6], [1,2,5,7], [1,2,5,8], [1,2,5,9], [1,2,5,10].
���జ� ��ం�న ఫ�తం అవ�హన ��� గ�త�ల�
మ�క సమస� ఎ��ం�. మన �ధ� మ�క వర� �పం ���ం�ంద�
అ��ం�ం.
11
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
ఈ వర� �పం త��, ఒ�� ఎ� �ల�టం? అం� ఆ ����
ఉప��ం� �ర� సంఖ�ల���� �యగల� �� ఎ� �ల�టం?
సంఖ�� అనంతం క�క ఇ� ���ం�కం� �ర��ంచ వల�న� తప�
���క పద��� ప�� ��.
ఈ �శ� అప�ష�ృతం� �న� �న�� వర� ఉం�
��ం�. అ���� ��� ట� ��వ���� ఉన�
మం�� �ర�వ, �� ��వ���� ఉన� �నథ�
�� � � కల� �న ���న జ�ల సమస�� అ� ���న
స��నం ఉంద� ��� ���. �ర�వ త�
��ం�న ప������ ��� ���ం�ల �పం�, ��ంబ� 2005
���జ� జన�స�ల�న �ంభ�ణం�, �� �శ����లయం� జ��న
అంత���య స��శం� ���ల ఎదట ���ం� స��ల� ఆశ�ర�
చ��ల� ��ట�!
�ర�వ �ల�ం �ం� గ�తం� ఉ��హం ���� వ��ట�
ఇత� 2001 � ��� ట� � �. ��. �. �� ��ల� �ద� ���న
ప� ��� అ��ం� �ంభ�ణం� చ��న ప��ధన ప�ం ఆ ���
�ద క��న �డ. ���ల �ం� ఈ �డ ఎ� ��ం� ఒక నఖ ��ం�
� �ం� �����.
మ�� మనం చ��� �ం�ం �న�� ����. �ర��� 1801
మ� ��� ��� ��� �� ��న ప�� ఆ�రం� ���� వర�
��ల �ద ప��ధన �ద� ����, మన �ర�వ. �� ప� ��న వర�
��� ax2+bxy+cy
2��� ఉం��. ఇ�వం� �ం� వర� ��ల�
���� ��� సం�ంచటం �ద ��� సం� ��ల� (composition
laws) �వ�ం�� ��. సం�ంచటం అం� కలపటం �ం� ఒక ���
�� కలపడం ��. �� �వ�ం�న సం� ��� algebriac number
theory అ� ఒక �త� �ంత� �ర�ద�� అ���.
12
Y:2015 Ganitha Chandrika
అం� ఆ ����
? �ర�
సంఖ�� అనంతం క�క ఇ� ���ం�కం� �ర��ంచ వల�న� తప�
ష�ృతం� �న� �న�� వర� ఉం�
ట� ��వ���� ఉన�
�� ��వ���� ఉన� �నథ�
� � కల� �న ���న జ�ల సమస�� అ� ���న
�ర�వ త�
2005 �,
�� �శ����లయం� జ��న
అంత���య స��శం� ���ల ఎదట ���ం� స��ల� ఆశ�ర�
�ర�వ �ల�ం �ం� గ�తం� ఉ��హం ���� వ��ట�.
�� ��ల� �ద� ���న
ప� ��� అ��ం� �ంభ�ణం� చ��న ప��ధన ప�ం ఆ ���
���ల �ం� ఈ �డ ఎ� ��ం� ఒక నఖ ��ం�
1801 �
మ� ��� ��� ��� �� ��న ప�� ఆ�రం� ���� వర�
�� ప� ��న వర�
ఇ�వం� �ం� వర� ��ల�
composition
సం�ంచటం అం� కలపటం �ం� ఒక ���
algebriac number
* ��� ��� ��ణ సంస�, �బచర�
��� ��� ��ణ సంస�
ప��మ ��వ� ��� నం�
���జ� జయం� సందర�ం�
��ంబ�
��త��� �ర��ం��
������ల�, ����� ఉ����ల� �ధ�పకర�ల �దర�న
�ర��ం��. ��య���త� �.�.య�
ఎ.�.��� అ� ఎ���ష� వ�వహ�ం��
���జ� గ���� ��న �వల� �వ�ం��
�పంచం � �వ�ర అ�, ఎం� �నవత�� ��వ� క��న వ��� అ�
����. �దర�న � ��తల� స�ంతం� ���న �స��ల�
బ�క�ం��. క��ల ����� �మ� �
������ �� ��� స���ం��. ఈ గ�త ��త��� అ��ప��
ఎ.�.�.���, య�.ఆ�.��హ�ణ�ం,
�.య�.పద�జ, �మ� �ర��� మ�� ����� �య�� �
�.ర�� ��, �.�మకృష� �ర�హణ � జ���
* National Conference – S.V.V.University The Dept of Mathematics of S.V.Vedic University organized a national conference on MAstronomy of Bhaskara II on 18th This conference was inaugurated on 18Prof GSR Krishnamurthy, Head , Dept of Sahitya, academic coordinator, R.S.V.P, Tirupati. In his inaugural address he stressed upon the importance of Mathematics and contributions of Bhaskara II to the field of mathematics and astronomy.
