funciones lineales prof. evelyn dávila. función lineal

FuncionesLineales

Prof. Evelyn Dávila

Función Lineal

Ecuaciones lineales en dos variables: líneas rectas.

Forma general ax+by +c = 0

¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función?

Solo aquella ecuación lineal en dos variables que se pueda expresar de la forma y=mx+b , es decir, despejada para la variable dependiente es una función.

Funciones Lineales

Forma general de una función lineal f(x) = ax + b En esta notación, “ f es función de x”, la

variable independiente es x. Las letras a y b son los parámetros en esta expresión.

Los parámetros son letras que representan valores constantes en la expresión y que serán distintos en distintas funciones.

Ejemplos de funciones lineales

f(x)=2x-8

g(x) = -4x+20

h(x) = 3

La gráfica de una función lineal es una línea recta. Esta línea es la representación gráfica del conjunto solución de la ecuación.

Para dibujar una línea recta necesitamos al menos dos puntos, es decir, dos pares ordenados. Cada vez que deseamos hallar un punto evaluamos la función en un valor del Dominio.

Necesitamos dos puntos para dibujar la gráfica, evaluamos la función en dos valores distintos.

¿Cuál es el Dominio de f ?

Ejemplo 1 Dibuja la gráfica de la función f(x)= 2x-5

x y

2 -1

4 3

Marcamos estos puntos en el Plano y los unimos con una línea recta.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

(2,-1)

(4,3)

¿Cómo se comporta esta línea? ¿Cómo se relacionan las variables?

Los interceptos en los ejes son puntos importantes en una función. Un intercepto en x es un punto de la gráfica

que corta o intercepta el eje de x. Este punto es de la forma ( x ,0 ) , es decir, es un

punto en el que su coordenada tiene a y = 0. Un intercepto en y es un punto de la

gráfica que corta o intercepta el eje de y. Este punto es de la forma ( 0, y ) , es decir, es

un punto en el que su coordenada tiene a x = 0.

Interceptos de la función f(x)= 2x-5 Intercepto en x

y = 0 Sustituimos y=0 , 2x – 5 =0 Despejamos para x; 2x=5

x= 5/2=2.5 Punto ( 2.5, 0 )

Interceptos de la función f(x)= 2x-5 Intercepto en y

x = 0 Sustituimos x=0 , f(0) =2(0) – 5

= -5 Punto ( 0, -5 )

Observemos los interceptos en la gráfica de f.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

(2.5,0)

(0,-5)

Interceptos de la función f(x)= 2x-5

LA PENDIENTE DE UNA LÍNEA La pendiente de una línea es una medida de

inclinación de esa línea con respecto al eje de x.

Observaciones sobre la pendiente (m): una línea crece o decrece a una razón constante la pendiente de una línea es única la pendiente es la razón del ascenso vertical con respecto

al avance horizontal

m = ascenso vertical

avance horizontal

Forma pendiente-intercepto

En la forma general de una función lineal,

y = ax +b, el coeficiente de la variable ( a ), representa a la pendiente de la línea y la constante (b), representa la ordenada del intercepto en y.

f (x) = 2x – 5 La pendiente de la línea es 2 El intercepto en y , ocurre en el punto (0,- 5)

La pendiente es 2, veamos:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

(2,-1) (4,-1)

Cambio en x: Δx=2

Cambio en y:

Δy=4

Pendiente (m)Δy = 4 = 2Δx 2

El comportamiento de esta línea es creciente.

Para observar el comportamiento de la variable dependiente (y) e identificar si existe una razón de cambio constante, debemos asignarle valores a x, de al manera que sean valores consecutivos en incrementos de una unidad.

Observar la razón de cambio constante mediante una tabla de valores

Ejemplo 1 f(x)= 2x-5x y

-1 -7

0 -5

1 -3

2 -1

3 3

4 3

Δx = 1 Δy = 2

¿Al aumentar una unidad la variable independiente (x), cómo cambia el valor de la variable dependiente (y)?

La razón de cambio se puede

notar que es constante ya que

la diferencia en y , es siempre

por la misma cantidad.

Esa razón de cambio constante

que en este caso es 2,

corresponde a la pendiente de

la línea.

