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FUNCIONES ELEMENTALES
• LA PARÁBOLA.
• FUNCIONES CUADRÁTICAS.
• FUNCIONES A TROZOS CON RECTA Y
PARÁBOLAS.
• HIPÉRBOLAS.
• FUNCIONES RADICALES.
• FUNCIONES EXPONENCIALES.
• FUNCIONES LOGARITMICAS.
2.- LA PARÁBOLA
La función y = x2
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
-1 1
-2 4
-3 9
-4 16
-5 25
CARACTERÍSTICAS DE LAS PARÁBOLAS
•Un vértice.
–Máximo o mínimo.
•Dos ramas.
–Una creciente y otra decreciente.
•Eje de simetría.
•Función continua.
•D = R
Gráfica de y = 2x2
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
2
8
18
32
50
2
8
18
32
50
Gráfica de y = x21
2x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
0.5
2
4.5
8
12.5
0.5
2
4.5
8
12.5
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Gráfica de y = -x2
yy
0
-1
-4
-9
-16
-25
-1
-4
-9
-16
-25
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Gráfica de y = -2x2
y
0
-2
-8
-18
-32
-50
-2
-8
-18
-32
-50
y
Gráfica de y = x21
2
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
-0.5
-2
-4.5
-8
-12.5
-0.5
-2
-4.5
-8
-12.5
Gráfica de y = x2 - 2x
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
-1
0
3
8
15
3
8
15
24
35
Gráfica de y = x2 + 2x+31
2
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
3
4,5
5
4,5
3
0,5
0,5
-3
-7,5
-13
-19,5
LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
•Cuanto mayor es |a| más estrecha es la parábola.
•Una parábola tiene mínimo y es abierta hacia arriba si el
coeficiente a es positivo mientras que si a es negativo la
parábola tiene un máximo y es abierta hacia abajo.
•Las funciones cuadráticas tienen un máximo o un mínimosituado en el vértice de la parábola.
•Las funciones cuadráticas tienen dos ramas una creciente y
otra decreciente.
•Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de
ordenadas, eje OY.
•Las funciones que responden a la fórmula y = ax2 + bx + c(con a no nulo) o funciones cuadráticas y sus gráficas sonparábolas.
REPRESENTACIÓN DE
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Puntos próximos al vértice.
Puntos de corte con los ejes de
coordenadas.
Vértice de la parábola.
Otros puntos si con los
anteriores no es suficiente.
Vértice de la parábola
Resolviendo el sistema
2y ax bx c
y c
2ax bx 0, x(ax b) 0
Soluciones: x = 0,b
xa
x
bV
2a
•Una vez halla la coordenada x del vértice
(Vx), su coordenada y se determina hallando
la imagen de Vx.
•Para hallar puntos próximos al vértice se da a
x valores próximos a Vx.
Puntos de corte con los ejes:
Se da a x el valor cero
para hallar el punto de la
parábola situado sobre el
eje OY.
Se da a y el valor cero
para hallar el punto de la
parábola situado sobre el
eje OX.
Copiad el siguiente ejemplo
Parábola2
y x 3x 4
3 3
2 2
23 3 3
3· 42 2 2
9 9 9 18 16 254
4 2 4 4
3 25V ,
2 4
•Vy = f
•Vx =
Parábola
• Puntos próximos al vértice V(1’5, -6’25)
2y x 3x 4
x y
1 -6
2 -6
0 -4
3 -4
Parábola2
y x 3x 4
•Puntos corte con el eje OX:
•Punto corte con el eje OY:
•Soluciones: x = 4, x = -1
x = 0, y = -4
Punto (0,-4)
Puntos (4,0), (-1,0)
y = 0, x2 – 3x – 4 = 0
Parábola2
y x 3x 4
• La abscisa (coordenada x) del vértice de la parábola,y = ax2 + bx + c, se calcula:Vx = -b/2a
• La ordenada del vértice se obtiene hallando la imagen deVx.