21
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
�బచర�
��� ��� ��ణ సంస�, �బచర�
ప��మ ��వ� ��� నం�
���జ� జయం� సందర�ం�
��ంబ� 17 �ం� 22 వర� గ�త
��త��� �ర��ం��. ��
����� ఉ����ల� �ధ�పకర�ల �దర�న
య�.య�.��, ���� �����,
��� అ� ఎ���ష� వ�వహ�ం��. అనంతరం సభ� �.��
���జ� గ���� ��న �వల� �వ�ం��. ���జ� గ�త
ఎం� �నవత�� ��వ� క��న వ��� అ�
�దర�న � ��తల� స�ంతం� ���న �స��ల�
క��ల ����� �మ� �.చం�కళ ఇతర అ��ప��
ఈ గ�త ��త��� అ��ప��
, �.శర� ��, �మ�
�మ� �ర��� మ�� ����� �య�� �.చ�త,
�మకృష� �ర�హణ � జ���.
S.V.V.University
he Dept of Mathematics of S.V.Vedic University Tirupati organized a national conference on Mathematics and
- 19th Dec, 2014. This conference was inaugurated on 18th by the chief guest
Prof GSR Krishnamurthy, Head , Dept of Sahitya, academic , Tirupati. In his inaugural address he
stressed upon the importance of Mathematics and contributions of Bhaskara II to the field of mathematics and astronomy.
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
* � ��� ��� సంస�� – �యక���ట
��ఖ ��� �యక�� �ట� � ��� ���సంస�ల అ�బంధ సంస�
���� �� క��ల� �.15-12-14న �స���ర� 900వ జయం�
ఉత��ల� �ఖ� అ���� �.�.య�.య�.��, �.
సత���యణ శర� ������.
��� 60మం� గ�త ����ల చ��, ప�ల� �దర�న
ఏ��ట�ం�. �స���ర� �� ప��� ���ంజ�� �రంభ�న
సభ� �.��� సత���యణ శర� ��వ� గ�తం – ఒక అవ�హన
అ� అంశం � Power Point Presentation ఇ���. త�ప� �
య�.య�.��, Mathematical Misnomers � ���రణం�
�సం�ం��.
అనంతరం �����ల� Maths Power point Presentation
Quiz ల� Competitions �ర��ం��. ���ం�న �����ల�
�డ�� , ��� స������ � ��ం� స��శం� బ�క�ం��
���� �� క��ల, � �ంక�శ�ర ��� ఆ� ఎ���ష� అ��ప��
������. �ర� ���� సంస�ల ��ం� ��ట� ���.�జయ
���, ����� �.�.���, గ�త ��గ అ�ప� �. ���
����� త�తర గ�త అ��ప�� పర���ం��.
20
Y:2015 Ganitha Chandrika
��ఖ ��� �యక�� �ట� � ��� ���సంస�ల అ�బంధ సంస�
వ జయం�
.���
ప�ల� �దర�న
�స���ర� �� ప��� ���ంజ�� �రంభ�న
ఒక అవ�హన
త�ప� �. �.
రణం�
Maths Power point Presentation,
���ం�న �����ల�
��� స������ � ��ం� స��శం� బ�క�ం��.
�ష� అ��ప��
�జయ
���.�.