Observar la razón de cambio constante mediante una tabla de valores

Ejemplo 1 f(x)= 2x-5x y

-1 -7

0 -5

1 -3

2 -1

3 3

4 3

Δx = 1 Δy = 2

Dominio y Recorrido en la gráfica

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y

(2,-1)

(4,3)

El DOMINIO se determina con el eje horizontal al observar la gráfica de IZQUIERDA a DERECHA. Nos pregurntamos dónde comienza la gráfica y dónde termina.

El RECORRIDO se determina con el eje vertical al observar la gráfica desde ABAJO hacia ARRIBA. Nos preguntamos dónde comienza la gráfica y dónde termina.

DOMINIO Reales

RECORRIDO Reales

Ejemplo 2 Para la función h(x) = -3x + 12; contesta: Indica cuál es la pendiente según la ecuación de

la función Halla el intercepto en x Halla el intercepto en y Dibuja la gráfica Indica el comportamiento Indica el DOMINIO Indica el RECORRIDO

Ejemplo 2 Para la funcion h(x) = -3x + 12; contesta: Indica cuál es la pendiente según la

ecuación de la función La pendiente es -3.

Ejemplo 2 Para la funcion h(x) = -3x + 12; contesta: Halla el intercepto en x

y=0 -3x + 12 = 0 -3x = -12 x = 4 Punto ( 4, 0 )

Halla el intercepto en y x = 0 f(0) = -3(0) +12 = 12 Punto ( 0, 12 )

Ejemplo 2 Para la funcion h(x) = -3x + 12; contesta:

Indica el comportamiento - línea decreciente Indica el DOMINIO - Reales Indica el RECORRIDO - Reales

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x

y

Ejemplo 3 Para la función g(x) = 5; contesta: Indica cuál es la pendiente según la ecuación de

la función Halla el intercepto en x Halla el intercepto en y Dibuja la gráfica Indica el comportamiento Indica el DOMINIO Indica el RECORRIDO

Ejemplo 3 Para la funcion g(x) = 5; contesta: Indica cuál es la pendiente según la ecuación de

la función g(x)=0x+5 La pendiente es cero.

La pendiente de una línea horizontal siempre es cero.

Ejemplo 3 Observa la tabla de valores de la funcion g(x) = 5; y luego contesta:

¿Cuál es la razón de cambio?

¿Esta relación es lineal?

¿Cómo se debe nombrar esta relación considerando el comportamiento de su variable dependiente?

x y

0 5

1 5

2 5

Ejemplo 3 Para la función g(x) = 5; contesta:

Halla el intercepto en x La línea es paralela al eje de x por lo tanto no tiene

intercepto en x. Halla el intercepto en y El valor de y es constante, por tanto cuando x=0,

y=5. Punto ( 0, 5 )

Esta función se conoce como Función Constante.

Ejemplo 3 Para la función g(x) = 5; contesta:

Gráfica Indica el comportamiento

Horizontal Indica el DOMINIO

Reales Indica el RECORRIDO

y=5

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Aplicación

Identifica la variable independiente Identifica la variable dependiente Escribe una función que presente la relación

entre ambas variables.

Situación 1

Rosario decide vender chocolates para recoger fondos para ayudar a un refugio de perros. Compra cajas de chocolate para revenderlas . Cada caja de chocolates trae una docena y ella los vende a $1.50 cada uno. La joven quiere establecer una ecuacion que le permita predecir cuánto recogerá con la venta de los chocolates.

Situación 2

Un tanque de agua se llena a razón de 4 galones por minuto. El dueño del tanque desea conocer la cantidad de agua que contiene el tanque cada cinco minutos.

Situación 3

En un globo de aire que se desplaza sobre la superficie terrestre se observa que a medida que aumenta su distancia con respecto a la tierra la temperatura del aire en el globo disminuye 5 grados Celsius. La relación entre altura y temperatura se puede establecer mediante una ecuacion lineal. La explicación es que al expandirse el aire, al llenar el globo, pierde calor.

María va a visitar a una amiga que vive a una milla de distancia desde su casa, y usualmente le toma 30 minutos llegar a la casa de su amiga. María recorre su camino a una velocidad constante. Con esta información escribe una ecuación

matemática que describa la distancia recorrida por Maria durante su caminata de 30 minutos.

Determina la velocidad a la que camina María. Cuánto tiempo le toma recorrer un cuarto de milla.

Aplicación – Función linealPosición