• Para hallar puntos próximos al vértice se da a x valorespróximos a Vx.
• Los puntos de corte con los ejes se hallan de la siguienteforma:
• El punto o los puntos de corte con el eje de abscisas (ejeOX) se halla sustituyendo y por cero en la expresión de lafunción.
• El punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY) se hallasustituyendo x por cero en la expresión de la función.
• Ejercicios página 115 nº 1 y 2.
RECTAS Y PARÁBOLAS
• Los puntos de corte o intersección de rectas y parábolas se obtienen resolviendoel sistema formado por las ecuaciones de las rectas y las parábolas.
Intersecciones entre rectas y parábolas:
2
y
y
2x
x x 6
2
y
y
2x
x x 6
x2 – x – 6 = -2x, x2 – x – 6 +2 x = 0,
x2 + x – 6 = 0,
21 1 4·1·( 6)
x2·1
1 1 24
2
1 5
2
x1 = -3,
x2 = 2,
y1= 6
y2 = -4
Puntos de intersección: (-3 , 6), (2 , -4)
Ejemplos de sistemas con recta y parábolas
Sistema compatible con
dos soluciones
Sistema compatible con
una solución
Sistema incompatible,
sin solución
Ejercicios Pág. 109: 3 y 4; Pág. 117: 8, 9 y 10; Pág. 119: 25
3.- FUNCIONES DE
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Gráfica de la función y = 1
xx
0
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
No
4
2
1
0’5
1/3
-4
-2
-1
-0’5
-1/3
CARACTERÍSTICAS
La curva obtenida se
llama hipérbola Tiene
dos ramas infinitas que
se aproximan al eje de
abscisas (eje OX) y
otras dos que se
aproximan al eje de
ordenadas (eje OY).
Por esto los ejes de
coordenadas son
asíntotas de la
hipérbola.
Gráfica de y =2
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
8
4
2
1
2/3
-8
-4
-2
-1
-2/3
3
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
12
6
3
3/2
1
-12
-6
-3
-3/2
-1
Gráfica de y =
Gráfica de y =4
x
x
0’25
0’5
1
2
4
-0’25
-0’5
-1
-2
-4
yy
16
8
4
2
1
-16
-8
-4
-2
-1
Gráficas y = , a > 0a
x
Gráfica de y =1
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
4
2
1
1/2
1/3
Gráfica de y =2
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-8
-4
-2
-1
-2/3
8
4
2
1
2/3
Gráfica de y =3
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-12
-6
-3
-3/2
-1
12
6
3
3/2
1
Gráfica de y =4
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-16
-8
-4
-2
-4/3
16
8
4
2
4/3
Gráficas y = , a < 0a
x
• Las funciones que responden a la expresión
y = se llaman funciones de proporcionalidad
inversa. Sus gráficas son hipérbolas situadas en
los cuadrantes 1º y 3º si a > 0 y en el 2º y 4º
cuadrante si a < 0
• Cuanto mayor es |a| más separadas están las
ramas de la hipérbola de origen de coordenadas.