��� ట� � ����� దశ��
��ల� మ� పద��ం�� క������
�� ��� ఈ ��� ఎ� ఉద��ం�� �డ ���� స�
�����. ఈ ప� ఫ�తం� �ర�వ� ప�� ఇవ�ట� ��ం�
��త ���� ఆ�ర� పద� (full professor
��� ట�. ఇంత� �ర�వ ��ం��� �ప�� �� క�
ఉప��ం� �ర� సంఖ�ల���� వ��ంచగలం
�ద�� ��ంచటం �ద� ���ం�. ఈ రకం వర� ��ల� �శ�జ�న
(�� �ర��క) వర� ��� (universal quadratic forms)
గత శ�బ�� �ద� ���� ���జ�
వం� ��ల� దృ�� �ం�క�ం�ర� ������� క�
��� 53 క�����ర� �� ��� �� ��ం�� క�
ఉ�హరణ� 2 2 2 22. 5. 10.x y z t � x,y,z,t
�� ధన ���ం�ల���� సృ��ంచవ��
x=1, y=2, z=1, t=0 అ� ������ స���ం�
x=0, y=2, z=2, t=1 ����ం��.
ఉ���?’ అన� �శ�� స��నం ���ల��ం�
ఒక� ���.
1993 � ��� ట� ��వ��� � ప� �� �� ��� అ�
ఆ���� తన దగ�ర ప� �� ����� ��యం �ం�ర�� � కల�
అ�వం� �శ�జ�న వర� ���� ఒక ��� ����ం��
ఒక ��క (matrix) �పం� ��� ��
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 అ� ���� సంఖ�ల� ఉత��� �య�గ���
���న �ర� సంఖ�ల���� �డ ఉత��� �య�గలం అ� ����
����� ‘���’ ���. ఇ� 15-���ంతం అ� ��� ��మ
�వటం �ద���ం�.
13
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
ట� � ����� దశ�� మన �ర�వ ఇ�వం� సం�
��ల� మ� పద��ం�� క������. క��ట�ట� ��, గ�త
�� ��� ఈ ��� ఎ� ఉద��ం�� �డ ���� స�
ఈ ప� ఫ�తం� �ర�వ� ప�� ఇవ�ట� ��ం� 28 ఏళ�
full professor) ఇ�� �ర�ం�ం�,
ఇంత� �ర�వ ��ం��� �ప�� �� క�? ‘ఏ వర� ��ం
ఉప��ం� �ర� సంఖ�ల���� వ��ంచగలం?’ అన� �శ� �ర�వ�
ఈ రకం వర� ��ల� �శ�జ�న
ersal quadratic forms) అం��.
���� ���జ� 2 2 2 2. . . .ax b y c z d t
�క�ం�ర� ������� క�. ఆయన ఈ ��
క�����ర� �� ��� �� ��ం�� క�.
x,y,z,tల ��వల� ����ం�
�� ధన ���ం�ల���� సృ��ంచవ��. ఉ�హరణ� 14 ��లం�
అ� ������ స���ం�. అ�� 38 ��లం�
. ‘ఇం� ఇ�ం� ��� ఎ��
స��నం ���ల��ం�, మన� ���న ప��
ట� ��వ��� � ప� �� �� ��� అ�
ఆ���� తన దగ�ర ప� �� ����� ��యం �ం�ర�� � కల�
అ�వం� �శ�జ�న వర� ���� ఒక ��� ����ం��. ఈ �పం
�పం� ��� ��. ఈ ���� ఉప��ం�
అ� ���� సంఖ�ల� ఉత��� �య�గ���,
���న �ర� సంఖ�ల���� �డ ఉత��� �య�గలం అ� ����
���ంతం అ� ��� ��మ�
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
�గడ మనం ��న ల�ం� ���, ���జ� ��
�డ ఈ 15-���ం��� �బ� ఉం�� క�క, �� భం���
��ద� అంద� ఒక �� ��క� ఊ�� �������. అ�� స�
��� �భృ�� �� ���ం���, ��� ��� �� సం��ష��న పద���
ఎక�� ���ంచ ��. ఇ� ���ంచ�ం� ఉండ��� ��రణం�
�ం� �ర�� ఉం��. ఒక�, ���ంతం� ఏ�� ���� ఉం�
ప�� ��ంద� భయం. �ం�, ���ంతం అ�వ��ం� ����� �ం�
అ��� ������� అ� స���శం. అం�క� �� ��ం అ�వ��ం�
ప��� �ంచ��� ప��ధన �ద� ����. ఈ ప��ధన� ��
మ�క వర� ���� క������. ఈ �ప� 2 2 2 23. . 5. 6.x x y y z t
“ఈ �పం ఉప��ం� 1 �ం� 290 వర� ఉన� అ�� సంఖ�ల� ఉత���
�య� గ��� ఈ ���� �శ�జ�య వర� ��ం� ప�గ�ంచవ��
అ� ఒక ఊ��నం ���. �� ��� �య� �� (��, ��� �య�
�క�� ఉం��� ��).
