funciones y grÁficas1 funciones y grÁficas 0 1 2 3 4 5 x y 800 600 400 200 para representar...
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1
FUNCIONES
Y GRÁFICAS
0 1 2 3 4 5 X
Y
800
600
400
200
Para representar números hemos utilizado un recta
numérica. Fijado un origen, el 0, y una unidad:
REPRESENTACIÓN EN
LA RECTA
A su derecha y a la distancia marcada por la unidad elegida se
marcan los números positivos: +1, +2, +3, +4,…
A su izquierda y a la misma distancia se marcan los números
negativos: -1, -2, -3, -4,…
0 +5 +6 +7 +2 +3 +1 +4 -3 -2 -1 -6 -5 -7 -4
De la misma manera que hemos hecho en horizontal,
podemos representar los número en una recta vertical, los
positivos ahcia arriba del 0, los negativos hacia abajo
0
+5
+6
+7
+2
+3
+1
+4
-3
-2
-1
-6
-5
-7
-4
2
Combinando las dos
rectas, obtenemos una
forma de representar
puntos en el plano
Se llama
sistema de coordenadas
cartesianas
Está formado por dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical,
que se llaman
ejes de coordenadas.
El punto donde se cortan los ejes se
llama
origen de coordenadas.
0
Coordenadas cartesianas El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX.
El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes.
Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(x,y).
La coordenada x (abscisa), indica el desplazamiento en horizontal
La coordenada y (ordenada), indica el despalzamiento en vertical
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
Eje de abscisas
Eje
de
ord
en
ad
as
Y
X
Primer cuadrante: I Segundo cuadrante: II
Tercer cuadrante: III Cuarto cuadrante: IV
P(x,y)
3
A(4, 3)
B(- 4, 1)
C(- 2, - 2) D(3, -1)
Elemplos
E(9, 5)
F(0.5, 7) G(- 9, 6)
H(- 3, 5)
J(- 6, -6.5)
K(- 9, -1)
L(1, -7)
M(7.5, -3)
Primer cuadrante (I)
Abscisa y ordenada positivas
Segundo cuadrante (II)
Abscisa negativa y ordenada positiva
Tercer cuadrante (III)
Abscisa y ordenada negativas
Cuarto cuadrante (IV)
Abscisa positiva y ordenada negativa
Y
X
A(1, 0) B(- 3, 0) C(-9, 0) D(8, 0)
Elemplos
E(0, 3)
F(0, 7)
G(0, -3)
H(0, -8)
Y
X
Todos los puntos del eje de abscisas (X)
tienen la segunda coordenada, la y, igual
a cero.
Son de la forma P(x, 0)
Todos los puntos del eje de ordenadas
(Y) tienen la primera coordenada, la x,
igual a cero.
Son de la forma Q(0, y)
4
A(2, 0)
B(- 3, -4) C(-9, -4) D(8, -4)
Elemplos
E(2, 3)
F(2, 7)
G(2, -3)
H(2, -8)
Y
X
Todos los puntos que tienen el mismo
valor de x, y cualquier valor de y están en
una recta paralela al eje Y
En el ejemplo x=2
Todos los puntos que tienen el mismo
valor de y, y cualquier valor de x están en
una recta paralela al eje X
En el ejemplo y=-4
D(6, -4)
A(6, 0)
B(4, 3)
C(1, 2)
D(0, 4)
E(-3, 5)
F(-7, 3)
G(- 4, 1)
H(- 1, 0)
I(-7, - 4)
J(- 2, - 2) K(0, -2) L(3, -1)
M(8, -3)
P(Abscisa , Ordenada)
Responde
5
Concepto de Función Una función es una relación etre dos magnitudes de modo que acada valor de
la primera magnitud le corresponde un único valor de la otra magnitud
A los valores de la primera magnitud se les llama conjunto inicial y a los de la
segunda magnitud, conjunto final.
A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama
variables.
La primera magnitud se llama Variable independiente (x), y la segunda
magnitud se llama variable dependiente (y)
Por ejemplo, en la compra de naranjas en una tienda consideramos dos magnitudes:
Magnitud 1: Kilos de naranjas que queremos comprar.
Magnitud 2: Dinero que nos cuesta lo adquirido.
Está claro que para cada diferente valor de Kilos que compremos nos corresponderá
pagar diferente cantidad de Dinero, y que dicha cantidad es única.
En este ejemplo la magnitud Kilos es la variable independiente. La magnitud Dinero es
la variable dependiente, porque el valor de esta magnitud depende del valor de la otra,
depende de los kilos que compremos
Depender de algo equivale a decir estar en función de algo. De ahí la
palabra FUNCIÓN. La ordenada, la y, está en función de la abscisa, la x.
Al conjunto de valores de la variable independiente (x) que están
relacionados con alguno de la variable dependiente se llama DOMINIO de la
función.
Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) que están relacionados
con algún valor de la variable independiente se le llama IMAGEN o
RECORRIDO de la función.
Concepto de Función
Conjunto inicial:
Conjunto final: 4,5,6,7,8 3, 2, 1,
Dominio:
7 5, 4, 3,Recorrido:
6
Las funciones pueden representarse mediante unos diagramas llamados de Ven
Representación de las funciones
No es función,
porque el segundo
elemento de T
está relacionado
con dos
elementos de P
Conjunto inicial:
Conjunto final:
Dominio:
Recorrido: Sí es función, aunque haya
un elemento de P y otro de C
que no estén relacionados
Sí
es
función
2
- 2
3
- 1
1
6
9
- 9
3
f (x)=3·x
-3
- 3
- 6
0 0
Representación de las funciones Ejemplo: Asocia a cada número entero entre -3 y 3 su triple
Diagramas de Ven
Tabla de valores
x y
3 9
2 6
1 3
0 0
-1 -3
-2 - 6
-3 -9
Con
conjuntos
Conjunto inicial: -3,-2,-1,0,1,2,3
Conjunto final: -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9
Expresión
algebraica
y=3·x
7
Representación de las funciones Ejemplo: Asocia a cada número entero entre -3 y 3 su triple
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -9 -6 -3 0 3 6 9
Puntos (-3,-9) (-2,-6) (-1,-3) (0,0) (1,3) (2,6) (3,9)
Tabla
de
valores
Gráfica
2
- 0,5
3
- 3
4
9
0,25
0
f (x)=x2
Representación de las funciones Ejemplo: Determina la función que a cada número real le asocia su cuadrado
0
…
-2
…
x y
3 9
2 4
1 1
0 0
-0,5 0,25
-2 4
-3
…
9
…
Tabla
de
valores
¿Hay que unir los puntos?
Sí, porque los valores de x se eligen entre
todos los números reales
8
y=x-5
Expresión de la función mediante una ecuación Considerando la función y=x-5, halla los valores para x=0, x=-2 y x=3
Si x=0y=0-5=-5
Si x=-2y=-2-5=-7
Si x=3y=3-5=-2
Indica si el punto (-2, 5) pertenece a algunas de estas funciones
a) f(x)=x2-5
b) g(x)=x+7
c) h(x)=x2+1
pertenece No5-15-45-2-5xy22
pertenece Sí57-27xy
pertenece Sí51412-1xy22
Determina la ecuación de la función que asocia a cada número su tripe más 2.
¿pertenece el punto (2, 6) a dicha función? ¿Y el punto (-1, -1)?
f(x)=3x+2
pertenece No682623·2(2,6) Punto23xy
pertenece Sí-12-321-3·(-1,-1) Punto23xy
Expresión de la función mediante una ecuación
Dada la función f(x)= 2x-3, escribe una tabla con seis valores y haz la gráfica
c) h(x)=x2+1
x y
3 3
2 1
1 -1
0 -3
-1 -5
-2,5 -8
¿Hay que unir los puntos?
Sí, porque x puede tomar cualquier valor
9
Expresión de la función mediante una ecuación
Dada la función que asocia a cada número su cauadrado más uno. Escribe su
ecuáción, una tabla de valores y su gráfica.
x y
3 10
2 5
1 2
0 1
-2 5
-3 10
1xy 2
¿Hay que unir los puntos?
Sí, porque los valores de x se eligen entre
todos los números reales
Construcción de Gráficas En muchas ocasiones la información es mucho más comprensible si se organiza en una tabla y se representa mediante una gráfica. Para ello hay que seguir los siguientes pasos
1.-Identificar y distinguir claramente las variables independientes y dependientes.
2.-Tener una Tabla de Valores con suficientes datos.
3.-Estudiar la escala de los ejes de abscisas y de ordenadas.
4.-Construir la gráfica al tamaño adecuado.
5.-Identificar el tipo de variable independiente para unir o no los
diferentes puntos.
Ejemplo: Compra de fruta en una frutería
El número de kilos es la variable independiente y se coloca sobre el eje de abscisas (eje X).
El dinero que nos cueste, en €, es la variable dependiente y se situa sobre el eje de ordenadas (eje Y).
El dinero depende, está en función, del número de kilos que compremos, y no al revés.
10
X kilos
Y Coste en €
0 1 2 3 4 5
5,00
3,75
1,25
¿Hay que unir los puntos?
Peso (Kg) Coste (€)
x y
0 0
1 1,25
2 2,5
3 3,75
4 5
Ejemplo: Compra de fruta en una frutería
Un kilo de naranjas cuesta 1,25 €. Escribe una tabla con distintos valores para la
cantidad de fruta y representa los datos en una gráfica
2,50
En los ejes
utilizamos
distintas
escalas, para
que la gráfica
quede
comprensible
Sí, porque la cantidad de fruta puede
ser cualquier cantidad mayor que 0
f (x)=1,25·x y=1,25·x
La cantidad de agua está en función del tiempo transcurrido.
x = tiempo, variable independiente.
y = cantidad de agua arrojada, variable dependiente.