• Sus dominios de definición son D = R – {0}
a
x
Funciones relacionadas con y = a
xGráficas de las funciones y = , y = , y =
1
x
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
1
x 1
1y
x
1y
x 1
1
x 2
1y
x 2
NO
4
2
1
1/2
1/3
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
-1
-2/3
-1/2
NO
1
1/2
-4/5
-2/3
-1/2
-1/3
-1/4
-1/2
-4/7
-2/3
-1
NO
1
-8/9
-2/5
-1/3
-1/4
-1/5
Gráficas de las funciones y = , y = , y =2
x
2
x 1
2
x 2
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
2
yx
2y
x 1
2y
x 2
NO
8
4
2
1
2/3
-8
-4
-2
-1
-2/3
2
8/5
4/3
1
1
1/2
8/3
4
NO
-2
-1
1
8/9
4/5
2/3
1/2
2/5
8/7
4/3
2
NO
-1
Gráficas de las funciones y = , y = , y =2
x
21
x
22
x
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
2
yx
2
y 1x
2
y 2x
NO
8
4
2
1
2/3
-8
-4
-2
-1
-2/3
NO
7
3
1
0
-1/3
-9
-5
-3
-2
-5/4
NO
6
2
0
-1
-4/3
-10
-6
-4
-3
-9/4
Gráficas de las funciones y = , y = , y =1
x
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
11
x
1y
x
1y 1
x
12
x
1y 2
x
NO
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
4
2
1
1/2
1/3
NO
-3
-2
0
1/2
2/3
5
3
2
3/2
4/3
NO
-2
-1
-
3/2
5/3
6
4
3
5/2
7/3
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas k unidades
hacia la derecha, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas
son las rectas x = k y el eje de abscisas (eje OX, y = 0).
a
x ka
x
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas k unidades
hacia la izquierda, con respecto a las gráficas de y = . Sus
asíntotas son las rectas x = -k y el eje de abscisas (eje OX, y = 0).
a
x + ka
x
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas b unidades
hacia la arriba, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas
son las rectas y = b y el eje de ordenadas (eje OY, x = 0).
a
x+ b
a
x
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas b unidades
hacia abajo, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas son
las rectas y = -b y el eje de ordenadas (eje OY, x = 0).
a
xb
a
x
Indica las asíntotas de las siguientes funciones
3 2 1 8 x 2y 1, y 4, y 2 , y 3, y
x 2 x 3 x 5 7 x x 5
4.- FUNCIONES RADICALES
Gráfica de la función y = X
x
0
1
4
9
16
25
-1
-4
-9
-16
-25
yy
0
1
2
3
4
5
No
No
No
No
No
CARACTERÍSTICAS
La curva obtenida es media parábola con el eje situado sobre el
eje de abscisas, eje OX.
Su dominio de definición son los números reales mayores o
iguales que cero. D = [0 , )
Gráfica de y = 2 x
x
0
1
4
9
16
25
yy
0
2
4
6
8
10
D = [0 , )
x
0
1
4
9
16
25
yy
0
3
6
9
12
15
Gráfica de y = 3 x
D = [0 , )
x
0
1
4
9
16
25
yy
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
D = [0 , )
Gráfica de y =
1 xGráfica de y =
x
0
1
4
9
16
25
yy
1
2
3
4
5
6
D = [0 , )
Gráfica de y =2 x
x
0
1
4
9
16
25
yy
2
3
4
5
6
7
D = [0 , )
2 x
x
0
1
4
9
16
25
yy
-2
-1
0
1
2
3
D = [0 , )
Gráfica de y =
Gráfica de y = x
x
0
-1
-4
-9
-16
-25
yy
0
1
2
3
4
5
D = (- , 0]
1 x
x
0
-1
-4
-9
-16
-25
yy
1
2
3
4
5
6
D = (- , 0]
Gráfica de y =
Gráfica de y = x 1
x
-1
0
3
8
15
24
yy
0
1
2
3
4
5
D = [-1 , )
Gráfica de y = x 2
x
2
3
6
11
18
27
yy
0
1
2
3
4
5
D = [2 , )
Gráficas
comparativas
Gráfica de y = 3 x
x
0
1
8
27
-1
-8
-27
yy
0
1
2
3
-1
-2
-3
D = R
CONCLUSIÓN:
Las funciones , , se representan mediante medias
parábolas. Sus dominios de definición son, respectivamente , .
La gráfica de la función se obtiene desplazando verticalmente k
unidades la gráfica de la función .
y a x b y a x b
b, ,b
La gráfica de la función se obtiene desplazando k unidades
hacia la izquierda (si k >0) la gráfica de la función .
y k ax
y ax
y a( x k )
y ax
Las funciones están definidas en todo R. 3y p( x )
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