ఈ ప����� �ర�వ� ��� ఈ 15-���ం��� ప�చయం ���
“��� ���న కథనం �న� త��త �� �ట �ట ���. గ�తం�
ఇ�వం� ఫ�తం ఉంద� ��� స�� ఆశ�ర�ం �య�టం ఒక ఎత���
ఫ�తం ��� ��ం� �వలం ఊ��నం� ఉం���ంద� ��యటం
మ�క ఎ��” అ� �ర�వ �����ం�, “�� �ంట� �� ���న�
ప�ల�� ఆ�� ఈ ఊ����� ��� �తకటం �ద� ����
అ���ట.
�ర�వ 15-���ం��� ఒక �త� పం�� ���� ���చటం
�ద�����. ఈ �త� �� �ంబ� ��� ��� �య�టం ��కవట�
��ం�, �� త��వ ��� ��� �య���� �ల�ం�ట
��� ��రం �త�ం 204 (��క �పం� �ర��ంచబడ�) �శ�జ�న
వర� ��� ఉ���ట.
14
Y:2015 Ganitha Chandrika
���జ� ���
�� భం���
అ�� స�
��� ��� �� సం��ష��న పద���
���ంచ�ం� ఉండ��� ��రణం�
���ంతం� ఏ�� ���� ఉం�
���ంతం అ�వ��ం� ����� �ం�
అం�క� �� ��ం అ�వ��ం�
ఈ ప��ధన� ��
2 2 2 23. . 5. 6.x x y y z t .
వర� ఉన� అ�� సంఖ�ల� ఉత���
�య� గ��� ఈ ���� �శ�జ�య వర� ��ం� ప�గ�ంచవ��”
��� �య�
���ం��� ప�చయం ���.
గ�తం�
�, ఈ
ఫ�తం ��� ��ం� �వలం ఊ��నం� ఉం���ంద� ��యటం
�� �ంట� �� ���న�
ప�ల�� ఆ�� ఈ ఊ����� ��� �తకటం �ద� ����,”
���చటం
ఈ �త� �� �ంబ� ��� ��� �య�టం ��కవట�
�� త��వ ��� ��� �య���� �ల�ం�ట. ఈ
�శ�జ�న
సభ� – స����
* National Workshop, R.S.V.P, Tirupati
Department of Mathematics, Rashtriya Sanskrit Vidyapeetha (RSVP)
National Workshop on ‘Bhaskaracharya: life and works’ sponsored by Science and India, New Delhi. to 12-12-2014. The workshop was inaugurated on 8
R.S.V.P.Vice Chancellor Prof. Har
keynote was addressed by Prof. V.
Central University, Hyderabad on “Bhaskaracharya in the eyes
of foreign scholars”. As a part of cultural programme
S.Satyanarayana performed Chitra Avadhanam. On the second
day Prof. K.Balachandra Rao and re
speeches on Bhakaracharya Astranomical part
Siromani”.
On 3rd day a speech on “Pedagogical Implications of
Leelavathi” was delivered by Prof. Aga
“Leelavathi’ were discussed.
P.V.Arunachalam, former Vice
University, Kuppam delivered a speech on “Jyotpatti” of
Bhaskaracharya. P.S.N.Sastry, former President A.I.M.Ed,
Vijayawada gave a speech on “Tribute to Bhaskaracharya”.
About 20 resource persons delivered lectures on
Bhaskaracharya’s various works.
The five day conference was ended with valedifunction.