Construcción de Gráficas Para llenar una piscina se utiliza una bomba de agua, que arroja 200
litros cada hora que está funcionando.
Construimos la tabla de valores:
Eje x (Tiempo en horas) 1 2 3 4
Eje y (Cantidad en litros) 200 400 600 800 y=200·x
Los puntos (1, 200), B(2, 400), C(3, 600), D(4, 800) forman la gráfica.
En este caso tiene sentido unir los puntos, pues x puede tomar valores
intermedios
X horas
Y Litros
0 1 2 3 4 5
800
600
400
200
11
X Hijos por familia
Y Número de familias
0 1 2 3 4 5
1000
800
600
400
200
En este caso
NO tiene
sentido unir
los puntos.
No puede
haber
familias con
un número
de hijos
decimal
Construcción de Gráficas Ejemplo: Se ha analizado el número de hijos que tienen 3600 familias, y los resultados
figuran en la siguiente tabla:
Hijos por familia (x) 0 1 2 3 4 5
Número de familias (y) 600 1000 800 600 400 200
En un examen de Ortografía el profesor pone a cada alumno el resultado de dividir 10 entre el número de faltas de ortografía cometidas. Permite una falta sin bajar nota. Y si tiene cero fallos la nota es 10
Construcción de Gráficas
Sea x la cantidad de faltas en el examen
e y la calificación correspondiente f (x)=10/x
y=10/x
x y
1 10
2 5
3 3,33
4 2,5
5 2
6
…
1,66
…
10 1
12
X hora del día
Y Litros de bebida
6 8 10 12 14 16 18
100
80
60
40
20
¿Cuántos litros tenía la máquina al
comenzar la jornada? La siguiente gráfica muestra las botellas de litro de agua que hay a lo largo de una jornada de trabajo
Interpretación de gráficas
¿Cuánto se ha consumido
en el día?
80
¿En qué periodo o periodos no se
consumió nada?
De 8 a 10 y de 12 a 14
¿Cuál es la máxima capacidad de la
máquina? 100 litros
¿Qué paso a las 14 horas?
Vino la persona encargada a
reponer la máquina
¿En qué periodo se ha consumido más
deprisa? De 14 a 16 horas
¿Cuánto queda al final?
40 litros
40+20+50+10=120 litros
X horas
Y Litros
0 1 2 3 4 5 6
1000
800
600
400
200
Interpretación de gráficas Para llenar una piscina se utiliza una bomba de agua,
que arroja 200 litros cada hora que está funcionando.
Pero en un momento determinado la máquina se
estropea. La situación la describe la siguiente gráfica:
¿Tenía agua la piscina al comenzar a
funcionar la bomba?
¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando la piscina alcanzó los 800 litros?
Sí
¿Cuánta agua? 200 litros
¿En qué momento se estropeó la bomba?
A las 2 horas de empezar
¿Cuánto tiempo estuvo estropeada?
Una hora y media ¿Bombeó igual de deprisa antes que
después de estropearse?
Iba más deprisa al principio. En 2
horas 400 litros, después 400 litros
en 2 horas y media
¿Cuántos litros de agua tenía la piscina a la hora y media de empezar? 500 litros
4 horas y 45 minutos
13
La noria gira y gira, pero no siempre va a la misma velocidad. La velocidad que alcanza en cada momento se refleja en la siguiente gráfica
¿Cuánto tiempo está parada para recoger a la gente?
Interpretación de gráficas
¿Cuándo alcanza su máxima velocidad?.
¿Cuánto tiempo mantiene la máxima velocidad?.
¿Crece la velocidad igual de deprisa que decrece?.
¿Cuánto tiempo dura realmente la atracción de feria?.
5 minutos
A los 3 minutos de empezar el movimiento
2 minutos
Decrece más rápidamente
7 minutos
¿Qué ocurre a partir del minuto 12?
La gráfica vuelve a repetirse
Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada:
¿Qué distancia hay entre la casa de Alicia y la de Rafa?
¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia?
¿Cuánto tiempo estuvieron paseando?
¿A qué distancia está la cafetería de la casa de Alicia?
500 metros
15 minutos
1 hora
1500 metros
¿Qué distancia recorrió Rafa en total? 4000 m
¿Y de la casa de sus amigos? 1000 metros
Interpretación de gráficas
14
La familia Pérez: ¿Quién está representado por cada punto en el diagrama?
1
2
7
4
5
6
7= la persona
más bajita y más joven 3
Interpretación de gráficas
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