fundamentos de procesamiento digital de señales (tema...
Post on 18-Oct-2018
240 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fundamentos de procesamiento digital de
señales
(Tema 1)
A. J. Zozaya
Instituto Espacial Ecuatoriano (IEE), Escuela Politécnica Nacional (EPN)
Quito, 2016
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 1 / 39
Contenido
1 Convolución de tiempo continuo
2 Correlación
3 Convolución de tiempo discreto
4 Analisis en el dominio de la frecuencia
Transformada de Fourier de tiempo continuo
Transformada de Fourier de tiempo discreto
Transformada discreta de Fourier
5 Convolución usando la DFT
6 Muestreo de señales analógicas
7 Interpolación
8 Referencias
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 2 / 39
Convolución de tiempo continúoLinealidad e invariancia temporal
Linealidad
x1 ! y1
x2 ! y2
1x1 + 2x2 + : : :! 1y1 + 2y2 + : : :
2 superposición
CT
x(t) ! y (t)
x(t t0) ! y (t t0)
DT
x [n] ! y [n]
x [n n0] ! y [n n0]
2 el origen de los tiempos es irrelevante
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 3 / 39
Convolución de tiempo continúo
4 x(t) o x [n] ) combinación lineal de funciones bases
4 Funciones bases: convenientes analítacamente
4 Dos clases
3 impulsos retardados ) convolución
3 exponenciales complejos ) Análisis de Fourier
CT
(t) =
(6= 0 si t = 0;
= 0 si t 6= 0:Z1
1
(t) dt = 1
Z1
1
f (t)(t ) dt =
f ( )(t ) dt =f ( )
DT
[n] =
(= 1 si n = 0;
= 0 si n 6= 0:
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 4 / 39
Convolución de tiempo continúo
Como Z1
1
s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u)
Entonces Z1
1
s(u)(t u) du = s(t)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 5 / 39
Convolución de tiempo continúo
Como Z1
1
s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u)
Entonces Z1
1
s(u)(t u) du = s(t)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 5 / 39
Convolución de tiempo continúo
Como Z1
1
s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u)
Entonces Z1
1
s(u)(t u) du = s(t)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 5 / 39
Convolución de tiempo continúo
2 ltrar ) convolución
y (t) = s(t) h(t)
y (t) = s(t) h(t) =
Z1
1
s(u)h(t u) du
=
Z1
1
s(t u)h(u) du
2 h(t): respuesta impulsiva del ltro. s(t): la señal.
Filtro de duración nita T
y (t) = s(t) h(t) =
Zt+T=2
tT=2
s(u)h(t u) du
=
ZT=2
T=2
s(t u)h(u) du
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 6 / 39
Convolución de tiempo continúo
2 ltrar ) convolución
y (t) = s(t) h(t)
y (t) = s(t) h(t) =
Z1
1
s(u)h(t u) du
=
Z1
1
s(t u)h(u) du
2 h(t): respuesta impulsiva del ltro. s(t): la señal.
Filtro de duración nita T
y (t) = s(t) h(t) =
Zt+T=2
tT=2
s(u)h(t u) du
=
ZT=2
T=2
s(t u)h(u) du
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 6 / 39
Convolución de tiempo continúo
2 ltrar ) convolución
y (t) = s(t) h(t)
y (t) = s(t) h(t) =
Z1
1
s(u)h(t u) du
=
Z1
1
s(t u)h(u) du
2 h(t): respuesta impulsiva del ltro. s(t): la señal.
Filtro de duración nita T
y (t) = s(t) h(t) =
Zt+T=2
tT=2
s(u)h(t u) du
=
ZT=2
T=2
s(t u)h(u) du
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 6 / 39
Algunas propiedades
Linealidad
[s1(x) + s2(x)] h(x) = s1(x) h(x) + s2(x) h(x)
Conmutatividad
s(t) h(t) = h(t) s(t)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 7 / 39
Correlación
Correlación (cruzada)
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du
+ medida de similitud
4 permite detectar donde s(t) y h(t)matches
4 Ejemplo 1: = 1 s, sinruido
4 Ejemplo 2: en presenciade ruido
4 Ejemplo 2: en presenciade más ruido
4 Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 8 / 39
Correlación
Correlación (cruzada)
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du
4 medida de similitud
+ permite detectar donde s(t) y h(t)matches
4 Ejemplo 1: = 1 s, sinruido
4 Ejemplo 2: en presenciade ruido
4 Ejemplo 2: en presenciade más ruido
4 Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 8 / 39
Correlación
Correlación (cruzada)
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du
4 medida de similitud
4 permite detectar donde s(t) y h(t)matches
+ Ejemplo 1: = 1 s, sinruido
4 Ejemplo 2: en presenciade ruido
4 Ejemplo 2: en presenciade más ruido
4 Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 8 / 39
Correlación
Correlación (cruzada)
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du
4 medida de similitud
4 permite detectar donde s(t) y h(t)matches
4 Ejemplo 1: = 1 s, sinruido
+ Ejemplo 2: en presenciade ruido
4 Ejemplo 2: en presenciade más ruido
4 Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 8 / 39
Correlación
Correlación (cruzada)
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du
4 medida de similitud
4 permite detectar donde s(t) y h(t)matches
4 Ejemplo 1: = 1 s, sinruido
4 Ejemplo 2: en presenciade ruido
+ Ejemplo 2: en presenciade más ruido
4 Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 8 / 39
Correlación
Correlación (cruzada)
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du
4 medida de similitud
4 permite detectar donde s(t) y h(t)matches
4 Ejemplo 1: = 1 s, sinruido
4 Ejemplo 2: en presenciade ruido
4 Ejemplo 2: en presenciade más ruido
+ Ejemplo 3: h(t)presente dos veces ens(t), una vez condistinta polaridad.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 8 / 39
Correlación
La correlación cruzada no es conmutativa!!!