19
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
స����
R.S.V.P, Tirupati
Department of Mathematics, Rashtriya Sanskrit Vidyapeetha (RSVP), Tirupati, organised a National Workshop on ‘Bhaskaracharya: life and works’ sponsored by Department of
cience and Technology, Govt. of India, New Delhi. from 8-12-2014
The workshop was inaugurated on 8th Dec 2014 by
P.Vice Chancellor Prof. Hare Krishna Satapathy. The
rof. V.Kannan, Vice-Chancellor
niversity, Hyderabad on “Bhaskaracharya in the eyes
. As a part of cultural programme
erformed Chitra Avadhanam. On the second
day Prof. K.Balachandra Rao and research scholars delivered
anomical part in “Siddhantha
day a speech on “Pedagogical Implications of
Leelavathi” was delivered by Prof. Agarkar. Some problems on
On the 4h day Prof.
r Vice-chancellor of Dravidian
University, Kuppam delivered a speech on “Jyotpatti” of
P.S.N.Sastry, former President A.I.M.Ed,
Vijayawada gave a speech on “Tribute to Bhaskaracharya”.
About 20 resource persons delivered lectures on
he five day conference was ended with valedictory
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015 Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
. ఇం� గల దం� �ద� సం�హ� వల� గ�త� స��ప గత�
ఎం�ం� �ద� ��న అందం� కల� గ���� �ం�
��ద�� :
. గ�త ���భ . గ�త ��ణ . గ��లం�ర . గ�త ��రద
. గ���� . గ�త �ఖర . గ��వతంస . గ�త ��కర
. గ�త �శల . గ�త �గర
గ�తం� ఆట - �ట
G.Gowri Venkata lakshmi M.Sc.Mathematics (II year) Mantessori Mahila Kalasala
మ� మ�ల గణన
ఆర�భట� క��� π ��వ
�స��� ���ంత ��మ�
����ం� అర���� ��ల�
���జ� సృజన
�����ం� సంఖ�ల అ�సరణ
��గర� ���ంతం
���� ��జ ��ల సంబంధం
�� క��న� ప�ల �త�ం
����ం� అంక�� ప�ల పథం
�ంట� క����న ��ర��త వ���ల స��యం
����ం� మన�త స��ల స��ళనం
��� అం� అం�ల� ఆట
���� �ద�� �త
ఆ��ంప��� అంద� �త
ఇక ����ం ����ల �ట
18
ఈ ��� గ�త �పం��� అదర���ం�. ఎం�కం� 1948 �
�ర��� �ల���ం� ఇ� �శ�� ఎ����, అహ��శ� కష�ప� 178
�శ�జ�న వర� ��� క������. �ర�వ ��న ప� �పధ�ం� ఆ�
క����న 178 ��ల� ఒ� ��ం �ర��న �ం� ���
���ంద���, 9 ��� ���� తప���� ���ం�. �ఖ��న �షయం
ఏ�టం� �ర�వ ఇ��న ���� �న�� ��, అర�ం అ� ����
ఉ���ట. ���ల� �ణ� ���� ఉన��� ���ల� అంద�న
���� ఉం��. ���, సం�ప�ం� ఉన� ����, ���ం��,
��� అంద�న ��� �క�.
ఈ 15-���ం��� ��� క���న� త��త �ర�వ 33-
���ంతం అ� మ� ���ంతం క������. ఈ ��ం 1, 3, 5, 7, 11,
15, 33 సంఖ�ల ఎడల ప���� ���న అ�� �� సంఖ�ల ఎడల ��
ప����ంద� ఈ 33-���ంతం �క� ��ంశం. ఈ ���ం��� �ర�వ
��� ��న �నం �� “ఇ� �ల అంద�న ���” అ� ���
అ�వ��ం��ట.
ఇ� �ర�� �ర�వ ��న సంఖ�� (prime numbers)
అ��ం�� ఉత��� �యగల వర� ���� ఒక��� ���ం��. ఈ
అడ�ం�ల�� ���� ��� ‘290 ��ం� ����ం�న ఊ�����’
�� �ర�వ, �� � కల� ��� ��ం��. ఇ�క �ద� �� ��.