Φsh(t) = Φhs
(t)
Correlación (cruzada) y convolución
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du = s(t) h(t)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 9 / 39
Correlación
La correlación cruzada no es conmutativa!!!
Φsh(t) = Φhs
(t)
Correlación (cruzada) y convolución
Φsh(t) =
Z1
1
s(u)h(u t) du = s(t) h(t)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 9 / 39
Convolución de tiempo discreto
Como
s[n][n k ] = s[k ][n k ]
2 ejemplo
Sigue que1X
k=1
s[k ][n k ] = s[n]
2 ejemplo
por tanto
[n] ) h[n]; y [n k ] ) h[n k ]
s[n] )
1Xk=1
s[k ]h[n k ]
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 10 / 39
Convolución de tiempo discreto
Convolución de tiempo discreto (www)
y (n) =s[n] h[n]
=
M1Xk=0
s[n k ]h[k ] =
nXk=n(M1)
s[k ]h[n k ]
2 N: número de muestras de la señal s[n].2 M: número de muestras de la respuesta impulsiva del ltro.2 Normalmente (caso SAR) M<N.2 Ej. s=[1/2 1 1/2] y h=[1 1].
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 11 / 39
EjemploComo una suma de muestras o un proceso dinámico
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 13 / 39
Transformada de Fourier
Combinación lineal
x(t) = combinación lineal de funciones bases
Combinación lineal de impulsos
x(t) =
Z1
1
x(u)(t u) du
Combinación lineal de exponenciales complejos
x(t) =1
2
Z1
1
X (!) exp(|!t) d!
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 14 / 39
Transformada de Fourier (CT)
x(t) = A cos(Ωt + )
FT de x(t)
X (Ω) =
Z1
1
x(t)e|Ωt dt
2 Ejemplo
rect
t
P
$ P
sin(ΩP=2)
ΩP=2
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 15 / 39
Transformada de Fourier (CT)Ejemplo
X (Ω) =
Z1
1
x(t)e|Ωt dt
Psin(ΩP=2)
ΩP=2$ rect
t
P
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 16 / 39
Transformada de Fourier (CT)Dos importantes propiedades [PM96]
Desplazamiento temporal (t ! t )
x(t ) $ X (Ω)e|Ω
FTfx(t )g =
Z1
1
x(t )e|Ωt dt
u = t
FTfx(t )g =
Z1
1
x(u)e|Ω(u+ ) du =
"Z1
1
x(u)e|Ωu du
#e|Ω
También
x(t)e|Ω0t $ X (Ω Ω0)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 17 / 39
Transformada de Fourier (CT)Dos importantes propiedades
Teorema de la Convolución
x(t) y (t) $ X (Ω)Y (Ω)
FTfx(t) y (t)g =
Z1
1
"Z1
1
x( )y (t ) d
#e|Ωt dt
=
Z1
1
x( )
"Z1
1
y (t )e|Ωt dt
#d =
"Z1
1
x( )e|Ω d
#Y (Ω)
También
x(t)y (t) $1
2X (Ω) Y (Ω)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 18 / 39
Transformada de Fourier (CT)
Muestreo
xS(t) = x(t)
1Xn=1
(t nTS)
P1
n=1 (t nTS) $ ΩS
P1
k=1 (Ω kΩS)
ΩS = 2fS = 2
TS
FT de xs(t)
XS(Ω) =1
2
24X (Ω) ΩS
1Xk=1
(Ω kΩS)
35
x(t)y (t) $ 1
2X (Ω) Y (Ω)
XS(Ω) =1
TS
1Xk=1
X (Ω kΩS)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 19 / 39
Transformada de Fourier (CT)
xS(t) =
1Xn=1
x(nTS)(t nTS)
x [n] = xS(nTS)
Ae|(!n+) = Ae|(ΩnTS+)
! = ΩTS
! en rads, Ω en rads/s.
ΩS
2:
ΩS
2$ :
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 20 / 39
Transformada de Fourier (DTFT)
DTFT de x [n]
X (!) =
1Xn=1
x [n]e|!n
Relación CTFT-DTFT
X (!) = XS(Ω)jΩ= !
TS
exp |(! + k2)n = exp |!n
k entero
X (!) =1
TS
1Xk=1
XS
!
TS
k!S
TS
!S = 2A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 21 / 39
Transformada de Fourier (DTFT)
Enventanado
RN [n] =
(1 0 n N 1;
0 otherwise:
xN [n] = x [n]RN [n]
N = 2q + 1, pérdida de información
RN [n] $sin[!N=2]
sin(!=2)e|!(N1)=2
XN(!) $1
2X (!)
sin[!N=2]
sin(!=2)e|!(N1)=2
XN(!) versión esparcida de X (!) [M. Fowler].
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 22 / 39
Transformada de Fourier (DTFT)
Enventanado
RN [n] =
(1 0 n N 1;
0 otherwise:
xN [n] = x [n]RN [n]
N = 2q + 1, pérdida de información
RN [n] $sin[!N=2]
sin(!=2)e|!(N1)=2
XN(!) $1
2X (!)
sin[!N=2]
sin(!=2)e|!(N1)=2
XN(!) versión esparcida de X (!) [M. Fowler].
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 22 / 39
Transformada discreta de Fourier (DFT)
DFT
XN [k ] =
N1Xn=0
xN [n]e|2k
Nn; k = 0; 1; : : : ;N 1
2 ∆f = fs=N, 2 S[k ] = S(kfs=N).From www:
Relación DTFT-DFT
XN [k ] = XN(!)j!k
!k = 2
Nk, k = 0; 1; 2; : : : ;N 1
XN [k ] = XN
k2
N
k = 0; 1; 2; : : : ;N 1
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 24 / 39
Transformada discreta de Fourier (DFT)
Evaluación numérica de la DFT
266666666664
X [0]X [1]...
X [k ]...
X [N 1]
377777777775
= exp
266666666664j
2
N
0BBBB@
01...
N 1
1CCCCA
| z N1
0 1 N 1
| z
1N
377777777775
| z NN
266666666664
x [0]x [1]...
x [n]...
x [N 1]
377777777775
En MATLABfunction X=dft(x)N=length(x);W=exp(-j*(2*pi/N)*[0:N-1]’*[0:N-1]);X=W*x’;
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 25 / 39
Transformada discreta de Fourier (DFT)
Evaluación numérica de la DFT
266666666664
X [0]X [1]...
X [k ]...
X [N 1]
377777777775
= exp
266666666664j
2
N
0BBBB@
01...
N 1
1CCCCA
| z N1
0 1 N 1
| z
1N
377777777775
| z NN
266666666664
x [0]x [1]...
x [n]...
x [N 1]
377777777775
Zero padding
2 añadir ceros al nal de una secuencia2 interpolar en el dominio transformado2 ajustar la separación entre muestras2 tamaño de la secuencia ! 2M, M apropiado para la FFT2 no cambia la información de la secuencia
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 26 / 39
Transformada discreta de Fourier (DFT)
IDFT
xN [n] =1
N
N1Xk=0
XN [k ]e|2k
Nn; n = 0; 1; : : : ;N 1
Evaluación numérica de la IDFT
266666666664
x [0]x [1]...
x [n]...
x [N 1]
377777777775
=
1
N
exp
266666666664j2
N
0BBBB@
01...
N 1
1CCCCA
| z N1
0 1 N 1
| z
1N
377777777775
| z NN
266666666664
X [0]X [1]...
X [k ]...
X [N 1]
377777777775
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 27 / 39
Convolución usando la DFT
Convolución $ multiplicación (www)
x1(t) x2(t) $X1(Ω)X2(Ω)
x1(t)x2(t) $1
2X1(Ω) X2(Ω)
Convolución circular $ multiplicación (www)
x1[n] N x2[n] $X1[k ]X2[k ]
x1[n]x2[n] $1
NX1[k ] N X2[k ]
PeroEn general:
x1[n] N x2[n] 6= x1[n] x2[n]
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 28 / 39
Convolución usando la DFT
Convolución circular (ver www)
x1[n] N x2[n] =
24N1Xk=0
x1[k ]x2[((n k))N ]
35RN [n]
donde x2[((n))N ] =P1
`=1 x2[n `N] es la extensión periódica de x2[n].
x1[n] N x2[n] = [x1[n] x2[((n))N ]]RN [n]
(mod m): n = q m + R, donde q m < n (www).