క�క ఇ��� మన� వర� ��ల �క� స��ప స���� ప��ర�ం�
అవ�హన అ�న��–అ� అ��ం���ం, ������. �� ����
ఏ�టం�–ఏ వర� �ప�� స� �ర� సంఖ�ల���� ఉత��� �య�గల�
�� �ర��ం�లం� �ం� ఆ �పం 290 ��� 290 � ���
ఉన� ఒక 29 ���ం�ల స��� ఉత��� �య�గల� �� ���ట. ఈ
స�� � ఉన� 29 ���ం�ల� ఉత��� �య�గలం అ� ���న �దట
అ� ఉత��� �య�గ�� వర� ��� 6,436 ఉం��!
15
Ganitha Chandrika Vol : 16, Issue : 1, Y:201
ఇ� �ష��� �ర�వ �ంభ�ణం�� స��శం� ���
ఆయన� ���జ� ��రక �హ��న ‘��’ పత��� ఇ��
�ర�ం��ట. ఈ రకం �క�ల ��జనం ఏ�� అ� �ల మం� �ద�
�����. అంద� ఆనందం అ���. ��� ఇం���� A thing of beauty
is a joy for ever అం��. క�క ఈ రకం ���ల �సం �తకటం ఒక
రక�న �ంద���సన. ప����న ఈ రకం ఉ�సన� ఎవ���
��� అ� �� �చ�కం�. ఈ కం��ట� �గం� cryptography
��ఖ�త ����ం�. ఈ రంగం� ���జ� వం� �� ��న
ప��ధన� ఉప�గప�����. ఇ� �ధం� �శ� రహ��ల�
��ంచ��� �� గ�తం� �� ���జ� ��వం కనబడటం
�ద�ం�.
*Felicitation to Dr.Bhavanari – S.V.V.University, Tpty
*Quiz at G.M.H.S – Leelavathi Mathematics Club
16
Y:2015 Ganitha Chandrika
ఇ� �ష��� �ర�వ �ంభ�ణం�� స��శం� ���
పత��� ఇ��
ఈ రకం �క�ల ��జనం ఏ�� అ� �ల మం� �ద�
A thing of beauty
క�క ఈ రకం ���ల �సం �తకటం ఒక
ప����న ఈ రకం ఉ�సన� ఎవ���
cryptography �
ఈ రంగం� ���జ� వం� �� ��న
ఇ� �ధం� �శ� రహ��ల�
��ంచ��� �� గ�తం� �� ���జ� ��వం కనబడటం
pty.
సర�ం గ�త మ
����:
. గ�తం గణ� �శలం . గణ� గ�త�చ��
. గ�� ర�� ర�తః . ����� లభ� గ�తం
. ��కృ�న గ�తం లభ�
ఆ���దం:
. గ�త ���ర�� . �� గణన ���ర��
��ఖ�త:
. చ�వ� �ంత గ��న గ�తజ�త�ం�క �ల�న�
ఆచ���రర�కం� �స� ���వ��� �చ��చ�ట�
ప��గ మం�వంట నల�క� ��న �న
అం��ం�ద�� ��� �క �� �ట�గ �� న
. పఠత గ�తం ��త గ�తం |
లస� గ�తం �రం గృ� గృ� చ �న
. ������కృత� య���ం ��జ� |
తద�� సర� ��� �ం గ�త ��ం �వర��
. య� �� మ���ం ���ం మణ�య
త�����ంగ ��� �ం గ�తం ���� ��తం
. గ����� ���నందం గ�త �వ� పర�నందం
గ�త �ధ� అ��నందం గ�త �ధ� ఆ��నందం
. �ర�ం �శ���ణ ఏకం స�పవ�
శతం �ల��ణ సహ�ంచ ���పమం
17
Vol : 16, Issue : 1, Y:2015
గ�త మయం
�.�.�మశర�
��క��, BRSIIT �ం�ష�
�జయ�డ
Cell : 9441924418
గ�త�చ��
����� లభ� గ�తం
�� గణన ���ర��
చ�వ� �ంత గ��న గ�తజ�త�ం�క �ల�న�
���వ��� �చ��చ�ట�
వంట నల�క� ��న �న
అం��ం�ద�� ��� �క �� �ట�గ �� నటయ� �వర!
�నర� | |
|
�ం గ�త ��ం �వర�� | |
���ం మణ�య�
గ�తం ���� ��తం (��ంగ ���ష�ం)
గ�త �వ� పర�నందం
గ�త �ధ� అ��నందం గ�త �ధ� ఆ��నందం
సహ�ంచ ���పమం
top related