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 29 / 39
Convolución usando la DFT
Convolución circular2 Convolución circular ) convolución lineal + aliasing
x1[n] N x2[n] =
24(x1[n] x2[n])
1X`=1
(n `N)
35RN [n] 6= x1[n] x2[n]
Convolución cíclica
s[n] h[n] = IDFTfDFTfs[n]gDFTfh[n]gg
s(n) de duración n1, h(n) de duración n2, (en SAR) n1 > n2, y h(n) escompletada con ceros hasta n1 para obtener n1 n2 + 1 convolucionescompletas [CW05]. O ambas se completan con cero hastaN = n1 + n2 1 para obtener las convolución líneal.
En MATLABifft(fft(s,N).*fft(h,N));
N: 2N n1 + n2 1 para obtener la convolución lineal, o N:2N n1 n2 + 1 si solo interesan las convoluciones completas [CW05].
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 30 / 39
Muestreo de señales
4 t-continuo, duración 1
4 t-continuo, duración nita
4 t-discreto, duración 1
4 t-discreto, duración nita
Tasa de muestreo de Nyquist2 La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual al doble de la másalta componente en fecuencia de la señal, si esta es real.2 La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual a la más altacomponente en fecuencia de la señal, si esta es compleja.
Factor de sobremuestreo
factor de sobremuestreo =rata actual de muestreo
rata de muestreo de Nyquist
2 Usualmente del orden de 1.1 a 1.4 [CW05].
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 31 / 39
Muestreo de un pulso LFMFrecuencia de muestreo de la señal LFM
2 fs > B
2 Factor de sobremuestreo os:
os =fs
B=
fs
jK j
2 No gap ! rata de muestreo muy baja2 gap > 20 % de fs , la rata de muestreo es mayor que la óptima entérminos de eciencia de procesado [CW05]
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 32 / 39
Interpolación
x(t) =Xn
x [n]h(t nTs)
donde:2 x [n]: muestras de x(t)2 x [n] = x(t) cuando nTs = t, siendo Ts la tasa de muestreo que cumpleel criterio de Nyquist2 h(t) es la función interpoladora, o núcleo de interpolación2 h(t) es una función par de t: h(n t) = h(t n)2 la muestra de x(t) en n, x [n], hace de peso de la función interpoladorah(t nTs)2 el valor x(t) interpolado en t, se obtiene mediante la suma de losproductos de la función interpoladora h(t), desplazada nTs segundos:h(t nTs), evaluada en t, por las muestras x [n] alrededor de t.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 34 / 39
Interpolación sinc ideal
De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist:2 si x(t) es limitada en frecuencia2 la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máximafrecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces (WWW):
X (Ω) = Hr (Ω)XS(Ω)
Hr (Ω) = TSrect
Ω
ΩS
XS(Ω) =
1
TS
1Xk=1
X (Ω kΩS)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 35 / 39
Interpolación sinc ideal
De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist:2 si x(t) es limitada en frecuencia2 la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máximafrecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces (WWW):
X (Ω) = Hr (Ω)XS(Ω)
Hr (Ω) = TSrect
Ω
ΩS
XS(Ω) =
1
TS
1Xk=1
X (Ω kΩS)
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 35 / 39
Interpolación sinc ideal
x(t) = hr (t) xS(t)
TSrect
Ω
ΩS
$ sinc(fSt) = hr (t) xS(t) =
1Xn=1
x(nTS)(t nTS)
Interpolación ideal: no causal y de ext. 1
x(t) =
1Xn=1
x [n]sinc [fS(t nTS)]
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 36 / 39
Interpolación sinc ideal
correr script: demointerpol.m
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 37 / 39
Funciones de interpolación
De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist:2 si x(t) es limitada en frecuencia2 la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máximafrecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces:
Función de interpolación sinc(t) en t
h(t) = sinc(t) =sint
t
x(t) =Xn
x [n]sinc
1
TS
(t nTS)
Función de interpolación Φ(!) en f
Φ(!) =sin(!N=2)
N sin(!=2)e|(N1)=2
X (!) =Xk
XKΦ
! k
2
N
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 38 / 39
Referencias I
Ian G. Cumming and Frank H. Wong.
Digital processing of synthetic aperture radar data, algorithm and
implementation.
Artech House, 2005.
Jhon G. Proakis and Dimitris G. Manolakis.
Digital Signal Processing, Principles,Algorithms, and Application.
Prentice Hall, third edition, 1996.
A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 2016 39 / 39
top related